La funzione esponenziale

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1 La funzione esponenziale Potenze con esponente reale La potenza a x è definita: x R se a > 0, x R + se a = 0, x Z se a < 0, Funzione esponenziale Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y = a x, con a > 0, x R. Essa è una delle funzioni più importanti della matematica. Molte grandezze fisiche, chimiche, economiche variano nel tempo secondo leggi rappresentate da funzioni esponenziali. Si distinguono due casi: a>1: Dominio: R Codominio: R + Funzione crescente Per x = 0 y = 1 lim x + ax = + lim x ax = 0

2 0<a<1: Dominio: R Codominio: R + Funzione decrescente Per x = 0 y = 1 lim x + ax = 0 lim x ax = + Logaritmi Introduzione Durante il XVI secolo e l inizio del XVII ci fu una grande espansione delle conoscenze scientifiche in ogni campo. La geografia, la fisica e l astronomia cambiarono la percezione dell universo. Il sistema eliocentrico di Copernico, dopo un secolo di resistenze ed opposizioni da parte della Chiesa, cominciò ad essere accettato. La circumnavigazione del globo terrestre da parte di Magellano nel 1521 aprì la strada alle esplorazioni marittime. In Italia Galileo Galilei si stava occupando di meccanica e in Germania Keplero formulò le sue tre leggi riguardanti il moto dei pianeti, liberando l astronomia dalla visione geocentrica degli antichi greci. Tutto ciò portò ad un incremento notevolissimo del calcolo numerico, obbligando scienziati e astronomi a passar la maggior parte del loro tempo ad eseguire calcoli molto laboriosi. Cercare un modo per fare in modo semplice i calcoli divenne un obiettivo fondamentale. John Napier (Edimburgo Scozia, ), prendendo spunto dagli studi effettuati da Stifel, si mise alla prova cercando un metodo che potesse semplificare questa mole di calcoli e aiutare così gli astronomi. E stato lui a coniare il termine logaritmo (dal greco: lògon, inteso qui come ragione della progressione geometrica e aritmos, numero). L idea chiave che sta alla base del logaritmo, è il confronto tra i termini della progressione geometrica di ragione r (base del logaritmo): 1, r, r 2, r 3,.. e i termini della corrispondente progressione aritmetica formata dagli esponenti 0, 1, 2, 3,..

3 Vediamo di chiarire tale idea. Noi sappiamo che è facile moltiplicare e dividere potenze aventi la stessa base: basta lasciare la stessa base e riportare come esponente rispettivamente la somma e la differenza degli esponenti: = : 3 2 = 3 3 Sappiamo anche che se dobbiamo elevare una potenza ad un altra potenza è sufficiente lasciare la stessa base e come esponente riportare il prodotto degli esponenti: (5 6 ) 2 = 5 12 Vediamo come sia altrettanto semplice moltiplicare, ad esempio, 64 e 128. Costruiamo la tabella della potenze di base 2: esponente n potenza 2 n Cerchiamo nella tavola che abbiamo costruito, nella seconda riga, i fattori 64 e Addizioniamo i relativi esponenti = Cerchiamo nella tabella la potenza corrispondente all esponente trovato e questo sarà il risultato: 2 13 = 8192 Determiniamo, operando nello stesso modo, il risultato della divisione tra e Cerchiamo nella tabella i numeri e Sottraiamo i relativi esponenti 15-9 = 6 3. Cerchiamo nella tabella la potenza corrispondente all esponente trovato: 2 6 = 64 Per eseguire la potenza di potenza (2 3 ) 4 si opera come segue: 1. Moltiplichiamo gli esponenti: 3 4=12 2. Cerchiamo nella tabella la potenza corrispondente all esponente trovato: 2 12 = 4096 Risulta veramente facile eseguire moltiplicazioni, divisioni e potenze di potenze se i numeri sono inseriti nella tabella delle potenze di 2. Questo metodo ha una sua utilità pratica solo se era utilizzabile con ogni numero. Il problema è che non tutti i numeri sono presenti in questa tabella. E possibile esprimere sotto forma di potenza di 2 ogni numero? Verifichiamo se questa idea è realizzabile. Vediamo come è possibile esprimere 3 sotto forma di potenza di 2. Sappiamo che 2 1 < 3 < 2 2 L esponente da assegnare a 2 per avere 3 deve essere un numero compreso tra 1 e 2. Proviamo con 1,5 e poi con 1,6 2 1,5 = = 2 3 = 8 2,8284

