Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo

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1 Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Appunti al corso di Algebra Anno accademico Prodotti diretti. Siano M e N due moduli sullo stesso anello A, non necessariamente sottomoduli di uno stesso modulo. Allora possiamo considerare il prodotto cartesiano M N di M con N, che e l insieme delle coppie ordinate (x, y) al variare di x in M e di y in N. In tale insieme si definisce una somma componente per componente ponendo (x, y) + (z, t) = (x + z, y + t). Con tale somma M N e un gruppo abeliano: ad esempio l elemento neutro e la coppia (, ), mentre l opposto di (x, y) e la coppia ( x, y). Possiamo dare a tale gruppo abeliano M N la struttura di modulo su A definendo una operazione esterna A (M N) M N cosi : (a, (x, y)) (ax, ay). Si vede subito che con tale operazioni M N e un A-modulo che si chiama il prodotto diretto di M con N. Se M = N = A invece che scrivere A A scriveremo A 2. Piu in generale, se M 1, M 2,..., M n e un insieme finito di A-moduli, possiamo definire il prodotto diretto M 1 M 2 M n. Questo e il prodotto cartesiano con una operazione di somma componente per componente (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e un prodotto esterno cosí definito: a(x 1, x 2,..., x n ) = (ax 1, ax 2,..., ax n ). Se M 1 = = M n = A, scriveremo A n invece che A A A. 1

2 2 Somme dirette. Siano invece N e P due sottomoduli di uno stesso A-modulo M. Allora ricordiamo che la somma di N e P e l insieme dei vettori di M della forma x + y, al variare di x in N e di y in P. Questo e un sottomodulo di M che si indica con N + P. Nel caso in cui M = N + P, diremo che M e la somma di N e di P. Proposizione 2.1. Nelle ipotesi precedenti, sono fatti equivalenti: 1) P N = {} 2) Ogni elemento di N + P si scrive in modo unico come somma di un elemento di N e di uno di P. Definizione 2.2. Se N e P verificano una delle precedenti ipotesi equivalenti, diciamo che la somma N + P e diretta e scriviamo N P invece che N + P. Ad esempio il gruppo abeliano 2Z dei numeri pari é la somma dei due sottogruppi 4Z e 6Z; infatti per ogni intero n si ha: 2n = ( n)4 + (n)6. Ma il vettore 1 si puó scrivere in tanti modi diversi come somma di un elemento di 4Z e di uno di 6Z: 1 = (1)4 + (1)6 = (4)4 + ( 1)6 = ( 5)4 + (5)6. Naturalmente 2Z non é somma diretta di 4Z e 6Z, e infatti si ha 12 4Z 6Z. Analogamente se M 1,..., M n sono sottomoduli di un A-modulo M, l insieme dei vettori di M che si possono scrivere nella forma x 1 + x x n con x i M i, e un sottomodulo di M che si indica con n i=1 M i. Se M = n i=1 M i, diciamo che M e la somma dei suoi sottomoduli M 1,..., M n. Osserviamo che se M i e un modulo ciclico per ogni i, ossia M i =< m i >, allora M = n i=1 M i se e solo se ogni vettore di M e combinazione lineare dei vettori m 1,..., m n ossia se e solo se i vettori m 1,..., m n sono un sistema di generatori per M. Come per il caso di due sottomoduli, ogni vettore di n i=1 M i si scrive come somma x 1 + x x n con x i M i, ma tale scrittura non é necessariamente unica. Proposizione 2.3. Sono fatti equivalenti: 1) M i j i M j = {} per ogni i = 1,..., n. 2) Ogni elemento v di n i=1 M i si scrive in modo unico nella forma con x i M i. v = x 1 + x x n 2

