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1 D1. Retta D1.1 Equazione implicita ed esplicita Ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta sul piano cartesiano (e viceversa). Si può scrivere un equazione di primo grado in due incognite in vari modi tra cui l equazione implicita e quella esplicita. EQUZIONE IMPLICIT: a+b+c=0 - tutto a primo membro - EQUZIONE ESPLICIT: =m+q - la da sola a primo membro Come passare da una forma all altra: ESPLICIT IMPLICIT SI PORT TUTTO PRIMO MEMRO E SI METTE IN ORDINE. Esempio D1.1: Portare la retta =-3 in forma implicita. = =0 IMPLICIT ESPLICIT SI PORT L PRIMO MEMRO E TUTTO IL RESTO SECONDO MEMRO. Esempio D1.: Portare la retta +3-5=0 in forma esplicita. +3-5=0 3=-+5 3 = = D1. Rappresentazione grafica (per punti) Questo paragrafo e quello successivo trattano gli stessi argomenti del capitolo 6 relativo alla soluzione grafica dei sistemi di primo grado. PROCEDIMENTO PER RPPRESENTRE GRFICMENTE UN RETT Si deve portare la retta in forma esplicita. Si assegnano due valori qualunque alla e si trovano così due valori della. Si trovano in questo modo due punti. Si uniscono e si disegna la retta. Esempio D1.3: Rappresentare graficamente la retta = ( ) = 0 + 1= 1 si è trovato il punto (0;1) = 1 + 1= 1+ 1= 0 si è trovato il punto (;0) ( ) (0;1) (;0) =-1/+1 Fig. D1.1 Grafico della retta = Teoria D1-1

2 Esempio D1.4: Rappresentare graficamente la retta = =3 1-=1 si è trovato il punto (1;1) =3 -=4 si è trovato il punto (;4) =3- (;4) (1;1) D1.3 Rappresentazione grafica (m e q) RETTE ORIZZONTLI Le equazioni del tipo =k rappresentano rette orizzontali. Fig. D1. Grafico della retta = + 3 Esempio D1.5: Rappresentare graficamente le rette =; =0 (asse ); =-3/; =-4. = =0 =-3/ =-4 RETTE VERTICLI Le equazioni del tipo =k rappresentano rette verticali. Fig. D1.3 Grafico delle rette =, =0, = 3, =-4. Esempio D1.6: Rappresentare graficamente le rette =; =0 (asse ); =-3/; =-4. Teoria D1-

3 =-4 =-3/ = =0 RETTE OLIQUE Le rette oblique sono nella forma =m+q q è l intersezione della retta con l asse. Se m è positivo la retta sale. Se m è negativo la retta scende. m è una frazione: di quanto si va in su o in giù di quanto ci si sposta verso d Esempio D1.7: Rappresentare graficamente la retta = utilizzando m e q. (E la stessa dell esempio D1.3) Si parte da +1 sull asse perché q=1. Si scende (m negativo) di 1 e ci si sposta verso d di. Fig. D1.4 Grafico delle rette =, =0, = 3, =-4. q=1 si scende di 1 ci si sposta verso destra di =-1/+1 Fig. D1.5 Grafico della retta = con m e q. Esempio D1.8: Rappresentare graficamente la retta = + 3 utilizzando m e q. (E la stessa dell esempio D1.4) Si parte da perché q=- Si sale (m positivo) di 3 e ci si sposta di 1 (m è 3/1). Teoria D1-3

