COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA

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Ignazio De Angelis
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1 COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA ) Inscrivere in un semicirconferenz di dimetro r un rettngolo ABCD vente il lto AB sul dimetro ed vente il perimetro ugule r. ) E dt l semicirconferenz di centro O e dimetro ABr.Determin su AB un punto C in modo che condott per C l perpendicolre d AB fino incontrre l semicirconferenz in E,si verifict l relzione AC^ CE^ 7/ r^ ) Sul dimetro AB r di un semicirconferenz determin due punti C e D in modo che AD AC e che le semicorde CM e DN perpendicolri l dimetro AB soddisfino l relzione MC ^ ND ^ AB^. Determin l're del trpezio MCDN. )Su di un semicirconferenz di dimetro AB r determin un punto P in modo che dett H l su proiezione sul dimetro AB,si verifict l relzione AP^ AH ^HB^ 7/ r^. )In un trpezio ABCD,rettngolo in A e in D,circoscritto d un circonferenz di centro O,l se minore DC è divis dl punto di tngenz K in due prti tli che DK/ KC. Spendo che il perimetro del trpezio è 9,clcol l're. ) In un semicirconferenz di dimetro AB r inscrivere un tringolo rettngolo ABC in modo che il rpporto tr il cteto AC e l su proiezione sull'ipotenus si /. 7) Determin su di un semicirconferenz di centro O e dimetro AB r un punto P in modo che dett H l su proiezione sul dimetro AB si verifict l seguente relzione AH PH / r. 8) Dt un semicirconferenz di dimetro AB,trcci l tngente nel punto A e prendi su di ess il segmento AD cm.8;congiungi D con B ed indic con C il punto di intersezione di tle congiungente con l semicirconferenz.spendo che DC cm..8,determin il rggio dell circonferenz. 9) E' dt un semicirconferenz di centro O e dimetro AB r:determin su AB un punto P in modo che detto C il punto di intersezione dell perpendicolre condott d P d AB con l semicirconferenz si verifict l relzione AC ^ CP^ CB^ 8r^. Conduci poi dl punto C l tngente ll semicirconferenz che incontr in M l rett del dimetro AB e in N l semirett tngente in B ll semicirconferenz.determin il perimetro dei tringoli OCM e MNB. ) Determin l're di un tringolo isoscele inscritto in un circonferenz di rggio r spendo che l somm dell se e dell'ltezz d ess reltiv è / r. ) Determin l misur dei cteti di un tringolo rettngolo l cui ipotenus misur e che è circoscritto d un circonferenz il cui rggio misur. )In un tringolo ABC rettngolo in A,si M un punto dell'ipotenus tle che BM.Si conduc d M l perpendicolre ll'ipotenus stess che incontr il cteto AC nel punto N tle chean e NC.Determin il perimetro di ABC. ) L se di un tringolo isoscele è cm.8 e il lto è cm.,determin il lto del qudrto

2 inscritto vente un lto sull se. ) Nel tringolo rettngolo ABC l proiezione BH del cteto AB sull'ipotenus BC misur,spendo che HC -ABHB,determin il perimetro del tringolo ABC: ) In un trpezio rettngolo ABCD l digonle minore AC è perpendicolre l lto BC.Spendo che l se CD è di cm. e l'ltezz AD è di cm.,clcol il perimetro del trpezio. N.B. il simolo ^ corrisponde d elevre l qudrto EQUAZIONI PARAMETRICHE ) Dt l equzione prmetric ( k ) k determin per qule vlore di k sussistono tr le sue rdici le seguenti relzioni: ) ) c) d) e) f) g) ) Dt l equzione ( k ) k con k determin k in modo che: ) le rdici sino reli ) le rdici sino uguli c) le rdici sino opposte d) le rdici sino concordi e) l somm dei reciproci delle rdici si f) l somm dei qudrti delle rdici si g) l differenz delle rdici si h) l somm dei reciproci dei qudrti delle rdici si.

3 ) Dt l equzione ( ) ( k ) 8 k k con k determinre k in modo che : ) le rdici sino reli ) un rdice si ugule c) l somm delle soluzioni si d) le due rdici sino opposte e) f) le rdici sino reciproche g) l somm dei qudrti delle rdici si ugule h) l somm dei reciproci dei qudrti delle rdici si ugule i) ) Determinre i vlori del prmetro k per i quli l equzione: k mmett ) rdici reli; ) un rdice ugule ; c) un rdice ugule - d) due rdici reli tli che l somm dei loro qudrti si ugule e) due rdici reli tli che il oro prodotto si ugule f) due rdici reli tli che il loro prodotto si ugule ; g) un rdice si ugule - h) due rdici reli tli che i) due rdici reli tli che l somm dei loro cui si ugule. ) Dt l equzione prmetric ( k ) k k ( con k ) determin k in modo che sino soddisftte le seguenti condizioni : ) le soluzioni sino reli; ) le soluzioni sino reli e coincidenti; c)le soluzioni sino reli e reciproche;

