Propagazione degli errori statistici. Test del χ 2 per la bontà di adattamento. Metodo dei minimi quadrati.

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1 Propagazone degl error statstc. Test del χ per la bontà d adattamento. Metodo de mnm quadrat. Eserctazone 14 gennao Propagazone degl error casual Sano B 1,..., B delle varabl casual con valor attes µ B1,..., µ B e devazon standard σ B1,..., σ B. S rcord che gl error statstc sono dat con due cfre sgnfcatve e l troncamento su un valore atteso deve essere operato con un numero d cfre decmal uguale a quello dell errore statstco corrspondente. Sa A una varable defnta n funzone d B 1... B : A = V (B 1,..., B ). Da semplc calcol, rsulta che l valore aspettato d A è: e la devazone standard: µ A = V (µ B1,..., µ B ) + 1 σ A = x=b1,...,b x=b 1,...,B V x µb1,...,µ B σ x ( V x ) µb1,...,µ σ B x Esempo Sano B =.35m, C = 876cm, D = 33s e σ B = 0.15m, σ C = 11cm, σ D = s. S determnno l valore aspettato e la devazone standard d A = 3(B C) D. R. S calcolano le dervate parzal: A = 3 A = 6(B C) C D D D 3 A = 3 B D 18(B C) D 4, da cu: µ A = 3(µ B µ C ) + 1 σ A = µ D A = 0 A = 0 A = B C D 18(µ B µ C ) σ µ 4 D = m D s 9 D 4 (σ B + 36(B C) σ C ) + σ D 6 D = 0.54 m 10 4 s. 1 Per segnalazon d error, crtche e suggerment, scrvere a

2 Test del χ La varable ch quadro χ Sano z 1... z ν varabl gaussane standardzzate. S defnsce χ = Rsulta che la funzone d dstrbuzone d χ è f(χ ) = 1 Γ( ν ) ν z. =1 ( χ ) ν 1 e χ 1. E[χ ]=ν E[(χ -ν) ]=ν ν= ν=4 ν=6 ν=8 f(χ ) χ max =ν χ Il valore atteso per χ è par al numero d grad d lbertà ν. La dstrbuzone ha varanza che cresce come ν al crescere d ν e l valore massmo della dstrbuzone è χ max = ν. Il resto della funzone d dstrbuzone cumulatva fno a χ 0: α ν,χ 0 = χ 0 f(χ )dχ, dove ν è l numero de grad d lbertà e χ 0 l estremo snstro d ntegrazone, vene usato per testare la bontà d un ft su un certo set d dat. In Tabella 1 fgurano valor d χ 0 per alcun ν e α. Ad esempo: se ν = 10 e α = 0.05, χ 0 = µ = 0, σ = 1, coé dstrbute secondo f(z ) = 1 π e z

3 0.1 ν= f(χ ) α χ0,ν χ χ ν α Tabella 1: Per un approcco ntutvo... Da Harvey Motulsky Intutve bostatstcs Oxford Unversty Press Cap.6 Comparare dat osservat e rsultat attes S assuma che l 10% de pazent muoa durante o n seguto ad una rschosa operazone. Il mese scorso s sano regstrate 16 mort su 75 operazon. S vuol sapere se tale aumento rflette un cambo sostanzale o se è una pura concdenza. I calcol statstc possono solo rspondere alla domanda: se la probabltà d morte è del 10%, qual è la probabltà d osservare 16 o pù mort su 75 #osservato #atteso Vv pazent? I dat s possono sntetzzare nel seguente specchetto: Mort Totale L potes nulla è che dat osservat sono camponat con le frequenze attese. Voglamo rspondere a questa domanda: se l potes nulla è vera, quale è la probabltà d avere una sffatta dscrepanza tra dat osservat e rsultat attes? Possamo combnare osservazon e prevson teorche nella cosddetta varable χ (ch quadro), calcolata come: ell esempo n questone χ = (osservat attes). attes χ = ( ) (16 7.5) 7.5 =

