MAGGIORANTE, MINORANTE, ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE

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1 MAGGIORANTE MINORANTE ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE Ritorimo o studio de isieme R Dto u isieme A R u umero M R si dice mggiorte per A se M A Se isieme A h meo u mggiorte esso si dice itto superiormete cioè A è superiormete itto se M R : M A Se A o h mggiorti si dice o itto superiormete L o ittezz superiore di A equive seguete codizioe : M R A : > M Defiizioi oghe per miorte e ittezz iferiore L isieme N o è superiormete itto m è iferiormete itto L isieme A R : N è itto si superiormete che iferiormete poiché < N Osservimo che se A h u mggiorte or e h ifiiti (tutti i umeri mggiori) Se A è itto si superiormete che iferiormete si dice itto e i t cso m M R : m M (ciò equive dire che A [ m M ] ) Si può dimostrre che A itto sse k > : k A Se M A L isieme ed è mggiorte per A or M si dice mssimo A N A h mssimo () m o h miimo ( A ) Dto A R L R si dice L sup A sup sup : A se A { } estremo superiore per A e si scrive ) L è mggiorte per A (ossi A A ) ) L è i più piccoo dei mggiorti di A ossi comuque si pred u umero ree più piccoo di L si h che o è mggiorte per A cioè o è ver rezioe A duque c è meo u eemeto A che o verific ossi te che > Aimo or u secod defiizioe equivete di estremo superiore I geere i umero < L si idic co L ε co ε > e si ottiee L sup A sse i) L A 3

2 ii) ε > A : > L Osservimo che dipede d ε ossi si h (ε ) Aogmete ε R if A sse ) è miorte per A (cioè A) ) è i più grde dei miorti di A ( cioè ε > * *( ε ) A : * < ε ) Esempi : ) A N ) { Q : } 3) A sup A if A sup A m A ( ) A N mi A 3/ m A Se isieme A o è itto superiormete (iferiormete) scriveremo sup A ( if A - ) Esempi : ) A { R ( ) N } : è o itto iferiormete e superiormete ) A N è o itto superiormete 3) A Z e A Q soo o itti iferiormete e superiormete Teorem di Weierstrss Se si h A R iotre A Φ ed è itto superiormete or L R te che L sup A I Teorem o ve e isieme Q ( cioè o è vero che A Q A itto superiormete L Q : L sup A) poiché i Q o ve ssiom di competezz Le defiizioe dte per gi isiemi si possoo estedere e fuzioi procededo come segue Dt u fuzioe f : A B co A B R diremo che è superiormete itt se o è C f cioè se M R : f ( ) M A Defiizioi oghe per gi tri csi Ad esempio L sup A L ) f ( ) L A sup Cf cioè ) ε > ( ε ) A : f ( ) > L ε Esempi : ) fuzioe f ( ) o è itt superiormete e suo domiio R m o è iferiormete 4

3 ) fuzioe {} R f ( ) o è itt iferiormete e superiormete e suo domiio Tr e fuzioi ho prticore importz e successioi che soo fuzioi i cui domiio è isieme N I questo cso si us u otzioe divers fuzioi successioi f ( )( g ( ) h ( ) ) ( c Se vogo idicre tutt successioe useremo i simoi { } N { } { } ( ) ( ) ( ) N Ae successioi si estedoo tutte e defiizioi precedeti Ad esempio if ( co R ) ) N ) ε > ( ε ) : < ε Fre esempi co successioi ) L fuzioe prte iter Defiimo u fuzioe f : R R che d ogi ssoci i più grde umero ture o uo miore o ugue e idichimo co [ ] Si h < [ ] < [ ] 3 Ve proprietà [ ] < [ ] Fuzioi mootoe U fuzioe f : D f R si dice mooto o decrescete se < f ) f ( ) ( 5

4 mooto crescete se < f ( ) < f ( (oghe defiizioi per o crescete e decrescete) L fuzioe f ( ) e è crescete metre f ( ) [ ] è o decrescete Osservimo che f crescete o decrescete f iiettiv Successioi mootoe L successioe { } è mooto o decrescete se mooto crescete se < (oghe defiizioi per o crescete e decrescete) Osservimo che se { è o decrescete o crescete si h mi } ) N ELEMENTI DI TOPOLOGIA IN R Vogo defiire cos sigific essere vicio d u puto R e per questo ssocimo puto fmigi di tutti gi isiemi de tipo ] - ε ε [ (detti itervi cetrti i di rggio ε ) vrire di ε i R (co uso di iguggio i chimeremo itori di ) Defiizioe : dto u isieme A R u puto R si dice di ccumuzioe per A se ε > A : e ] ε [ o che ε ε > si h che A ] ε ε Φ Si dimostr che : { } [ Codizioe ecessri perché A i u puto di ccumuzioe è che A i ifiiti eemeti L vere ifiiti eemeti o è sufficiete perché ci sio puti di ccumuzioe iftti isieme N o h puti di ccumuzioe i R Ve i Teorem ( di Bozo Weierstrss) Se A R è itto e co ifiiti eemeti or R : è di ccumuzioe per A IL REALE AMPLIATO R ~ { } E isieme R Ache qui si vuoe defiire i cocetto di viciz e per gi eemeti cetrti si sostituiscoo e semirette Più precismete si ssocio gi isiemi ] M [ si ssocio gi isiemi ] M [ vrire di M i R e Co quest covezioe defiizioe di eemeto di ccumuzioe divet: gi itervi 6