3 Definizione 2.4. Se i sottomoduli M 1,..., M n verificano una delle condizioni equivalenti nella precedente proposizione, diciamo che la somma n i=1 M i e diretta e scriviamo n i=1m i invece che n i=1 M i. Ad esempio se M e l R-modulo R 3, allora M e somma di due qualunque piani distinti che passano per l origine, ma non e la loro somma diretta. Mentre M e la somma diretta di una retta e un piano che non contenga la retta. Nel caso in cui M 1,..., M n sono sottomoduli di uno stesso A-modulo M, possiamo dunque parlare della loro somma e del loro prodotto diretto. I due concetti sono legati dal fatto che Proposizione 2.5. Abbiamo un omomorfismo canonico surgettivo: n ϕ : M 1 M 2 M n che e definito ponendo i=1 M i ϕ(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x x n. Si ha che ϕ e iniettivo se e solo se M i j i M j = {} per ogni i = 1,..., n, ossia se e solo se M i = M i. Ci servirá il seguente facile risultato. Proposizione 2.6. Se f : M N e g : P Q sono omomorfismi di A-moduli, allora posto f g : M P N Q l omomorfismo definito da risulta Im(f g) = Im(f) Im(g), (f g)(x, y) = (f(x), g(y), Ker(f g) = Ker(f) Ker(g). Relativamente ai moduli finitamente generati, si prova facilmente che se M e finitamente generato e N un suo sottomodulo, anche M/N e finitamente generato. Si ha anche Proposizione 2.7. Ogni addendo diretto di un modulo finitamente generato e finitamente generato. Proof. Sia M = P Q. Allora M/Q P, e quindi P e finitamente geenrato. Facciamo un esempio di un ideale di un anello commutativo con identitá che non e finitamente generato. Sia A l anello delle funzioni f : R R con le operazioni di somma e di prodotto pointwise. E chiaro che A e un anello commutativo con identitá. Se I e l insieme delle funzioni f A tali che esiste un intero n 1 con f(a) = se a > n, allora e immediato verificare che I e un ideale non finitamente generato. 3

4 3 Moduli di torsione e senza torsione Se N e un sottomodulo del modulo M su A, definiamo l annullatore di N l insieme Se m M, definiamo : A N = {a A am = m N.} : A m = {a A am =.} E chiaro che : A m = : A < m > e m si dice di torsione se : A m (). L insieme degli elementi di torsione si indica con T (M). Se A e integro, allora T (M) e un sottomodulo di M. Diciamo che M e di torsione se T (M) = M, ossia se tutti gli elementi di M sono di torsione. All altro estremo diciamo che M e senza torsione se T (M) = {}. E chiaro che se A e integro, allora M/T (M) e senza torsione. Ad esempio A n e senza torsione e lo stesso per gli spazi vettoriali. Sia ora M un A-modulo ed I un ideale di A. Supponiamo che I : A M; allora M e canonicamente un modulo su A/I mediante la moltiplicazione A/I M M definita da am = am. Infatti se a = b, allora a b I e quindi per ogni m M, si ha (a b)m = e quindi am = bm. Infine notiamo che non possiamo in alcun modo dare senso alla moltiplicazione di due sottomoduli. Ma se I e un ideale di A, allora definiamo { } IM := ai m i, a i I, m i M. Questo e un sottomodulo di M tale che I : A (M/IM); se ne deduce che il modulo M/IM e canonicamente un A/I-modulo. Applicheremo tale osservazione nel caso in cui I = m e un ideale massimale di A. Allora avremo su M/mM una struttura di spazio vettoriale su A/m. 4 Moduli liberi Se m é un vettore dell A-modulo M, si ha una applicazione lineare canonica ϕ : A M definita da ϕ(a) = am. Il nucleo di ϕ é l annullatore di m. Il primo teorema di isomorfismo ci assicura che Proposizione 4.1. Per ogni m M si ha un isomorfismo A/ : m < m >. 4

5 É chiaro che ϕ é iniettivo se e solo se : m = (). Ció equivale a dire che m é un vettore linearmente indipendente, in accordo con la terminologia degli spazi vettoriali. Quindi : m = se e solo se A < m >. Piú in generale, dati i vettori m 1,..., m s M, possiamo considerare la applicazione lineare ϕ : A s M definita ponendo ϕ(a 1,..., a s ) = a 1 m 1 + a 2 m a s m s. É chiaro che i vettori m 1,..., m s sono linearmente indipendenti se e solo se ϕ é iniettivo, mentre ϕ é surgettivo se e solo se i vettori m 1,..., m s generano M. Definizione 4.2. Diciamo che i vettori m 1,..., m s sono una base di M, se ϕ é un isomorfismo, ossia se tali vettori sono un sistema di generatori per M e sono linearmente indipendenti. Definizione 4.3. I moduli che ammettono una base sono detti moduli liberi. Esempio 4.4. Il modulo A s é un modulo libero per ogni s 1. Infatti i vettori e 1 = (1,,..., ), e 2 = (, 1,,..., ),..., e s = (,,...,, 1) sono una base di A s che chiameremo base canonica di A s. Dalle considerazioni precedenti, si ha subito che Proposizione 4.5. Sono fatti equivalenti: 1) M é libero. 2) M é isomorfo ad A s per qualche s. Nella definizione di modulo libero che abbiamo introdotto si vuole che il modulo sia finitamente generato. Si puó parlare di moduli liberi anche nel caso di moduli non finitamente generati, ma tale nozione non e necessaria per il corso. Una diversa condizione per avere una base é data dalla seguente proposizione. Proposizione 4.6. I vettori m 1,..., m s sono una base di M se e solo se M = s i=1 < m i > e inoltre : m i = () per ogni i = 1,..., s. Notiamo che la condizione M = s i=1 < m i > non é sufficiente ad assicurare che i vettori m 1,..., m s siano una base di M. Ad esempio Z/6Z =< 2 > < 3 >, ma : 2 = (3) e infatti Z/6Z non é libero. Ne segue che 5