4 Per nture la base della defnzone del χ, è utle vederla nella forma χ = ( osservat attes attes ). Come s è vsto, nfatt, dat contat secondo la statstca d Posson hanno una devazone standard approssmatvamente uguale alla radce quadrata del valore atteso. Qund dal loro rapporto s ha una stma della bontà d adattamento della dstrbuzone teorca a dat spermental. Inoltre, l valore d χ tende a crescere al crescere del numero d categore. Il numero de grad d lbertà è, nell esempo, par al numero d categore () meno 1 (è l vncolo che, una volta noto l numero totale d pazent e quello d pazent mort, s sa automatcamente quello de pazent vv). Dalla Tabella 1 (pag.3), che mpareremo a leggere tra poco, rsulta che la probabltà che χ > è < 5%. Tale rsultato s nduce a rgettare l potes nulla. S supponga che una certa sere d dat provenga da una certa dstrbuzone. S stmano 3, se necessaro, parametr della dstrbuzone teorca a partre da dat. S confrontano le frequenze spermental con quelle prevste dalla dstrbuzone teorca attraverso le propretà della varable χ. 1. Test del χ per dstrbuzon dscrete Sano x 1... x valor assunt con frequenze spermental f exp 1... f exp. S fa un potes sulla dstrbuzone seguta. Ad esempo: -per un dado non truccato s assume p = 1/6; -oppure s stma l valore medo m d una possonana. S calcolano le frequenze attese dalla dstrbuzone teorca f1 teo... f teo S costrusce lo schema: e s calcola x f exp f teo f exp 1 f1 teo x 1 x f exp f teo x f exp f teo χ = =1 (f exp f teo ) χ segue approssmatvamente 4 la funzone d dstrbuzone del χ con un numero d grad d lbertà par a f teo ν = 1 v dove è l numero de dat spermental, v è l numero de parametr della dstrbuzone teorca stmat a partre da dat spermental, 1 corrsponde al vncolo della normalzzazone delle probabltà 5. =1 3 x =1 S rcord che la meda x = è una stma ncondzonata d µ e la varanza camponara s (x = x) 1 d σ. 4 La frequenza è per defnzone una varable bnomale; nel lmte d un gran numero d prove tende ad una possonana con valore aspettato e varanza m = p = f teo exp (f f. La varable teo ) tende percò ad essere una varable gaussana standardzzata. 5 La probabltà è l rapporto frequenza dvso numero totale d event. f teo.

5 S scegle ora l lvello d confdenza α (ad esempo l 5%), che sgnfca dare una msura d quanto s vuole che l test sa severo. S rcava dalla Tabella 1 χ 0 tale che α = P r{χ > χ 0}. Se χ > χ 0 l test è negatvo. Ad esempo: se ν = 5 e α = 0.5 χ 0 = ν α Esempo 1 (Schaum) In 00 lanc d una moneta escono 115 teste e 85 croc. S sottoponga a test l potes che la moneta non è truccata, usando un lvello d sgnfcatvtà dello R. x f exp (x) f teo (x) T C χ = ( ) (100 85) 100 = 4.50 Il numero de grad d lbertà è ν = 1 = 1. Dalla Tabella 1 leggo: P r{χ > 3.84} = 0.05, ma χ > 3.84 per cu, al lvello d confdenza stablto, non s può affermare che la moneta non sa truccata. Esempo (dstrbuzone possonana) Un gruppo d gallne allevate male vene osservato per 50 gorn consecutv # uova deposte trovando. Può tale dstrbuzone # gorn essere descrtta con una possonana con un lvello d confdenza del 5%? R.Calcolo l numero medo d uova al gorno m = µ = = Il numero teorco d gorn su 50 n cu vengono prodotte x uova è x percò 50 f(x) = 50 e. x! # uova deposte # gorn # teorco d gorn χ = Il numero de grad d lbertà è ν = = 4. Rsulta χ = 0.67 < χ ν=4,α= , percò la dstrbuzone s adatta a dat nel lvello d confdenza stablto.