5 per u isieme A R è di ccumuzioe se M > A : ] M [ ossi M > A : > M Duque si può ffermre che : è di ccumuzioe per u isieme A A è o itto superiormete Aoghe defiizioi e cocusioi per - Rissumedo dto u isieme A R co ifiiti eemeti si ho e segueti possiiità: ) A è itto or per i Teorem di Bozo Weierstrss R di ccumuzioe per A ) A o è itto superiormete (iferiormete) or ( - ) è di ccumuzioe per A Puti iteri Dto A R A si dice itero d A se ε > : ] ε ε [ A { } Si poe A A : è it ero d A Osservzioe : Esempio : se A Φ or A è cotiuo se A è umerie or A Φ se A ] [ oppure A [ ] oppure A [ [ oppure A ] ] i tutti i csi si h A ] [ Se A Esempi : A ) ] [ è perto ) [ ] è chiuso or A si dice perto metre A si dice chiuso se i suo compemetre C A è perto 3) ogi isieme formto d u umero fiito di eemeti è chiuso Puti frotier Dto A R A si dice di frotier per A se ε > si h che ] ε ε [ A Φ e ε [ C A Φ ] ε Esempi: ) i puti frotier de isieme ] [ soo i puti e ) se A h u umero fiito di eemeti or tutti i suoi puti soo di frotier 7

6 DEFINIZIONE DI LIMITE Dt f : A R ( co A Df R ) si vuoe defiire mtemticmete seguete situzioe : qudo si vvici d u eemeto (rimedo i A) m sez rggiugero si h che retiv immgie f ( ) si vvici d u eemeto che chimeremo ite di f ( ) per che tede e scriveremo f ( ) U prim defiizioe mtemtic è seguete : f ( ) comuque si pred u itoro I di { che I A } si h che f ) I ( esite u itoro I di te Osservzioe : perché i seso prre di ite è ecessrio che si di ccumuzioe per A D defiizioe geere precedete si deducoo e vrie defiizioi specificdo chi soo gi isiemi I e I cso : R R ( I e I soo itervi cetrti ei rispettivi puti) si ottiee f ( ) ε > δ δ ( ε ) > : < f ( ) < ε cso : R < δ A ( I è u itervo cetrto i e I è u semirett osservimo che è ecessrio che A si o itto superiormete) si ottiee f ( ) ε > M M ( ε ) > : > M A f ( ) < ε (Scrivere e defiizioi egi tri csi) Osservimo che e cso rietro e successioi che or trtteremo LIMITE DI SUCCESSIONI I questo cso si h A N duque uico vore possiie per è (i quto N è o itto superiormete e o h puti di ccumuzioe i R) D defiizioe scritt e secodo cso per e fuzioi si h R ε > M M ( ε ) > : > M si h < ε o equivetemete ε > ( ε ) : > ( ε ) si h < ε Osservimo che poiché vriie può tedere soo ivece di scriveremo revemete ( o che soo oppure ) 8

7 Avremo poi ( ) M > R ( ) o esiste diremo che Esempi : k è covergete è divergete ( ) è i det er mi t ( M ) diremo che successioe : > diremo che successioe è divergete si h è covergete > M successioe è i det er mi t o oscite o ( < M ) irregore PRIMI TEOREMI SULLE SUCCESSIONI Teorem ( di uicità de ite) Se esso è uico Teorem (di ittezz) Se u successioe è covergete or ess è itt No ve i vicevers Teorem 3 ( de permez de sego) Se R or { } * : > > * Teorem 4 ( su vore ssouto ) Se R or Osservzioi : - può esistere e o ; - ve i seguete vicevers : Teoremi di cofroto Teorem 5 Se * : * si h > metre Teorem 6 ( dei due criieri) Se * : c * iotre or > c R 9

