Riduzione degli schemi a blocchi

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1 Riduzione degli scemi a blocci Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con scemi a blocci, i cui elementi anno ciascuno un solo ingresso e una sola uscita. I blocci elementari per la rappresentazione di sistemi puramente algebrici sono: Negli scemi a blocci i diversi elementi sono collegati fra loro mediante i punti di diramazione e le giunzioni sommanti: Principali regole per la riduzione degli scemi a blocci:

2 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 2 Esempio di riduzione di scema a blocci G 4 = G 2G 3 +G 2 G 3 H G 5 = G G 4 +G G 4 H 2 B = B G 5 G G 2 Forma minima: c = G G 2 G 3 r + B G 3 d + G 2 G 3 H + G G 2 G 3 H 2

3 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 3 I grafi di flusso di segnale I grafi di flusso di segnale sono un mezzo, alternativo agli scemi a blocci, per la rappresentazione grafica dei sistemi complessi. Esempio: Rispetto agli scemi a blocci, essi forniscono una più semplice rappresentazione grafica del sistema. Un grafo di flusso di segnale è una rete composta di nodi e di rami orientati. I nodi indipendenti (o nodi sorgente) sono nodi a cui non giunge nessun ramo. I nodi dipendenti sono nodi ai quali giunge almeno un ramo. Ogni ramo è caratterizzato da un coefficiente o trasmittanza. Per i grafi di flusso di segnale esistono regole di riduzione ce sono simili a quelle degli scemi a blocci. Mediante riduzione, ogni grafo di flusso di segnale può essere portato in forma minima: Per calcolare la forma minima si utilizza la Formula di Mason

4 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 4 La formula di Mason Fornisce il coefficiente di trasmittanza T (ovvero la funzione di trasferimento) di ogni singolo ramo del grafo in forma minima: T = P i i P è l insieme degli indici di tutti i percorsi esistenti tra i due nodi considerati; P i è il coefficiente dell i-esimo percorso, cioè il prodotto dei coefficienti di tutti i rami ce compongono il percorso; è il determinante dell intero grafo; i è il determinante del grafo parziale ce si ottiene eliminando tutti i nodi e i rami appartenenti al percorso i-esimo. Il determinante ( i ) di un grafo si calcola nel modo seguente: := A i + A i A j A i A j A k +... i J (i,j) J 2 (i,j,k) J 3 i P dove A i è il coefficiente dell i-esimo anello; J è l insieme degli indici di tutti gli anelli del grafo; J n è l insieme delle n-ple di indici di tutti gli anelli del grafo ce non si toccano n ad n. Esempio. Calcolare la funzione di trasferimento G(s) = X (s) X 0 (s) = T ce, nel seguente grafo a flusso di segnale, lega la variabile di ingresso X 0 (s) alla variabile di uscita X (s):

5 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 5 Alcune precisazioni: PSfrag replacements Un percorso è una successione di rami e nodi adiacenti senza anelli in cui ogni nodo viene attraversato una sola volta. Il coefficiente P del percorso è il prodotto dei guadagni dei rami ce lo compongono. Esempio: e f g a b c d P = abcd Un anello è un percorso ciuso. Il coefficiente A dell anello è il prodotto dei guadagni dei rami ce lo compongono. Esempio: PSfrag replacements a b c d e f g A = bcd Due percorsi o due anelli non si toccano quando non anno nessun nodo in comune. Per calcolare il determinante di un grafo è necessario calcolare gli insiemi P, I, I 2, ecc. L insieme P = {, 2, 3} è l insieme degli indici di tutti i percorsi del grafo ce collegano il nodo sorgente 0 al nodo dipendente di uscita. Ad ogni indice si associa il coefficiente P i del corrispondente percorso: i = percorso: a b c d P = abcd i = 2 percorso: a e d P 2 = aed i = 3 percorso: a b f P 3 = abf

6 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 6 L insieme I = {, 2, 3, 4} è l insieme degli indici di tutti gli anelli del grafo. Ad ogni indice si associa il coefficiente A i del corrispondente anello: i = anello: e d A = ed i = 2 anello: b c d A 2 = bcd i = 3 anello: b f A 3 = bf i = 4 anello: g A 4 = g L insieme I 2 = {(, 4)} è l insieme delle COPPIE di indici degli anelli del grafo ce NON si toccano a due a due: gli anelli e 4 non si toccano I 2 = {(, 4)} L insieme I n = { } per n [3, 4,...] è l insieme delle n-ple di indici degli anelli del grafo ce NON si toccano a n a n: I 3 = I 4 =... = I n = { } Calcolati gli insiemi I, I 2,..., I n e i coefficienti A i di tutti gli anelli, il determinante del grafo si calcola utilizzando la formula: def = A i + A i A j A i A j A k +... i I (i,j) I 2 (i,j,k) I 3 Per il caso in esame si a ce i I A i = ed + bcd + bf + g, per cui: Osservazioni: = ed bcd bf g + edg (i,j) I 2 A i A j = edg Il determinante di un grafo dipende SOLO dalla struttura degli anelli, non dal particolare percorso tra i due nodi. Esso è dunque una proprietà del grafo. Per quanto detto, tutti i rami del grafo in forma minima sono caratterizzati dallo stesso determinante.

