Le funzioni reali di una variabile reale

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1 Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne

2 DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B (cioè un insieme di coppie ordinate) tale che a ogni elemento x di A corrisponde uno ed un solo elemento y di B, ossia: f : x A A è detto dominio o campo di esistenza (C.E.) y B

3 Rappresentazione grafica del dominio e del codominio di una funzione y f(x) y = f ( x ) Legenda X f ( X ) rappresenta il codominio della funzione x X rappresenta il dominio della funzione

4 La classificazione delle funzioni FUNZIONI algebriche trascendenti razionali irrazionali intere fratte Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente.

5 Funzioni algebriche La funzione algebrica razionale intera è espressa mediante un polinomio di grado qualsiasi (Per esempio: y 5x 7 ) La funzione algebrica razionale fratta è espressa mediante quozienti di polinomi di grado qualsiasi In tal caso la x compare a denominatore (Per esempio: ) y 2x 1 3 x 2 La funzione algebrica irrazionale è espressa mediante un polinomio di grado qualsiasi sotto il segno di radice (Per esempio: ) y x 1

6 Funzioni trascendenti Le funzioni trigonometriche (Per esempio: ) y senx La funzione esponenziale x (Per esempio: ) y e La funzione logaritmica y log x (Per esempio: )

7 Il dominio di una funzione o campo di esistenza Il dominio di una funzione è l insieme di tutti i valori x per i quali esiste l immagine. Il codominio di una funzione è l insieme dei valori che la funzione assume dove essa è definita.

8 Terminologia della funzione Data la funzione Diremo che f: A B x y=f(x) x è la variabile indipendente ed y è la variabile dipendente. x è detta controimmagine di y tramite f mentre y è l immagine di x tramite f f(x) è l espressione analitica della funzione e serve, fissato il valore per x, a determinarne l immagine il codominio è l insieme delle immagini

9 Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il dominio e il codominio È una funzione X = {2} [5,9] F (X) = [3, 7]

10 Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il dominio e il codominio È una funzione X 2;9 f X 2;6

11 Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il dominio e il codominio È una funzione X 5;9 f ( X) 1;5 7

12 Non è Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il dominio e il codominio una funzione In quanto l elemento 4 del dominio ha infinite immagini, un qualsiasi y con 4<y<6

13 Esercizio: stabilire se il seguente grafico rappresenta una funzione e in caso affermativo individuare il dominio e il codominio X 7 6;6 7 È una funzione f(x) = {1, 3, 4, 5}

14 Esercizio: individuare il dominio, il codominio, dove la funzione è positiva, negativa e nulla X 1;1 f ( X) 0;2 f(x)>0 per -1<x<1 La funzione non è mai negativa f(x)=0 per x=-1

15 Domini delle principali funzioni Funzione Dominio Funzioni algebriche razionali intere Funzioni algebriche razionali fratte Funzioni algebriche irrazionali Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali R R esclusi i valori che annullano il denominatore R f ( x) X R f 0 ( x) 0 se n è pari se n è dispari Funzioni goniometriche: senx e cosx R Funzione goniometrica: tgx X R 2 k k Z

16 Alcune caratteristiche delle funzioni Funzioni a tratti Gli zeri di una funzione e il suo segno Funzioni pari e dispari Funzioni monotòne Punti estremanti

17 Funzioni a tratti È una funzione X f R 0 ( X ) 1;1 Qual è potrebbe essere l espressione analitica? In questo caso la funzione è definita tramite due equazione cioè due espressioni analitiche Osserva il seguente grafico y 1 0 x -1

18 f ( x) x x = 1 se x > 0-1 se x < 0

19 Gli zeri di una funzione e il suo segno Un numero reale a è uno zero della funzione y f (x) se f ( a) 0 Gli zeri di una funzione sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l asse x Gli zeri si determinano risolvendo il sistema: y y f ( x) 0 Di una funzione f ( x) y risolvendo la disequazione f(x) > 0 f 0 (x) possiamo studiare il segno

20 y zero 0 x y = f (x) zero

21 Funzioni pari e dispari La funzione è pari se e solo se per ogni xa f(-x)=f(x) Il grafico è simmetrico rispetto all asse y f: A B x y=f(x) f(-x)=f(x) -x x

22 Funzioni pari e dispari La funzione f: A B x y=f(x) f(x) è dispari se e solo se per ogni xa f(-x)=-f(x) -x -f(x) x Il grafico è simmetrico rispetto all origine O

23 Funzioni monotòne f: A B x y=f(x) La funzione si dice costante se per ogni xa f(x)=c con c numero reale. In simbolo: f è costante se Esempio: y=1 x A f x c c R

24 Funzioni monotòne Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice crescente in [a,b] se e solo se x Esempio: 1 x2 : a; b x x f x f, x

25 Funzioni monotòne Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice strettamente crescente in [a,b] se e solo se x Esempio: 1 x2 : a; b x x f x f, x

26 Funzioni monotòne Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice decrescente in [a,b] se e solo se x Esempio: 1 x2 : a; b x x f x f, x

27 Funzioni monotòne Una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a,b], si dice strettamente decrescente in [a,b] se e solo se x Esempio: 1 x2 : a; b x x f x f, x

28 Punti estremanti I punti estremanti sono i punti in cui possiamo avere un valore di massimo o di minimo relativo x 0 è un punto di massimo relativo per la funzione f se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni xϵi f(x) f(x 0 ) x 0 è un punto di minimo relativo per la funzione f se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni xϵi f(x) f(x 0 )