6 Corollario 4.7. M é un modulo libero se e solo M é somma diretta di moduli ciclici M = s i=1 < m i > con per ogni i = 1,..., s. : m i = () Se L é libero con base v 1,..., v n, ogni vettore v L si scrive in modo unico come combinazione lineare n i=1 a iv i di v 1,..., v n. Ossia se n i=1 a iv i = n i=1 b iv i allora a i = b i per ogni i. Questo implica che Proposizione 4.8. Ogni omomorfismo ϕ : L M é univocamente determinato dai vettori ϕ(v 1 ),..., ϕ(v n ). Ció significa che Corollario 4.9. Dati i vettori w 1,..., w n in M, esiste ed é unico un omomorfismo tale che ϕ(v i ) = w i per ogni i = 1,..., n. ϕ : L M Notare che se i vettori v 1,..., v n generano L ma non sono una base di L, un tale omomorfismo non é detto che esista. Ad esempio se L = Z 2 e M = Z, i vettori v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 5), v 3 = (1, 3) generano L ma non sono una base di L. Se fissiamo in M i vettori w 1 = 3, w 2 = 2, w 3 = 1, allora non esiste nessun omomorfismo ϕ : L M tale che ϕ(v i ) = w i per ogni i = 1,..., 3. Infatti se tale ϕ esistesse, si avrebbe la contraddizione 2 = 2ϕ(v 3 ) = ϕ(2v 3 ) = ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) = 5. Osserviamo che esistono moduli liberi e moduli non liberi. Ad esempio Z/(n) e un modulo su Z (ossia un gruppo abeliano) che non é libero. Infatti ogni vettore p é tale che np = np = e quindi non puó far parte di un insieme di vettori linearmente indipendenti. É chiaro invece che ogni modulo finitamente generato su un corpo k, ossia ogni spazio vettoriale finitamente generato, é un k- modulo libero. Sappiamo che se si considera l anello A come modulo su se stesso, i suoi sottomoduli sono tutti e soli gli ideali di A. Allora é facile dimostrare che Lemma 4.1. Un ideale I di A é un A-modulo libero se e solo se I = (a), con a non zero-divisore in A. 6

7 Proof. Basta semplicemente osservare che due elementi a e b di un anello A non sono mai linearmente indipendenti. Infatti c é sempre la relazione ab ba =. Si potrebbe pensare che la teoria dei moduli liberi e quella degli spazi vettoriali siano parallele. Le seguenti osservazioni mostrano che cosí non é. Ad esempio Osservazione In un modulo libero non é sempre vero che da un sistema di generatori si possa estrarre una base. Ad esempio nel gruppo abeliano G = 2Z dei numeri pari, i vettori 4 e 6 sono un sistema di generatori per G, ma né 4 né 6 formano una base. Osservazione In un modulo libero non sempre un sistema di vettori lineramente indipendenti si puó estendere ad una base. Ad esempio in Z il vettore 7 é linearmente indipendente ma non é una base e non puó far parte di una base perché abbiamo visto che, se n 2, n vettori di un anello A, pensato come modulo su se stesso, non sono mai lineramente indipendenti. Peró siamo capaci di dimostrare che tutte le basi di uno stesso modulo libero sono equipotenti. Mostriamo due dimostrazioni di tale risultato, la prima necessita di una interessante applicazione del Lemma di Zorn. Proposizione Ogni anello commutativo A con identitá possiede un ideale massimale. Proof. Consideriamo la famiglia F degli ideali propri di A ordinata parzialmente per inclusione. F e non vuota perche contiene l ideale nullo; proviamo che ogni catena in F ha un maggiorante. Se infatti C : {I α } α A e un sottoinsieme di F totalmente ordinato, allora la unione degli ideali di F e ancora un elemento di F perche e un ideale ed e proprio. Il Lemma di Zorn ci assicura che F possiede un elemento massimale e questo prova la nostra tesi. Proposizione Sia M e un A-modulo libero, m 1,, m s una sua base e m un ideale massimale di A. Allora m 1,, m s sono una base dello spazio vettoriale M/mM sul corpo A/m. Proof. Se m M, possiamo scrivere m = a i m i e quindi m = a i m i = ã i m i. Ció prova che m 1,, m s generano lo spazio vettoriale M/mM sul corpo A/m. Proviamo che sono vettori indipendenti. Se si ha ã i m i =, allora a i m i mm e quindi ai m i = b i m i con b i m. Ne segue (a i b i )m i =, da cui a i = b i m. La conclusione segue. Teorema Tutte le basi di un modulo libero sono equipotenti. Possiamo dimostrare questo risultato anche usando la teoria delle matrici su un anello commutativo con identitá. 7

