Propagazione degli errori statistici. Test del χ 2 per la bontà di adattamento. Metodo dei minimi quadrati.
|
|
- Livia Marchetti
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Propagazone degl error statstc. Test del χ per la bontà d adattamento. Metodo de mnm quadrat. Eserctazone 14 gennao Propagazone degl error casual Sano B 1,..., B delle varabl casual con valor attes µ B1,..., µ B e devazon standard σ B1,..., σ B. S rcord che gl error statstc sono dat con due cfre sgnfcatve e l troncamento su un valore atteso deve essere operato con un numero d cfre decmal uguale a quello dell errore statstco corrspondente. Sa A una varable defnta n funzone d B 1... B : A = V (B 1,..., B ). Da semplc calcol, rsulta che l valore aspettato d A è: e la devazone standard: µ A = V (µ B1,..., µ B ) + 1 σ A = x=b1,...,b x=b 1,...,B V x µb1,...,µ B σ x ( V x ) µb1,...,µ σ B x Esempo Sano B =.35m, C = 876cm, D = 33s e σ B = 0.15m, σ C = 11cm, σ D = s. S determnno l valore aspettato e la devazone standard d A = 3(B C) D. R. S calcolano le dervate parzal: A = 3 A = 6(B C) C D D D 3 A = 3 B D 18(B C) D 4, da cu: µ A = 3(µ B µ C ) + 1 σ A = µ D A = 0 A = 0 A = B C D 18(µ B µ C ) σ µ 4 D = m D s 9 D 4 (σ B + 36(B C) σ C ) + σ D 6 D = 0.54 m 10 4 s. 1 Per segnalazon d error, crtche e suggerment, scrvere a mancnell@fs.unroma3.t.
2 Test del χ La varable ch quadro χ Sano z 1... z ν varabl gaussane standardzzate. S defnsce χ = Rsulta che la funzone d dstrbuzone d χ è f(χ ) = 1 Γ( ν ) ν z. =1 ( χ ) ν 1 e χ 1. E[χ ]=ν E[(χ -ν) ]=ν ν= ν=4 ν=6 ν=8 f(χ ) χ max =ν χ Il valore atteso per χ è par al numero d grad d lbertà ν. La dstrbuzone ha varanza che cresce come ν al crescere d ν e l valore massmo della dstrbuzone è χ max = ν. Il resto della funzone d dstrbuzone cumulatva fno a χ 0: α ν,χ 0 = χ 0 f(χ )dχ, dove ν è l numero de grad d lbertà e χ 0 l estremo snstro d ntegrazone, vene usato per testare la bontà d un ft su un certo set d dat. In Tabella 1 fgurano valor d χ 0 per alcun ν e α. Ad esempo: se ν = 10 e α = 0.05, χ 0 = µ = 0, σ = 1, coé dstrbute secondo f(z ) = 1 π e z
3 0.1 ν= f(χ ) α χ0,ν χ χ ν α Tabella 1: Per un approcco ntutvo... Da Harvey Motulsky Intutve bostatstcs Oxford Unversty Press Cap.6 Comparare dat osservat e rsultat attes S assuma che l 10% de pazent muoa durante o n seguto ad una rschosa operazone. Il mese scorso s sano regstrate 16 mort su 75 operazon. S vuol sapere se tale aumento rflette un cambo sostanzale o se è una pura concdenza. I calcol statstc possono solo rspondere alla domanda: se la probabltà d morte è del 10%, qual è la probabltà d osservare 16 o pù mort su 75 #osservato #atteso Vv pazent? I dat s possono sntetzzare nel seguente specchetto: Mort Totale L potes nulla è che dat osservat sono camponat con le frequenze attese. Voglamo rspondere a questa domanda: se l potes nulla è vera, quale è la probabltà d avere una sffatta dscrepanza tra dat osservat e rsultat attes? Possamo combnare osservazon e prevson teorche nella cosddetta varable χ (ch quadro), calcolata come: ell esempo n questone χ = (osservat attes). attes χ = ( ) (16 7.5) 7.5 =
4 Per nture la base della defnzone del χ, è utle vederla nella forma χ = ( osservat attes attes ). Come s è vsto, nfatt, dat contat secondo la statstca d Posson hanno una devazone standard approssmatvamente uguale alla radce quadrata del valore atteso. Qund dal loro rapporto s ha una stma della bontà d adattamento della dstrbuzone teorca a dat spermental. Inoltre, l valore d χ tende a crescere al crescere del numero d categore. Il numero de grad d lbertà è, nell esempo, par al numero d categore () meno 1 (è l vncolo che, una volta noto l numero totale d pazent e quello d pazent mort, s sa automatcamente quello de pazent vv). Dalla Tabella 1 (pag.3), che mpareremo a leggere tra poco, rsulta che la probabltà che χ > è < 5%. Tale rsultato s nduce a rgettare l potes nulla. S supponga che una certa sere d dat provenga da una certa dstrbuzone. S stmano 3, se necessaro, parametr della dstrbuzone teorca a partre da dat. S confrontano le frequenze spermental con quelle prevste dalla dstrbuzone teorca attraverso le propretà della varable χ. 1. Test del χ per dstrbuzon dscrete Sano x 1... x valor assunt con frequenze spermental f exp 1... f exp. S fa un potes sulla dstrbuzone seguta. Ad esempo: -per un dado non truccato s assume p = 1/6; -oppure s stma l valore medo m d una possonana. S calcolano le frequenze attese dalla dstrbuzone teorca f1 teo... f teo S costrusce lo schema: e s calcola x f exp f teo f exp 1 f1 teo x 1 x f exp f teo x f exp f teo χ = =1 (f exp f teo ) χ segue approssmatvamente 4 la funzone d dstrbuzone del χ con un numero d grad d lbertà par a f teo ν = 1 v dove è l numero de dat spermental, v è l numero de parametr della dstrbuzone teorca stmat a partre da dat spermental, 1 corrsponde al vncolo della normalzzazone delle probabltà 5. =1 3 x =1 S rcord che la meda x = è una stma ncondzonata d µ e la varanza camponara s (x = x) 1 d σ. 4 La frequenza è per defnzone una varable bnomale; nel lmte d un gran numero d prove tende ad una possonana con valore aspettato e varanza m = p = f teo exp (f f. La varable teo ) tende percò ad essere una varable gaussana standardzzata. 5 La probabltà è l rapporto frequenza dvso numero totale d event. f teo.
