links utili:

Transcript

1 dspensa d Govann Bachelet Meccanca de Sstem, maggo 2003 lnks utl:

2 Momento della quanttà d moto d un corpo rgdo rspetto al centro d massa Abbamo vsto che l moto d un corpo rgdo, nel rfermento del laboratoro S, s può scomporre nel moto d traslazone del suo centro d massa r c e nella sua rotazone rspetto a r c. Da questa scomposzone s ottene anche P c, momento della quanttà d moto rspetto al centro d massa : v = v c + ω ( r r c ) ; Pc = ( r r c ) v = { r r c 2 ω ω ( r r c )] ( r r c ) } Scomponendo l vettore r r c = d c + h c nella somma d due vettor, uno parallelo h c = h c ˆω = (h h c ) ˆω e l altro d c = ( d d c ) perpendcolare all asse d rotazone ˆω, ottenamo po: P c = { (d 2 c + h 2 c) ω ωh c ( d c + h c ˆω) } = { d 2 c ω ωh c dc } = Ic ω + P c, dove I c ω è un vettore parallelo ad ω, l coeffcente I c = d 2 c > 0 è detto momento d nerza assale rspetto all asse d rotazone ˆω passante per r c, e P c = ω h c dc è un vettore perpendcolare a ˆω. La relazone fra P c e ω è qund una relazone lneare (ad esempo ad una veloctà angolare doppa corrsponde un momento della quanttà d moto doppo), ma n generale P c 0: due vettor non sono parallel. Tensore d nerza d un corpo rgdo L equazone qu sopra esprme nfatt una relazone lneare d tpo tensorale fra vettor P c e ω. Questa relazone, una volta scelta arbtraramente una terna cartesana ˆxŷẑ nel rfermento del laboratoro, può essere espressa n termn delle component cartesane de due vettor n questone e degl element d una matrce 3 3; tale matrce è la rappresentazone cartesana, nel partcolare rfermento scelto, del tensore d nerza rspetto al centro d massa: P cα = Iαβ c ω β, per α = x, y, x. Ovvero : β=x,y,x Dove Ixx c = r r c 2 (x x c ) 2] = P cx Ixx c Ixy c I c xz ω x P cy = Iyx c Iyy c Iyz c ω y P cz Izx c Izy c Izz c ω z (y y c ) 2 + (z z c ) 2] I c yy = I c zz = r r c 2 (y y c ) 2] = r r c 2 (z z c ) 2] = (x x c ) 2 + (z z c ) 2] (x x c ) 2 + (y y c ) 2] I c xy = I c yx = I c xz = I c zx = I c yz = I c zy = (x x c ) (y y c ) (x x c ) (z z c ) (y y c ) (z z c ) 2