8 Teorem 7 Se * : > * e or Osservzioe : se i quest utimo teorem si h come prim ipotesi < > * tesi è cor e o < ) come mostr i seguete Esempio : Regoe di ccoo dei iti ( i cui Teorem 8 ( somm e prodotto ) Se R e R or ( ) ed Teorem 9 ( reciproco ) ~ Se R or se R { } se ( ) ( ) se e * : > ( < ) > D questo Teorem co si ottiee Di Teoremi su prodotto e su reciproco poiché si deduce i Teorem ( quoziete ) Se R ed R or Osservzioe fttori { } * può esistere i ite di somme e prodotti m o esistere i iti degi ddedi o Atro Teorem su prodotto è i seguete : Teorem Se ed M > : M or Esempio : ( ) Termioogi : se si dice che successioe è ifiitesim; se ( ) si dice che è u ifiito Forimo or Teoremi per i ccoo di iti di somme o prodotti qudo meo uo degi ddedi o dei fttori h ite oppure

9 Teorem Se ( ) ed M R : > M ( < M ) or ( ) ( ) ~ Osservimo che se R ipotesi de Teorem precedete è certmete verifict se oppure Teorem 3 Se ed R M > e * : > M ( < M ) > * or ( ) ~ Osservimo che se R ipotesi de Teorem precedete è certmete verifict se ( - ) oppure R ( R ) Aogo Teorem ve se Co queste Proposizioi si possoo studire che i iti di quozieti Osservimo che di Teoremi esposti rimgoo escuse cue situzioi Soo e cosiddette forme idetermite ossi forme ee qui o si può dre u rispost di crttere geere m che devoo essere trttte cso per cso Le forme idetermite soo: per somm ( ) per i prodotto e per i quoziete itededo co quei simoi successioi che tedoo quei vori N Teorem 4 ( sue successioi mootoe) Se { è mooto or R ~ i prticore } sup if se c' è mootoi crescete o o decrescete se c' è mootoi decrescete o o crescete Cso prticore : ) ( è crescete duque sup Poiché succesioe è itt te ite è fiito Si poe per defiizioe ( ) e (umero di Nepero se dei ogritmi turi) Si dimostro e segueti estesioi de precedete risutto : m ( ) e ; ( ) ( m m ) e Per proseguire o studio di iti di successioi i form prticore premettimo Acue proprietà dee fuzioi e e

10 Si dimostro e segueti ugugize e R e se ; se D ciò si deduce che se f ( ) e f ( ) e se se se R ; ~ R Aoghe ugugize si ottegoo per e successioi e { } { } si ottiee f ( ) se se se R se R se se Successioi i form espoezie ( ) che esistoo se R per > Soo successioi de tipo { } Si h ( ) e pertto per e proprietà precedeti per studire i ite de successioe ( ) si studi i ite de successioe che si preset sotto form di prodotto L prim successioe si preset i form idetermit tutte e vote che secod è i form idetermit ossi qudo per i prodotto si h form coto dee proprietà precedeti sue fuzioi idetermite per e successioi i form espoezie Osservimo che successioe terzo tipo e e e Sempre teuto si ottegoo e segueti forme è i form espoezie ed è i form idetermit de Quor successioe i form espoezie o si i form idetermit utiizzdo i Teoremi precedeti se e può studire i ite d esempio ve i seguete Teorem 5 se R R or ( ) ( ) Ifiiti e oro cofroto Come già detto u successioe è u ifiito se ( ) i cofrotimo studido i ite de oro quoziete Poimo seguete Se imo due ifiiti

11 Defiizioe R ( ) {} i due if iiti soo deo stesso ordie 'if iito umertore è di ordie if eriore queo deomitore o esiste 'if iito umertore è di ordie sup eriore queo deomitore if iiti o cofrotii Esempi : co si h ) di ordie superiore ) deo stesso ordie 3) di ordie iferiore 4) ( ( ) o cofrotii ) Se e scriveremo ι (cso prticore di ifiiti deo stesso ordie) diremo che è sitotico Ve i seguete Pricipio di sostituzioe degi ifiiti : eo studio di iti di quozieti di ifiiti ( f i )si possoo trscurre umertore e/o deomitore (seprtmete) quegi ifiiti che soo di ordie iferiore rispetto i rimeti Ifiiti fodmeti : gi ifiiti che seguoo soo disposti i ordie crescete rispetto oro veocità ( og > ) ; > ; e ( > ) ;! ; Limite otevoe : Sottosuccessioi ' Dt u successioe { } cosiderto u isieme N N co ifiiti eemeti si N ' chim sottosuccesioe { } ' egge che N ssoci N trscuro i termii di idice che o st e isieme fissto ossi si restrige i domiio) L sottosuccessioe può che essere così idict / N ( ristrett d N ) Csi prticormete importti soo N P N D ' / N R Si h ' ε > *( ε ) : > *( ε ) co N si h < ε Aoghe defiizioi co ± (i prtic si 3

12 Ve i Teorem 6 ~ ' se R or N N si h / N ' Duque se N N ed N N : / N / N si può cocudere che o esiste Ve pure i Teorem 7 se / P ~ R / D or 4