4 2 1,6 = = = 256 3,0314 Perciò 2 1,5 < 3 < 2 1,6 Continuando a ricercare un approssimazione migliore si ha che: 2 1,584 = 2, ,585 = 3,00007 Quindi un l esponente abbastanza adatto da dare alla base 2 per avere 3, con una approssimazione a meno di 1/1000, è 1,585. La ricerca di tale numero chiamato logaritmo in base 2 del numero 3 e si indica con log 2 3 Operando nello stesso modo si possono ottenere gli esponenti adatti per ottenere i numeri 5, 6, 7 come potenze di due: n log 2 n 0 1 1, ,33 2,58 2,81 3 3,16 3,33 3,46 2,59 3,71 3,81 3,91 4 Lavorando con i logaritmi, esprimendo tutti i numeri sotto forma di potenza di due o di qualunque altra base, tutti i calcoli complicati diventano molto più semplici perché: La moltiplicazione si trasforma in addizione La divisione in sottrazione La potenza in moltiplicazione La radice in divisione Nel calcolo si usano comunemente i logaritmi in base 10, detti logaritmi decimali o di Briggs e quelli in base e, detti logaritmi naturali o neperiani, essendo e un particolare numero razionale il cui valore approssimato è 2,71828 Di solito le basi 10 ed e si omettono e per distinguere i logaritmi decimali da quelli naturali si usano le seguenti notazioni: log e N = logn = lnn log 10 N = LogN Le calcolatrici scientifiche consentono il calcolo diretto dei soli logaritmi naturali e decimali. Il calcolo del logaritmo in una base diversa da 10 e da e è possibile operando un cambiamento di base come vedremo in seguito.

5 Definizione di logaritmo Si definisce logaritmo in base a del numero b l esponente da attribuire alla base a per ottenere b: log a b = x a x = b, con a > 0, a 1, b > 0 a è la base del logaritmo b è l'argomento del logaritmo x è il risultato del logaritmo Dalla definizione derivano due importanti proprietà: log a a x = x, con a > 0, a 1 (1) a log ab = b, con a > 0, a 1, b > 0 (2) Dalla proprietà (1), per x =0 e x=1 si ottiene: log a a 0 = log a 1 = 0, con a > 0, a 1 log a a 1 = log a a = 1, con a > 0, a 1 La seconda proprietà consente di mettere un qualsiasi numero sotto forma di potenza avente una qualunque base. Se volessimo, ad esempio, scrivere 5 sotto forma di potenza di 2 potremmo scrivere: 5 = 2 log 25 5 = 3 log 35 Il calcolo del log a b diventa particolarmente semplice se si riesce ad esprimere b come potenza di base a. In caso contrario si ricorre all uso della calcolatrice scientifica. Esempi log 3 9 = log = 2 1 log1 3 9 = log1 ( )2 = 2 log19 = log13 2 = log1( ) 2 = 2 log = log 33 1 = 1

6 Osservazione Da questi quattro esempi si evince che il risultato del logaritmo: È positivo quando base e argomento sono entrambi maggiori di uno o entrambi compresi tra zero e uno È negativo quando la base o l argomento sono uno maggiore di uno e l altro compreso tra zero e uno. Tra i numeri a, b e x della definizione data esiste una relazione che permette di determinare uno dei tre essendo noti gli altri due. Esempio 1 3 x = log (3 3) x 3 = 81 ( ) x 3 = 3 4 Esempio x = x = 4 3 x = 8 9 Esempio 3 log4 9x = 0,5 x = ( 4 9 ) = log x 27 = 3 x3 = x = x = 4 3 Proprietà dei logaritmi Il logaritmo di un prodotto di due o più numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori: Dimostrazione Applicando la proprietà (2) si ha: log a m n = log a m + log a n a R +, a 1, m R +, n R + log a m n = log a (a log am a log an ) = log a a log am+log a n = log a m + log a n Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:

7 Dimostrazione log a m n = log am log a n a R +, a 1, m R +, n R + Applicando la proprietà (2) si ha: m log a n = log a log am a a log an = log aa log am log a n = log a m log a n Nel caso in cui m = 1 si ha: log a 1 n = log a1 log a n = log a n Cioè il logaritmo del reciproco di un numero positivo è l opposto del suo numero Il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale è uguale al prodotto dell esponente per il logaritmo del numero: Dimostrazione Sempre applicando la proprietà (2) si ha: log a b m = m log a b a R +, a 1, m R, b R + log a b m = log a (a log ab ) m = log a a m log ab = m log a b Il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto del reciproco dell indice del radicale per il logaritmo del radicando. Dimostrazione La proprietà precedente vale qualunque sia l esponente della potenza. In particolare quando si avrà: log a b 1 n n = log a b m = 1 n, con n N 0 = 1 n log ab con n N 0 Applicazione le proprietà studiate log 2 2 = log 3 3 2(2 4) log 2 2 = log log 2 4 log 2 2 = = log log log 22 = = 7 6