4 =3- ci si sposta verso destra di 1 si sale di 3 q=- D1.4 Riconoscimento di rette dal grafico Dal grafico è spesso possibile determinare l equazione della retta rappresentata. RETT ORIZZONTLE = numero RETT VERTICLE = numero RETT OLIQU q è l intersezione con l asse. Se m è positivo la retta sale, se m è negativo la retta scende. m è una frazione: di quanto si va in su o in giù di quanto ci si sposta verso d Se q ed m sono facilmente individuabili dal grafico si può scrivere direttamente l equazione della retta =m+q. Se invece non lo sono allora si devono trovare due punti esatti (dal grafico) e utilizzare la formula al paragrafo D1.7 (Retta per due punti) Ecco qualche esempio: Esempio D1.9: Determinare l equazione della retta in figura D1.7: Fig. D1.6 Grafico della retta = + 3 con m e q. r Fig. D1.7 Determinare l equazione della retta orizzontale in figura. La retta r è orizzontale ad altezza. L equazione della retta è dunque =-. Esempio D1.10: Determinare l equazione della retta in figura D1.8: La retta è verticale e passa per tutti i punti di ascissa 3,5 che in frazioni è 7. L equazione della retta s è = 7. Teoria D1-4

5 s Esempio D1.11: Determinare l equazione della retta obliqua in figura D1.9: Fig. D1.8 Determinare l equazione della retta verticale in figura. r m +1 q Si vede dal grafico che q=-. La retta sale di 1 e si sposta verso destra di quindi m = 1. La retta r ha equazione = 1. Fig. D1.9 Determinare l equazione della retta obliqua in figura. Esempio D1.1: Determinare l equazione della retta obliqua in figura D1.10: s Fig. D1.10 Determinare l equazione della retta obliqua in figura. Si vede che m è negativo (la retta scende), e che q è positivo (la retta interseca l asse sopra l origine), ma non è chiaro quanto valgono m e q. Si nota però che la retta passa esattamente per i punti (-3;4) e 7; 3 e pertanto si può utilizzare la formula che si studierà successivamente nel paragrafo D1.7. Se non si fossero trovati due punti esatti non sarebbe stato possibile determinare l equazione della retta dal grafico ma solo una sua approssimazione. Teoria D1-5

6 D1.5 Distanza tra due punti DTI: due punti ( 1, 1) e (, ). RISULTTO: la distanza tra i due punti (unità di misura: quadretto). Se i due punti sono sulla stessa orizzontale (o verticale) basta contare i quadratini. In caso non si riesca a contare il numero di quadretti perché non sono un numero intero si usa la seguente formula: PUNTI SULL STESS RETT VERTICLE ( 1= ) d= - 1 PUNTI SULL STESS RETT ORIZZONTLE ( 1= ) d= - 1 Se i due punti non sono sulla stessa retta orizzontale o verticale si usa la seguente formula: ( ) ( ) d = La formula appena vista non è altro che il teorema di Pitagora, come mostrato in figura D1.11: Fig. D1.11 Distanza tra due punti. E perciò possibile, se si riescono a contare i quadretti (come in questo caso), utilizzare direttamente il teorema di Pitagora senza passare per la formula e risparmiando così un passaggio. Casi notevoli Ci sono alcuni casi di distanza tra due punti che è meglio conoscere perché capitano frequentemente negli esercizi: d=. Infatti per il teorema di Pitagora d= =. d =. Infatti si nota che la distanza è il doppio della precedente. d = 5. Infatti per il teorema di Pitagora d = + 1 = 5. d = 5. Infatti si nota che la distanza è il doppio della precedente. Si può ovviamente ripetere tale ragionamento anche nei casi in cui le distanze siano il triplo, la metà, eccetera. d = 10. Infatti per il teorema di Pitagora d = = 10. d = 13. Infatti per il teorema di Pitagora d = + 3 = 13. d = 5. Infatti per il teorema di Pitagora d = = 5 = 5. Fig. D1.1 Casi notevoli di distanza tra due punti. Teoria D1-6

7 Esempio D1.13: Trovare la distanza tra (-4;-) e (1;). 5 4 Fig. D1.13 Trovare la distanza tra due punti con il teorema di Pitagora. Per il teorema di Pitagora d= = 41. Esempio D1.14: Trovare la distanza tra (-1;3) e (4;3). 5 Fig. D1.14 Trovare la distanza tra due punti sulla stessa retta orizzontale. La distanza è, ovviamente, d=5. Con la formula si ha: d= - 1 = 4-(-1) = 4+1 = 5 =5. Esempio D1.15: Trovare la distanza tra 3; 3 ) e 3; Si usi la formula per la distanza tra due punti sulla stessa verticale: d= - 1. d = = = = Fig. D1.15 Trovare la distanza tra due punti sulla stessa retta verticale. Teoria D1-7

