Silvia Terzi Dipartimento di Economia Università Roma TRE

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1 Quadern d Statstca Vol.??, 200? Graduatore della qualtà della vta e loro sensbltà al pre-trattamento delle varabl che la defnscono: alcune crtche al Dosser de Il Sole 24 Ore. Slva Terz Dpartmento d Economa Unverstà Roma TRE E-mal: terz@unroma3.t Luca Moron Dpartmento d Economa Unverstà Roma TRE E-mal: moron@unroma3.t Summary: When constructng a composte ndcator a choce has to be made for what concerns a lnk functon and prelmnary varable transformatons. However, these choces cannot be ndependent. For nstance, when an addtve lnk functon s used (such as the average of transformed varables) the mplct assumpton s that of equal weghts of smple ndcators; however, f the orgnal varables are not all lnearly transformed, the mathematcal relatonshp between the composte ndcator and the orgnal varables s not defnable. Ths s eactly the case of the survey on the Qualty of lfe n the Italan provnces, produced each year by the fnancal newspaper Il Sole 24 ore. The man am of the survey s not to measure the latent varable qualty of lfe, but rather to rank the 03 Italan provnces. In ths paper we attempt to study the nfluence of the varable transformatons adopted n the survey on the fnal classfcaton, argung n favour of lnear scale- and-translaton- nvarant varable transformatons. eywords: Composte ndcators, Qualty of lfe, Varable transformatons.

2 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 2. Introduzone Esstono n letteratura dvers metod per costrure ndcator sntetc. Il comune presupposto è una assunzone teorca crca la relazone matematca che lega l ndcatore sntetco alle varabl su cu s basa; tale assunzone comporta l ndvduazone d una funzone aggregatrce (meda artmetca semplce o meda artmetca ponderata; pes ndvduat da espert o pes rcavat da dat stess), ed l pretrattamento a cu sottoporre le varabl (elmnazone dell untà d msura, standardzzazone, trasformazone n rangh). Dverse combnazon d una funzone lnk e d funzon che permettano d trasformare le varabl d partenza n dat omogene produrranno ndcator sntetc dvers; d conseguenza anche nell ambto degl ndcator d qualtà della vta sono state formulate numerose proposte (ved, tra gl altr, Lauro (2003), Pagnotta (2003), Dosser Itala Ogg (200)). Nel presente lavoro, rpercorreremo la metodologa utlzzata da Il Sole 24 ore per stlare la classfca della qualtà della vta nelle provnce talane (Dosser Qualtà della Vta 2003), per fare luce soprattutto su alcune mplcazon delle scelte effettuate nella fase d pre-trattamento delle varabl. Pertanto, senza entrare nel merto della scelta d qual varabl utlzzare né della mglore funzone aggregatrce, partremo dalla stessa scelta de Il Sole 24 ore, ovvero 36 ndcator da loro ndvduat e la meda artmetca semplce come ndce d sntes. La meda artmetca delle varabl trasformate fornsce puntegg global delle sngole provnce, sulla cu base vene stlata la classfca fnale. Il nostro obettvo è valutare la sensbltà della classfca fnale alle dverse trasformazon che s possono effettuare, n modo da stmolare una rflessone crtca sul metodo pù coerente con requst d neutraltà che un ndcatore sntetco d questo tpo dovrebbe avere. Il punto d partenza della nostra crtca alla metodologa utlzzata da Il Sole 24 ore è che alcune delle 36 varabl su cu s basa l ndcatore qualtà della vta (Q.d.V.) vengono sottoposte ad una trasformazone non lneare. Non rsulta qund possble esprmere n manera analtca la relazone che le lega all ndcatore sntetco. S tratta d una crtca non nuova n letteratura, ben argomentata n Attanaso e Capurs (997).