8 5 Matrici ad elementi in un anello Nell insieme M(A) delle matrici ad entrate in A possiamo definire la somma di due matrici dello stesso tipo m n al solito modo, ossia elemento per elemento. In formule (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ). La somma é commutativa ed associativa. Possiamo anche definire il prodotto righe per colonne di due matrici X e Y, purché X sia di tipo m n e Y di tipo n q. Il prodotto non é commutativo. Possiamo infine definire il prodotto di uno scalare a per una matrice X M(A) ponendo É chiaro che se a, b A, si ha a(x ij ) = (ax ij ). a(bx) = (ab)x = b(ax) e se a A, ed X e Y sono matrici dello stesso tipo, allora a(xy ) = (ax)y = X(aY ). Infine, data la matrice X di tipo n m, la sua trasposta é quella matrice di tipo m n che si ottiene da X sostituendo le righe con le colonne. La trasposta di X si indicherá con t X. É chiaro che data una matrice quadrata X = (x ij ) M(A) di tipo n n, possiamo definire il suo determinante in questo modo: det(x) = σ (±)x 1 σ(1) x 2 σ(2)... x n σ(n) ove σ varia nell insieme delle permutazioni di {1, 2,..., n}. Dalla definizione segue che det(x) é un elemento di A ed é facile provare che le solite proprietá dei determinanti restano valide. In particolare si puó dimostrare il Teorema di Binet che afferma Teorema 5.1. Il determinante del prodotto di due matrici quadrate é uguale al prodotto dei determinanti. Al solito modo possiamo definire per una matrice quadrata X di tipo n n la sua aggiunta X. Si ha la formula ove I n é la matrice identica n n. X X = X X = det(x)i n Definizione 5.2. Diciamo che la matrice quadrata X M(A) é invertibile se esiste una matrice quadrata Y M(A) tale che XY = Y X = I n. 8

9 Si puó facilmente dimostrare che se Proposizione 5.3. Se X é invertibile allora la sua inversa é unica. Si ottiene cosí Teorema 5.4. Se X M(A) é una matrice quadrata, allora X é invertibile se e solo se det(x) é un elemento invertibile dell anello A. Proof. Si ha infatti che se XY = I n allora det(x)det(y ) = det(i n ) = 1 e quindi det(x) é invertibile. Se invece a = det(x) é invertibile in A, allora la matrice a 1 X é la inversa di X: infatti si ha (a 1 X )X = a 1 (ai) = I = X(a 1 X ). ( ) 2 1 Ad esempio la matrice 3 elemento invertibile in M(Z). ha determinante diverso da zero ma non é un 6 Basi diverse di un modulo libero Supponiamo ora di avere un sistema di generatori v 1, v 2,..., v s di un A-modulo M. Se w 1,..., w t sono vettori di M, allora possiamo scrivere per ogni i = 1,..., t w i = s x ji v j. j=1 Se si introduce la matrice X := (x ij ) che é di tipo t s, possiamo chiaramente compendiare questa scrittura con la notazione (w 1,..., w t ) = (v 1, v 2,..., v s )X. Osservazione 6.1. Fare attenzione che abbiamo moltiplicato una matrice di vettori con una matrice di scalari: non si potrá peró moltiplicare una matrice di vettori con una altra di vettori. Ad esempio la notazione (w 1, w 2, w 3 ) = (v 1, v 2 ) ( 2 3 ) significa w 1 = 2v 1 + 4v 2, w 2 = 3v 1 + 7v 2, w 3 = 5v 1 5v 2. 9