5 S scegle ora l lvello d confdenza α (ad esempo l 5%), che sgnfca dare una msura d quanto s vuole che l test sa severo. S rcava dalla Tabella 1 χ 0 tale che α = P r{χ > χ 0}. Se χ > χ 0 l test è negatvo. Ad esempo: se ν = 5 e α = 0.5 χ 0 = ν α Esempo 1 (Schaum) In 00 lanc d una moneta escono 115 teste e 85 croc. S sottoponga a test l potes che la moneta non è truccata, usando un lvello d sgnfcatvtà dello R. x f exp (x) f teo (x) T C χ = ( ) (100 85) 100 = 4.50 Il numero de grad d lbertà è ν = 1 = 1. Dalla Tabella 1 leggo: P r{χ > 3.84} = 0.05, ma χ > 3.84 per cu, al lvello d confdenza stablto, non s può affermare che la moneta non sa truccata. Esempo (dstrbuzone possonana) Un gruppo d gallne allevate male vene osservato per 50 gorn consecutv # uova deposte trovando. Può tale dstrbuzone # gorn essere descrtta con una possonana con un lvello d confdenza del 5%? R.Calcolo l numero medo d uova al gorno m = µ = = Il numero teorco d gorn su 50 n cu vengono prodotte x uova è x percò 50 f(x) = 50 e. x! # uova deposte # gorn # teorco d gorn χ = Il numero de grad d lbertà è ν = = 4. Rsulta χ = 0.67 < χ ν=4,α= , percò la dstrbuzone s adatta a dat nel lvello d confdenza stablto.
6 Eserczo ella tabella seguente sono rportat dat relatv a colture batterche, analzzat dvdendo n quadrat l campo vsvo. S vogla stablre se batter sono dstrbut a caso (coé secondo una statstca possonana) o n aggregat d tpo organzzato. n(x) è l numero d quadrat n x cu compaono x batter. n exp (x) Eserczo ell ntervallo x=0- è stato costruto l stogramma d frequenze d una sere d = 60 dat, fornt da un estrattore d numer con dstrbuzone unforme. Le frequenze spermental sono rportate n tabella. Verfcare utlzzando l test del χ, che la dstrbuzone de dat sa effettvamente unforme. x f(x) Metodo de mnm quadrat e test del χ per ft lnear S abba una sere d dat {(x, y )} =1,..., che s voglano nterpolare con una retta d equazone y = mx + q, determnata mnmzzando rspetto a m e q la somma (y (mx +q)) =1 (d qu l nome d metodo de mnm quadrat ). S σ assuma l potes che σ = σ per ogn. S parte da una tabella d dat spermental a due entrate =1 1 σ x (1) S calcola x = e () s nsersce una terza colonna d ξ = x x. (3) Qund s trova y = =1 y. x y (4) S compla una quarta colonna yξ, da cu (5) s trova ξy = una qunta colonna ξ, da cu (7) s determna ξ = =1 ξ. =1 ξ y, e (6) La retta d equazone y = aξ + b che mnmzza =1 (y (aξ + b)) ha 6 b = y Gl error statstc assocat sono a = yξ ξ σ b = σ 6 el caso generale n cu le σ sono dverse, ad essere mnmzzato è (y (aξ +b)) =1 devono essere nterpretate come mede pesate con pes 1 σ. σ e le mede seguent
7 σ a = σ ξ Tornando alle varabl x, y l coeffcente angolare rsulta e l termne noto è 7 m = a con σ m = σ a q = b ax con σ q = σ b + σ a(x) S nserscono a questo punto (8) valor teorc delle y n una sesta colonna: x y () ξ (4) yξ (6) ξ (8) y teor (1) x (3) y (5) yξ (7) ξ Per verfcare la bontà del ft lneare così ottenuto, s opera l test del χ a partre da χ = =1 (y y teo ) σ dove y teo = aξ + b, con un numero d grad d lbertà par a ν = essendo stat stmat parametr (m e q), a partre da dat 8. Scelto un ntervallo d confdenza α, s procede con un test a due code, vale a dre: s determnano χ 1 e χ tal che P r{χ 1 < χ < χ } = α 1 α = α. el caso d ft, l test può fallre per un χ troppo grande oppure, se s ottene un χ troppo pccolo, possono essere stat sovrastmat gl error statstc 9 σ o l numero d parametr necessar per l ft 10. Ad esempo: se ν = 5 e α = 0.5, χ 1 = e χ = ν α Esempo Determnare parametr della mglor retta passante per punt spermental 7 S dmostr la formula su σ q attraverso la teora della propagazone dell errore statstco. 8 Qu, charamente, non c è nessun vncolo d normalzzazone. 9 A denomnatore ne termn. 10 Che, n generale, non è detto sa lneare.
