lato obliquo trapezio isoscele Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Ogni parallelogramma ha... D α + β π

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1 Ripasso Scheda per il recupero Trapezi e parallelogrammi OMNE he cos è un trapezio? RISOSTE Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli: i lati paralleli si chiamano basi del trapezio, i lati non paralleli lati obliqui. base minore lato obliquo lato obliquo base maggiore ome si classificano i trapezi? Un trapezio si dice scaleno se ha i lati a due a due disuguali, isoscele se i lati obliqui sono congruenti (e le basi non lo sono), rettangolo se un lato obliquo è perpendicolare alle basi. trapezio isoscele trapezio rettangolo i quali proprietà gode un trapezio? a. In ogni trapezio gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari; b. in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna delle due basi sono congruenti e le diagonali sono congruenti. he cos è un parallelogramma? Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. i quali proprietà godono i parallelogrammi? uali condizioni garantiscono che un quadrilatero sia un parallelogramma? Ogni parallelogramma ha lati opposti congruenti... angoli opposti congruenti α β α + β π... angoli adiacenti a ciascun... diagonali che si intersecano lato supplementari nel loro punto medio a. Una qualsiasi delle quattro proprietà precedenti (lati opposti congruenti o angoli opposti congruenti o angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o diagonali che si intersecano nel loro punto medio), oppure b. due lati opposti congruenti e paralleli. La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 1/7

2 Ripasso Scheda per il recupero arallelogrammi particolari EFINIZIONE RORIETÀ FIGUR Rettangolo Un quadrilatero con i quattro angoli retti. Le diagonali sono congruenti. Rombo Un quadrilatero con i quattro lati congruenti. Le diagonali sono: perpendicolari; bisettrici degli angoli interni al rombo. uadrato Un quadrilatero con i quattro lati congruenti e i quattro angoli retti. Le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli interni al quadrato. ttenzione! alle definizioni di rettangolo, rombo e quadrato, segue immediatamente che tutti questi quadrilateri sono parallelogrammi. Sai giustificarlo? iccolo teorema di Talete e teorema dei punti medi TEOREM ROLE IN SIMOLI... di Talete (piccolo)... dei punti medi ato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale. Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. M r N ' ' ' s ' M ffi M N ffi N ffi ffi 0 0 ) MN k, MN ffi 1 2 La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 2/7

3 Verifica delle conoscenze Scheda per il recupero Vero o falso? 1 ogni parallelogramma ha le diagonali congruenti V F 2 un parallelogramma con tre angoli congruenti è un rombo V F 3 dato un parallelogramma, comunque scelto un punto interno al lato, il quadrilatero è un trapezio V F 4 un quadrilatero con gli angoli opposti congruenti è un parallelogramma V F 5 un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rombo V F 6 un quadrilatero con un angolo retto e i lati opposti paralleli è un rettangolo V F 7 un quadrilatero che ha i quattro lati congruenti è un rombo V F 8 un quadrilatero con le diagonali congruenti è un rettangolo V F 9 se due lati consecutivi di un parallelogramma sono congruenti, allora il parallelogramma è un rombo V F 10 tutti i quadrati sono rombi V F 11 tutti i parallelogrammi sono rettangoli V F 12 se un parallelogramma ha un angolo retto, allora è un rettangolo V F ompleta. 13 Un quadrilatero che ha due lati opposti paralleli si chiama :::::::::::::::::::::::::. Se le diagonali di un tale quadrilatero sono congruenti, allora esso si chiama ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. 14 Un quadrilatero che ha entrambe le coppie di lati opposti paralleli si chiama ::::::::::::::::::::::::::::::. 15 Un parallelogramma che ha un angolo retto è un ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. 16 Un rombo è un parallelogramma che ha ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. 17 Un quadrilatero che appartiene sia all insieme dei rombi sia all insieme dei rettangoli è un ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. I due triangoli in cui un parallelogramma resta diviso da una diagonale sono congruenti in base al :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: criterio di congruenza. 19 In un quadrilatero risulta ffi. Formula almeno due ipotesi aggiuntive, ciascuna delle quali, unita all ipotesi ffi, garantisca che il quadrilatero sia un parallelogramma. Ipotesi aggiuntiva 1: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Ipotesi aggiuntiva 2: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 20 In un quadrilatero risulta k. Formula almeno due ipotesi aggiuntive, ciascuna delle quali, unita all ipotesi k, garantisca che il quadrilatero sia un parallelogramma. Test Ipotesi aggiuntiva 1: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Ipotesi aggiuntiva 2: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 21 Sia l insieme dei parallelogrammi; R l insieme dei rettangoli; O l insieme dei rombi; l insieme dei quadrati. uale delle seguenti relazioni non è corretta? R R R \ O ¼ R [ ¼ 22 Sia l insieme dei parallelogrammi; R l insieme dei rettangoli; O l insieme dei rombi; l insieme dei quadrati. uale delle seguenti relazioni non è corretta? R \ ¼ R [ O ¼ O R O La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 3/7