8 Esempio D1.16: Trovare la distanza tra (-1;3) e (;0). 3 3 La diagonale di un quadratino è. La distanza da calcolare è 3 volte la diagonale di un quadratino quindi la misura cercata è d=3. Non c è bisogno di utilizzare la formula, che comunque darebbe lo stesso risultato. Esempio D1.17: Trovare la distanza tra 1; 11 4 e 5; 3 4. Fig. D1.16 Trovare la distanza tra due punti. Fig. D1.17 Trovare la distanza tra due punti. Si utilizza la formula generica per la distanza tra due punti: d= ( ) + 85 ( ) = = ( 3) + = ( 3) + = = = 85 = Esempio D1.18: Trovare la distanza tra (-6;-3) e (4;3) 10 6 Fig. D1.18 Trovare la distanza tra due punti. Teoria D1-8

9 Per il teorema di Pitagora: = = 136 = 34. d= Per passare dalla radice di 136 a volte la radice di 34 si deve portare fuori dalla radice: 136 il va fuori radice il 34 resta dentro radice D1.6 Punto medio di un segmento Il punto medio di un segmento si può trovare graficamente evitando così di svolgere calcoli. Nel caso non sia chiaro determinare dal grafico le coordinate del punto medio si utilizza la seguente formula. DTI: due punti ( 1, 1) e (, ). RISULTTO: Il punto medio P m( m, m). Formula del punto medio: P m ; Esempio D1.19: Trovare il punto medio di con (-3;-) e (1;). Pm Fig. D1.19 Trovare il punto medio di un segmento. Si vede dal grafico che il P m è (-1;0). Se si utilizzasse la formula si troverebbe ovviamente lo stesso risultato. Esempio D1.0: Trovare il P medio di con (-1;3) e 7; 3 4. Pm Fig. D1.0 Trovare il punto medio di un segmento. Non si vedono esattamente dal grafico le coordinate del punto medio perciò si utilizza la formula: P m ; ; ; ; = = = Teoria D1-9

10 D1.7 Retta per due punti La retta passante per due punti si può trovare graficamente evitando così di svolgere calcoli. Nel caso non si riesca a determinare m e q dal grafico si utilizza la formula seguente. DTI: due punti ( 1, 1) e (, ) RISULTTO: L equazione della retta passante per i due punti Formula: 1 1 = 1 1 N.. Tale formula NON FUNZION per le rette orizzontali e verticali. In caso di rette orizzontali o verticali l equazione si trova sempre dal grafico. Esempio D1.1: Trovare la retta passante per i due punti (-3;3) e (6;-3). - q m 3 Fig. D1.1 Trovare l equazione della retta passante per due punti. Si vede dal grafico che q=1 ed m = quindi la retta è = Esempio D1.: Trovare la retta passante per i due punti (-1;3) e 1; 5. Fig. D1. Trovare l equazione della retta passante per due punti. La retta è verticale quindi è del tipo =k. In questo caso per tutti e due i punti l ascissa è -1 quindi la retta ha equazione =-1. Esempio D1.3: Trovare la retta passante per i due punti 5; 9 e (3;1). Teoria D1-10