3 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 3 Sulla loro sca, per valutare le conseguenze della non-lneartà sull ndcatore sntetco e qund sulla classfca pubblcata da Il Sole 24 ore, lo confrontamo con alcun ndcator basat su trasformate lnear. Tal confront saranno volt non tanto ad ndvduare la mglore stma della graduatora della varable latente Q.d.V. (come accade nel paper ctato), bensì l effetto che le trasformazon non lnear hanno sulla classfca fnale. Il lavoro s artcola nel seguente modo: paragraf 2 e 3 sono dedcat prevalentemente alle trasformazon lnear ed hanno un carattere ntroduttvo al problema. Dopo aver llustrato alcune caratterstche delle trasformazon utlzzate nel Dosser de Il Sole 24 ore, le confrontamo con alcune delle trasformazon lnear pù frequentemente proposte n letteratura, argomentando a favore della scelta d trasformazon lnear nvarant per traslazone (paragrafo 2). Inoltre, esplctando la relazone che lega l ndcatore sntetco alle varabl non trasformate (cosa possble solo nel caso n cu s abbano trasformazon lnear) defnamo l contesto formale e la smbologa pù approprata per lo studo della sensbltà dell ndcatore composto Q.d.V. alle trasformazon utlzzate (paragrafo 3). Ne paragraf 4 e 5, entrando nel vvo del nostro contrbuto, studamo la sensbltà della graduatora fnale alle dverse trasformazon llustrate ne paragraf precedent. Cò è possble solo comparatvamente, coè attraverso l confronto tra graduatore ottenute medante un dverso pre-trattamento delle medesme varabl. Qund, dopo aver ntrodotto alcun strument necessar per ndvduare le cause delle maggor dfferenze tra ndcator sntetc basat su trasformazon lnear dfferent, confrontamo tra loro le classfche che ne dervano (paragrafo 4); nfne (paragrafo 5) confrontamo tal graduatore con la classfca de Il Sole 24 ore, sa per ndvduare le conseguenze della non-lneartà sulla graduatora fnale, che per msurarne l ncdenza.

4 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 4 2.Trasformazone delle varabl 2. Elmnazone dell untà d msura Il prmo passo nella costruzone d un ndcatore sntetco consste nel trasformare le varabl d partenza n ndcator semplc, admensonal e qund aggregabl. Posto che s vogla dare (o 000) alla provnca con la performance mglore, posto che s sa osservata una varable X che caratterzz n postvo la qualtà della vta (ovvero che sa postvamente correlata con la Q.d.V.), la trasformazone da utlzzare potrà essere: t ma( ) () dove ma( ) ma ( ). Meno ovva la trasformazone a cu {,..., n} sottoporre le varabl che caratterzzano n negatvo la Q.d.V. (negatvamente correlate). La trasformata utlzzata da Il Sole 24 ore è la seguente: y mn( ) (2) e la logca sottostante é che le varabl negatvamente correlate con la qualtà della vta vengono prma trasformate ne loro recproc e po normalzzate secondo la () rapportandole al massmo. Tuttava tale procedmento modfca la forma della dstrbuzone ed altera (non solo nel segno) la struttura d correlazone orgnara delle varabl. C sembra qund che la trasformazone (2) mert una pù accurata rflessone.

5 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore Il trattamento delle varabl correlate negatvamente con la qualtà della vta Per valutare alcune caratterstche della trasformazone (2), supponamo d aver rlevato una varable X (negatvamente correlata con la Q.d.V.) su una popolazone d 0 untà e che dsponendo le ( ) n ordne non decrescente sa rsultato: ( ),,,0 Partendo da questo caso creamo tre popolazon, ottenute lascando nvarate le untà da 2 a 0 e ponendo ( ) uguale, rspettvamente, a 0.5, e.5. Le tre sere trasformate (e ordnate) sono rappresentate nella Fgura. 0.9 () ()0.5 () Fgura : trasformata y al varare del mnmo È mmedato fare le seguent consderazon:

6 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 6. La trasformazone utlzzata espande la parte alta della dstrbuzone e comprme la coda destra; ovvero esalta dfferenze anche modeste tra le prestazon mglor, mentre rduce le dfferenze tra le prestazon peggor. 2. La trasformazone utlzzata è sensble a pccole varazon nel mnmo della dstrbuzone d partenza; n partcolare una dmnuzone d ( ) ha un effetto sensblmente superore sulla parte alta della dstrbuzone che non sulla coda destra. Cò mplca che una varazone nella performance mglore s rflette n msura maggore sulle performances buone che non su quelle meno buone. Se rscrvamo la (2) come: (,mn( ) ) mn( ) d y,,,0 d(,0) dove d(, ) rappresenta la dstanza eucldea, possamo notare un altra peculartà d questa trasformazone: una traslazone della sere delle del tpo: ( ) k, k > 0, altera l range della y. In partcolare, supponendo d avere tre popolazon ottenute ponendo, rspettvamente, k0, k5, k0, per, 2,, 0, abbamo la seguente rappresentazone grafca, da cu è mmedato constatare che a partà d range delle tre dstrbuzon, l range delle y decresce al crescere d k :