3 Il tensore d nerza è legato ad una propretà ntrnseca del corpo: la dstrbuzone spazale delle sue masse rspetto al polo (può essere anche dverso dal centro d massa scelto qu). Gl element d matrce I c αβ della sua rappresentazone cartesana, nvece, dpendono dal partcolare orentamento della terna ˆxŷẑ scelta n S, propro come succede alle component cartesane de vettor. NB: un tensore è defnto, come un vettore, dalle sue propretà d trasformazone; uno scalare è un tensore d rango 0, un vettore è un tensore d rango, l nostro tensore d nerza è d rango 2... come mparerete prma o po n altr cors.] Ass prncpal e ass central La matrce Iαβ c è smmetrca. Questo garantsce che, con un opportuna rotazone degl ass coordnat, coè con una dversa ed opportuna scelta d ass ˆx ŷ ẑ, l tensore d nerza d quello stesso corpo sa rappresentato da una matrce Iαβ c dagonale (una matrce 3 3 fatta tutta d zer salvo tre element dagonal, dett autovalor). Trovare quest nuov ass ˆx ŷ ẑ equvale a dagonalzzare la matrce, ovvero trovare tre ass prncpal d nerza del corpo, e tre corrspondent autovalor. Quest ultm sono n generale dvers fra loro, e tre ass corrspondent non sono equvalent. Se però due autovalor sono ugual fra loro (l che succede n presenza d partcolar smmetre del corpo), allora due de tre ass prncpal rsultano equvalent; n questo caso qualunque drezone, nel pano ndvduato da que due ass, è ancora un asse prncpale. L esempo del clndro Dato un clndro omogeneo d massa M, raggo R e altezza h, se scelgo un sstema d rfermento con orgne nel centro del clndro ed ass ˆxŷẑ orentat n modo non partcolarmente furbo rspetto alle sue smmetre (ved fgura, a snstra), la matrce smmetrca Iαβ c che ne rappresenta l tensore d nerza ha tutt gl element dvers da zero; dagonalzzandola trovo la nuova terna cartesana ˆx ŷ ẑ (ved fgura, a destra) tale che la nuova matrce Iαβ c che rappresenta l tensore d nerza è dagonale; per un clndro omogeneo è la matrce: 2 Mh2 + 4 MR Mh2 + 4 MR MR2 I due autovalor relatv agl ass ˆx e ŷ sono ugual; l terzo, relatvo all asse ẑ, è dverso. L uguaglanza de due autovalor esprme l fatto che, n un clndro omogeneo, tutt dametr passant per l centro sono equvalent fra loro: nel pano ˆx ŷ ogn asse che passa per l centro del clndro è ancora un asse prncpale. 3

4 Se addrttura tutt e tre gl autovalor sono ugual, tutt e tre gl ass prncpal sono equvalent: qualunque drezone nello spazo è un asse prncpale. Solo n quest ultmo caso (che corrsponde alla pú alta smmetra possble, ad esempo quella d una sfera omogenea) la matrce che rappresenta l tensore d nerza è proporzonale alla matrce denttà, e rsulta qund dagonale qualsas sa l orentamento degl ass cartesan. La propretà degl ass prncpal, faclmente verfcable sulla base delle defnzon fornte, è che, se l corpo rgdo ruota attorno ad uno d ess, l suo momento della quanttà d moto è parallelo alla veloctà angolare (ovvero rsulta P c = 0). Se nvece l corpo rgdo ruota attorno ad un asse che non corrsponde a nessun asse prncpale, allora l suo momento della quanttà d moto avrà sa una componente parallela al vettore veloctà angolare, sa una componente perpendcolare P c 0. Fnora abbamo parlato d momento angolare e tensore d nerza rspetto al centro d massa r c. Gl ass cosí determnat non sono solo ass prncpal d nerza, ma anche ass central del corpo rgdo n questone (ass prncpal passant per l suo centro d massa); sono dett anche, per motv che vedremo, ass lber d rotazone. Momento angolare e tensore d nerza s possono però defnre rspetto a un polo qualunque r o, anche dverso da r c : ad esempo, se l corpo è vncolato a ruotare attorno ad un asse che non contene r c, convene pazzare l polo r o lungo quell asse, non n r c. Graze al teorema d Koeng del momento angolare sarà po facle mettere n relazone quanttà angolar defnte rspetto a due dvers pol. Le smmetre spazal d un corpo rgdo, se omogeneo, autano a ndvduare gl ass central del suo tensore d nerza. E facle nfatt convncers, sulla base delle defnzon nzal d queste dspense, che, se un corpo rgdo ruota attorno ad un propro asse d smmetra (che per defnzone passa per l centro d massa), allora P c = 0: un asse d smmetra è dunque un asse centrale. Momento d nerza assale e teorema d Huygens-Stener Se corp rgd omogene hanno ass d smmetra rconoscbl a vsta, ch non ama matrc e tensor può accontentars dell equazone P c = I c ω + P c e dstnguere due cas: (a) l asse d rotazone ˆω concde con un asse d smmetra, e allora l momento della quanttà d moto rspetto al centro d massa è parallelo al vettore veloctà angolare ω; (b) l asse d rotazone passa per l centro d massa ma non concde con un asse d smmetra, e allora l momento della quanttà d moto rspetto al centro d massa ha anche una componente perpendcolare ad ω. Sa nel caso (a) che nel caso (b) la componente parallela alla veloctà angolare è data da I c ω, dove I c = d 2 c, somma delle masse che compongono l corpo rgdo pesate col quadrato della loro dstanza dall asse d rotazone, è l momento d nerza assale rspetto all asse d rotazone. Se nvece l asse d rotazone non passa per l centro d massa, convene rferre l momento della quanttà d moto ad un polo r o che sa sull asse, qund non pú al centro d massa r c ; ma graze al teorema d Koeng del momento angolare P o = P c + ( r c r o ) M v c possamo scrvere: P o = ( I c + Md 2 c) ω + ( Pc Mωh c dc ) = I o ω + P o, dove r c r o, vettore dstanza fra polo e centro d massa, è stato scomposto nella somma d due vettor, uno parallelo all asse d rotazone h c = h c ˆω = (h c h o ) ˆω e l altro perpendcolare all asse d rotazone d c = ( d c d o ). Ottenamo cosí per l momento d nerza assale l rsultato noto come 4