4 d) le soluzioni reli ino somm dei reciproci ugule ; e)un soluzione rele si ugule ; f)le soluzioni reli sino tli che il doppio dell loro somm si ugule l triplo del loro prodotto; g) reli e opposte; h) le soluzioni sino reli e discordi. ) Dt l equzione ( k ) k determin per quli vlori di k sono soddisftte le seguenti condizioni: ) l somm dei reciproci delle rdici si ) l somm dei qudrti delle rdici si c) l somm dei reciproci dei qudrti delle rdici si d) le rdici sino reli; e) un rdice si ugule 7; f) le rdici sino opposte g) le rdici sino discordi; h) le rdici sino reciproche i) j) 8 8 k) l somm dei cui delle rdici si l) un rdice si. 7) Dt l equzione prmetric k (k ) k con k, determin k in modo che vlgno le seguenti condizioni: ) Il modulo dell somm delle rdici è mggiore di ) Il modulo del prodotto delle rdici è minore di Risolvi i seguenti sistemi di equzioni di secondo grdo: 8) y y y #% 9) ( )y y $ &% ( y ) Risolvi e discuti le seguenti equzioni letterli intere: ) ( )

5 ) ( ) ( ) Risolvi e discuti le seguenti equzioni letterli frtte: ) ( ) ) ( ) 7 RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI : D) 8 D) ( )( ) 9 D) 7 7 D) D) 9 D) 8 D7) 9 D8) 8 RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI E EQUAZIONI CON I MODULI: M) M) M) M)

6 Teoremi di geometri ) In un tringolo rettngolo ABC, vente per se l ipotenus BC trcci l ltezz AH. D H mnd le perpendicolri i cteti indicndo con E l intersezione con AB e con D l intersezione con AC. Dimostr che: ) A,E;H,D sono punti di un stess circonferenz; ) il qudriltero EBCD è inscriviile in un circonferenz. ) Dimostrre che in ogni tringolo i punti medi dei tre lti e il piede di un qulsisi delle tre ltezze individuno un trpezio isoscele. ) Nel tringolo ABC, rettngolo in A, il cteto AC è metà dell ipotenus BC. Sull ipotenus, esternmente l tringolo, disegn il tringolo equiltero BEC. Prolung i lti EC e BA finchè si incontrno in F. Dimostr che: ) ABEC è un trpezio; ) A è punto medio di FB. ) D un punto P esterno d un circonferenz si conducno due secnti. Le intersezioni dell prim rett con l circonferenz sino A e B (A compreso tr P e B), quelle dell second C e D (C compreso tr P e D). Dimostrre che i tringoli PBC e PAD hnno gli ngoli ordintmente congruenti. ) Dto l esgono regolre ABCDEF dimostrre che: ) il qudriltero AEDB è un rettngolo; ) il qudriltero ADEF è un trpezio isoscele; c) l digonle EC è divis dlle digonli DF e DB in tre segmenti congruenti.. ) Si dto il tringolo ABC con BAAC. Si conduc l isettrice AD dell ngolo A e dl punto D si conduc l semirett DE che form con AD un ngolo ADECDA. Dimostrre che AD è sse del segmento CE. 7) Nel tringolo ABC le medine AE e BF sono congruenti. Detto O il punto di intersezione di AE e BF, dimostrre che: ) AOOB; ) BEOAOF; c) ABC è isoscele. 8) D un punto P, esterno un circonferenz, si conducno le tngenti PA e PB. Sul prolungmento di AP si consideri un punto C tle che si PCPA. Se AD è il dimetro condotto per A, dimostrre che i punti C,B D sono llineti. 9) L ngolo AVB è un ngolo ll circonferenz che insiste sull rco AB, M è il punto medio di AB, BC è un cord prllel VM. Dimostrre che AMCV. ) Sino AB e AC due corde consecutive, M il punto medio dell rco BA ed N il punto medio dell rco AC. Dette D ed E le intersezioni di MN rispettivmente con AB e AC, dimostrre che ADAE. ) In un trpezio ABCD circoscritto un circonferenz di centro O, AB e CD sono rispettivmente l se mggiore e l se minore. Dimostrre che gli ngolo COB e AOD sono retti. ) Il tringolo ABC è rettngolo in A e CA è il cteto mggiore: Dett AH l ltezz reltiv ll ipotenus BC, si consideri su BC un segmento HEBH e dl vertice C si conduc l perpendicolre CF d AE: Dimostrre che: ) il tringolo ABE è isoscele; ) FCBBCA; c) il qudriltero AHFC è inscittiile in un circonferenz. ) Si consideri un tringolo equiltero e le rispettive circonferenze inscritt e circoscritt. Dimostrre che: ) il rggio dell circonferenz circoscritt è il doppio del rggio dell circonferenz inscritt; ) l ltezz del tringolo è / del rggio dell circonferenz circoscritt.

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