10 Teorema 6.2. Sia L un modulo libero, e 1,..., e s una base di L e v 1,..., v t L; possiamo scrivere (v 1,..., v t ) = (e 1,..., e s )X ove X é una matrice quadrata s t. Allora sono equivalenti: 1) v 1,..., v t L generano L 2) X e invertibile a destra. 3) t s. Proof. É chiaro che v 1,..., v t L generano L se e solo se (e 1,..., e s ) = (v 1,..., v t )Y per qualche matrice Y di tipo t s. Quindi se vale 1), si ha (e 1,..., e s ) = (v 1,..., v t )Y = (e 1,..., e s )XY. La indipendenza di e 1,..., e s prova che deve essere XY = I s e quindi X e invertibile a destra. Viceversa, se X e invertibile a destra, ossia XY = I s si ha (e 1,..., e s ) = (e 1,..., e s )I s = (e 1,..., e s )XY = (v 1,..., v t )Y e quindi v 1,..., v t generano L. Suponiamo ora che XY = I s e, per assurdo, t < s. Consideriamo la matrice X ottenuta da X completandola con degli ad una matrice quadrata s s e la matrice Y ottenuta da Y completandola con degli ad una matrice quadrata t t. É chiaro che si ha X Y = XY = I s. Ció implica che det(x ) é invertibile, ma questo é assurdo perché X ha almeno una colonna di. Corollario 6.3. Due basi di un modulo libero L sono equipotenti. Proof. Siano e 1,..., e s e a 1,..., a t basi di L. Applicando il teorema precedente alle due basi a ruoli invertiti, si ha t s, e s t. La cardinalitá di una base di un modulo libero L non dipende dunque dalla base scelta e quindi é un invariante di L. Lo chiameremo il rango di L e lo indicheremo con rg(l). Ad esempio rg(a s ) = s. Come conseguenza del teorema precedente si ha: Corollario 6.4. Se si ha un isomorfismo φ : A s A t, allora t = s. Corollario 6.5. Se si ha un epimorfismo φ : A s A t, allora t s. 1

11 Osserviamo che se L é un modulo libero di rango s, é possibile che L possieda un sottomodulo libero H di rango s che non coincide con L. Ad esempio Z é libero di rango 1 e il sottomodulo H dei numeri pari non coincide con Z ed é libero di rango 1. Un altro importante risultato é il seguente. Teorema 6.6. Sia L un modulo libero e siano e 1,..., e s una base di L. Siano poi v 1,..., v t elementi di L; possiamo scrivere (v 1,..., v t ) = (e 1, e 2,..., e s )X ove X é una matrice in M s,t (A). Allora X é invertibile a sinistra = v 1,..., v t sono linearmente indipendenti. Proof. Supponiamo di avere t i=1 a iv i =. Allora possiamo scrivere in forma matriciale a 1 = (v 1,..., v t ). = (e 1,..., e s )X.. Poiché e 1,..., e s sono linearmente indipendenti, ció implica a t a 1 X. =.. Ma esiste Y M t,s (A) tale che Y X = I t e quindi si ottiene a 1 a t a t. = Y X. = I t. =.. Dunque a 1 = a 2 = = a t =, come volevasi. É chiaro che la implicazione v 1,..., v t sono linearmente indipendenti = A é invertibile a sinistra non vale. Sia v = (2, ) Z 2, ed e 1, e 2 la base canonica di Z 2. Allora ( ) 2 v = 2e 1 = (e 1, e 2 ). ( ) 2 Ora v é linearmente indipendente, ma la matrice non ha inversa a sinistra: se ( ) 2 infatti (n, m) = 1, si avrebbe 2n = 1, impossibile in Z. Possiamo ora dimostrare il seguente teorema che illustra come ottenere tutte le basi di un modulo libero, a partire dalla conoscenza di una base fissata. a 1 a t a 1 a t a 1 a t 11