7 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore () ()5 () Fgura 2: trasformata y d dstrbuzon traslate Per effettuare un confronto della y con una trasformazone lneare de dat, sceglamo quella retta avente gl stess mnmo e massmo della y, ossa: mn( ) t (3) ma( ) ma( ) La lneartà della trasformazone (3) rsolve l problema della dsomogenetà d trattamento delle dfferenze tra prestazon (ossa h c( t th ), c R,, h ); noltre modeste varazon del mnmo (), pur alterando l range della trasformata, portano a modeste varazon ne puntegg assegnat:

8 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore () ().5 () Fgura 3: trasformata t - al varare del mnmo Infne tale trasformazone ha un mportante caratterstca che l accomuna alla (), ovvero alla trasformazone utlzzata dal Sole24ore per le varabl postvamente correlate con la Q.d V.; nfatt appartengono entrambe alla famgla d trasformazon: T ( ) ± c ma( ) dove c è una generca costante. I membr d tale famgla hanno tutt a meno del segno lo stesso campo d varazone e gl stess moment. mn( ) Inoltre t e t assumono valor nello stesso ntervallo,, ma( ) l che rende la trasformata t la pù naturale alternatva alla y.

9 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 9 Per confrontare la trasformata t con la trasformata y, rportamo su uno stesso grafco le funzon alla base delle trasformate (2) e (3), defnendo:, R y( ) t [ ] mn mn ( ) ma ma mn ma t-() y() ma mn 0 mn * ma Fgura 4: confronto tra le trasformate y e t - * Sa mn ma ; s può agevolmente verfcare che * nell ntervallo [ mn, ) la dervata della funzone y è sempre mnore dell nclnazone della retta t, mentre nell ntervallo ( *, ma ] tale dervata è sempre maggore. Cò mplca che, dat

10 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 0 *, h [, ), < h y ) y( h ) Vceversa per ( ma ] * h, * * coppe d valor [, ), ( ] mn, rsulterà ( > t ( ) t ( h ). <. Peraltro, essteranno anche nfnte mn h, ma per le qual sarà y( ) y( h ) t ( ) t ( h ). Le prncpal dfferenze tra t ed y sono qund legate al fatto che mentre t trasforma n manera unforme la dstrbuzone, y espande la prma parte della dstrbuzone e comprme la coda destra, alterando completamente la forma della dstrbuzone. Vedamo con un esempo come queste caratterstche della trasformata y nfluscono sulla sntes delle sngole prestazon, sntes ottenuta come meda artmetca de puntegg rportat su cascun ndcatore. Supponamo d avere due caratter X,, 2 entramb con dstrbuzone unforme dscreta n {,2,,0}, ed ndchamo con le loro determnazon. Per due untà A e B sa A e B B 2 2. Voglamo stablre per quale valore A2 {,3,,0} l untà A occuperà una poszone n classfca mglore dell untà B. E facle verfcare che cò accadrà ogn volta che: y y > y y A B B 2 A 2 Nel nostro esempo, a causa dell elevata dfferenza tra y A e y B, cò accadrà sempre ; vceversa, con la trasformata t, l untà A occuperà una poszone mglore o equvalente all untà B solo se è A2 3. S vede charamente come, a lvello d sntes, due effett d espansone e contrazone sopra ndvduat, portno un vantaggo rspetto alla trasformata t, alle untà che presentano al tempo stesso, ottme performances per qualche ndcatore e cattve o pessme performances per qualche altro. In realtà, propro per lmtare tal conseguenze, Il Sole 24 Ore corregge la trasformata y ogn volta che y y 0.25 ponendo y y e defnendo d conseguenza un dverso valore ( ) ( ) > ( ) ( ) mn( * ) tramte cu trasformare secondo la (2) le restant osservazon ( h ), h 2,, n.