8 rportat nella tabella seguente, nell potes che gl error sulle y sano tutt par a Effettuare l test del χ. x(cm) y() R. Procedendo come sopra, s ottene l seguente schema x(cm) y() () ξ(cm) (4) yξ( cm) (6) ξ (cm ) (8) y teo () (1) (3) (5) (7) x = 4 cm y = yξ = cm ξ = 4cm da cu s rcavano b = σ b = a =.689 cm σ a = cm. D qu m = (.689 ± 0.019) e q = ( ± 0.007). cm Il ch quadro rsulta χ = = Il numero de grad d lbertà 0.1 è ν = 7 = 5. Fssando un lvello d confdenza dello 0.05 s scopre dalla Tabella 1 che P r{0.831 < χ < 1.83} = Poché < χ < 1.83 l ft rsulta accettable. Eserczo Applcare l metodo de mnm quadrat alla seguente tabella d dat e effettuare l test del χ sul ft ottenuto. x (cm) y (cm/ ps)
Strada B. Classe Velocità valore frequenza Frequ. ass Frequ. % hi Freq. Cum
Eserczo SINTESI S supponga d avere eseguto 70 msure della veloctà stantanea de vecol che transtano nelle sezon d due strade A e B. S supponga che tal msure sano state eseguta n corrspondenza d valor modest
DettagliLa t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student.
Pccol campon I parametr della dstrbuzone d una popolazone sono n generale ncognt devono essere stmat dal campone de dat spermental per pccol campon (N N < 30) z = (x µ)/ )/σ non ha pù una dstrbuzone gaussana
DettagliFACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 17/09/2012
CdL n SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME d STATISTICA ESERCIZIO 1 (+.5+.5+3) La tabella seguente rporta la dstrbuzone d frequenza del peso X n gramm d una partta d mele provenent da un certo frutteto. X=peso
DettagliLaboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica
Laboratoro B A.A. 01/013 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Prncpo della massma verosmglanza Quando eseguamo una sere d msure relatve ad una data grandezza fsca, quanto
DettagliMisure indipendenti della stessa grandezza, ciascuna con una diversa precisione.
Msure ndpendent della stessa grandezza, cascuna con una dversa precsone. Consderamo d avere due msure o n generale della stessa grandezza, ndpendent, caratterzzate da funzone denstà d probabltà d Gauss.
DettagliScienze Geologiche. Corso di Probabilità e Statistica. Prove di esame con soluzioni
Scenze Geologche Corso d Probabltà e Statstca Prove d esame con soluzon 004-005 1 Corso d laurea n Scenze Geologche - Probabltà e Statstca Appello del 1 gugno 005 - Soluzon 1. (Punt 3) In una certa zona,
Dettaglia) Individuare l intervallo di confidenza al 90% per la media di popolazione;
Eserczo Il responsable marketng d una catena d negoz vuole analzzare l volume delle vendte mensl d un determnato bene d largo consumo. Una socetà che conduce rcerche d mercato è ncarcata d effettuare un
DettagliUniversità di Cassino. Esercitazione di Statistica 1 del 4 dicembre Dott.ssa Simona Balzano
Unverstà d Cassno Eserctazone d Statstca del 4 dcembre 6 Dott.ssa Smona Balzano Eserczo Sa la varable casuale che descrve l rsultato del lanco d dad, sulle cu facce v sono numer: 5, 5, 7, 7, 9, 9. a) Defnre
DettagliESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità:
ESERCIZIO. S consder una popolazone consstente delle quattro msurazon,, e descrtta dalla seguente dstrbuzone d probabltà: X P(X) ¼ ¼ ¼ ¼ S estrae casualmente usando uno schema d camponamento senza rpetzone
DettagliREGRESSIONE LINEARE. È caratterizzata da semplicità: i modelli utilizzati sono basati essenzialmente su funzioni lineari
REGRESSIONE LINEARE Ha un obettvo mportante: nvestgare sulle relazon emprche tra varabl allo scopo d analzzare le cause che possono spegare un determnato fenomeno È caratterzzata da semplctà: modell utlzzat
DettagliSistemi Intelligenti Stimatori e sistemi lineari - III
Sstem Intellgent Stmator e sstem lnear - III Alberto Borghese Unverstà degl Stud d Mlano Laboratory of Appled Intellgent Systems (AIS-Lab) Dpartmento d Informatca borghese@d.unm.t /6 http:\\borghese.d.unm.t\
DettagliANALISI STATISTICA DELLE INCERTEZZE CASUALI
AALISI STATISTICA DELLE ICERTEZZE CASUALI Consderamo l caso della msura d una grandezza fsca che sa affetta da error casual. Per ottenere maggor nformazone sul valore vero della grandezza rpetamo pù volte
DettagliPrecisione e Cifre Significative
Precsone e Cfre Sgnfcatve Un numero (una msura) è una nformazone! E necessaro conoscere la precsone e l accuratezza dell nformazone. La precsone d una msura è contenuta nel numero d cfre sgnfcatve fornte
Dettagliy. E' semplicemente la media calcolata mettendo
COME FUNZIONA L'ANOVA A UN FATTORE: SI CONFRONTANO TANTE MEDIE SCOMPONENDO LA VARIABILITA' TOTALE Per testare l'potes nulla che la meda d una varable n k popolazon sa la stessa, s suddvde la varabltà totale
Dettagli* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE *
* PROBABILITÀ - SCHEDA N. LE VARIABILI ALEATORIE *. Le varabl aleatore Nella scheda precedente abbamo defnto lo spazo camponaro come la totaltà degl est possbl d un espermento casuale; abbamo vsto che