12 Teorema 6.7. Sia e 1,..., e s una base di L e (v 1,..., v s ) = (e 1,..., e s )X ove X é una matrice in M s (Z). Allora sono equivalenti: 1) X é invertibile. 2) v 1,..., v s é base di L. 3) v 1,..., v s generano L. Proof. Se X e invertibile, allora e invertibile a destra e a sinistra e quindi v 1,..., v s sono linearmente indipendenti e sistema di generatori per L. Ció prova che 1) implica 2). Resta solo da provare che 3) implica 1). Ció segue dal fatto che se una matrice quadrata X é invertibile a destra, XY = I s, allora det(x) = ±1 e quindi X é invertibile. Se in particolare L = A n, si consideri la base canonica e 1,..., e n di L ed elementi v 1,..., v n L. Allora é chiaro che (v 1,..., v n ) = (e 1,..., e n )X ove X é la matrice che ha come colonne le coordinate di v 1,..., v n. Quindi v 1,..., v n sono una base di A n se e solo se la matrice delle loro coordinate ha determinante invertibile in A. Ad esempio v 1 = (2, 1), v 2 = (3, 1) sono una base di Z 2 perché ( ) 2 3 det = Terminiamo questo paragrafo con alcune considerazioni su questo problema: É vero che in un A n non ci possono essere n + 1 vettori linearmente indipendenti? In altre parole e vero che non puó esserci un omomorfismo iniettivo f : A n+1 A n? Proveremo che la risposta e affermativa per i moduli su un dominio euclideo. In realtá il risultato vale in generale per un anello commutativo, ma la prova e difficile. Una maniera di risolvere il problema e quella di usare il Teorema di McCoy (vedi Kaplanski). Non si puó tentare una prova attraverso lo studio dello spazio vettoriale M/mM perché il prodotto tensore non e esatto a sinistra. Vediamo di provare il risultato nel caso n = 2. Dobbiamo provare che tre vettori di A 2 non possono essere indipendenti. Siano v 1 = (a, b), v 2 = (c, d), v 3 = (f, g). Si ha dove (v 1, v 2, v 3 ) = (e 1, e 2 )X X = ( ) a c f. b d g Se ρ(x) = 2, allora, indicando con d 1, d 2, d 3 i minori 2 2 a segni alterni di X, si ha d 1 (v 1, v 2, v 3 ) d 2 = (e 1, e 2 )X d 2 = (,, ). d 3 d 3 12 d 1

13 Se invece ρ(x) = 1, e, ad esempio a, allora si ha c ( ) c ( ) (v 1, v 2, v 3 ) a a c f = (e 1, e 2 ) a = (e b d g 1, e 2 ) =. bc da 7 Sottomoduli e quozienti di un modulo libero I sottomoduli di Z pensato come modulo su se stesso, sono gli ideali di Z. Poiché tali ideali sono principali e generati da un non-zero-divisore, sono tutti liberi di rango 1. Ma se consideriamo il modulo Z[X] come modulo su se stesso, allora il sottomodulo generato da 2 e da X é un ideale non principale. Ne segue che non puó essere libero. Proveremo che questa patologia non avviene per i moduli liberi su un dominio euclideo. Iniziamo a provare che ogni sottomodulo di un modulo libero su un dominio euclideo e finitamente generato. Basterá naturalmente provarlo per A n. Teorema 7.1. Se A e un dominio euclideo, i sottomoduli di A n sono finitamente generati. Proof. Se n = 1, i sottomoduli di A sono ideali principali e quindi finitamente generati. Dimostriamo il teorema per induzione su n. Sia n 2 e consideriamo la proiezione π : A n A n 1 definita da π(a 1,..., a n ) = (a 1,..., a n 1 ). E chiaro che π e surgettiva e che Ker(π) = {(,...,, a n )} A. Se consideriamo la restrizione ad H di π, sia f : H A n 1, allora Im(f) e finitamente generato per l ipotesi induttiva e Ker(f) = Ker(π) H e un sottogruppo di A e quindi finitamente generato. Se Im(f) =< w 1,..., w r > e Ker(f) =< v 1,..., v s >, si ha facilmente H =< v 1,..., v s, z 1,..., z r > ove w i = f(z i ). Per provare che i sottomoduli di A n sono liberi, lo strumento essenziale e il teorema di diagonalizzazione delle matrici ad entrate in un dominio euclideo. Ci serve qualche richiamo sulle matrici elementari. Ci sono tre tipi di matrici elementari: 1. Matrice E ij (a), con i j interi positivi e a A. Questa é la matrice che ha tutti 1 sulla diagonale principale e tutti altrove, escluso l elemento di posto (i, j) che é a. In altre parole e la matrice che si ottiene dalla matrice identica I n aggiungendo alla riga i-ma la riga j-ma moltiplicata per a. 2. Matrice E ij con i j interi positivi. Questa é la matrice che ha tutti fuori della diagonale principale escluso le posizioni (i, j) e (j, i) ove ha 1, e sulla diagonale principale ha tutti 1 escluso le posizioni (i, i) e (j, j) dove ha. In altre parole e la matrice che si ottiene dalla matrice I n scambiando la riga i-ma con la riga j-ma. 13

