ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2012

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1 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 0 Il candidato risolva uno di du problmi di 0 qusiti in cui si articola il qustionario. PRBLEMA Dlla funzion f, dfinita pr 0, si sa ch è dotata di drivata prima sconda ch il grafico dlla sua drivata f (), disgnato a lato, prsnta du tangnti orizzontali pr. Si f'() sa anch ch f (0) 9, f () f ().. Si trovino l asciss di punti di flsso di f motivando l rispost in modo saurint.. Pr qual valor di la funzion f prsnta il suo minimo assoluto? Sapndo ch f (t)dt pr qual valor di la funzion f prsnta il suo massimo assoluto? 0. Sulla bas dll informazioni not, qual andamnto potrbb Figura. avr il grafico di f?. Sia g la funzion dfinita da g() f (). Si trovino l quazioni dll rtt tangnti ai grafici di f di g ni rispttivi punti di ascissa si dtrmini la misura, in gradi primi sssagsimali, dll angolo acuto ch ss formano. PRBLEMA Siano f g l funzioni dfinit da f () g() = ln.. Fissato un sistma cartsiano y, si disgnino i grafici di f g si calcoli l ara dlla rgion R ch ssi dlimitano tra.. La rgion R, ruotando attorno all ass, gnra il solido S, ruotando intorno all ass y, il solido T. Si scrivano, spigandon il prché, ma snza calcolarli, gli intgrali dfiniti ch forniscono i volumi di S di T.. Fissato 0 0, si considrino l rtt r s tangnti ai grafici di f di g ni rispttivi punti di ascissa 0. Si dimostri ch sist un solo 0 pr il qual r s sono paralll. Di tal valor 0 si calcoli un approssimazion arrotondata ai cntsimi.. Sia h() f () g(). Pr quali valori di la funzion h() prsnta, nll intrvallo chiuso, il minimo il massimo assoluti? Si illustri il ragionamnto sguito. Zanichlli Editor, 0

2 QUESTINARI Si calcoli. lim 0 Una monta da uro (il suo diamtro è, mm) vin lanciata su un pavimnto ricoprto con mattonll sagonali (rgolari) di lato 0 cm. Qual è la probabilità ch la monta vada a finir intrnamnt a una mattonlla (cioè non tagli i lati dgli sagoni)? Sia f (). Pr qual valor di, approssimato a mno di 0, la pndnza dlla rtta tangnt alla curva nl punto (; f ()) è ugual a? L insim di numri naturali l insim di numri razionali sono insimi quipotnti? Si giustifichi la risposta. Siano dati nllo spazio n punti P, P, P,, P n. Quanti sono i sgmnti ch li congiungono a du a du? Quanti i triangoli ch hanno pr vrtici qusti punti (supposto ch nssuna trna sia allinata)? Quanti i ttradri (supposto ch nssuna quatrna sia complanar)? Si dimostri ch la curva di quazion y a b ha uno un solo punto di flsso risptto a cui è simmtrica. È dato un ttradro rgolar di spigolo l altzza h. Si dtrmini l ampizza dll angolo formato da l da h. Un azinda industrial possid tr stabilimnti (A, B C ). Nllo stabilimnto A si produc la mtà di pzzi di qusti il 0% sono difttosi. Nllo stabilimnto B si produc un trzo di pzzi, il 7% sono difttosi. Nllo stabilimnto C si producono i pzzi rimannti, il % sono difttosi. Sapndo ch un pzzo è difttoso, con qual probabilità sso provin dallo stabilimnto A? Il problma di Eron (matmatico alssandrino vissuto probabilmnt nlla sconda mtà dl I scolo d.c.) consist, assgnati nl piano du punti A B, situati dalla stssa part risptto a una rtta r, nl dtrminar il cammino minimo ch congiung A con B toccando r. Si risolva il problma nl modo ch si prfrisc. Si provi ch fra tutti i coni circolari rtti circoscritti a una sfra di raggio r, qullo di minima ara latral ha vrtic ch dista r dalla suprfici sfrica. Durata massima dlla prova: or. È consntito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consntito lasciar l Istituto prima ch siano trascors or dalla dttatura dl tma. Zanichlli Editor, 0