11 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 2.3. Class d trasformazon nvarant per traslazone Nonostante le numerose caratterstche che accomunano gl ndcator t e t appena defnt, ess dfferscono per un aspetto mportante: l nfluenza degl outlers. In partcolare le rsposte d t e t ad outlers corrspondent a performance partcolarmente buone (o vceversa a performance partcolarmente scadent) non sono ugual. Inoltre sa la t che la t reagscono n manera asmmetrca ad un outler eccezonalmente alto o eccezonalmente basso. Per vedere meglo questo aspetto rscrvamo le trasformate () e (3) nel modo seguente: t d(,0) d ( ma( ),0) (a) (,mn( ) ) ( ma( ),0) d t (3a) d Supponamo d aver osservato una performance eccezonalmente scadente. A seconda del tpo d correlazone che c è tra la X e la Q.d.V. questa s confgurerà come mn() eccezonalmente basso o come ma() eccezonalmente alto. Tuttava è mmedato constatare che mentre un decremento n mn() non nduce alcuna varazone nelle t se non per l untà che assume tale valore, un ncremento n ma() modfca tutta la sere d valor della t Cò comporta che nel prmo caso rsulterà penalzzata solo l untà statstca a cu corrsponde questa pessma performance, nel secondo caso rsulteranno proporzonalmente modfcat tutt valor assunt dalla t. Vceversa, una performance eccezonalmente buona avrà l effetto d modfcare l ntera sere t (penalzzando qund tutte le untà statstche tranne quella con la performance mglore), mentre sulla t modfcherà solo l valore corrspondente all untà dal comportamento eccezonale. Inoltre, osservando le espresson (a) e (3a) s nota che sono entrambe sensbl

12 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 2 a traslazon delle varabl d partenza ma che le traslazon nfluscono n msura dversa: nella t alterano solo l denomnatore, nella t alterano anche l numeratore, seppure non n msura proporzonale alla varazone del denomnatore. Poché delle 36 varabl utlzzate nella nostra anals pù d una sere presenta outlers, e ben 7 sono negatvamente correlate con la Q.d.V., sembra preferble elmnare le asmmetre appena vste utlzzando una trasformazone nvarante per traslazone, a range costante. In partcolare proponamo: mn( ) d(, mn( )) w ma( ) mn( ) d(ma( ),mn( )) per le varabl correlate postvamente e: w ma( ) ma( ) mn( ) d(,mn( )) d(ma( ),mn( )) per quelle correlate negatvamente. Il peso d un sngolo outler rsulterà attenuato ma - soprattutto - non c sarà pù asmmetra nell effetto d outlers grand e outlers pccol. Anche n questo caso s tratta d due trasformate appartenent ad una medesma famgla: w( ) ± c ma( ) mn( ) e qund, oltre ad avere lo stesso range, hanno anche gl stess moment. L uso d tale trasformata è stato proposto tra gl altr da D Esposto e Ragozn (2004) come stratega d ordnamento d osservazon multvarate. Ess dmostrano che trasformare medante la w() un nseme d varabl X e po aggregarle medante la somma, equvale a proettare n osservazon multvarate,,2,,n,,,, lungo la drezone che va dal punto d coordnate par a mnm delle dstrbuzon unvarate al punto d coordnate par a massm delle

13 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 3 dstrbuzon unvarate, coè lungo una drezone sgnfcatva a fn dell ordnamento delle osservazon Sntes degl ndcator Come argomentato n Aello e Attanaso (2004), la costruzone d un ndcatore sntetco può essere vsta come l rsultato d due moment dstnt: ndvduazone d funzon che permettano d trasformare le varabl d partenza n dat omogene (ndcator semplc) e scelta d una funzone che applcata a dat omogene fornsca una msura dell ndcatore composto. Entramb quest moment concorrono alla defnzone della relazone matematca che lega l ndcatore composto alle varabl su cu s basa. Ad esempo, la scelta d una funzone lnk lneare addtva (come la meda artmetca semplce utlzzata nel Dosser de Il Sole 24 ore) equvale all assunzone d uguale peso degl ndcator semplc nella determnazone dell ndcatore composto; mentre l peso delle sngole varabl sarà determnato dalla trasformazone utlzzata. Vceversa, qualora alcune varabl vengano sottoposte a trasformazon non-lnear, la relazone che le lega all ndcatore sntetco non rsulta defnble n termn analtc. In altr termn (ved Aello e Attanaso, 2004) la duplce scelta d una funzone lnk lneare addtva e d trasformazon non-lnear d varabl, rsulta napproprata dal punto d vsta matematco. Scopo del presente paragrafo e llustrare un contesto formale adeguato allo studo della sensbltà dell ndcatore composto Q.d.V. alle trasformazon utlzzate. Esso pogga sull esplctazone della funzone che lega l ndcatore composto alle varabl X,,, su cu s basa, nell potes che sano sottoposte a trasformazon lnear. In tal caso, prendendo come funzone lnk la meda artmetca semplce e ndcando con P la varable (ndcatore composto) punteggo fnale, sarà: 2 Anche puntegg ottenut con la trasformata T possono essere vst come rsultato d una proezone. In tal caso la retta su cu s proettano le osservazon multvarate è quella che congunge l orgne al punto d coordnate par a massm delle dstrbuzon unvarate.