DettagliAnalisi statistica degli errori casuali
Anals statstca degl error casual error casual: dovut a ncertezze spermental non controllabl che comunque spngono l valore msurato con ugual probabltà n alto od n basso rspetto al valore vero. Quest error
DettagliCorsi di Laurea in Farmacia e CTF Prova di Matematica
Cors d Laurea n Farmaca e CTF Prova d Matematca S O L U Z I O N I Effettua uno studo qualtatvo della funzone 4 f + con partcolare rfermento a seguent aspett: a trova l domno della funzone b trova gl ntervall
DettagliQualità dell adattamento di una funzione y=f(x) ad un insieme di misure (y in funzione di x)
Qualtà ell aattamento una funzone y=f() a un nseme msure (y n funzone ) Date N msure coppe valor elle granezze e y, legate alla relazone y=f(;a,b), nell potes che le ncertezze sulle sano trascurabl e y
DettagliLA COMPATIBILITA tra due misure:
LA COMPATIBILITA tra due msure: 0.4 Due msure, supposte affette da error casual, s dcono tra loro compatbl quando la loro dfferenza può essere rcondotta ad una pura fluttuazone statstca attorno al valore
DettagliAd esempio, potremmo voler verificare la legge di caduta dei gravi che dice che un corpo cade con velocità uniformemente accellerata: v = v 0 + g t
Relazon lnear Uno de pù mportant compt degl esperment è quello d nvestgare la relazone tra due varabl. Il caso pù mportante (e a cu spesso c s rconduce, come vedremo è quello n cu la relazone che s ntende
DettagliS O L U Z I O N I. 1. Effettua uno studio qualitativo della funzione. con particolare riferimento ai seguenti aspetti:
S O L U Z I O N I 1 Effettua uno studo qualtatvo della funzone con partcolare rfermento a seguent aspett: f ( ) ln( ) a) trova l domno della funzone b) ndca qual sono gl ntervall n cu f() rsulta postva
DettagliContenuti: o Specificazione del modello. o Ipotesi del modello classico. o Stima dei parametri. Regressione semplice Roberta Siciliano 2
Corso d STATISTICA Prof. Roberta Sclano Ordnaro d Statstca, Unverstà d Napol Federco II Professore supplente, Unverstà della Baslcata a.a. 0/0 Contenut: o Specfcazone del modello o Ipotes del modello classco
DettagliPropagazione delle incertezze
Propagazone delle ncertezze In questa Sezone vene trattato l problema della propagazone delle ncertezze quando s msurano pù grandezze dfferent,,,z soggette a error d tpo casuale e po s utlzzano tal grandezze
DettagliCorrelazione lineare
Correlazone lneare Varable dpendente Mortaltà per crros 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 0 5 10 15 0 5 30 Consumo d alcool Varable ndpendente Metodologa per l anals de dat spermental L anals d stud con varabl
DettagliPRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA (COD /6045/5047/4038/371/377) 26 ottobre 2015 COMPITO D
FIRMA DELLO STUDENTE Cognome PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA (COD. 3000/6045/5047/4038/37/377) 26 ottobre 20 Nome Numero d matrcola Corso d Laurea Cod. corso COMPITO D A fn della valutazone s terrà
DettagliEsercitazione 1 del corso di Statistica 2
Eserctazone del corso d Statstca rof. Domenco Vstocco Dott.ssa aola Costantn 8 Aprle 008 Eserczo n. S consder un campone d 00 student d cu s conoscono le seguent probabltà dstnt secondo l sesso (Mmascho,
DettagliIL LEGAME TRA DUE VARIABILI I METODI DELLA CORRELAZIONE
IL LEGAME TRA DUE VARIABILI I METODI DELLA CORRELAZIONE CORRELAZIONE Legame - Assocazone - Accordo Relazone tra varabl valutare l grado d recproca nfluenza tra due varabl; valutare l grado d assocazone
DettagliTutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica 23 e 30 marzo 2017
Tutorato d Complement d Anals Matematca e Statstca 23 e 30 marzo 2017 Gl esercz con l smbolo eo sono tratt da prove d esame del 2016 ( eo gorno/mese eo) Esercz dagl ncontr precedent 3. Una varable X può
DettagliProbabilità cumulata empirica
Probabltà cumulata emprca Se s effettua un certo numero d camponament da una popolazone con dstrbuzone cumulata F(y), s avranno allora n campon y, y,, y n. E possble consderarne la statstca d ordne, coè
DettagliLe soluzioni della prova scritta di Matematica per il corso di laurea in Farmacia (raggruppamento M-Z)
Le soluzon della prova scrtta d Matematca per l corso d laurea n Farmaca (raggruppamento M-Z). Data la funzone a. trova l domno d f f ( ) ln + b. scrv, esplctamente e per esteso, qual sono gl ntervall
Dettagli1) Le medie e le varianze calcolate su n osservazioni relative alle variabili quantitative X ed Y sono tali che. σ x
TEORIA 1) Le mede e le varanze calcolate su n osservazon relatve alle varabl quanttatve X ed Y sono tal che 1 e. Consderando le corrspondent varabl standardzzate delle seguent affermazon rsulta vera 1
DettagliAnalisi degli errori. Introduzione J. R. Taylor, Introduzione all analisi degli errori, Zanichelli, Bo 1986
Anals degl error Introduzone J. R. Taylor, Introduzone all anals degl error, Zanchell, Bo 1986 Sstem d untà d msura, rappresentazone numerca delle quanttà fsche e cfre sgnfcatve Resnck, Hallday e Krane
