06. Analisi Armonica. Controlli Automatici. Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti

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1 Controlli Automatici 6. Analisi Armonica Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e Reggio Emilia

2 Fase Ampiezza y(t) Analisi nel dominio del tempo Studio del comportamento dinamico di un sistema. Soluzione di equazioni differenziali lineari Trasformazione di Laplace Obiettivo Deduzione della risposta dei sistemi lineari ad eccitazioni tipiche (ad esempio il gradino). Analisi armonica di sistemi dinamici Tempo sec Analisi nel dominio della frequenza (Analisi armonica) 2 Metodo alternativo per lo studio dei sistemi di -2 controllo lineari Si basa su un diverso modello matematico dei -8 sistemi lineari: la funzione di risposta armonica Diagrammi di Bode Controlli Automatici Analisi Armonica 2-35 Frequenza rad sec

3 Analisi armonica di sistemi dinamici La funzione di risposta armonica costituisce una rappresentazione dei sistemi lineari stazionari strettamente legata alla funzione di trasferimento e pertanto equivalente alle equazioni differenziali (con sistemi inizialmente in quiete). Spesso è però più vantaggiosa per alcune sue caratteristiche, principale fra le quali è l attitudine ad essere rilevata sperimentalmente: la funzione di risposta armonica rappresenta, rispetto all equazione differenziale, un modello matematico di più agevole «identificazione» a partire da dati sperimentali. Verranno di seguito: Analizzate le proprietà delle funzioni di risposta armonica dei sistemi del primo e del secondo ordine Presentati metodi per la deduzione e la rappresentazione delle funzioni di risposta armonica più generali, come: i diagrammi di Bode i diagrammi polari (di Nyquist) i diagrammi di Nichols che rivestono un ruolo fondamentale nella progettazione dei dispositivi per modificare e migliorare il comportamento dinamico dei sistemi in retroazione Controlli Automatici Analisi Armonica 3

4 Analisi armonica di sistemi dinamici La definizione di funzione di risposta armonica si fonda su una proprietà caratteristica dei sistemi lineari stazionari: Se si applica ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile il segnale diingresso x t = X sen ωt esaurito il transitorio, cioè in condizione di regime stazionario periodico, l uscita varia pure con legge sinusoidale caratterizzata dalla stessa pulsazione ω e può pertanto essere espressa con la relazione y t = Y(ω) sen (ωt + φ ω ) L ampiezza dell uscita e l angolo di fase rispetto all ingresso sono in generale funzioni della pulsazione ω del segnale di ingresso applicato x t = X sen ωt y t = Y(ω) sen (ωt + φ ω ) G(s) Controlli Automatici Analisi Armonica 4

5 Sviluppo in serie di Fourier Si studia la risposta di un sistema ad un ingresso sinusoidale in quanto si può dimostrare che qualsiasi segnale periodico f(t) può essere espresso come una combinazione lineare di segnali sinusoidali di cui, in virtù della proprietà di linearità, si possono determinare separatamente gli effetti. RISULTATO FONDAMENTALE: Una qualunque funzione periodica f t di periodo T può essere rappresentata mediante la serie di Fourier f t = a + n= a n sen nω t + b n cos nω t dove ω = 2π T Formulazioni alternative Relazione tra i coefficienti delle Forma esponenziale formulazioni c = a f t = n= c n e jnω t Forma trigonometrica f t = c + n= r n cos nω t + φ n c n = a n sgn n jb n 2 r n = 2 c n = 2 a n 2 + b n 2 φ n = arg c n = arctan b n a n Controlli Automatici Analisi Armonica 5

6 DEFINIZIONI f t = c = a r cos ω t + φ n= Sviluppo in serie di Fourier c n e jnωt = c + r n cos nω t + φ n n= armoniche componente continua a armonica (fondamentale) r k cos kω t + φ k r k = c k φ k = arg c k k a armonica peso del modulo della k a armonica sfasamento della k a armonica Controlli Automatici Analisi Armonica 6