4 Esercizi guidati Scheda per il recupero 1 Sia un trapezio isoscele, di base maggiore e base minore. Sia il punto d intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui del trapezio, M la mediana relativa ad del triangolo e N il punto in cui M interseca. a. Il triangolo è isoscele perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. b. Si può affermare che gli angoli N b e N b sono congruenti? Sì, perché :::::::::::::::::::::::::::::: No c. Si può affermare che i due triangoli N e N sono congruenti? Sì, in base al ::::::::::::::::::::::::: criterio No N d. In base al passo precedente, puoi dedurre che: N è il punto medio di, N e M non sono allineati N è il punto medio di M nessuna delle precedenti M 2 Nella figura qui a fianco: ffi, k e R k. a. In base alle ipotesi, il triangolo è isoscele: su quale base? :::::::::::::::::::: b. al fatto che è isoscele (per ipotesi), che cosa si può dedurre? R b ffi R b R b ffi b b ffi R b c. uoi affermare che il quadrilatero R è un parallelogramma? R Si, perché... No, le ipotesi non sono sufficienti d. uoi affermare che b R ffi b R? Sì, perché lati opposti di un parallelogramma Sì, perché angoli corrispondenti rispetto a due rette parallele tagliate da una trasversale No, le ipotesi non sono sufficienti e. In base alle deduzioni dei passi precedenti, che cosa puoi dedurre degli angoli b e b R?:::::::::::::::::::: 3 Nella figura qui a fianco, il quadrilatero è un parallelogramma, K? e H?. onsidera i triangoli K e H. a. ompleta, giustificando perché gli elementi indicati sono congruenti: K b ffi H b perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: K b ffi H b perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ffi perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: K b. In base a quale criterio si può affermare che K e H sono congruenti? rimo Secondo generalizzato Secondo Terzo 4 Nella figura qui a fianco, il quadrilatero è un trapezio. a. Sapendo che M ffi M, che cosa si può affermare in base al teorema di Talete? ffi 2 N è il punto medio di ffi b. Rispetto a quali rette parallele e a quali trasversali si è applicato tale teorema? arallele:, MN e ; trasversali: e arallele: e ; trasversali: e Trasversali:, MN e ; parallele: e arallele: e ; trasversali: e 5 Nella figura qui a fianco: il quadrilatero è un parallelogramma; M M e N sono, rispettivamente, i punti medi di e ; e sono due punti, il primo appartenente ad e il secondo appartenente a. O O è il punto d intersezione di e MN. a. Si può affermare che NM è un parallelogramma. er quale ragione? N erché, per ipotesi, ha i lati opposti congruenti erché, dalle ipotesi, segue che i lati ::::::::::::::: e ::::::::::::::: sono congruenti e paralleli M H N La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 4/7

5 Esercizi guidati Scheda per il recupero erché, per ipotesi, ha i lati opposti paralleli er nessuna delle ragioni precedenti i conseguenza k ::::::::::::::: b. nalogamente si può affermare che :::::::::::::::::::: è un parallelogramma. i conseguenza MN k ::::::::::::::: c. onsidera le tre rette, MN e (parallele per quanto osservato in a. einb.) e le due trasversali e. In base al teorema di Talete, che cosa puoi dedurre dei segmenti O e O? :::::::::::::::::::: 6 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione. assi È dato un parallelogramma. ostruisci, nel semipiano di origine opposto a quello in cui giace, un parallelogramma FE. imostra che FE è un parallelogramma. Figura E F imostrazione oiché è un parallelogramma: ffi :::::::::: e k :::::::::: oiché FE è un parallelogramma: ffi :::::::::: e k :::::::::: er la proprietà :::::::::::::::::::::::::::::: della congruenza e del parallelismo puoi dedurre che: ffi ::::::::::::::: e k ::::::::::::::: Ma allora il quadrilatero FE ha i lati opposti ::::::::::::::::::::::::: e ::::::::::::::::::::, quindi ::::::::::::::::::::. 7 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione. assi Figura Sia un triangolo isoscele sulla base e H l altezza relativa ad. Indica: con e, rispettivamente, i punti medi di e ; con 0 e 0, rispettivamente, le proiezioni di e su. imostra che 0 ffi 0 H ffi H 0 ffi 0. imostrazione er il teorema di Talete puoi affermare che: 0 ffi :::::::::: e H 0 ffi :::::::::: ' L altezza relativa alla base di un triangolo isoscele è anche :::::::::::::::, quindi H ffi :::::::::::::::. i conseguenza ::::::::::::::::::::::::::::::. H ' La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 5/7