3 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME CRS SPERIMENTALE P.N.I. 0 PRBLEMA. La funzion f è drivabil du volt nll intrvallo ]0; [. Dal grafico dlla drivata prima di f (figura ) si dduc ch la drivata sconda di f cambia sgno nll intorno di punti di ascissa ch prtanto sono l asciss di du punti di flsso di f. Inoltr: f () 0 pr 0 con risulta f () 0, prtanto è soddisfatta la condizion sufficint pr un flsso orizzontal dlla funzion f () nl punto di ascissa ; f () 0 risulta f () 0 pr f () 0 pr, prtanto è soddisfatta la condizion sufficint pr un flsso obliquo ascndnt dlla funzion f () nl punto Figura. di ascissa. In sintsi, la funzion f () ha un flsso orizzontal nl punto, ha un flsso obliquo ascndnt nl punto.. La funzion f è continua nll intrvallo 0 prtanto, pr il torma di Wirstrass, in tal intrvallo ammtt il massimo il minimo assoluto. ssrviamo dalla figura pr 0 : pr 0 : f () 0, ovvro la funzion f è non crscnt; pr : f () 0, cioè la funzion f è crscnt. Allora è minimo rlativo anch assoluto, con f (). Dal sgno dlla drivata prima si dduc ch sistono du massimi rlativi agli strmi dll intrvallo ovvro pr 0 pr. Valutiamo la loro immagin in f pr stabilir qual è massimo assoluto. Dall ipotsi è noto ch f (0) 9. Dtrminiamo f () applicando il torma fondamntal dl calcolo intgral, ssndo noto f (t)dt : 0 f (t)dt f () f (0) f () 9 f (). 0 Prtanto il massimo assoluto dlla funzion f è in 0 con f (0) 9.. Sinttizziamo l informazioni not sulla funzion f () riportiamol su un piano cartsiano: f (0) 9, f () f () ; pr 0, f () è non crscnt con flsso orizzontal F in ; pr, è crscnt; in ha il suo minimo assoluto con f (), M(; ); in 0 ha massimo assoluto con f (0) 9, M (0; 9); in ha massimo rlativo con f (), M (; ); in ha un flsso obliquo ascndnt F. f'() Zanichlli Editor, 0

4 Nlla figura è rapprsntato il possibil grafico dlla funzion f (). y 9 M. È noto ch, data una funzion gnrica y h(), l quazion dlla rtta tangnt r al grafico di h nl punto ( 0 ; y 0 ), quando la tangnt sist non è parallla all ass y, è: y = f() F y y 0 h ( 0 )( 0 ), con cofficint angolar m r h ( 0 ). Sappiamo ch f () f (), prtanto la rtta s tangnt a f nl punto (; ) ha quazion: y 9 con m s. Pr l rgol di drivazion g () f () + f (). Pr la funzion g() = f(), sostitundo, si ottin: g() 8 g () f () f () ( ). Prtanto la rtta t tangnt a g nl punto (; 8) ha quazion: y 9 con m t. Figura. Dtrminiamo la tangnt goniomtrica dll angolo acuto formato dall rtt s t: tg ms mt msmt tg. Ricaviamo il corrispondnt angolo in gradi sssagsimali: = arctg,. F M M PRBLEMA. L funzioni f () = g() ln sono rispttivamnt la funzion sponnzial logaritmica in bas. Nlla figura è rapprsntata la rgion di piano R dlimitata dall du funzioni da. Il punto A ha coordinat A y A f(), y A B R y = y = ln il punto B, B y B f, il punto C, C y C g ln ln. ln C Dtrminiamo l ara dlla rgion R calcolando il sgunt intgral: (R) ( ln )d d (ln )d [ ] (ln )d (ln )d intgriamo pr parti l intgral dll ultimo mmbro: [ ln ] d 0 ln [ ] ln ln. Figura. Zanichlli Editor, 0

