z y con B z = B senβ.

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1 Eserctazone n 1 FISICA SPEIMENTALE II (C.L. Ing. Mecc. A/L) (Prof. Gabree Faa) A.A. 1/11 INDUZIONE ELETTOMAGNETICA 1.Una sbarretta conduttrce rettnea unga = 1 cm trasa su pano xy con eoctà = 4 m/s paraea a asse x. La sbarra, a cu normae forma un angoo d 3 con asse x, è mmersa n un campo magnetco unforme e costante = 1 T che non ha componente ungo asse y e forma un angoo d 45 con asse x. Cacoare a tensone ndotta a cap dea sbarra. A causa dea forza d Lorentz su tutt punt dea sbarra n moto agsce un campo eettromotore unforme E r u ) = z y con z = senβ. I componente E n d tae campo non produce effett, mentre componente E t = E cosα fa mgrare e carche poste erso estremo A dea barretta, compendo un aoro, su untà d carca, par a: E = r r E t d = E cosα d = senβ cosα d = senβ cosα =, 4V tae aoro rappresenta a tensone esstente tra punt A e. 1

2 . La stessa sbarretta de eserczo precedente ruota attorno a un estremo con eoctà angoare costante ω = 1 rad/s e campo r è paraeo e concorde con ω r. Cacoare a tensone ndotta a cap dea sbarra. r r r I generco punto P dea sbarra ha eoctà = ω e campo r r r r r r eettromotore ndotto n P ae E = = ( ω ) dretto da O erso A, d moduo E = ωr, qund non unforme. La tensone tra A e O ae: E = 1 ω r dr = ω =, 5V Nota : Ao stesso rsutato s gunge sosttuendo aa barretta un dsco conduttore ruotante.

3 3. La stessa sbarretta de eserczo precedente ruota su un pano contenente un fo rettneo ndefnto percorso da corrente e stuato a dstanza a da centro d rotazone dea sbarra. Determnare espressone dea f.e.m. ndotta n funzone de tempo. Ne punto S campo è uscente daa pagna; a tensone su eemento nfntesmo dr ae: de = dr ; essendo μ dr e s ha: de = dr con = π S μ ωr e = ωr, coscché de = dr ; π a + r cosωt n defnta = μ π a + r cosω t E = d = μ ω a a + n π cosω t cosω t cosω t a N.. S ntegra per sosttuzone y = a + r cosωt r = (y a) / cosωt dy = cosωt dr dr = dy / cosωt E = a+ cosω t a μω 1 a 1 dy π cos ω t y 3

4 4. Una spra crcoare ruota attorno a un suo dametro n un campo magnetco unforme. Cacoare a corrente ndotta ne caso n cu: (a) I campo sa paraeo a asse d rotazone (b) I campo sa perpendcoare a tae asse. CASO (a) Orentando d ne erso de arco A, s ha a f.e.m. ndotta f A : f A π r r ω = E d = ωr cosα d = ω senα cosα dα = A In modo anaogo s rcaa f C ottenendo r r ndotta totae è E d = ACA A ω f C =, coscché a f.e.m. : nea spra non crcoa corrente. CASO (b) A generco tempo t fusso magnetco concatenato con a spra ae Φ S () = S cosωt, essendo α = ωt angoo tra a normae aa spra n e campo n que stante ed S area dea spra. La corrente ndotta ae: 1 = dφ dt = ωs senωt 4

5 5. Una sbarretta d rame unga, d massa m e resstenza, s muoe con eoctà costante su una guda conduttrce pegata a U, pra d attrto e d resstenza trascurabe. A un certo stante a sbarra entra n un campo magnetco unforme perpendcoare a pano de crcuto, uscente da esso e d moduo =,1 T, fermandos dopo aer percorso 5 cm. Cacoare a eoctà nzae dea sbarretta. F A un generco stante successo a ngresso dea sbarretta nea regone de campo magnetco a sua eoctà arrà e a corrente ndotta sarà data da: = r 1 dφ = dt ( ) 1 = Sua sbarretta agsce a forza frenante data da equazone d Lapace: F =, cu aoro eementare ae dl = r r F dx = dx = Appcando Teorema dee forze e (dt = dl) s ha: dx md dx md = dx = e ntegrando m d d = dx = d m ed essendo m = δv = δ S e = ρ / S, s ottene: m = δρ. In defnta d = = 3,3 m / s δρ N.. δ Cu =,9 1 4 kg/m 3 ρ Cu = 1,7 1-8 Ω m 5