8 5 log a a2 a 1 3 = log 2 a 5 a a 2 a 3 = 1 [log 5 aa 2 3 a log a 2 a] = 2 a 1 5 [2 log aa log aa log a log aa] = 1 5 [ log a2 1 3 ] = 1 5 (13 6 log a2) Osservazione Tutte le precedenti proprietà, applicando la proprietà simmetrica dell uguaglianza, possono essere lette da sinistra verso destra e da destra verso sinistra. Leggendole in quest ultimo verso le proprietà dei logaritmi ora dimostrate si possono enunciare anche nel modo seguente La somma dei logaritmi nella stessa base di due numeri positivi è uguale al logaritmo nella stessa base del prodotto dei numeri La differenza dei logaritmi nella stessa base di due numeri positivi è uguale al logaritmo nella stessa base del rapporto dei numeri Il prodotto del numero m per il logaritmo di un numero positivo b è uguale al logaritmo della potenza b m Il prodotto tra il reciproco dell intero positivo n e il logaritmo di un numero positivo b è uguale al logaritmo della radice n-esima di b Esempio log c a + 2 log c b 1 2 log c3 = log c a + log c b 2 log c 3 = log c ab 2 3 Cambiamento di base La calcolatrice scientifica consente solo il calcolo dei logaritmi naturali e dei logaritmi decimali. Per cui se dobbiamo calcolare il logaritmo la cui base è diversa da 10 e da e siamo costretti a fare un cambiamento di base. Vediamo come. Supponiamo di voler calcolare il log a b mediante i logaritmi in base c. Poniamo log a b = m a m = b I logaritmi di a m e di b, calcolati in base c, devono essere uguali: log c a m = log c b m log c a = log c b m = log cb log c a log ab = log cb log c a Si ha perciò la seguente formula che consente il cambiamento di base: log a b = log cb log c a con a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1

9 Esempi log = log 2128 log 2 8 = log 22 7 log = 7 3 log = Log125 Log7 = 2, , = 2, Osservazione Se nella formula del cambiamento di base poniamo c = b otteniamo: log a b = 1 log b a con a > 0, a 1, b > 0, b 1 Cioè scambiando tra loro la base e l argomento di un logaritmo, si ottiene il reciproco del logaritmo dato. La funzione logaritmo La funzione logaritmo di base a è l inversa della funzione esponenziale di base a. Posto f(x) = a x e g(x) = logax g(f(x) = x. Infatti: x f a x g log a a x = x Il suo grafico si ottiene facendo la simmetria rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante del grafico della funzione esponenziale. Si distinguono due casi: La base del logaritmo è maggiore di 1: Dominio : R + Codominio: R Segno: log a x > 0 se x > 1 log a x < 0 se 0 < x < 1 Funzione monotona crescente Funzione biiettiva ( e pertanto invertibile ) Passa per (1,0) l'asse y asintoto verticale

10 La base del logaritmo compresa tra 0 e 1: Dominio : R + Codominio: R Segno: log a x < 0 se x > 1 log a x > 0 se 0 < x < 1 Funzione monotona decrescente Funzione biiettiva ( e pertanto invertibile ) Passa per (1,0) l'asse y asintoto verticale. Equazione esponenziale Dicesi equazione esponenziale una equazione del tipo: a x = b. Graficamente corrisponde a determinare l ascissa del punto di intersezione tra la funzione y = a x e la retta y = b Dal grafico si deduce che l equazione esponenziale ammette soluzione solo se b > 0.