7 DEFINIZIONI Esistono segnali il cui sviluppo in serie è composto da un numero finito di termini, ovvero per i quali il peso dei coefficienti al di fuori di un certo intervallo hanno un peso trascurabile rispetto agli altri: f t = c + n= Sviluppo in serie di Fourier r n cos nω t + φ n r k r k n L, n U l l, n L n U, Si definisce banda del segnale l intervallo di pulsazioni n L ω, n U ω compreso tra la minima e la massima pulsazione significativa Segnali a banda limitata: n L, n U è finito Segnali a banda illimitata: altrimenti Sviluppare un segnale in serie di Fourier equivale a fare un analisi armonica, cioè a rappresentare il segnale nel «dominio delle frequenze». Controlli Automatici Analisi Armonica 7

8 Se il segnale f(t) non fosse periodico, si può ricorrere alla Trasformata di Fourier Trasformata di Fourier Data una funzione f(t), a valori reali o complessi, si definisce Trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale ω definita come F jω = F f t = + f(t)e jωt dt La relazione tra f(t) e F jω risulta biunivoca e quindi le due rappresentazioni hanno lo stesso contenuto informativo. Controlli Automatici Analisi Armonica 8

9 La funzione F jω viene detta anche spettro di f(t): Spettro di ampiezza: F jω Spettro di fase: arg F jω Trasformata di Fourier La relazione + f t = 2Re F jω cos(ωt) 2Im F jω sen(ωt) dω 2π mette in evidenza come il segnale f(t) sia scomponibile in una infinità non numerabile di componenti sinusoidali dette armoniche La trasformata di Fourier rappresenta una estensione ai segnali non periodici del risultato ottenuto per segnali periodici con lo sviluppo in serie di Fourier Controlli Automatici Analisi Armonica 9

10 Relazione tra Trasformata di Fourier e Trasformata di Laplace Trasformata di Fourier Trasformata di Laplace F jω = F f t = F s = L f t = + + Trasformata di Fourier f(t)e jωt dt f(t)e st dt Nelle condizioni di convergenza della trasformata di Laplace, le due trasformate soddisfano la relazione F f t = L f t s=jω Controlli Automatici Analisi Armonica

11 Dall analisi in frequenza di segnali temporali c Analisi armonica di sistemi dinamici r cos ω t + φ + r n cos nω t + φ n Dalla sovrapposizione degli effetti per sistemi lineari c G(s) G(s) r cos ω t + φ G(s) + r n cos nω t + φ n G(s) Dall unione di questi due risultati acquista quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di ingressi sinusoidali r n cos nω t + φ n G(s) Controlli Automatici Analisi Armonica

12 Analisi armonica di sistemi dinamici Ha quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di ingressi sinusoidali r n cos nω t + φ n G(s) y t a regime?? Ipotesi: G(s) asintoticamente stabile (poli della funzione tutti a parte reale negativa) Si può dimostrare che un sistema lineare asintoticamente stabile, se sollecitato con un ingresso sinusoidale, a regime presenta un uscita avente la stessa frequenza. Controlli Automatici Analisi Armonica 2

13 Analisi armonica di sistemi dinamici Come visto, l ampiezza dell uscita e l angolo di fase rispetto all ingresso sono in generale funzioni della pulsazione ω del segnale di ingresso. x t = X sen ωt y t = Y(ω) sen (ωt + φ ω ) 5 TRANSITORIO Tempo sec REGIME Controlli Automatici Analisi Armonica 3

14 Si definisce funzione di risposta armonica la funzione F(ω), di variabile reale e a valori complessi, avente Modulo Argomento rapporto Y(ω) X angolo φ(ω) Funzione di risposta armonica F ω = Y(ω) X ejφ(ω) = Y(ω) X cos φ ω + j sen φ(ω) Tale funzione, in virtù della linearità del sistema, è indipendente da X. Essa descrive completamente il comportamento del sistema in condizione di regime periodico alle varie frequenze ed è definita nel dominio ω < Controlli Automatici Analisi Armonica 4