DettagliElementi di statistica
Element d statstca Popolazone statstca e campone casuale S chama popolazone statstca l nseme d tutt gl element che s voglono studare (ndvdu, anmal, vegetal, cellule, caratterstche delle collettvtà..) e
Dettagli= = = = = 0.16 NOTA: X P(X) Evento Acquisto PC Intel Acquisto PC Celeron P(X)
ESERCIZIO 3.1 Una dtta vende computer utlzzando on-lne, utlzzando sa processor Celeron che processor Intel. Dat storc mostrano che l 80% de clent preferscono acqustare un PC con processore Intel. a) Sa
DettagliSTATISTICA A K (63 ore) Marco Riani
STATISTICA A K (63 ore) Marco Ran mran@unpr.t http://www.ran.t Rcham sulla regressone MODELLO DI REGRESSIONE y a + b + e dove: 1,, n a + b rappresenta una retta: a ordnata all orgne ntercetta b coeff.
DettagliEsame di Statistica tema A Corso di Laurea in Economia Prof.ssa Giordano Appello del 15/07/2011
Esame d Statstca tema A Corso d Laurea n Economa Prof.ssa Gordano Appello del /07/0 Cognome Nome atr. Teora Dmostrare che la somma degl scart dalla meda artmetca è zero. Eserczo L accesso al credto è sempre
DettagliNOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI
NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI IL LEGAME TRA DUE VARIABILI I METODI DELLA CORRELAZIONE Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 1/19 IL PROBLEMA
DettagliPer calcolare le probabilità di Testa e Croce è possibile risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:
ESERCIZIO.1 Sa X la varable casuale che descrve l numero d teste ottenute nella prova lanco d tre monete truccate dove P(Croce)= x P(Testa). 1) Defnrne la dstrbuzone d probabltà ) Rappresentarla grafcamente
DettagliTeoria degli errori. La misura implica un giudizio sull uguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione. Misure indirette: velocita
Teora degl error Processo d msura defnsce una grandezza fsca. Sstema oggetto. Apparato d msura 3. Sstema d confronto La msura mplca un gudzo sull uguaglanza tra la grandezza ncognta e la grandezza campone
DettagliStatistica Descrittiva
Statstca Descrttva Corso d Davd Vettur Dat osservat Sano note le seguent msure dello spessore d una lastra d materale polmerco espresse n mllmetr 3.71 3.83 3.85 3.96 3.84 3.8 3.94 3.55 3.76 3.63 3.88 3.86
DettagliLezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BASILICATA FACOLTA DI ECONOMIA Corso d laurea n Economa Azendale Lezon d Statstca (25 marzo 2013) Docente: Massmo Crstallo QUARTILI Dvdono la dstrbuzone n quattro part d uguale
DettagliPropagazione degli errori
Propagaone degl error Voglamo rcavare le ncertee nelle msure ndrette. Abbamo gà vsto leone un prma stma degl error sulle grandee dervate valda n generale. Consderamo ora l caso specco d grandee aette da
DettagliLa likelihood. , x 3. , x 2. ,...x N
La lkelhood È dato un set d msure {x 1, x 2, x 3,...x N } (cascuna delle qual può essere multdmensonale) Supponamo che la pdf (f) dpenda da un parametro (anch'esso eventualmente multdmensonale) La verosmglanza
DettagliPREVEDONO: Capitolo 17 del libro di testo. Copyright 2005 The McGraw-Hill Companies srl
Le Inferenze sul modello d regressone PREVEDONO: Assunzone d normaltà degl error e nferenza su parametr Anals della Varanza Inferenza per la rsposta meda e la prevsone Anals de resdu Valor anomal Captolo
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TORINO CORSO DI LAUREA IN CHIMICA Dispense ad esclusivo uso introduttivo per il modulo di Fisica C
ELEMETI BASILARI DI TEORIA DEGLI ERRORI. VALOR MEDIO, DEVIAZIOE STADARD E VARIAZA S defnsce valor medo d un nseme d dat,,, la quanttà: () S defnsce varanza emprca dell nseme precedente la quanttà: σ ()
DettagliLa regressione lineare: relazioni funzionali
La regressone lneare: relazon funzonal Molte legg d nteresse fsco e ngegnerstco sono descrtte da relazon funzonal tra grandezze (varabl), delle qual la pù semplce è quella lneare (y=a+bx). Trovare una
DettagliPropagazione degli errori
Propagazone degl error Msure drette: la grandezza sca vene msurata drettamente (ad es. Spessore d una lastrna). Per questo tpo d msure, la teora dell errore svluppata nelle lezone precedent é sucente per
DettagliMisure Ripetute ed Indipendenti
Msure Rpetute ed Indpendent Una delle metodologe pù semplc per valutare l affdabltà d una msura consste nel rpeterla dverse volte, nelle medesme condzon, ed esamnare dvers valor ottenut. Ovvamente, una
DettagliC. Meneghini é una variabile aleatoria la cui funzione densitá di probabilitá é:
1 Uso della varable χ : test d verosmglanza e ft d dat. C. Meneghn meneghn@fs.unroma3.t a) La varable χ La varable χ : se z 1, z,... z ν sono varabl aleatore con dstrbuzone normale standard (N(0,1)) la
DettagliFRAME 1.1. Definizione Diciamo variabile aleatoria una funzione definita sullo spazio campionario di un esperimento a valori reali.