5 . Ruotiamo la rgion R intorno all ass (figura ). Il solido S ch si ottin è quivalnt al solido ottnuto dalla rotazion dalla rgion dlimitata dalla funzion f (), dall ass dall rtt (la limitazion data da y ln è inssnzial). Prtanto il volum dl solido S val: V(S ) [f ()] d d. Scomponiamo la rgion R nll tr zon R, R, R facciamol ruotar intorno all ass y (figura ). Si ottngono tr solidi di rotazion T, T, T la cui somma è quivalnt al solido T di rotazion richisto. Prtanto val: V(T ) V(T ) V(T ) V(T ). Calcoliamo V(T ) com diffrnza tra il volum dl cilindro di raggio di bas altzza il volum di rotazion dlla funzion invrsa di y ovvro ln y con y [; ]: y A B R y = S y = ln Figura. V(T ) ( ) (ln y) dy ( ) (ln y) dy. T y A y = B R R y = ln Dtrminiamo V(T ) com diffrnza di volum tra du cilindri di altzza raggi di bas pari a : ln C R V(T ). Calcoliamo V(T ) com diffrnza tra il volum di rotazion dlla funzion invrsa di y ln ovvro Figura. y nll intrvallo [ ln ; 0] il cilindro di raggio altzza ln : V(T ) 0 y dy ln ln 0 y dy ln. ln Prtanto il volum dl solido T val: V(T ) V(T ) V(T ) V(T ) () (ln y) dy 0 y dy ln ln ln (ln y) dy 0 y dy. ln. Il cofficint angolar di una rtta tangnt al grafico di una funzion drivabil in un suo punto 0, quando la tangnt sist non è parallla all ass y, è ugual alla sua drivata prima in qul punto. Fissato 0 0, si considrino l rtt r s tangnti ai grafici di f () g() ln ni rispttivi punti di ascissa 0. Affinché l rtt siano paralll i cofficinti angolari dvono ssr uguali cioè: f ( 0 ) g ( 0 ) 0. 0 Pr dimostrar l unicità di 0 ch rnd vra l uguaglianza considriamo la funzion t() pr 0. La drivata prima è t () prtanto la funzion è smpr crscnt. Zanichlli Editor, 0

6 Inoltr t 0, 0, mntr t 0, 0. Si dduc pr il primo torma di unicità dllo zro ch sist un solo valor 0 ; ch rnd nulla la funzion. La drivata sconda è t () : ssa è crscnt, t,, t 7,80, pr cui in tal intrvallo ssa è continua mantin costant il suo sgno. Possiamo così applicar il mtodo numrico dll tangnti pr ricavar lo zro 0 dlla funzion di partnza t(). Ricordiamo la formula di ricorrnza di tal mtodo compiliamo la tablla sapndo ch il punto di partnza dlla succssion approssimant è l strmo dll intrvallo in cui la funzion ha lo stsso sgno dlla drivata sconda:, n t( n) n n n n n. t ( n) n n Dalla tablla ossrviamo ch il valor crcato approssimato ai cntsimi è 0 0,.. Considriamo la funzion h() ln nll intrvallo ; : ssa è continua prtanto pr il torma di Wirstrass ammtt massimo minimo assoluti. Valutiamo i suoi valori agli strmi: h ln ln,, h() ln,78. Calcoliamo la drivata prima: h (). n n t( n ) n t ( n ) n 0,00 0,,9 Nl punto prcdnt dl problma abbiamo dimostrato ch qusta funzion ammtt un solo zro nl punto 0 0,, prtanto 0 è un punto stazionario pr h(). Inoltr h 0 h () 0, quindi 0 è un punto di minimo rlativo. Valutiamo il valor approssimato dlla funzion in tal punto: h( 0 ) 0 ln 0 0, ln 0,,0. Confrontando tal valor con h,, si può concludr ch la funzion h() ha massimo assoluto pr minimo assoluto pr 0. n n n n 0, 0,0,99 0,0 0,7 0,000,87 0,00 Zanichlli Editor, 0

7 QUESTINARI Il limit lim porta alla forma indtrminata Scriviamolo nl sgunt modo: lim 0 lim 0 lim sommiamo sottraiamo al numrator: lim lim applichiamo il limit notvol lim a ln a, con a 0: 0 lim [ln 8 ln 8]. 0 In altrnativa si può risolvr il limit di partnza applicando il torma di D L Hospital, ssndo soddisfatt l rlativ ipotsi: lim 0 lim D( ) ln 8 ln 8 0 D( lim ) lim 0 ln 8 ln 8. 0 In figura è rapprsntata una mattonlla sagonal di lato l di 0 cm ( 00 mm) cntro. La monta di raggio r, mm, mm cad intrnamnt alla piastrlla s il suo cntro C cad nll sagono di lato l cntro intrno alla mattonlla, con i lati parallli a qulli dlla mattonlla distanti r da qusti. La distanza CH tra i lati corrispondnti di du sagoni dv ssr quindi r. Considriamo il triangolo rttangolo BCH: sso è mtà di un triangolo quilatro pr qusto risulta: CH BC r BC BC r. A Figura 7. ' r C H B L sagono intrno ha quindi lato: l C B BC l r. Supponndo ch la probabilità ch la monta cada in una rgion sia proporzional all ara dlla rgion stssa, la probabilità p ch la monta vada a finir intrnamnt a una mattonlla è pari al rapporto tra l ar di du sagoni simili ovvro al rapporto di quadrati di du corrispondnti lati: p l l l l r l r l. l Sostituiamo all grandzz l corrispondnti misur: p, 00 0,79 7,9%. La funzion f () ha dominio R in sso è drivabil. La pndnza dlla rtta tangnt alla curva nl punto (; f ()) è la funzion drivata nl punto : f () ln. 7 Zanichlli Editor, 0