15 Funzione di risposta armonica In relazione alla funzione di risposta armonica vale il seguente teorema. Teorema (regime sinusoidale dei sistemi lineari stazionari) Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente i poli a parte reale negativa G s Re p i < soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell eccitazione. La funzione di risposta armonica F(ω) è legata alla funzione di trasferimento G(s) dalla relazione F ω = G(jω) Controlli Automatici Analisi Armonica 5

16 Dimostrazione Avendo i poli a parte reale negativa, il sistema è asintoticamente stabile, cioè la sua risposta ad ogni perturbazione tende ad annullarsi per t tendente all infinito. La trasformata di Laplace del segnale di ingresso x t = X sen ωt è X s = s 2 + ω 2 mentre quella del segnale di uscita, a partire da una condizione iniziale di quiete, è data dalla relazione Y s = G s X s = G s Controlli Automatici Analisi Armonica 6 Xω Xω s 2 + ω 2 = G(s) Xω (s jω)(s + jω) I poli della funzione a secondo membro sono gli stessi della funzione di trasferimento G(s), più quelli corrispondenti al segnale di ingresso: p = jω Funzione di risposta armonica p 2 = jω Nell antitrasformata i primi corrispondono ad un termine transitorio y (t) e gli altri ad un termine permanente y p (t) che, come si verificherà, è sinusoidale.

17 Funzione di risposta armonica Da si può scrivere Y s = G s X s = G s Xω s 2 + ω 2 = G(s) Xω (s jω)(s + jω) y t = y t + y p t = y t + K e jωt + K 2 e jωt in cui K e K 2 sono i residui corrispondenti ai poli p e p 2 e si possono calcolare come K = G(s) Xω (s+jω) s=jω = X 2j G(jω) K 2 = G(s) Xω = X G( jω) (s jω) s= jω 2j Poiché vale la relazione F s = F (s) si può scrivere G jω = G(jω) ejφ ω G jω = G(jω) e jφ(ω) in cui è φ ω = arg G(jω) Data l ipotesi di stabilità asintotica, per t sufficientemente elevato si può trascurare il termine transitorio y t Controlli Automatici Analisi Armonica 7

18 Da si ottiene quindi y t = y t + y p t = y t + K e jωt + K 2 e jωt y t y p t = G jω X ej ωt+φ ω e 2j Funzione di risposta armonica j ωt+φ ω = G jω Xsen(ωt + φ ω ) relazione che, in base alla definizione di funzione di risposta armonica, prova il teorema. F ω = Y(ω) X Modulo Argomento ejφ(ω) rapporto Y(ω) X angolo φ(ω) Funzione complessa di variabile reale ω: Il modulo rappresenta il fattore di amplificazione/attenuazione a regime dell ampiezza di ingressi sinusoidali alla frequenza ω L argomento lo sfasamento tra ingresso e uscita Controlli Automatici Analisi Armonica 8

19 OSSERVAZIONE IMPORTANTE Funzione di risposta armonica Il legame tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica assume un grande significato pensando che quest ultima si presta ad una identificazione sperimentale (analisi delle risposte a fronte di ingressi sinusoidali).8 lineare stazionario asint. stabile X ω = ω φ ω = ω 2 X 2 φ 2?? ω = ω 3 X 3 φ * *.8.8 ω = ω N X N φ N Valore del modulo e argomento di F ω = G(jω) alla frequenza ω = ω N Controlli Automatici Analisi Armonica 9

20 Funzione di risposta armonica Modellistica fisica Sperimentazione F(ω) = G(jω) Funzione di trasferimento Funzione di risposta armonica??? Vedremo, studiando i metodi grafici per la rappresentazione della funzione di risposta armonica, che sarà possibile mettere in diretta relazione l andamento (sperimentale) della funzione di risposta armonica con la posizione di poli/zeri della funzione di trasferimento. Controlli Automatici Analisi Armonica 2

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