6 Eserczo ella tabella seguente sono rportat dat relatv a colture batterche, analzzat dvdendo n quadrat l campo vsvo. S vogla stablre se batter sono dstrbut a caso (coé secondo una statstca possonana) o n aggregat d tpo organzzato. n(x) è l numero d quadrat n x cu compaono x batter. n exp (x) Eserczo ell ntervallo x=0- è stato costruto l stogramma d frequenze d una sere d = 60 dat, fornt da un estrattore d numer con dstrbuzone unforme. Le frequenze spermental sono rportate n tabella. Verfcare utlzzando l test del χ, che la dstrbuzone de dat sa effettvamente unforme. x f(x) Metodo de mnm quadrat e test del χ per ft lnear S abba una sere d dat {(x, y )} =1,..., che s voglano nterpolare con una retta d equazone y = mx + q, determnata mnmzzando rspetto a m e q la somma (y (mx +q)) =1 (d qu l nome d metodo de mnm quadrat ). S σ assuma l potes che σ = σ per ogn. S parte da una tabella d dat spermental a due entrate =1 1 σ x (1) S calcola x = e () s nsersce una terza colonna d ξ = x x. (3) Qund s trova y = =1 y. x y (4) S compla una quarta colonna yξ, da cu (5) s trova ξy = una qunta colonna ξ, da cu (7) s determna ξ = =1 ξ. =1 ξ y, e (6) La retta d equazone y = aξ + b che mnmzza =1 (y (aξ + b)) ha 6 b = y Gl error statstc assocat sono a = yξ ξ σ b = σ 6 el caso generale n cu le σ sono dverse, ad essere mnmzzato è (y (aξ +b)) =1 devono essere nterpretate come mede pesate con pes 1 σ. σ e le mede seguent

7 σ a = σ ξ Tornando alle varabl x, y l coeffcente angolare rsulta e l termne noto è 7 m = a con σ m = σ a q = b ax con σ q = σ b + σ a(x) S nserscono a questo punto (8) valor teorc delle y n una sesta colonna: x y () ξ (4) yξ (6) ξ (8) y teor (1) x (3) y (5) yξ (7) ξ Per verfcare la bontà del ft lneare così ottenuto, s opera l test del χ a partre da χ = =1 (y y teo ) σ dove y teo = aξ + b, con un numero d grad d lbertà par a ν = essendo stat stmat parametr (m e q), a partre da dat 8. Scelto un ntervallo d confdenza α, s procede con un test a due code, vale a dre: s determnano χ 1 e χ tal che P r{χ 1 < χ < χ } = α 1 α = α. el caso d ft, l test può fallre per un χ troppo grande oppure, se s ottene un χ troppo pccolo, possono essere stat sovrastmat gl error statstc 9 σ o l numero d parametr necessar per l ft 10. Ad esempo: se ν = 5 e α = 0.5, χ 1 = e χ = ν α Esempo Determnare parametr della mglor retta passante per punt spermental 7 S dmostr la formula su σ q attraverso la teora della propagazone dell errore statstco. 8 Qu, charamente, non c è nessun vncolo d normalzzazone. 9 A denomnatore ne termn. 10 Che, n generale, non è detto sa lneare.

8 rportat nella tabella seguente, nell potes che gl error sulle y sano tutt par a Effettuare l test del χ. x(cm) y() R. Procedendo come sopra, s ottene l seguente schema x(cm) y() () ξ(cm) (4) yξ( cm) (6) ξ (cm ) (8) y teo () (1) (3) (5) (7) x = 4 cm y = yξ = cm ξ = 4cm da cu s rcavano b = σ b = a =.689 cm σ a = cm. D qu m = (.689 ± 0.019) e q = ( ± 0.007). cm Il ch quadro rsulta χ = = Il numero de grad d lbertà 0.1 è ν = 7 = 5. Fssando un lvello d confdenza dello 0.05 s scopre dalla Tabella 1 che P r{0.831 < χ < 1.83} = Poché < χ < 1.83 l ft rsulta accettable. Eserczo Applcare l metodo de mnm quadrat alla seguente tabella d dat e effettuare l test del χ sul ft ottenuto. x (cm) y (cm/ ps)

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