14 3. Matrice E i (u) ove u é un elemento invertibile in A e i é un intero positivo. Questa é la matrice che é eguale alla matrice identica, solo che nella posizione (i, i) ha u. Ad esempio le matrici elementari 2 2 sono ( ) 1 a 1, ( ) 1 a 1, ( ) 1 1, ( ) u 1, ( ) 1 u al variare di a A e di u tra gli elementi invertibili di A. Sia X una matrice n m, Y una matrice m n e supponiamo che E ij (a), E ij, E i (u) siano matrici n n. Allora Lemma 7.2. Con le notazioni precedenti, si ha: 1. E ij (a)x é la matrice che si ottiene da X aggiungendo alla riga i la riga j moltiplicata per a, mentre Y E ij (a) é la matrice che si ottiene da Y aggiungendo alla colonna j la colonna i moltiplicata per a. 2. E ij X é la matrice che si ottiene da X scambiando la riga i con la riga j, mentre Y E ij é quella che si ottiene facendo la stessa operazione sulle colonne di Y. 3. E i (u)x é la matrice che si ottiene da X sostituendo la riga i con la riga i moltiplicata per u, mentre Y E i (u) é quella che si ottiene da Y operando allo stesso modo sulle colonne di Y. Lemma 7.3. Tutte le matrici elementari sono invertibili, e infatti la inversa di E ij (a) é la matrice E ij ( a), E ij é l inversa di se stessa e infine E i (u 1 ) é l inversa di E i (u). Ricordiamo che una matrice, non necessariamente quadrata, si dice diagonale se tutte le entrate sono nulle, eccetto che sulla diagonale principale. Teorema 7.4. Sia A una matrice s t ad entrate in un dominio euclideo A. Allora esistono matrici U e V prodotto di matrici elementari, tali che UAV = ove e una matrice diagonale. Proof. Per la dimostrazione di questo risultato vedere il libro di Artin a pagina 541. Vediamo su esempi concreti come procedere con operazioni elementari per trasformare una matrice data in una matrice diagonale. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 E 1,2 ( 1) 1 9 E 2,1 ( 2) A = E 1,2 ( 9) 23 E2 23 A = ( ) E1,2 ( ) ( ) 2 6 E 2,1 ( 4) ( ) ( ) 2 2 E 1,2 ( 3) 21 E

15 Ma anche A = ( ) 6 2 E 1,2 ( 2) 3 8 ( ) 14 E 1,2 (1) 3 8 e si trova una matrice diagonale diversa! A = 3 2 E 3,2( 2) A = 1 4 E 1, E 3,2 ( 1) E 2,1( 3) E 2,3( 2) ( ) 3 6 E 2,1 ( 1) 3 8 E 1,2( 7) E 3,1( 5) ( ) E 1,2 1 1 E 2,3 7 7 Facciamo un esempio con una matrice ad elementi in k[x]. ( ) (X 1)(X 2) X 2 E 2,1 ( (X 1)) (X 1) 3 (X 1)(X 2) ( ) E 1,2 ( 1) X + 1 X 2 (X 1) 2 ( ) 1 E 1,2 (X 2) (X 1) 2 (X 2)(X 1) 2 E 1,2 (1) ( ) 3 E 1,2 (2) E 1,2 (4) 21 ( (X 1)(X 2) ) X 2 (X 1) 2 ( 1 ) X 2 (X 1) 2 E 2,1 ((X 1) 2 ) ( 1 (X 2)(X 1) 2 Possiamo ora dimostrare che ogni sottomodulo di un modulo libero L su un dominio euclideo A, e libero di rango minore o eguale al rango di L. In realtá il seguente teorema precisa come costruire una base del sottomodulo, usando il teorema di diagonalizzazione delle matrici ad entrate in un dominio euclideo. Teorema 7.5. (Il teorema delle due basi) Se L é un modulo libero di rango s su un dominio euclideo A e F é un suo sottomodulo, é possibile determinare una base v 1,..., v s di L e scalari d 1,..., d t A, tali che d 1 v 1,..., d t v t sono una base di F. Proof. Abbiamo giá visto che F e finitamente generato. Supponiamo di conoscere una base e 1,..., e s di L e un sistema di generatori g 1,..., g t di F. Potremo scrivere (g 1,..., g t ) = (e 1,..., e s )X 15 )

