Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

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1 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, Esercizi 8: Studio di funzioni Studio di funzioni razionali fratte. Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata prima, tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo e massimo (sono locali o assoluti?). Esercizio 1. f() = Esercizio 2. f() = Esercizio 3. f() = Esercizio 4. f() = Esercizio. f() = Esercizio 6. f() = Esercizio 7. f() = Esercizio 8. f() = Studio di funzioni logaritmiche. Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata seconda, tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo, massimo(sono locali o assoluti?) e punti di flesso. Esercizio 9. f() = 3 (ln 1) Esercizio 10. f() = ln( 2 +1) Esercizio 11. f() = ln(2 ) Esercizio 12. f() = ln 2 Esercizio 13. f() = ln+1 1

2 2 ( 2+ ) Esercizio 14. f() = ln 4 ( 3 12 ) Esercizio 1. f() = ln 6 ( 4 ) Esercizio 16. f() = ln 2+6 Studio di funzioni irrazionali. Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata prima, tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo, massimo (sono locali o assoluti?). Esercizio 17. f() = Esercizio 18. f() = Esercizio 19. f() = Esercizio 20. f() = 2 8 Studio di funzioni esponenziali. Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata prima, tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo, massimo (sono locali o assoluti?). Esercizio 21. f() = 2 e 1 Esercizio 22. f() = e 1 2 Esercizio 23. f() = e Esercizio 24. f() = 3 e 3

3 3 Alcune soluzioni. Soluzione. Esercizio 1 f() = Classificazione. È una funzione razionale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore della frazione. Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: ; 1. Il dominio della funzione è D f =] ; 2[ ] 2;1[ ]1;+ [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 y = Con l asse abbiamo: 4 2 y = { 4 2 = 0 { 2 = 4 { = 0 y = = = 2 ; = 2 Pertanto la funzioneinterseca gli assi nei punti di coordinate A( 2 ;0), B( 2 ;0), C(0; 2). Segno. f() > > 0 Num. > > 0 2 < < 2 Den. > > 0 < 2; > 1

4 4 f() > 0 2 < < 2 ; 2 < < 1; ossia f() > 0 per ] 2; 2 [ ] 2 ;1[. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono 2, 1,, = (+2) ( 1) = 4 ( 2 + ) 2 ( ) ( 2 + 1) = = 16 (0 + ) ( 3) = 16 0 = = (+2) ( 1) = 4 ( 2 ) 2 ( 2 +2) ( 2 1) = 16 = (0 ) ( 3) = = Avendo ottenuto due risultati infiniti per tendente ad un valore finito (da destra e da sinistra), si può concludere che la retta di equazione = 2 è un asintoto verticale per la funzione = (+2) ( 1) = 4 (1 + ) 2 (1 + +2) (1 + 1) = = 1 3 (0 + ) = = = (+2) ( 1) = 4 (1 ) 2 (1 +2) (1 1) = = 1 3 (0 ) = 1 0 = + Avendo ottenuto due risultati infiniti per tendente ad un valore finito (da destra e da sinistra), si può concludere che la retta di equazione = 1 è un asintoto verticale per la funzione = +

5 forma indeterminata, che si risolve mettendo in evidenza 4 2 2( 4 ) = 2 + 2( ) = 2 Similmente si ha: = = Possiamo concludere che la funzione ammette come asintoto orizzontale la retta y =. Studio della derivata prima. f () = ( 10) (2 + 2) (4 2 ) (2+1) ( 2 + 2) 2 = ( 2 + 2) 2. Studiamo il segno della derivata prima: poniamo f () > 0, ossia ( 2 + 2) 2 > 0, poiché ( 2 + 2) 2 > 0 per ogni appartenente al dominio, è sufficiente porre > 0 2 < < 2. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] 2 ;2[ D f = ] 2 ;1[ ]1;2[, mentre f è strettamente decrescente per ] ; 2[ ] 2; 2 [ ]2;+ [. Inoltre = 2 è un punto di minimo locale e = 2 è un punto di massimo locale. Il minimo locale della funzione vale f( 2 ) = 20 9, il massimo locale della funzione vale f(2) = 4. Grafico.

