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1 atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 8 PROBLE Considerato un qualunque triangolo BC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD= DE = EC Siano poi ed i punti medi rispettivamente dei segmenti D ed E. f) Dimostrare che il quadrilatero DE è la quarta parte del triangolo BC. g) mmesso che l area del quadrilatero DE sia 45 a, dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l angolo BC sia acuto e si abbia inoltre: B = 13a e BC = 15a, verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo. h) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b) ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l equazione della parabola, avente l asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti,, C. i) Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo DC. Soluzione Punto a Dimostrare che il quadrilatero DE è la quarta parte del triangolo BC. Considerato un qualunque triangolo BC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che BD= DE = EC Siano ed i punti medi rispettivamente dei segmenti D ed E. B D E C Per una conseguenza del Teorema di Talete, in un triangolo il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato ed è isometrico alla sua metà. 1 La lunghezza del segmento è pari, quindi, alla metà del segmento DE: = DE. Inoltre il quadrilatero DE è un trapezio essendo parallelo a DE. L area del trapezio DE si può ottenere come differenza tra le aree dei triangoli DE e. I triangoli BD, DE, ed EC hanno la stessa area, avendo la stessa altezza relativa alle basi BD, DE ed EC che sono congruenti per ipotesi.

2 atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 9 1 Siccome BC = BD + DE + EC, si ha DE = BC. 3 I triangoli e DE sono simili e hanno i lati in proporzione secondo il rapporto ½; di 1 1 conseguenza le rispettive aree stanno tra loro secondo il rapporto =. 4 Concludendo: DE = DE = DE DE = DE = BC = BC Cioè il quadrilatero DE è la quarta parte del triangolo BC. Punto b mmesso che l area del quadrilatero DE sia e ammesso che l angolo BC sia acuto e si abbia inoltre: B = 13a e BC = 15a, verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo. Per quanto già detto il quadrilatero DE è un trapezio. 45 Per ipotesi, DE = a 5 E inoltre BC = 15a DE = 5a = a, 45 a, dove a è una lunghezza assegnata, h B D H E C 45 a DE 90 L altezza h è uguale a a h= = = = 6a DE + 5 5a+ a 15a L altezza del triangolo BC uguale a 1a. Sia H l altezza del triangolo BC, essendo l angolo in B acuto, applicando il teorema di Pitagora BH = B H = 13a 1a = 5a al triangolo BH si ottiene ( ) ( ) Siccome anche BD = 5a, il punto D coincide con il punto H e il triangolo DE è rettangolo, di conseguenza anche il trapezio DE è rettangolo.

3 atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 10 Punto c Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b) ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l equazione della parabola, avente l asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti,, C. Y Si può porre il sistema di riferimento come in figura, con l origine nel vertice B, il lato BC sull asse delle ascisse, il vertice nel primo quadrante e unità di misura u=a. Con questa scelta si avrà: B(0,0) C(15,0) D(5,0) E(10,0) h Siccome 5 D = 6 e = B O D H E C si ha: (5;6) e 15 ;6 L'equazione della parabola richiesta è del tipo y = ax + bx+ c Imponendo la condizione che la parabola passi per i tre punti,, C; si ottiene il seguente sistema: = a + b + c 4 5a+ 30b+ 4c= 4 6= 5a+ 5b+ c 5a+ 5b+ c= 6 0 = 5a+ 15b+ c 5a+ 15b+ c= 0 a = 5 Risolvendo il sistema si ottiene b = 1 c 3 Quindi la parabola richiesta ha equazione: y = x + x+ 3 5 X

4 atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 11 Punto d Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo DC. (5;1) C(15;0) D(5;0) y 0 x Intersecando tale retta con la parabola si ottiene y = x + x x1 15 = x = 6 y1 = 0 y = x+ 18 y = 3 5 La retta C avrà equazione = y = ( x 15)

5 atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 1 Cioè F(5/;3) e C(15;0) L area 1 in figura si può calcolare come differenza tra l area del trapezio FKD e l area del trapezoide FKD. D + FK FKD = DK = = x 315 FKD = x + x+ 3 dx= 3 5 x + + x 75 = = FKD FKD = = L area in figura si può calcolare come differenza tra l area del triangolo DC e l area = DC 1 = =. 8 8

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