8 Poniamo f () risolviamo l quazion sponnzial: ln. ln Applicando a ntrambi i mmbri il logaritmo in bas succssivamnt la formula dl cambiamnto di bas si ricava: ln log ln ln ln (ln) 0,08. ln ln Du insimi si dicono quipotnti o quicardinali s tra ssi sist una corrispondnza biunivoca. Un insim è numrabil s è quipotnt all insim di numri naturali N. La numrabilità dll insim di numri razionali Q fu dimostrata da G. Cantor (8-98). La sua dimostrazion si basa sul diagramma a fianco (figura 8) ch stabilisc con il mtodo dlla diagonalizzazion una corrispondnza biunivoca tra i razionali positivi Q N {0}. Sgundo l frcc si possono lncar i numri razionali positivi, saltando l frazioni quivalnti ch non rapprsntano nuovi numri razionali. Lo stsso procdimnto può ssr adottato pr dimostrar la numrabilità di Q. Poiché Q Q Q {0} l union di insimi numrabili è numrabil si dduc ch Q è numrabil. Figura 8. Vdi lo svolgimnto dl qusito dlla prova dl corso di ordinamnto La funzion polinomial y a b è continua drivabil nl suo dominio R. Calcoliamo l funzioni drivata prima sconda: y a; y. Analizziamo il sgno dlla drivata sconda nl dominio: y 0 0; y 0 0; y 0 0. È prtanto soddisfatta la condizion sufficint di flsso: la funzion ammtt uno un solo flsso nl punto 0 ha coordinat (0; b). Costruiamo la trasformazion gomtrica di simmtria cntral (0; b): y b y y b y Sostituiamo nlla funzion y a b: b y a b y a b. La funzion è unita risptto al suo punto di flsso ch risulta quindi punto di simmtria. Vdi lo svolgimnto dl qusito 7 dlla prova dl corso di ordinamnto 0. Siano dati gli vnti: E «pzzo difttoso», A «pzzo prodotto nllo stabilimnto A», B «pzzo prodotto nllo stabilimnto B», C «pzzo prodotto nllo stabilimnto C». 8 Zanichlli Editor, 0

9 Risulta: p(a), p(b), p(c ) p(a) p(b). 9 Dtrminiamo p(e ) applicando la formula di disintgrazion: p(e ) p(a) p(e A) p(b) p(e B) p(c ) p(e C) Utilizzando il torma di Bays calcoliamo la probabilità ch, trovato un pzzo difttoso, sso provnga dallo stabilimnto A: p(a E) p(a) p( E A) p( E 0 00 ) 0 0,,% Vdi lo svolgimnto dl qusito 9 dlla prova dl corso di ordinamnto 0. 0 È data la sfra di cntro C raggio r un cono circolar rtto di vrtic V raggio di bas HR (figura 9). V Si pon PV, con 0. Risulta VH r VC r. P Applichiamo il torma di Pitagora al triangolo rttangolo KCV ottniamo: K KV VC KC ( r) r r C r. r Sfruttiamo ora la similitudin tra i triangoli rttangoli KCV QHV: KC VH r ( r) Q H QH KC VH KV QH. KV r Figura 9. Pr il torma dll tangnti risulta QH QK quindi: r ( r) r r QV QK KV r. r r Calcoliamo l ara latral A() dl cono: A() (QH QV) r ( r) r r r r r r r r. r r Minimizziamo tal ara calcolando la drivata prima studiandon il sgno: A () r r A () r r. Tnndo conto dl limit gomtrico 0, risulta: A () 0 pr r, A () 0 pr r, A () 0 pr 0 r. La funzion ara latral ha quindi minimo pr r. R 9 Zanichlli Editor, 0