14 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 4 P X 2 X (4) 2 X Per esplctare ulterormente la (4) s ndch con n l numero d untà (provnce), con P l valore dell ndcatore sntetco per l -esma untà e con N, gl ndcator semplc 3 : N a b,, n,,,,, Sarà qund: P N, a, b (5), L nfluenza delle varabl X sull ndce sntetco P è msurata dal coeffcente, a sua volta determnato dal tpo d trasformazone lneare utlzzata. Vceversa coeffcent non nfluscono né sull ordnamento delle untà né sulle loro dstanze n termn dell ndce sntetco P. Cò comporta la perfetta equvalenza a fn della graduatora fnale tra la trasformata t ed una sua qualunque traslazone come anche tra la trasformata w e le sue traslazon. Pertanto le trasformate lnear ntrodotte fnora possono defnrs: T ( ) ± ma( ) w ( ) ± range( ) I coeffcent ad esse assocate sono 4 : b 3 Per le varabl assocate negatvamente con l ndcatore sntetco coeffcent a assumono valore negatvo. Tuttava, per semplctà d notazone rsulta pù agevole sottntendere che a tal varabl vene cambato l segno. 4 A meno della costante sono queste le trasformate proposte, tra gl altr, da Attanaso e Capurs (997)

15 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 5 w t a ma( a range( t I coeffcent a,,, fornscono un ndcatore sntetco P nvarante per cambament d scala delle varabl su cu s basa, mentre w coeffcent a,,, danno luogo ad un ndcatore sntetco nvarante, oltre che per cambamento d scala, anche per traslazone delle varabl X. Una possble chave nella scelta d (e qund delle trasformazon da utlzzare) sta nel fatto che tale coeffcente nfluenza la varabltà dell ndcatore semplce, e qund l suo peso nel determnare la varabltà dell ndce sntetco. Il range, utlzzato nelle trasformate w, è un rudmentale ndce d varabltà, ma ne esstono altr, qual ad esempo lo scostamento quadratco medo o la medana degl scart assolut dalla medana (MAD), qual hanno l prego, rspetto al range, d essere meno sensbl alle varazon de valor estrem della dstrbuzone, e qund meno sensbl agl outlers. Conseguentemente s trovano n letteratura numerose proposte a favore dell usuale standardzzazone: a ) ) z,, M ( s. q. m. ) oppure della trasformata MAD: m,, Me( ). MAD Tal trasformate danno luogo a seguent coeffcent a :

16 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 6 z m a a s. q. m. MAD 4. Alcun confront tra trasformazon lnear S è appena evdenzato che le dverse trasformazon lnear ntrodotte ne paragraf precedent assegnano dverso peso alle varabl orgnare. Voglamo ora vedere le conseguenze che questo ha sulle classfche fnal sa n termn d un anals delle varabl che maggormente nfluscono sulle dfferenze tra le classfche stesse, sa n termn d un anals delle provnce maggormente avvantaggate (o penalzzate) da una scelta puttosto che da un altra. w m z Sano P w,, P m,, P z, ; rprendendo la notazone che ha condotto alla (5) possamo scrvere: P w, m, range( ) MAD range( ) (6) come anche: w s. q. m. P, z, (7) range( ) range( ) Supponamo ora che per due untà (A e B) e due dstrbuzon, sa wa, wb,, wb, 2 wa, 2 e noltre w A, wa,2 wb, wb, 2 ; supponamo coè che le due untà sano equvalent a fn della classfca basata sulla trasformata w. Cò comporta che: wa, wb, wb,2 wa, 2 e che tal dfferenze sono non negatve. Utlzzando la (6), è facle verfcare che quest ultma uguaglanza equvale a:

17 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 7 MAD range MAD2 ( ma, mb,) ( mb,2 ma, 2 ) range 2 da cu: P m A! MAD2 m range2 PB ( mb,2 ma, 2 ) (8) MAD range Pertanto, n termn d m la dfferenza tra A e B verrà esaltata tanto pù, quanto pù è grande l rapporto: MAD2 range2 m w MAD range In manera analoga, utlzzando la (7) s può verfcare che la dfferenza tra A e B n termn d z verrà esaltata tanto pù, quanto pù è grande l rapporto: z w s. q. m range s. q. m range Entramb rapport MAD/range e s.q.m./range decrescono n presenza d un outler. Pertanto, supponendo che la prma dstrbuzone sa ottenuta dalla seconda medante l ntroduzone d un outler, rsulterà m w > e z w >. Inoltre, dat m w > e z w >, le dfferenze m m z z PA PB e PA PB saranno massme per B, 2 ma( 2 ) e A, 2 mn( 2 ) (l che, dato l vncolo, mplca A, ma( ) e B mn( ) )., 2 2

18 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 8 Per quanto rguarda l confronto tra m e z possamo defnre: MAD2 m w s. q. m. 2 m z MAD z w s. q. m. S può notare che tale coeffcente è legato, oltre che alla presenza e all enttà d un outler, anche alla dspersone nterna alla dstrbuzone. Qund, rassumendo:. Se la prma dstrbuzone è ottenuta dalla seconda ntroducendo un valore estremo rsulterà: s. q. m. m z > s. q. m. ed anche m w > z w >. Inoltre, pù è estremo tale outler pù rsulta elevato m z. 2. Vceversa, se la prma dstrbuzone è ottenuta dalla seconda spostando n una delle code una untà, s avrà m z > e z w < m w. E mmedato estendere questo dscorso ad un confronto tra graduatore. Infatt quando per (oppure per ) s ha 2 m w > z B > z w > w w m P A PB e m z P A PB > 0 (o P A P 0 ) l untà A precederà l untà B nella classfca dscendente basata su m (su z). Indcando con Rw, Rm ed Rz rangh della -esma provnca nelle classfche basate rspettvamente su w, m, z, rsulterà Rm A < RwA ( Rz A < RwA ) oppure Rm B > Rw B ( Rz B > RwB ) o entrambe. Infne, se ad elevate dfferenze m m PA PB corrspondono sgnfcatve dfferenze d graduatora, maggor salt RmA RwA oppure RmB RwB tra le due graduatore s verfcheranno quando l untà A e/o l untà B assumono valor estrem (ovvero A ma( ) e/o B mn( ) ). Passando al confronto tra le classfche della Q.d.V., studamo le dfferenze tra coppe d graduatore prendendo n consderazone solo le

19 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 9 dfferenze non nferor a 0. Tal valor, ordnat rspetto alle dfferenze Rm sono rportat n tabella. Rw Tabella Dfferenze tra coppe d graduatore basate su w,m,z Provnca Rw Rz Rm Rm-Rw Rm-Rz Rz-Rw Aosta Vercell Udne Sondro Savona Cuneo Verb.Cus.Oss Gorza Lvorno Teramo Pordenone Bolzano Catana Varese Parma Latna Caserta Reggo Emla Rmn Torno Bologna Prato Pstoa Roma Mlano Nostre elaborazon de dat pubblcat sul sto Possamo notare nnanztutto che le massme dfferenze Rm Rw sono postve. Cò sgnfca che nel complesso prevalgono le stuazon n cu la trasformata m esercta un effetto d penalzzazone degl outlers. Cò è confermato anche dall anals prelmnare delle 36 varabl: gl outlers sono prncpalmente valor legat a pessme performances puttosto che a performances eccellent.

20 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 20 Le maggor dfferenze ( Rm Rw > 20 ) tra queste due graduatore s verfcano con salt postv per: Mlano (59), Roma (37), Pstoa (34), Prato (23) e Bologna (23); con salt negatv per Aosta (24) e Vercell (24). Nel prmo caso s tratta d provnce cu valor estrem (corrspondent a cattve performances) vengono penalzzat dalla trasformata m; nel secondo caso s tratta d provnce con performances buone che la trasformata m esalta. S può anche notare che con l eccezone d Sondro, Pordenone e Bolzano per tutte le provnce che saltano d almeno 0 poszon tra una classfca e l altra, l rango che occupano con la trasformata z è sempre ntermedo al rango che occupano con m e con w, e che nell nseme la trasformata z presenta un comportamento pù smle a w, ossa con salt mnor, che non a m. Ne termn de coeffcent, calcolat ora mettendo a confronto una specfca dstrbuzone con una generca dstrbuzone regolare, cò sgnfca che per le dstrbuzon n cu m w e z w rsultano massm (n altre parole per le dstrbuzon responsabl de maggor salt tra la classfca basata su w e le altre) l enttà degl outlers è tale che anche m z rsulta partcolarmente elevato. Può essere nteressante ctare come esempo cas d Pstoa e d Aosta. Pstoa presenta la peggore performance (par a 3.35 volte quella dell untà che la precede) sulla varable Indce d varazone del rapporto tra deltt 2002 e l valore atteso n base al trend , la quale è anche la varable con pù bass rapport MAD/range e s.q.m./range (ovvero la varable per cu m w e z w rsultano massm). Conseguentemente, s osservano sgnfcatve dfferenze (postve) Rm Rw e Rz Rw. Tuttava, essendo parcolarmente basso anche l rapporto MAD/s.q.m., e sgnfcatva anche la dfferenza Rm Rz. La stuazone d Aosta rsulta speculare: presenta l pù alto tasso d mmatrcolazone d auto nuove n rapporto alla popolazone maggorenne (par a 206,43!). E evdente che s tratta d un valore anomalo, se non addrttura d un valore errato. Per la varable Immatrcolazone d auto nuove n rapporto alla popolazone maggorenne rapport MAD/range, s.q.m./range e MAD/s.q.m.