11 Risoluzione di equazione esponenziale Divideremo le diverse equazioni esponenziali in tre diversi tipi. Primo tipo. Una equazione esponenziale è detta di primo tipo quando nei due membri dell equazione sono presenti solo prodotti e quozienti di potenze di uguale base. In questo caso si può ridurre l equazione alla forma: Esempi a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) ( 1 10 )4x = x 10 4x = x 10 4x = 10 4 x 4x = 4 x x = x = 93x+1 9 3x+1 = 3 2 8x = 3 6x+2 2 8x = 6x x = 0 x = 0 Secondo tipo. Una equazione esponenziale è detta di secondo tipo quando nei due membri dell equazione sono presenti solo prodotti e quozienti di potenze di basi diverse. In questo caso per la risoluzione si ricorre ai logaritmi. Esempi 5 2 x+3 = x x+3 = x 3 2 x 3 = 3 x 3 x 3 = 0 x = 3 2 x+1 = 5 1 x (x + 1)Log2 = (1 x)log5 xlog2 + Log2 = Log5 xlog5 xlog2 + Log2 = Log5 xlog5 xlog2 + xlog5 = Log5 Log2 (Log2 + Log5)x = Log5 Log2 xlog10 = Log5 Log2 x = Log 5 2 Terzo tipo. Una equazione esponenziale è detta di terzo tipo quando nei due membri dell equazione sono presenti addizioni o sottrazioni. In questo caso, mediante sostituzioni o scomposizioni, si deve trasformare l equazione in uno dei due tipi precedenti. Esempi 4 x 2 2x+1 = 2 2x x 2 2 2x x = 6 2 2x ( ) = 6

12 2 2x ( 3 2 ) = 6 22x 1 2 = 2 22x = 2 2 2x = 2 x = 1 9 x 3 x 6 = 0 3 2x 3 x 6 = 0 Poniamo 3 x = t e sostituiamo: t 2 t 6 = 0 t 1 = 3; t 2 = 2 3 x = 3 x = 1 3 x = 2 impossibile Equazione logaritmiche Si chiamano equazioni logaritmiche quelle equazioni in cui l incognita figura nell argomento di uno o più logaritmi. Per risolverle si deve tener presente le funzioni logaritmiche hanno per dominio l insieme R +. Una equazione logaritmica ha senso solo per i valori dell incognita che rendono positivi gli argomenti di tutti i logaritmi presenti nell equazione (condizioni di esistenza). Applicando le proprietà dei logaritmi o operando opportune sostituzioni e scomposizioni, si cercherà di mettere l equazione data nella forma log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) Basterà ricordare la definizione di logaritmo nel caso particolare in cui l equazione si presenti nella forma log a f(x) = b f(x) = a b Le condizioni di esistenza possono essere verificate a priori, risolvendo la disequazione o il sistema di disequazioni che si ottengono ponendo maggiori di zero tutti gli argomenti dei logaritmi che contengono l incognita, oppure a posteriori, verificando se le soluzioni trovate rendono gli argomenti di tutti i logaritmi dell equazione data. Esempi 1 2 Log(x + 8) + 1 Logx = Log3 2 Condizioni di esistenza { x + 8 > 0 x > 0 x > 8 { x > 0 x > 0 Applicando le proprietà dei logaritmi l equazione si può trasformare:

13 1 Log[x(x + 8)] = Log3 Log x(x + 8) = Log3 2 Passando agli argomenti: x(x + 8) = 3 x 2 + 8x 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 9 Solo la soluzione x 1 = 1 è accettabile. log 3 (2x + 4) = 2 Condizioni di esistenza 2x 4 > 0 x > 2 Applicando la definizione di logaritmo si ha: 2x + 4 = 3 2 2x = 5 x = 5 2 (accettabile) Disequazioni esponenziali e logaritmiche Per risolvere le disequazioni esponenziali e logaritmiche occorre ricordare che tali funzioni sono crescenti se la base è maggiore di uno e decrescenti se la base è compresa tra zero e uno. Pertanto si ha: a > 1 a f(x) a g(x) f(x) g(x) log a f(x) log a g(x) f(x) g(x) 0 < a < 1 a f(x) a g(x) f(x) g(x) log a f(x) log a g(x) f(x) g(x) Bisogna fare attenzione al verso della disequazione: si conserva quando a > 1 e cambia quando 0 < a < 1. Bisogna ricordare, inoltre, che la funzione logaritmo ha per dominio R +. Si dovrà porre a sistema la disequazione data con le disequazioni che si ottengono ponendo maggiori di zero gli argomenti dei logaritmi che vi figurano.

14 Esempi 2 x < 4 2 x < 2 2 x < 2 ( 2 3 )x < 27 8 (2 3 )x < ( 2 3 ) 3 x > 3 log 2 x > 3 { x > 0 x > 8 x > 8 log 1 x 3(6x 2 ) + 2 < 0 log1(6x x 2 ) < 2 3 { 6x x2 > 0 6x x 2 > 9 6x x2 > 9 (x 3) 2 < 0 equazione impossibile