6 6 y 2 O 1 y = Soluzione. Esercizio 2 f() = Classificazione. È una funzione razionale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore della frazione. Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: + 0. Il dominio della funzione è D f =] ; [ ] ;+ [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 y = { = 0 y = 16

7 Con l asse abbiamo: y = { 2 16 = = 0 + { = 4; = 4 Pertanto la funzione interseca gli assi nei punti di coordinate C(0; 16 ), A( 4;0), B(4;0). 7 Segno. f() > > 0 Num. > > 0 < 4; > 4 Den. > 0 + > 0 > f() > 0 < < 4; > 4; ossia f() > 0 per ] ; 4[ ]4;+ [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono,, = ( + ) = = = ( ) 2 16 = = Avendo ottenuto due risultati infiniti per tendente ad un valore finito (da destra e da sinistra), si può concludere che la retta di equazione = è un asintoto verticale per la funzione = + + forma indeterminata, che si risolve mettendo in evidenza ( 1 16 ) ( + + = ) ( + 1+ ) = = +

8 8 Similmente si ha: =. Calcolando i iti per tendente all infinito si sono ottenuti valori infiniti: di conseguenza si può affermare che la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l asintoto obliquo. La funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = m+q se esistono finiti i seguenti iti: f() m = ± e q = ± (f() m). Abbiamo che = + + forma indeterminata, che si risolve mettendo in evidenza ( 1 16 ) = 2 + 2( 1+ ) = Similmente si ha: Dunque m = = Infine, abbiamo che ( 2 16 ) = = forma indeterminata, che si risolve mettendo in evidenza ( ) 16 = ( ) = + 1+ Similmente si ha: ( 2 16 ) + 16 = + = = 1 =. Dunque q =. Possiamo concludere che la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y =. Studio della derivata prima. f () = (2) (+) (2 16) (1) (+) 2 = (+) 2.

9 Studiamo il segno della derivata prima: poniamo f () > 0, ossia (+) 2 > 0, poiché (+) 2 > 0 per ogni appartenente al dominio, è sufficiente porre > 0 < 8; > 2. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] ; 8[ ] 2;+ [, mentre f è strettamente decrescente per ] 8; 2[. Inoltre = 2 è un punto di minimo locale e = 8 è un punto di massimo locale. Il minimo locale della funzione vale f( 2) = 4, il massimo locale della funzione vale f( 8) = 16. Grafico probabile. y 9 y = O =

10 10 Soluzione. Esercizio 9 f() = 3 (ln 1) Classificazione. È una funzione mista logaritmica intera. Dominio. Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che l argomento del logaritmo sia maggiore di zero, e pertanto: D f =]0;+ [. Segno e Intersezioni con gli assi. f() > 0 3 (ln 1) > 0. 3 > 0 > 0; ln 1 > 0 > e; < 0 o > e. Poiché il dominio è ]0;+ [, si ha che f() > 0 per > e. La funzione non interseca l asse y perché = 0 / D f, mentre interseca l asse nel punto di coordinate (e;0). Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono 0, +. (ln 1) = 0 ( ), 0 +3 forma indeterminata. Possiamo scrivere: ln 1 (ln 1) = = forma indeterminata che possiamo risolvere con la regola di De l Hospital: 1 ln 1 = = = 0. 4 Dunque la funzione non ammette asintoti verticali (ln 1) = +, la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l asintoto obliquo y = m+q. f() + = + 2 (ln 1) = +,

11 11 quindi possiamo concludere che non esiste neanche l asintoto obliquo. Studio della derivata prima. f () = 2 (3 ln 2). Studiamo il segno della derivata prima: ponendo f () > 0, otteniamo che 2 (3 ln 2) > 0 3 ln 2 > 0 ln > 2 3 > 3 e 2. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] 3 e 2 ;+ [, mentre f è strettamente decrescente per ]0; 3 e 2 [. Inoltre = 3 e 2 è un punto di minimo locale. Il minimo della funzione vale f( 3 e 2 ) = 1 3 e2. Studio della derivata seconda. f () = (6 ln 1). Studiamo il segno della derivata seconda: ponendo f () > 0, otteniamo che e (6 ln 1) > 0. > 0 6 ln 1 > 0 ln > 1 6 > 6 e. Quindi, tenendo presente che D f =]0;+ [ f () > 0 > 6 e. Possiamo concludere che la funzione f è convessa per ] 6 e;+ [, mentre f è concava per ]0; 6 e[. Poiché f( 6 e) = ( e, abbiamo che F = 6 Grafico: 6 ) e; e è un punto di flesso. 6