FRAME 0.1. Contents 1. Varabl aleatore 1 1.1. Introduzone 1 1.2. Varabl aleatore dscrete 2 1.3. Valore atteso (Meda) e Varanza 3 1.4. Varabl aleatore bnomal e d Posson 4 1.1. Introduzone. 1. Varabl aleatore
DettagliCORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE
CORRETT RPPREETZIOE DI U RIULTTO: LE CIFRE IGIFICTIVE Defnamo cfre sgnfcatve quelle cfre che esprmono realmente l rsultato d una msura, o del suo errore, coè che non sono completamente ncluse nell ntervallo
DettagliELEMENTI DI STATISTICA
ELEMENTI DI STATISTICA POPOLAZIONE STATISTICA E CAMPIONE CASUALE S chama popolazone statstca l nseme d tutt gl element che s voglono studare (ndvdu, anmal, vegetal, cellule, caratterstche delle collettvtà..)
DettagliCorso di. Dott.ssa Donatella Cocca
Corso d Statstca medca e applcata 3 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone I concett prncpal che sono stat presentat sono: Mede forme o analtche (Meda artmetca semplce, Meda artmetca
DettagliVariabili casuali. Variabili casuali
Varabl casual Assegnato uno spazo d probabltà (S, A, P[.]) s densce varable casuale una unzone avente come domno lo spazo de campon (S) e come codomno la retta reale. S Le varabl casual s ndcano con lettere
DettagliRelazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare
Dott. Raffaele Casa - Dpartmento d Produzone Vegetale Modulo d Metodologa Spermentale Febbrao 003 Relazon tra varabl: Correlazone e regressone lneare Anals d relazon tra varabl 6 Produzone d granella (kg
DettagliUniversità di Cassino Corso di Statistica 1 Esercitazione del 17/10/2006 Dott. Alfonso Piscitelli. Esercizio 1
Unverstà d Cassno Corso d Statstca Eserctazone del 7/0/006 Dott. Alfonso Psctell Eserczo Il seguente data set rporta la rlevazone d alcun caratter su un collettvo d 0 soggett. Soggetto Sesso Età Reddto
DettagliLaboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica
Laboratoro B A.A. 013/014 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Come rassumere un nseme d dat spermental? Una statstca è propro un numero calcolato a partre da dat stess. La Statstca
Dettagli3 (solo esame 6 cfu) Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica, modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu)
lement d Anals Numerca, Probabltà e Statstca, modulo 2: lement d Probabltà e Statstca ( cfu) Probabltà e Statstca (6 cfu) Scrtto del 06 febbrao 205. Secondo Appello Id: A Nome e Cognome: same da 6 cfu
DettagliPrincipio di massima verosimiglianza
Prncpo d massma verosmglana Sa data una grandea d cu s conosce la unone denstà d probabltà ; che dpende da un nseme de parametr ndcat con d valore sconoscuto. S vuole determnare la mglor stma de parametr.
DettagliPrincipio di massima verosimiglianza
Prncpo d massma verosmglana Sa data una grandea d cu s conosce la unone denstà d probabltà ; che dpende da un nseme de parametr ndcat con d valore sconoscuto. S vuole determnare la mglor stma de parametr.