21 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 2 rsultano tra pù bass e conseguentemente s hanno sgnfcatve dfferenze (negatve) Rm Rw, Rz Rw e Rm Rz. 5. Confronto con l anals de Il sole 24 ore. Per valutare separatamente l effetto della trasformata y dall effetto della trasformata t, abbamo creato una graduatora basata sulla trasformata t da confrontare sa con la graduatora de Il Sole24 ore, sa con le classfche ottenute dalle trasformate lnear w, z e m. Indcando con Rs la graduatora ottenuta da Il Sole24ore e con Rt la graduatora ottenuta a partre dalla trasformata t, possamo scrvere: ( Rw Rs) ( Rt Rs) ( Rw Rt). Le dfferenze Rt Rs saranno da mputare esclusvamente al trattamento non lneare delle varabl correlate negatvamente, n partcolare a dvers effett della trasformata y rspetto alla trasformata; mentre le dfferenze tra Rw - Rt saranno da mputare a dvers effett delle trasformate t e w. Chamamo quest due effett, rspettvamente, effetto non- lneartà ed effetto t. Calcolando le varanze d cascuna d queste dfferenze: var(rw Rs) 89,47 var(rw Rt) 25,39 var(rt Rs) 94,45 possamo nnanz tutto osservare che var(rt Rs) > var(rw Rs). Cò comporta che l effetto non-lneartà vene n parte compensato dall effetto t. In altr termn, l nterazone tra effetto non-lneartà ed effetto t determna un effetto assorbmento. Inoltre, analzzando coeffcent d correlazone: corr((rw Rs), (Rw Rt)) 0,47 corr((rw Rs), (Rt Rs)) 0,934

22 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 22 notamo che l effetto non-lneartà spega, da solo, l 86% della varabltà d (Rw Rs); mentre l effetto t rsulta perfno pù trascurable dell effetto assorbmento: corr((rt Rs), (Rw Rt)) 0.26 Per quanto rguarda la graduatora Rz s ha una stuazone assa smle, con: var(rz Rs) 90,06 var(rz Rt) 3,4 corr((rz Rs), (Rz Rt)) 0,74 corr((rz Rs), (Rt Rs)) 0,99 corr((rt Rs),(Rz Rt)) 0,228. Vceversa, per quanto rguarda la classfca basata su m rsultano: E noltre: var(rm Rs) 289,86 var(rm Rt) 95,43. corr((rm Rs), (Rm Rt)) 0,574 corr((rm Rs), (Rt Rs)) 0,89 corr((rt Rs), (Rm Rt)) 0,00007 Pertanto sono present e non trascurabl sa l effetto non-lneartà che l effetto t, qual, n assenza d effetto assorbmento s sommano. La conseguenza d tutto cò è che la graduatora Rm sarà la pù dstante dalla graduatora Rs: var(rm Rs) 289,86 > var(rt Rs) > var(rz Rs) > var(rw Rs) Per verfcare tutto cò, rportamo n tabella 2 le provnce per le qual s osservano le maggor dfferenze (non nferor a 5) tra la classfca de Il Sole 24 ore, la classfca basata su t, e le classfche basate su w, z, m. Tal dfferenze sono state ordnate rspetto a Rt Rs.