6 6. La stessa sbarretta de eserczo precedente s muoe con eoctà costante n un campo magnetco arabe ne tempo con a egge = cos ωt. Troare a f.e.m. ndotta. Medante a Legge d Faraday-Neumann-Lenz s troa a f.e.m. ndotta: r ( ) d r r d d = ( S n ) = ( S) = x () t dφ = S [ cosω t]= dt dt dt dt = - cosωt + x ω senωt S not che prmo addendo è douto a moto dea sbarretta, secondo addendo aa arabtà de campo magnetco. 7. Una sbarretta conduttrce d massa m = 1 g e resstenza = 1 Ω è posta su due gude metache d resstenza trascurabe, pre d attrto, dstant b = 5 cm e chuse a cap d un generatore d corrente costante =,1 A. I crcuto è mmerso n un campo magnetco unforme e costante =,4 T. Se a sbarretta a un certo stante è bera d muoers, cacoare a potenza erogata da generatore n funzone de tempo. La sbarra rsente d una forza costante poché è costante: F = b = ma a = b/m = costante MUA. Tae forza F compe aoro motore L = bx = ΔT che s rtroa sotto forma d energa cnetca dea sbarra. La potenza spesa sua sbarra da generatore ara a arare d t con a egge: r r b P( t) = F = F = b at = t m N.. Questa potenza è rchesta da fatto che ne crcuto compare a fem ndotta E = b che s oppone a passaggo d corrente. 6

7 La potenza dsspata per effetto Joue ae P J = per cu b P TOT = + m t 8. S consder o stesso crcuto de eserczo precedente, sosttuendo a generatore d corrente un generatore d tensone con f.e.m. = 1 V e resstenza nterna nua. S stud moto dea sbarra e energa totae spesa da generatore. Per t = ae a I egge d Ohm per cu = V / ; per t = t a egge de crcuto è = E TOT / = (V E ) / doe E = b è a f.e.m. ndotta a cap dea sbarretta. V b Dunque = (A) V b d La forza che agsce sua sbarra ae F = b = b = m dt d b b V t per cu = ( V b) dt m e ntegrando () = m t 1 e b b V t () m t = e Dae (A) e () s rcaa () 7

8 Grafco dea corrente V / t Teorcamente = per t ; n pratca = per t 3-4τ con τ = m / b Grafco dea eoctà = V / b t Per t s ha = V / b e per questo aore dea eoctà s ha E = V per cu E TOT = e, qund, = ; ma se = aora F = e a sbarra s muoe d moto unforme. L energa totae spesa da generatore è somma d due termn: energa dsspata su per effetto Joue e energa cnetca dea sbarra, per cu E = dt + m = m + m = m = 5 J 8

9 9. La spra rettangoare d fgura aanza ertcamente erso ato con eoctà entro campo unforme. r r Determnare a forza da appcare aa spra per mantenera n moto unforme. A un certo stante A a spra è abbandonata a sé stessa e cade. Determnare a eoctà mte raggunta daa spra. h A b Aanzando erso ato, ato A dea spra taga, n un tempo t, fusso Φ = A t, con nduzone nea spra stessa una f.e.m. f dφ A' ' = = A' ' e a crcoazone dea corrente dt =. I erso dea corrente ndotta è tae da produrre su ato A una forza F L che s oppone a momento, coscché a forza F necessara a garantre moto unforme dea spra dee aere F = F L + P = A + mg F L F P Quando a spra è abbandonata a sé stessa, a corrente ndotta ae sempre A' ' =, ma ora crcoerà n erso opposto rspetto a caso precedente, n modo da produrre su ato A una forza F L dretta erso ato, tendendo ancora una ota ad oppors aa causa che a genera. S arà, dunque, P - F L = ma = mg - A da cu s rcaa a A' ' ' = g e quando a a eoctà tende a aore mte m LIM = mg A' ' 9