11 m 1 1 q Si determinano dal grafico q=- ed m=1 quindi la retta ha equazione =-. Esempio D1.4: Trovare la retta passante per (-1;3) e 7; 3 4. Fig. D1.3 Trovare l equazione della retta passante per due punti. Fig. D1.4 Trovare l equazione della retta passante per due punti. Non si riescono a determinare esattamente dal grafico i valori di m e q perciò si utilizza la formula: = + = + = ( 3) 4 = ( + 1 ) = = = = 10 6 = D1.8 Intersezione Il punto d incontro di due rette si può trovare direttamente dal grafico. Nel caso non sia chiaro il punto d incontro tra le due rette si risolve il sistema con le equazioni delle rette. DTI: due rette r, s. RISULTTO:Il punto d incontro delle rette. Formula: Si risolve il sistema di equazioni tra le due rette. Il risultato del sistema è il punto d intersezione. Questo argomento è stato già trattato approfonditamente nel capitolo 6. D1.9 Retta per un punto Le rette passanti per un punto sono infinite, pertanto per trovare una particolare retta passante per un punto si deve conoscere anche il coefficiente angolare m. Ci sono vari casi: m è dato dal testo. viene data una retta parallela a quella da trovare m 1=m. viene data una retta perpendicolare a quella da trovare m 1=-1/m. Teoria D1-11

12 La retta può essere trovata dal grafico. Nel caso non siano chiari dal grafico m e q si usa la formula. DTI: un punto ( 1, 1) ed m oppure un punto ( 1, 1) e una retta parallela o perpendicolare alla retta da trovare. RISULTTO: La retta passante per il punto con m dato. Formula: - 1=m(- 1) Tale formula rappresenta il fascio proprio di rette. N.. La formula non funziona per le rette verticali perché non hanno m! In tal caso l esercizio si risolve esclusivamente dal grafico. Il fascio improprio di rette (parallele) ha equazione: =m+k l variare di k si trovano le infinite rette parallele di coefficiente angolare m. Esempio D1.5: Trovare la retta passante per (-1;4) con m = q m 1 Fig. D1.5 Trovare l equazione della retta passante per un punto conoscendo m. Si traccia il punto (-1;4) e da quel punto (m=-3) si scende di 3 e ci si sposta di 1. Dal grafico si vede che q=1 per cui la retta è =-3+1. Con la formula: -4=-3(+1) -4=-3-3 = da cui =-3+1. Ovviamente il risultato è lo stesso. Esempio D1.6: Trovare la retta pass. per (-;-4) parallela a =-5. m 1 q Fig. D1.6 Trovare l equazione della retta passante per un punto parallela a una retta data. Dire parallela a =-5 equivale a dire m=. Si traccia il punto (-;-4) e da quel punto si sale di e ci si sposta verso destra di 1. Si determina dal grafico q=0 per cui la retta è =. Con la formula: +4=(+) +4=+4 =+4-4 da cui =. Ovviamente il risultato è lo stesso. Teoria D1-1

13 Esempio D1.7: Trovare la retta passante per (-1;0) perpendicolare a = m 3 q Dire perpendicolare a = + 1 equivale a dire m = 3. 3 Si traccia il punto (-1;0) e da quel punto ( m = 3) si sale di 3 e ci si sposta verso destra di. Dal grafico si determina q=3/ per cui la retta è = Con la formula: 3 ( ) 0 = + 1 = e il risultato è ovviamente lo stesso Fig. D1.7 Trovare l equazione della retta passante per un punto perpendicolare a una retta data. Esempio D1.8: Trovare la retta pass. per (3;5) parallela alla retta =15,73. Fig. D1.8 Trovare l equazione della retta passante per un punto parallela a una retta verticale. La retta =15,73 è una retta verticale cioè del tipo = numero. La parallela che si sta cercando passa per il punto (3;5) ed è anch essa verticale ossia del tipo = numero. Tracciando la retta verticale passante per si vede dal grafico che la retta cercata è =3. Si noti che non è possibile usare la formula perché la retta cercata è verticale e le rette verticali non hanno m. Esempio D1.9: Trovare la retta passante per (-5;3) perpendicolare a =3-6. Dire perpendicolare a =3-6 equivale a dire m = 1. Si traccia il punto (-5;3) e da quel punto si scende di 1 e ci si 3 sposta di 3. Non si riesce a determinare dal grafico il valore esatto di q per cui si usa la formula: 3 = 1( + 5 ) 3 = 1 5 = = = q è quindi 4/3 1,3 ed è un valore coerente con il grafico. Se q fosse venuto 3, sicuramente c era qualche errore! Teoria D1-13