7 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 7 ag replacements I determinanti i, per i [, 2, 3], dei grafi parziali associati ai percorsi P i si calcolano nello stesso modo del determinate. Il determinante 2 del percorso 2 (a, e, d), per esempio, si calcola eliminando tutti i rami e tutti i nodi appartenenti al percorso 2. Successivamente si a cancellano bc tutti i rami ce partono o arrivano in un nodo precedentemente eliminato (rami b, c, f, ). Il determinante 2 del grafo parziale (anello g) è quindi il seguente: 2 = g. d e f g e a b c d 0 g f Nel caso in esame, i determinanti i dei grafi parziali associati ai percorsi P i sono i seguenti: i = P = abcd = i = 2 P 2 = aed 2 = g i = 3 P 3 = abf 3 = Il numeratore della formula di Mason è quindi il seguente: P i i = abcd() + aed( g) + abf() i P La funzione di trasferimento G(s) = X (s) X 0 (s) = T ce nel grafo in forma minima collega l ingresso 0 all uscita è quindi la seguente: T = abcd + aed( g) + abf ed bcd bf g + edg

8 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 8 Esempio : f g 0 a b c d e l Nel grafo sono presenti quattro percorsi di segnale P = a f e, P 2 = a b g e, P 3 = a b c, P 4 = a b c d e e i cinque anelli A = f e m, A 2 = b g e m, A 3 = b c m, A 4 = b c d e m, A 5 = c l Funzione di trasferimento: T = 0 = acements Esempio 2: a b c d e f g Funzione di trasferimento: m a f e( c l) + a b g e + a b c + a b c d e f e m b g e m b c m b c d e m c l + f e m c l y = A D B C + E (+B C) + B C + C D F

9 replacements.2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 9 a b c d e f g Esempio 3: Funzione di trasferimento: Esempio 4: placements a b c d e f g Funzione di trasferimento: y = G G 2 + G H + G 2 H 2 + G G 2 C(s) R(s) = G G 2 G 3 + G H G 3 + G G 2 G 3 + G H G 3 + G 2 H 2 + G 2 G 3 H 3 + H G 3 H 3

10 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 0 Esempio 5. Scema a blocci di un motore in corrente continua: V E ω m K e R + Ls b + Js I a K e C m C e Il legame in forma minima tra la variabile di uscita ω m (s) e le variabili di ingresso V (s) e C e (s) è il seguente: ω m (s) = G (s)v (s) + G 2 (s)c e (s) dove G (s) lega l ingresso di controllo V (s) all uscita ω m (s) G (s) = ω m(s) V (s) = K e K e (R + L s)(b + J s) K 2 = e (R + L s)(b + J s) + Ke + 2 (R + L s)(b + J s) mentre G 2 (s) lega l ingresso di disturbo C e (s) all uscita ω m (s): G 2 (s) = ω m(s) C e (s) = (b + J s) (R + L s) Ke 2 = (R + L s)(b + J s) + Ke + 2 (R + L s)(b + J s)

11 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 Esempio 5. Scema a blocci di una frizione idraulica: P P A F F m Q K v C m s Q A b+m p s ẋ K m s 0 Utilizzando la formula di Mason e le seguenti variabili ausiliarie G = K v, G 2 = C m s, G 3 = b + m p s, si ottiene la funzione di trasferimento G(s) del sistema: G 4 = K m s G(s) = F m(s) P (s) = A G G 2 G 3 G 4 + G G 2 + A 2 G 2 G 3 + G 3 G 4 + G G 2 G 3 G 4 ce sostituendo diventa: G(s) = AK m K v C m m p s 3 + (C m b + K v m p )s 2 + (A 2 + C m K m + K v b)s + K m K v

12 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 2 Esempio. Sia dato il seguente sistema dinamico retroazionato: d (t) d 2 (t) r(t) e(t) s s y(t) Calcolare il valore a regime della variabile e(t) in presenza dei seguenti segnali: r(t) = t, d (t) = e d 2 (t) =. Si opera con le trasformate di Laplace e si applica la sovrapposizione degli effetti: E(s) = R(s) 2 s D (s) D 2 (s) + 2 s(s + 2) = s(s + 2)R(s) 2(s + 2)D (s) s(s + 2)D 2 (s) s 2 + 2s + 2 Essendo R(s) = s 2 e D (s) = D 2 (s) =, si a ce: s E(s) = (s + 2) 2(s + 2) s(s + 2) s(s 2 + 2s + 2) Applicando il teorema del valore finale si ricava: lim t = 2 e(t) = lim se(s) = s 0 (s + 2)( 2 s) s(s 2 + 2s + 2) = 2