10 1. Un pendoo sempce è costtuto da un fo metaco rgdo d unghezza, d massa trascurabe n confronto a quea dea sferetta appesa a suo estremo bero. Esso compe pccoe oscazon d ampezza α n un pano perpendcoare a un campo magnetco unforme. Determnare espressone che dà a tensone eettrca esstente ag estrem de fo n funzone de tempo. Su eemento d fo dx c è a tensone de = dx = dx Ne pendoo α x = dα x dt = e per pccoe oscazon α = α senωt con ω = g. Dunque = α ω x cosωt ; de = α ω x cosωt dx. La tensone ag estrem de fo è data da: E = α ω xcosωt dx = α ω cosωt. Essa ae zero ag estrem dea oscazone ( = ) ed è massma quando pendoo passa per a ertcae ( = MAX ); camba segno ogn ota che erso de moto s nerte. 11. S sosttusca fo de eserczo precedente con una sbarretta e s rca a tensone ndotta ag estrem d essa. L equazone de moto d un pendoo composto è mg mg m I α = senα α. Dato che I = α + ω α = 3 3 g doe ω =. Pertanto s rcaa α = α senωt. ds = ½ dα = ½ α ω cosωt dt, per cu dφ = ds = ½ α ω cosωt dt. La tensone a cap dea sbarra ae n moduo: dφ E = = ½ α ω cosωt dt uguae, dunque, a quea de fo de caso precedente, sao che n esso ω = g L area spazzata daa sbarra ne tempo dt ae aora: 3 g, mentre ora ω =. 1

11 1. S abbano n un pano orzzontae due sbarre conduttrc d resstenza trascurabe paraee tra oro, dstant, mmerse n un campo magnetco unforme e perpendcoare a pano contenente due conduttor. Una sbarretta conduttrce d resstenza può scorrere senza attrto su d esse ed è connessa medante una carrucoa a un corpo d massa m. Se a tempo t = s connette sstema con generatore d tensone d f.e.m. = V s ossera che a sbarretta s mette n moto ne erso dee x crescent. Determnare: (a) a corrente che percorre crcuto; (b) moduo, drezone e erso dea forza rsutante agente sua sbarretta; (c) a eoctà d regme r dea sbarretta; (d) a corrente d regme r che percorrerà crcuto; (e) a potenza P g erogata n condzon d regme da generatore; (f) a potenza eettrca P e rersata ne crcuto n condzon d regme; (g) a potenza meccanca spesa per muoere m, sempre n condzon d regme; (h) rendmento meccanco η de dsposto se mpegato per soeare masse; () aore dea resstenza che dorebbe aere a sbarretta per fermars a regme; dscutere, po, cas e >. V - r + x m 11

12 (a) E = - dφ / dt = - = (V + E ) / = (V ) /. (b) F L = = (V ) /, per cu a rsutante dee forze agent sua massa m ae = F L mg = ma ed è dretta ne erso dee x crescent. (c) r per a, coscché daa a = (V ) / m g = s ottene (V r ) / m = g / e nfne: (d) r = (V r ) / = gm /. (e) (f) (g) P g = V r P e = r V g r m =. A regme ΔT = (dato che r = costante) ΔU = mgx = mg r Δt, per cu P m = ΔU / Δt = mg r e nfne V r = r + mg r. (h) η = mg r / V r. () r = V g V = m = V mg = r V V = = + = m + q V / = = V / = r = ; E = - V ; F L = V / = r = = V / > a < a massa scende. 1

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