DettagliEsame di Statistica tema B Corso di Laurea in Economia Prof.ssa Giordano Appello del 15/07/2011
Esame d Statstca tema B Corso d Laurea n Economa Prof.ssa Gordano Appello del 15/07/011 Cognome Nome Matr. Teora Dmostrare la propretà assocatva della meda artmetca. Eserczo 1 L accesso al credto è sempre
DettagliCapitolo 3. Cap. 3-1
Statstca Captolo 3 Descrzone Numerca de Dat Cap. 3-1 Obettv del Captolo Dopo aver completato l captolo, sarete n grado d: Calcolare ed nterpretare la meda, la medana e la moda d un set tdd dat Trovare
DettagliEsercizio statistica applicata all ingegneria stradale pag. 1
ESERCIZIO STATISTICA APPLICATA ALLA PROGETTAZIONE STRADALE SINTESI S supponga d avere eseguto 70 sure della veloctà stantanea de vecol che transtano nelle sezon d due strade A e B. S supponga che tal sure
DettagliCampo di applicazione
Unverstà del Pemonte Orentale Corso d Laurea n Botecnologa Corso d Statstca Medca Correlazone Regressone Lneare Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Campo
DettagliNOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI
NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI METODI PER LO STUDIO DEL LEGAME TRA VARIABILI IN UN RAPPORTO DI CAUSA ED EFFETTO I MODELLI DI REGRESSIONE Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra
DettagliRegressione e correlazione
Regressone e correlazone Corso d statstca socale prof. Natale Carra - Unverstà degl Stud d Bergamo a.a. 005-06 Regressone Questo modello d anals bvarata esamna le relazon fra coppe d varabl contnue. Un
DettagliTECNICHE DI ANALISI DEI DATI MODELLI LINEARI
TECNICHE DI ANALISI DEI DATI AA 16/17 PROF. V.P. SENESE Quest materal sono dsponbl per tutt gl student al seguente ndrzzo: https://goo.gl/rwabbd Seconda Unverstà d Napol (SUN) Dpartmento d Pscologa TECNICHE
DettagliUniversità di Cassino Corso di Statistica 1 Esercitazione del 28/01/2008 Dott. Alfonso Piscitelli. Esercizio 1
Unverstà d Cassno Corso d Statstca Eserctazone del 28/0/2008 Dott. Alfonso Psctell Eserczo Il seguente data set rporta la rlevazone d alcun caratter su un collettvo d 20 soggett. Soggetto Età Resdenza
DettagliCARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM
CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM I segnal random o stocastc rvestono una notevole mportanza poché sono present, pù che segnal determnstc, nella maggor parte de process fsc real. Esempo d segnale random:
DettagliDipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna. Modelli 1 lezione novembre 2011 Media e varianza
Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Modell 1 lezone 17 30 novembre 2011 Meda e varanza professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/23? Teorema er ogn funzone
Dettagli1) Dato un carattere X il rapporto tra devianza entro e devianza totale è 0.25 e la devianza totale è 40. La devianza tra vale: a) 10 b) 20 c) 30
1) Dato un carattere X l rapporto tra devanza entro e devanza totale è 0.25 e la devanza totale è 40. La devanza tra vale: a) 10 b) 20 c) 30 2) Data una popolazone normalmente dstrbuta con meda 10 e varanza
Dettagliuna variabile casuale è continuase può assumere un qualunque valore in un intervallo
Varabl casual contnue Se samo nteressat alla temperatura massma gornaleraquesta è una varable casuale msurata n un ntervallo contnuoe qund è una v.c. contnua una varable casuale è contnuase può assumere
Dettaglidi una delle versioni del compito di Geometria analitica e algebra lineare del 12 luglio 2013 distanza tra r ed r'. (punti 2 + 3)
Esempo d soluzone d una delle verson del compto d Geometra analtca e algebra lneare del luglo 3 Stablre se la retta r, d equazon parametrche x =, y = + t, z = t (nel parametro reale t), è + y + z = sghemba
DettagliVariabili statistiche - Sommario
Varabl statstche - Sommaro Defnzon prelmnar Statstca descrttva Msure della tendenza centrale e della dspersone d un campone Introduzone La varable statstca rappresenta rsultat d un anals effettuata su
DettagliTECNICHE DI ANALISI DEI DATI MODELLI LINEARI
TECNICHE DI ANALISI DEI DATI AA 017/018 PROF. V.P. SENESE Quest materal sono dsponbl per tutt gl student al seguente ndrzzo: https://goo.gl/hxl9zg Unverstà della Campana Lug Vanvtell Dpartmento d Pscologa
DettagliC.I. di Metodologia clinica
C.I. d Metodologa clnca I metod per la sntes e la comuncazone delle nformazon sulla salute Come possamo trarre concluson attendbl su parametr a partre dalle stme camponare? I metod per la produzone delle
DettagliMatematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Matematca II: Calcolo delle Probabltà e Statstca Matematca ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Eserctazone # 8 Gl esercz contrassegnat con (*) sono tratt da Eserc. 2002-2003- Prof. Secch # 0 - Statstca Matematca
DettagliLa verifica delle ipotesi
La verfca delle potes In molte crcostanze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazon possbl rferbl alla popolazone, è quella meglo sostenuta dalle evdenze emprche. Ipotes statstca:
DettagliIncertezza di sensibilità < fluttuazione intrinseca delle misure.
Error casual no ad ora abbamo correlato la bontà d una msura alla sensbltà degl strument utlzzat. Samo partt da una stuazone n cu effettuata una sere d msure rpetute, le msure hanno tutte dato lo stesso
DettagliFisica Generale I Misure di grandezze fisiche e incertezze di misura Lezione 3 Facoltà di Ingegneria Livio Lanceri
Fsca Generale I Msure d grandezze fsche e ncertezze d msura Lezone 3 Facoltà d Ingegnera Lvo Lancer Indce Abbamo mparato: Orgne e classfcazone delle ncertezze (error) d msura Rappresentazone delle ncertezze
DettagliAnalisi della Varianza
Anals della Varanza Esempo: Una ndustra d carta usata per buste per salumere vuole mglorare la resstenza alla trazone del propro prodotto. S rtene che resstenza alla trazone = f(concentrazone d legno nella
DettagliSistemi Intelligenti Introduzione al calcolo delle probabilità - II
Sstem Intellgent Introduzone al calcolo delle probabltà - II Alberto Borghese Unverstà degl Stud d Mlano Laborator of Appled Intellgent Sstems (AIS-Lab) Dpartmento d Informatca borghese@d.unm.t A.A. 05-06
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercz d Probabltà e Statstca Samuel Rota Bulò 25 maggo 2007 Funzon d v.a., meda, varanza, moda, medana, quantl e quartl. Vettor aleator, denst condzonata, covaranza, correlazone. Eserczo 1 Sa Y ax + b
DettagliLezione 2 a - Statistica descrittiva per variabili quantitative
Lezone 2 a - Statstca descrttva per varabl quanttatve Esempo 5. Nella tabella seguente sono rportat valor del tasso glcemco rlevat su 10 pazent: Pazente Glcema (mg/100cc) 1 1 =103 2 2 =97 3 3 =90 4 4 =119
DettagliIl procedimento può essere pensato come una ricerca in un insieme ordinato, il peso incognito può essere cercato con il metodo della ricerca binaria.