14 m -1 3 q? Fig. D1.9 Trovare l equazione della retta passante per un punto perpendicolare a una retta data. D1.10 Distanza di un punto da una retta La distanza di un punto da una retta è difficile da trovare dal grafico perciò si consiglia di usare sempre la formula. DTI: una retta r (a+b+c=0 in forma implicita) e un punto ( 1, 1). RISULTTO: la distanza tra e r (la distanza è un numero). Formula: a1 + b1 + c d = a + b Esempio D1.30: Trovare la distanza tra il punto (3;-1) e la retta =+1. d Il segmento che indica la distanza deve passare per ed essere perpendicolare alla retta data. Non CIRC perpendicolare, ma ESTTMENTE perpendicolare. Per tracciarlo correttamente si considera che m della retta data è 1, quindi il segmento perpendicolare avrà m=-1. Si trasforma la retta =+1 in forma implicita; portando tutto a primo membro si ottiene -+-1=0. Pertanto si hanno i seguenti valori: a=-1; b=+1; c=-1; 1=3; 1= d = = = = 5 = ( 1) + ( 1) Esempio D1.31: Trovare la distanza tra il punto (0;4) e la retta = nche in questo caso il disegno deve essere preciso, per questo il segmento che indica la distanza deve scendere di 3 e spostarsi di 1. 3= 4 Per prima cosa si scrive la retta in forma implicita: 1 4 = 3= = Pertanto si hanno i seguenti valori: a=-1; b=+3; c=+4; 1=0; 1= d = = = = = = ( 1) + ( 3) Fig. D1.30 Trovare la distanza tra un punto e una retta. Teoria D1-14

15 d Esempio D1.3: Trovare la distanza tra il punto (4;3) e la retta = 1 Fig. D1.31 Trovare la distanza tra un punto e una retta. d Fig. D1.3 Trovare la distanza tra un punto e una retta. Se si traccia correttamente il segmento che indica la distanza si riesce a determinare dal grafico la distanza d = 5. Se si vogliono invece svolgere i calcoli si trasforma la retta = 1 in forma implicita: 1 = = + = 0. Si determinano quindi i valori: a=1; b=; c=0; 1=4; 1= d = = = = = = ( 1) + ( ) Esempio D1.33: Trovare la distanza tra il punto (;-) e la retta =1. d Fig. D1.33 Trovare la distanza tra un punto e una retta. Se si traccia correttamente il segmento che indica la distanza si vede che d=3. Se si vogliono svolgere i calcoli si trasforma la retta =1 in forma implicita. Teoria D1-15

16 =1-1=0. Si determinano quindi i valori: a=0; b=1; c=-1; 1=; 1= d = = = = ( 0) + ( 1) D1.11 Tabella riassuntiva formule Si deve tener presente che in questo argomento si ha a che fare con 3 tipi di oggetti: I punti, che hanno una coordinata e una. ( 1, 1) Le rette, che sono equazioni. =m+q oppure a+b+c=0 Le distanze, che sono numeri. La tabella riassuntiva qui sotto serve per chiarire per ogni formula di quali dati si ha bisogno e che tipo di oggetto si trova. Nome formula Formula Dati Risultato 1 1 Distanza tra due punti d = ( ) + ( ) Due punti ( 1, 1) (, ) Un numero Punto medio di un segmento P m ; Due punti ( 1, 1) (, ) Un punto Retta per due punti 1 1 = 1 1 Due punti ( 1, 1) (, ) Una retta Retta per un punto - 1=m(- 1) Un punto ( 1, 1) e m oppure una retta parallela m 1=m perpendicolare m 1 1 = m Una retta Intersezione Sistema Due rette Un punto Distanza di un punto da una retta a1 + b1 + c d = a + b Un punto ( 1, 1) e una retta in forma implicita a+b+c=0 Un numero Teoria D1-16

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