5 teorema d Huygens-Stener: I o = I c + Md 2 c. In altre parole, dat due ass parallel a quello d rotazone ˆω, l prmo passante per r o e l secondo passante per r c, che s trova a dstanza d c dal prmo, due corrspondent moment d nerza del corpo rgdo dfferscono per una quanttà data dalla massa totale del corpo moltplcata per l quadrato della dstanza fra gl ass (NB: d c, componente d r c r o perpendcolare a ω, è propro questa dstanza). Per la propretà transtva, questo tpo d relazone sussste fra moment d nerza assal rspetto a qualsas coppa d ass parallel a e a : I a = I a + Md 2 aa, un rsultato molto utle nel calcolo de moment d nerza assal. Rotazon rspetto a un punto fsso Ora mostramo che, per far ruotare un corpo rgdo rspetto a un punto fsso r o non concdente col centro d massa r c, c vuole una rsultante delle forze esterne dversa da zero nel seguto mettamo l punto fsso nell orgne: r o = (0, 0, 0)]; e che, per farlo ruotare con veloctà angolare ω non dretta secondo un asse prncpale, c vuole un momento complessvo delle forze esterne dverso da zero. Nel caso generale (asse non prncpale e punto fsso dverso da r c ) abbamo nfatt: Q = M v c = M ω r c d Q dt = M d ω dt r c + ω ( ω r c ) = F ext 0 P o = I o ω + P o d P o dt d ω = Io dt + dω P ω dt o + ω P o = M o ext 0; per la seconda equazone abbamo tenuto conto che P o = ωa ˆP o con A costante (A dpende solo dalla dstrbuzone spazale delle masse gacché P c = ω h c dc e P o = P c Mωh c dc ); l versore ˆP o ruota nel pano perpendcolare all asse d rotazone con veloctà ω. La prma equazone dce che, anche se d ω/dt è zero (coè anche se l asse d rotazone ˆω è fsso e la veloctà angolare ω è costante nel tempo), occorre una rsultante delle forze esterne, n partcolare una forza centrpeta, per mantenere n rotazone un corpo rgdo attorno a un punto che non sa l suo centro d massa. La seconda equazone dce che P o, non appena è dverso da zero, dpende per forza dal tempo: anche se ω è costante, P o ruota nel pano perpendcolare a ω con veloctà angolare ω; cosí anche l ntero vettore P o =I o ω+ P o dpende dal tempo (ruota descrvendo un cono, precedendo attorno all asse d rotazone); qund la dervata temporale del vettore P o non è zero, e occorre un momento rsultante delle forze esterne per mantenere l corpo n rotazone attorno a quell asse. Infne, sempre nell potes d ω costante, non è dffcle dmostrare, sulla base delle defnzon fornte n precedenza, che sa F ext, sa M ext o, sono proporzonal a ω 2. Dalle equazon precedent consegue che un corpo rgdo, n assenza d forze e moment estern, può ruotare solo ntorno ad uno de suo ass central; per questo ess sono anche chamat ass lber d rotazone. Per mantenere un corpo rgdo n rotazone costante ntorno a un asse non centrale (o perché non passa per l centro d massa, o perché la drezone non è quella d un asse centrale, o tutte e due le cose) occorrono nvece forze e moment estern, sempre pú grand man mano che aumenta la veloctà angolare ω. Per questo è mportante, ad esempo per l elca d un aereo o per la ruota d un automoble, una perfetta equlbratura : una dstrbuzone d masse 5