6 Esercizi guidati Scheda per il recupero 8 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione. assi In un parallelogramma, traccia la bisettrice dell angolo b e indica con il suo punto d intersezione con. oi traccia la bisettrice dell angolo b e indica con il suo punto d intersezione con. imostra che il quadrilatero è un rombo. Figura imostrazione Osserviamo che: b ffi b in quanto angoli :::::::::::::::::::: rispetto alle rette parallele :::::::::: e ::::::::::, tagliate dalla trasversale ::::::::::. b ffi :::::::::: per ipotesi unque, per la proprietà :::::::::::::::::::: della congruenza: b ffi :::::::::: ertanto il triangolo è isoscele sulla base :::::::::::::::::::: e quindi: ffi :::::::::: [*] Ragionando in modo analogo si deduce che il triangolo è :::::::::::::::::::: sulla base ::::::::::, quindi: ffi :::::::::: [**] a [*] e [**], segue che ::::::::::::::::::::; d altra parte è anche k :::::::::: quindi il quadrilatero è un ::::::::::::::::::::::::::::::. Tale parallelogramma è un rombo perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. 9 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione. assi Figura imostra che congiungendo i punti medi dei lati di un rombo si ottiene un rettangolo. R imostrazione I punti R e sono i punti medi dei lati e del triangolo, quindi: R k :::::::::: e R ffi 1 2 :::::::::: Ragionando analogamente possiamo dedurre che: S k :::::::::: e S ffi :::::::::: RS k :::::::::: e RS ffi :::::::::: k :::::::::: e ffi :::::::::: S ueste relazioni dicono in particolare che i lati R e S sono paralleli alla diagonale :::::::::::::::::::: mentre i lati RS e sono paralleli alla diagonale ::::::::::::::::::::. oiché in un rombo le diagonali sono :::::::::::::::::::::::::::::::::::, puoi dedurre che ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 6/7

7 Esercizi da svolgere Scheda per il recupero 1 Un rombo è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari. Non è vero, invece, che ogni quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rombo. isegna nella figura un controesempio. 2 Un rettangolo è un quadrilatero con le diagonali congruenti. Non è vero, invece, che ogni quadrilatero con le diagonali congruenti è un rettangolo. isegna nella figura un controesempio. 8 imostra che un rombo con un angolo retto è un quadrato. 9 Sia un rombo e sia O il punto d intersezione delle diagonali. Indica con H, K, R e S le proiezioni di O, rispettivamente, sui lati,, e. imostra che: a. H, O e R sono allineati; b. K, O e S sono allineati; c. HKRS è un rettangolo. 10 Sia un trapezio rettangolo, di base maggiore e base minore, con angoli retti in ein. Indica con M il punto medio del lato obliquo. imostra che M ffi M. (Suggerimento: traccia l altezza relativa ad del triangolo M) 11 onsidera un trapezio e traccia il segmento che congiunge i punti medi dei suoi lati obliqui. imostra che tale segmento è parallelo alle basi del trapezio e dimezza le diagonali. 3 In un trapezio, di base maggiore e base minore, traccia la bisettrice dell angolo b e indica con E il punto in cui interseca la retta. imostra che ffi E. 4 Sulla diagonale di un parallelogramma, considera due punti e tali che ffi. imostra che è un parallelogramma. 5 ato un segmento, di punto medio M, traccia due rette p e q, passanti rispettivamente per e, parallele tra loro. Una retta r, passante per M, interseca p in R e q in S. imostra che SR è un parallelogramma. 6 Sia un parallelogramma e siano M, N, e i punti medi di,, e. imostra, nell ordine, che: a. M e N sono congruenti; b. e MN sono congruenti; c. M k N. 7 onsidera un triangolo, isoscele sulla base. Traccia la bisettrice dell angolo esterno di vertice del triangolo e indica con il punto d intersezione della retta cui appartiene tale bisettrice con la retta passante per e per il punto medio di. imostra, nell ordine, che: a. la bisettrice è parallela al lato ; b. il quadrilatero è un parallelogramma. 12 In un trapezio isoscele, di base maggiore ebase minore,siam il punto medio di e N il punto medio di. imostrachemn è congruente alla metà di. 13 imostra che congiungendo i punti medi dei lati di un rettangolo si ottiene un rombo. 14 In riferimento alla figura sotto, scrivi l enunciato del teorema la cui ipotesi e la cui tesi sono quelle indicate e dimostralo. IOTESI: ffi e b ffi b TESI: è un parallelogramma 15 imostra che un quadrilatero con due lati opposti congruenti e paralleli e le diagonali congruenti è un rettangolo. 16 imostra che congiungendo i punti medi dei lati obliqui di un trapezio isoscele con il punto medio di una delle due basi, si ottiene un triangolo isoscele. 17 Sia un triangolo isoscele sulla base. Indica con e, rispettivamente, i punti medi dei lati obliqui e e con 0, 0, 0 le proiezioni di, e su. imostra che ffi. imostra che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un trapezio isoscele è un rombo. 19 Sia un parallelogramma. Indica con il punto d intersezione delle bisettrici degli angoli adiacenti alla base e dimostra che b è retto. 20 Sia un triangolo isoscele sulla base. rolunga, dalla parte di, di un segmento E e, dalla parte di, di un segmento congruente a E. imostra che E è un trapezio isoscele. La matematica a colori etrini f 2014 e gostini Scuola Sp Novara 7/7