12 12 y Soluzione. Esercizio 10 f() = ln( 2 +1) Classificazione. È una funzione logaritmica intera. Dominio. Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che l argomento del logaritmo sia maggiore di zero, e pertanto si deve avere: Il dominio della funzione è D f = R. Segno e Intersezioni con gli assi > 0 per ogni R. f() > 0 ln( 2 +1) > > 1 2 > 0 0. Dunque f() > 0 per ogni 0 e si annulla per = 0. La funzione interseca gli assi solo nell origine O(0; 0). Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono, +. In particolare, poiché il dominio è R non esistono asintoti verticali. ± ln(2 +1) = + Calcolando i iti per tendente all infinito si sono ottenuti valori infiniti: di conseguenza si può affermare che la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora

13 vediamo se esiste l asintoto obliquo. La funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = m+q se esistono finiti i seguenti iti: f() m = ± ( 0) e q = ± (f() m). Abbiamo che f() ± = ln( 2 +1) = + ± ± forma indeterminata che si risolve con la regola di De l Hospital: ln( 2 +1) ± = ± = ± Possiamo concludere che non esiste neanche l asintoto obliquo = 0. Studio della derivata prima. f () = Studiamo il segno della derivata prima: ponendo f () > 0, otteniamo che > 0 > 0. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] ; 0[, mentre f è strettamente decrescente per ]0; + [. Inoltre = 0 è un punto di minimo assoluto. Il minimo della funzione vale f(0) = 0. Studio della derivata seconda. f () = ( 2 +1) 2. Studiamo il segno della derivata seconda: ponendo f () > 0, otteniamo che ( 2 > 0 1 < < 1. +1) 2 Possiamo concludere che la funzione f è convessa per ] 1;1[, mentre f è concava per ] ; 1[ ]1;+ [. Poiché f( 1) = f(1) = ln2, abbiamo che F 1 ( 1;ln2) e F 2 (1;ln2) sono punti di flesso. Grafico: 13

14 14 y O Osserviamo che il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse y, quindi la funzione è pari. Infatti: Soluzione. Esercizio 17 f( ) = ln(( ) 2 +1) = ln( 2 +1) = f(). f() = 1 +1 Classificazione. È una funzione irrazionale fratta. Dominio. Data la natura della funzione (radice con indice pari), per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero, quindi: +1 0 Num Den. > 0 +1 > 0 > 1 0 < 1; Il dominio della funzione è D f =] ; 1[ [0;+ [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 = 0 y = 1 y = = 1

15 Con l asse abbiamo: y = 1 +1 { = = 0 +1 { = +1 { 0 = 1 = 1 +1 impossibile Pertanto la funzione interseca solo l asse y nel punto di coordinate(0, 1). L equazione irrazionale del secondo sistema è stata risolta senza porre la condizione di esistenza della radice, poiché essa era stata già considerata al momento della determinazione del dominio della funzione. Segno. f() > > 0 +1 < 1 +1 < < 0 < < > 0 Num. > 0 R. 1 Den. > 0 +1 > 0 > > 0 > 1. Ripetendo per la disequazione irrazionale le stesse considerazioni fatte per l equazione, bisogna rettificare parzialmente il risultato (tenendo presente il dominio della funzione), per cui f() > 0 solo se > 0, ossia f() > 0 per ]0;+ [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali utile stabilire il comportamento della funzione, sono 1,, +. Per = 0 è già stato determinato l andamento, infatti la funzione è definita per = 0 e si ha f(0) = = = 1 0 = 1 + = Pertanto la retta di equazione = 1 è asintoto verticale sinistro per la funzione.