6 tale che l asse d rotazone (tpcamente realzzato con un vncolo, come l mozzo della ruota) non sa soggetto a forze e moment estern che dventano rapdamente molto grand con l aumentare della veloctà angolare. Senza equlbratura, oltre una certa veloctà angolare, s spacca tutto. Un struttvo eserczo da fare per conto propro è verfcare le drezon de vettor F ext e M o ext, e capre fscamente a quale tpo d sollectazone è sottoposto l vncolo responsable d mantenere fsso l asse d rotazone, se quest ultmo non concde con un asse centrale del corpo ruotante. Rotazon rspetto a un asse fsso Se l asse è fsso nel tempo, la drezone d ω è costante nel tempo e l angolo θ(t) d rotazone del corpo attorno all asse determna completamente l moto (un solo grado d lbertà). Convene sceglere la terna cartesana del rfermento S n modo che sa ω = (0, 0, ω), coè n modo che l asse ẑ concda con l asse d rotazone del corpo (che può passare o meno per l centro d massa: per esempo per una porta sceglamo l asse ẑ lungo cardn), e rferre P o e I o ad un polo r o che s trov lungo tale asse; nel seguto sceglamo l orgne r o = (0, 0, 0). Con queste scelte θ(t) ubbdsce all equazone dfferenzale dp oz dt = I o dω dt = Io d2 θ dt 2 = M ext z. Una volta nota la componente z del momento complessvo delle forze esterne e le condzon nzal θ(t=0) e ω(t=0), ntegrando l equazone dfferenzale, ottenamo θ(t). Notamo qu l orgne del nome momento d nerza assale : nel moto rotatoro I o goca, rspetto all accelerazone angolare, lo stesso ruolo che goca la massa rspetto all accelerazone nel moto traslatoro. In partcolare vale un prncpo d nerza angolare: se la componente z (coè la componente lungo l asse fsso d rotazone) del momento complessvo delle forze esterne è nulla, l corpo s mantene ndefntamente n uno stato d quete o d moto rotatoro unforme, coè conserva la componente del momento della quanttà d moto parallela all asse fsso d rotazone. Una volta nota θ(t) sono naturalmente determnat anche Q=M ω r c e P o = ω h c dc Mωh c dc. Energa cnetca Nel rfermento del laboratoro S è possble scomporre l energa cnetca K d un sstema qualunque nella somma K = 2 Mv2 c + K, dove l prmo termne è la cosddetta energa del centro d massa e l secondo termne K è l energa cnetca nel centro d massa, coè rspetto ad un rfermento S che trasla col centro d massa (ma senza ruotare rspetto ad S). Nel rfermento S l centro d massa è fermo e un corpo rgdo può solo ruotare con veloctà ω. Ovvero n S la veloctà delle vare masse che compongono l corpo rgdo è v = ω r = ω ( r r c ), e qund K = 2 v 2 = 2 ω r 2 = 2 ω 2 d 2 = 2 I c ω 2 dove d è la componente perpendcolare ad ω d r = r r c, coè la dstanza della massa dall asse d rotazone passante per l centro d massa: anche nell energa cnetca rotazonale l momento d nerza assale goca un ruolo analogo alla massa nell energa cnetca traslazonale. 6