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1 Anno 2014

2 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema di esistenza delle rette perpendicolari... 4 Asse di un segmento... 5 Le Rette parallele... 6 Il teorema delle rette parallele... 7 Rette tagliate da una trasversale... 8 Somma degli angoli interni di un poligono convesso... 9 I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli Primo criterio di congruenza: Secondo criterio di congruenza: Terzo criterio di congruenza: Quarto criterio di congruenza I quadrilateri Il parallelogramma Il trapezio Il trapezio isoscele Il trapezio rettangolo I parallelogrammi Il rettangolo Il rombo Il quadrato Il fascio di rette parallele Il teorema del fascio di rette parallele GeoGebra Che cos è GeoGebra?... 20

3 2 Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli Altezze relativa a un vertice Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti. Mediane relative a un lato Dato un triangolo ABC, è il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a quel lato. Bisettrici relativi a un lato Dato un triangolo ABC, è il segmento costituito dai punti della bisettrice dell angolo A che sono anche punti del triangolo..

4 3 Rette perpendicolari Definizione: Due rette sono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti.

5 4 Teorema di esistenza delle rette perpendicolari Definizione: Per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare ad un retta data. Figura: Il punto P appartiene alla retta r. Piede della perpendicolare: E il punto in cui la perpendicolare interseca la retta data.

6 5 Asse di un segmento Definizione: Si chiama asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio.

7 Le Rette parallele Definizione: Due rette sono parallele quando non hanno alcun punto in comune oppure quando coincidono. 6 Figura: La retta r e la retta s sono parallele perché non hanno alcun punto in comune, mentre la retta t e la retta u sono parallele perché coincidono.

8 Il teorema delle rette parallele Teorema: Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni congruenti, allora sono parallele. 7 Figura: L angolo α β di conseguenza le due rette sono parallele (r s).

9 8 Rette tagliate da una trasversale Considerando due rette parallele tagliate da una trasversale formano otto angoli che vengono suddivisi in: -Angoli alterni (interni/ esterni) congruenti; -Angoli corrispondenti congruenti; -Angoli coniugati(interni/esterni) supplementari;

10 9 Somma degli angoli interni di un poligono convesso Teorema: In un poligono convesso di n lati, la somma degli angoli interni è congruente a (n-2) 180 -Poligono di 6 lati scomposto in 4 triangoli. -Poligono di 7 lati scomposto in 5 triangoli. -Poligono di 8 lati scomposto in 6 triangoli.

11 10 I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli Primo criterio di congruenza: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti. I triangoli hanno congruenti i due cateti e l angolo compreso fra loro ovvero l angolo retto, quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

12 11 Secondo criterio di congruenza: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente un cateto e un angolo acuto corrispondente. I triangoli hanno congruenti i due angoli ovvero l angolo retto e quello acuto e un lato, quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza.

13 12 Terzo criterio di congruenza: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l'ipotenusa e un angolo acuto. I due triangoli hanno congruenti i due angoli ovvero quello acuto e quello retto e l ipotenusa quindi sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.

14 13 Quarto criterio di congruenza Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l ipotenusa e un cateto.

15 14 I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. Il parallelogramma ha cinque condizioni necessarie affinché sia un quadrilatero. Le diagonali lo divide in due triangoli congruenti: ABD BCD e ABC ACD Lati opposti congruenti: AD BC e AB CD Angoli opposti congruenti: A C e B D Angoli adiacenti a ogni lato supplementari: (A) +(B) =180 Le diagonali si incontrano nel loro punto medio: AM MC e BM MD

16 15 Il trapezio Definizione: Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati paralleli. Figura: I due lati paralleli sono le basi, la base maggiore (AB) e la base minore (CD). I due lati obliqui vengono chiamati lati del trapezio. La distanza fra le due basi è l altezza (DH1). Il trapezio isoscele Definizione: Un trapezio isoscele è un trapezio avente i lati obliqui congruenti. Teorema: In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a una delle basi sono congruenti, il trapezio è isoscele. Il trapezio rettangolo Definizione: Un trapezio rettangolo è un trapezio avente uno dei lati perpendicolari alle basi.

17 16 I parallelogrammi Il rettangolo Definizione: Il rettangolo è un parallelogramma avente tutti e quattro gli angoli congruenti. Teorema: Un rettangolo ha le diagonali congruenti. Teorema: Un parallelogramma avente le diagonali congruenti è un rettangolo. Teorema: In un triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

18 17 Il rombo Definizione: Un rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. Proprietà: Un rombo ha le diagonali che sono perpendicolari fra di loro e sono bisettrici degli angoli. Criterio per stabilire se è un parallelogramma: Se un parallelogramma ha: le diagonali perpendicolari, oppure le diagonali che sono bisettrici degli angoli, allora è un rombo.

19 18 Il quadrato Definizione: Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti. Teorema: Un quadrato ha le diagonali congruenti; esse sono perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli. Criterio per stabilire se è un parallelogramma: Se un parallelogramma ha: le diagonali congruenti e perpendicolari, oppure le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo, allora è un quadrato.

20 19 Il fascio di rette parallele Il teorema del fascio di rette parallele Teorema: Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.

21 20 GeoGebra Che cos è GeoGebra? GeoGebra è un programma semplice e intuitivo adatto a tutti. Con GeoGebra è possibile fare costruzioni geometriche semplici ma anche più impegnative. E molto educativo ed è molto utile nell ambito scolastico. Per scaricare GeoGebra andare su questo sito: Capra Emanuele

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