16 16 Inoltre, abbiamo che = 1 + forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza 1 + ( 1+ 1 ) = = = 1 1 = 0 + Analogamente 1 +1 = 0. Dunque la retta è un asintoto orizzontale per la funzione. Studio della derivata prima. f () = (+1) 2 Studiamo il segno della derivata prima: ponendo f () > 0, otteniamo che (+1) 2 > 0 1 (+1) 2 < 0 per nessun D f. Possiamo concludere che f () < 0 per ogni ] ; 1[ ]0;+ [, quindi che la funzione f è strettamente decrescente nel suo dominio. Inoltre, osserviamo che la derivata prima non è definita in = 0 e, poichè (+1) 2 = abbiamo che = 0 è un punto a tangente verticale per f. Grafico.

17 17 y 1 1 O Soluzione. Esercizio 21 f() = 2 e 1 Classificazione. È una funzione mista esponenziale fratta. Dominio. L unica condizione da discutere riguarda il denominatore dell esponenziale, ossia 0, quindi D f = R\{0}. Intersezioni con gli assi. Non vi sono intersezioni con l asse, né, tantomeno, con l asse y, visto che 0 / D f. Segno. Siccome la funzione è un prodotto di due termini, ossia l esponenziale e il quadrato, sempre strettamente positivi sul dominio fissato, si ha che f() > 0 per ogni D f. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono, 0, e 1 = 0 (+ ), forma indeterminata. Poniamo y = 1 ed otteniamo: 1 e y e = y y 2 e y = y y 2 = + +,

18 18 forma indeterminata che si può risolvere applicando due volte la regola di De l Hospital: e y y y 2 = e y y 2y e y = y 2 = +. Inoltre: 0 + e 1 = 0. Poiché solo ite per 0 risulta +, possiamo concludere che la retta = 0 è asintoto verticale sinistro. 2 e 1 = + e + 2 e 1 = + quindi la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l asintoto obliquo y = m+q. f() ± = ± e 1 = ±, dunque non esiste nemmeno l asintoto obliquo. Studio della derivata prima. La derivata é f () = 2 e e = 2 e 1 +e 1 che, raccogliendo a fattor comune il termine e 1, risulta (1) f () = e 1 (2+1). Analizziamo la monotonia della funzione attraverso la disequazione f () > 0, che, per la (1), equivale a 2+1 > 0 > 1 2. ] Pertanto, la funzione è decrescente su, 1 ], mentre è crescente sul resto del 2 dominio e quindi il punto 0 = 1 2 è di minimo locale (locale, perché f( 0) = 0.2 e , mentre f() 0 per 0 +, come visto in precedenza).

19 19 Grafico probabile. y O Soluzione. Esercizio 22 f() = e 1 2 Classificazione. È una funzione esponenziale fratta. Dominio. Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore dell esponente sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: Il dominio della funzione è D f =] ;0[ ]0;+ [. Segno e Intersezioni con gli assi. f() > 0 e 1 2 > 0 per ogni D f. Dunque f() > 0 per ogni appartenente al dominio, inoltre la funzione non è mai nulla, quindi non interseca l asse. Infine la funzione non interseca nemmeno l asse y perché 0 / D f. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono 0,, +.

20 20 e1 2 = e 1 (0 ) 2 = e = e + = + 0 e +e1 2 = e 1 (0 + ) 2 = e = e + = + ; 0 quindi possiamo concludere che la retta = 0 è un asintoto verticale. Inoltre, abbiamo che: e1 2 = e +, + forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza: e1 2 = e + + ( 1 1 ) 2 1 e 1 + = = e 1 + = e 0 = 1. In modo analogo si ha: e1 2 = e 0 = 1. + dunque possiamo concludere che la retta y = 1 è un asintoto orizzontale. Studio della derivata prima. f () = e Studiamo il segno della derivata prima: poniamo f () > 0, ossia e > 0, poiché e 1 2 > 0 per ogni appartenente al dominio, è sufficiente porre 2 3 > 0 da cui otteniamo f () > 0 < 0; > 2. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] ; 0[ ]2; + [, mentre f è strettamente decrescente per ]0; 2[. Inoltre = 2 è un punto di minimo assoluto. Il minimo della funzione vale f(2) = e 1 4. Grafico:

21 21 y O

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