23 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 23 Tabella 2 Dfferenze tra coppe d graduatore basate su s, t, w, m, z Provnca Rs Rt Rw Rz Rm Rt-Rs Rw-Rs Rz-Rs Rm-Rs Ascol P Lod Pescara Tern Chet Frosnone Peruga Lucca Mantova Vterbo Psa Parma Latna Sassar Lvorno La Speza Pstoa Padova Savona Prato Caserta Torno Bolzano Bologna Aosta Campobasso Ret Genova Enna Iserna Crotone Mlano Rmn Potenza Orstano Treste Belluno Napol Roma Sondro Nostre elaborazon de dat pubblcat sul sto

24 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 24 Andamo a studare nnanztutto come s manfesta l effetto nonlneartà. Osservando la colonna (Rt Rs), notamo subto che le prevalgono, sa n termn d ntenstà che d frequenza, le dfferenze postve. Ovvero l effetto non-lneartà s esplca prevalentemente come sopravvalutazone (rspetto alla trasformata t - ) delle prestazon mglor e/o schaccamento delle dfferenze tra prestazon peggor. Infatt le 4 provnce che presentano dfferenze, sono o provnce le cu buone performances su qualche varable rsultano sopravvalutate dalla trasformata y, e/o provnce le cu cattve performances sono poco penalzzate dalla trasformata y. Vceversa, le 7 provnce per le qual rsulta ( Rt Rs) < 5 sono provnce che non presentano comportament estrem; cò è anche confermato dal fatto che nelle graduatore Rw, Rz ed Rm occupano poszon non molto dssml. L effetto che su d esse esercta la trasformata y è un effetto d confusone dovuto al maggore o mnore schaccamento d alcune dstrbuzon. Per quanto rguarda l effetto t, esso e pressoché trascurable sa ne confront della trasformata w che della trasformata z: sono nfatt trascurabl (con l eccezone d Roma) le dfferenze Rw Rt e Rz Rt. Inoltre, a conferma della presenza d un effetto assorbmento s può notare che a dfferenze Rt Rs postve corrspondono dfferenze Rw Rt negatve e vceversa; ovvero l effetto t va nella drezone d una attenuazone dell effetto non lneartà. Possamo nfne verfcare che la classfca che presenta le dfferenze pù eclatant con la classfca de Il sole 24 ore è la classfca basata su m. Sulle dfferenze Rm Rs la trasformata t agsce n msura maggore che non sulle dfferenze Rw Rs (è nfatt corr ((Rm Rs), (Rm Rt)) 0,57) e noltre, essendo nullo l effetto assorbmento, due effett nonlneartà e effetto t rsultano addtv. Pertanto, agl effett appena ndvduat della trasformata y, s aggungono le dfferenze dovute al dverso mpatto degl outlers: la trasformata m prema le performances eccezonalmente buone e penalzza quelle pessme; vceversa, la trasformata t tratta gl outlers n manera asmmetrca: è molto sensble alle varazon n ma(), nsensble a varazon n mn(). L uso combnato della trasformata t e della y porta qund a premare le performance ottme e non penalzzano quelle pessme.

25 Graduatore della qualtà della vta: alcune crtche a Il Sole 24 ore 25 Rferment bblografc Lauro C. (2003), Il benessere socale ed economco delle provnce talane: una relaborazone ed una nterpretazone alternatva de dat de Il Sole 24 Ore, Il denaro, 4 gennao Lauro C. (2003), La guerra degl ndcator: rsultat a confronto, Il denaro, 4 gennao Lauro C. (2003), La guerra delle graduatore, Il denaro 5 gennao Aello F., Attanaso M. (2004), How to transform a batch of smple ndcators to make up a unque one? Att XLII Runone Scentfca SIS (Sesson specalzzate), CLEUP, Padova, p Attanaso M., Capurs V. (997),Graduatore sulla qualtà della vta: prme anals d sensbltà delle tecnche adottate. Att XXXV Runone Scentfca SIEDS, Alghero, p Cadeo R. (a cura d) Dosser sulla Qualtà della vta 2003, Il Sole 24 ore, 22 dcembre D Esposto M.R., Ragozn G. (2004), Multvarate orderng n Performance Analyss. Att XLII Runone Scentfca SIS (Sesson spontanee), CLEUP, Padova, p Pagnotta S.M. (2003), Una generalzzazone de rangh per standardzzare dat Quadern d statstca vol. 5 p Mor C.(a cura d) Rapporto 2000 sulla qualtà della vta n Itala, Itala Ogg document, 2 gennao 200.