SCELTA OTTIMALE DEL PROCEDIMENTO PER PESARE Il procedmento può essere pensato come una rcerca n un nseme ordnato, l peso ncognto può essere cercato con l metodo della rcerca bnara. PESI CAMPIONE IN BASE
DettagliFisica Generale I Misure di grandezze fisiche e incertezze di misura Lezione 3 Facoltà di Ingegneria Livio Lanceri
Fsca Generale I Msure d grandezze fsche e ncertezze d msura Lezone 3 Facoltà d Ingegnera Lvo Lancer Indce Abbamo mparato: Orgne e classfcazone delle ncertezze (error) d msura Rappresentazone delle ncertezze
DettagliSTATISTICA PSICOMETRICA a.a. 2004/2005 Corsi di laurea. Scienze e tecniche neuropsicologiche Modulo 3 Statistica Inferenziale
STATISTICA PSICOMETRICA a.a. 004/005 Cors d laurea Scenze e tecnche neuropscologche Modulo 3 Statstca Inferenzale Probabltà Dstrbuzon d probabltà Dstrbuzon camponare Stma ntervallare Verfca delle potes
DettagliPrima prova di gruppo
Prma prova d gruppo Es. Una metodologa d anals produce fals postv nel 3% de cas e fals negatv nell % de cas. Calcolate quale è l esto pù probable (postvo o negatvo se due anals consecutve esegute sullo
DettagliCorrelazione, Regressione, Test non parametrici
Correlazone, Regressone, Test non parametrc Correlazone 1 Anals della Correlazone L anals della Correlazone è usata per msurare la forza dell assocazone (relazone lneare) tra due varabl Correlazone rguarda
DettagliRegressione lineare con un singolo regressore
Regressone lneare con un sngolo regressore Eduardo Ross 2 2 Unverstà d Pava (Italy) Marzo 2013 Ross Regressone lneare semplce Econometra - 2013 1 / 45 Outlne 1 Introduzone 2 Lo stmatore OLS 3 Esempo 4
DettagliRAPPRESENTAZIONE DI MISURE. carta millimetrata
carta mllmetrata carta mllmetrata non è necessaro rportare sul foglo la tabella (ma auta; l mportante è che sta da qualche parte) carta mllmetrata 8 7 6 5 4 3 smbolo della grandezza con untà d msura!!!
DettagliLezione 2 a - Statistica descrittiva per variabili quantitative
Lezone 2 a - Statstca descrttva per varabl quanttatve Esempo 5. Nella tabella seguente sono rportat valor del tasso glcemco rlevat su 10 pazent: Pazente Glcema (mg/100cc) 1 x 1 =103 2 x 2 =97 3 x 3 =90
DettagliIndici di posizione. Dove si trova la distribuzione? Qual è l ordine di grandezza dei dati?
Indc d poszone Dove s trova la dstrbuzone? Qual è l ordne d grandezza de dat? x La meda X assume n valor x, x 2,, x n n x = ( x ) + x2 + + xn = x n n = La meda ndca qual è l ordne d grandezza de dat Esempo
DettagliLezione 2 le misure di sintesi: le medie
Lezone le msure d sntes: le mede Cattedra d Bostatstca Dpartmento d Scenze spermental e clnche, Unverstà degl Stud G. d Annunzo d Chet-Pescara Prof. Enzo Ballone Lezone a- Statstca descrttva per varabl
Dettagli3 CAMPIONAMENTO DI BERNOULLI E DI POISSON
3 CAMPIOAMETO DI ROULLI E DI POISSO 3. ITRODUZIOE In questo captolo esamneremo due schem d camponamento che dversamente dal camponamento casuale semplce non producono campon d dmensone fssa ma varable.
DettagliINCERTEZZE DI MISURA
INCERTEZZE DI MISURA Introduzone L esgenza d raggungere un consenso nternazonale nella espressone dell ncertezza de rsultat d msura è stata l motvo prncpale che nel 993 ha condotto alla pubblcazone della
DettagliStudio delle oscillazioni del pendolo semplice e misura dell accelerazione di gravita g.
Studo delle oscllazon del pendolo semplce e msura dell accelerazone d ravta. Introduzone fsca Un pendolo semplce e costtuto da un flo d lunhezza L nestensble e d massa trascurable a cu e appesa un corpo
DettagliLa soluzione delle equazioni differenziali con il metodo di Galerkin
Il metodo de resdu pesat per gl element fnt a soluzone delle equazon dfferenzal con l metodo d Galerkn Tra le procedure generalmente adottate per formulare e rsolvere le equazon dfferenzal con un metodo
DettagliLa Regressione X Variabile indipendente o esplicativa. La regressione. La Regressione. Y Variabile dipendente
Unverstà d Macerata Dpartmento d Scenze Poltche, della Comuncazone e delle Relaz. Internazonal La Regressone Varable ndpendente o esplcatva Prezzo n () () 1 1 Varable dpendente 15 1 1 1 5 5 6 6 61 6 1
Dettagli