16 dove X é una matrice s t. Per il teorema precedente possiamo determinare matrici invertibili U e V tali che U XV = con matrice diagonale. Possiamo supporre che d 1,, d t siano gli elementi non nulli sulla diagonale principale di. Allora t s e si ha (g 1,..., g t )V = (e 1,..., e s )XV = (e 1,..., e s )U 1. Siccome U 1 é invertibile, i vettori (v 1,..., v s ) := (e 1,..., e s )U 1 sono un base di L. Avendosi (g 1,..., g t )V = (v 1,..., v s ), i vettori d 1 v 1,, d t v t stanno in F, ed essendo V invertibile, generano F. Resta da provare che sono vettori linearmente indipendenti. Ma se fosse a i d i v i =, sarebbe (a i d i )v i = e quindi a i d i = per ogni i. Poiché A e integro e d i, ció implica a i = per ogni i. Notiamo che, nel precedente teorema, la nuova base di L é determinata dalla matrice U 1. Quindi, nel procedere, dobbiamo solo ricordarci delle operazioni sulle righe che sono state compiute nel processo di diagonalizzazione. Infatti le operazioni sulle righe corrispondono alla moltiplicazione a sinistra per matrici elementari e quindi sono quelle che determinano U. Nel teorema precedente abbiamo visto come ogni sottomodulo di un modulo libero sia anche lui libero e come si possa determinare una sua base speciale. L esistenza di tale base speciale permette di dimostrare che ogni quoziente di un modulo libero su un dominio euclideo e la somma diretta di sottomoduli ciclici. Teorema 7.6. Sia L un modulo libero ed e 1,..., e s una sua base. Se t s e d 1,..., d t sono elementi di A, consideriamo il modulo N generato da d 1 e 1,..., d t e t. Allora L/N é somma diretta di moduli ciclici: L/N =< e 1 > < e 2 > < e s >. Inoltre si ha Quindi : e i = { (d i ) se i t () se i t + 1. L/N A/(d 1 ) A/(d 2 ) A/(d t ) A s t. Proof. Siccome e 1,..., e s generano L/N, é chiaro che L/N = s i=1 < e i >. Per provare che la somma é diretta, sia ae i j i < e j >. Allora ae i = j i a je j e quindi ae i j i a je j N. Questo implica ae i j i a j e j = t b r d r e r. i=1 16

17 Quindi a = se i > t, a = b i d i se i t. In ogni caso ae i = e quindi la somma s i=1 < e i > é diretta. Infine ae i = se e solo se ae i = t j=1 b jd j e j ; se i t, ció avviene se e solo se a = b i d i ossia a (d i ), mentre, se i > t, ció avviene se e solo se a =. L isomorfismo L/N A/(d 1 ) A/(d 2 ) A/(d t ) A s t segue poi dal fatto che < e i > A/ : e i. Notiamo che qualche d i nel teorema precedente puó essere invertibile in A. Naturalmente se d i e invertibile, allora e i = e non porta contributo nella decomposizione di L/N. Invece chiaramente nessun d i e. 8 Il teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un dominio euclideo Possiamo ora dimostrare il teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un dominio euclideo. Teorema 8.1. Sia M un modulo finitamente generato su un dominio euclideo A. Allora M e la somma diretta di sottomoduli ciclici. Proof. Sia infatti m 1,..., m s un sistema di generatori di M. Allora si ha un epimorfismo canonico ϕ : A s M definito per ogni i = 1,..., s da ϕ(e i ) = m i. Un tale epimorfismo si dirá una presentazione di M. Per il primo teorema di omomorfismo si ha A s /Ker(ϕ) M ove l isomorfismo é quello che manda v in ϕ(v). Per il teorema delle due basi (7.5), esiste una base v 1,..., v s di A s e scalari d 1,..., d t A, tali che d 1 v 1,..., d t v t é base di Ker(ϕ). Per il teorema 7.6 abbiamo: con Ne segue A s /Ker(ϕ) = s i=1 < v i > : v i = { (d i ) i t () i t + 1. M =< ϕ(v 1 ) > < ϕ(v 2 ) > < ϕ(v s ) > 17

18 ove Ció implica anche : ϕ(v i ) = { (d i ) i r () i r + 1 M A/(d 1 ) A/(d 2 ) A/(d t ) A s t. Notiamo che, nel teorema precedente, qualche d i puó essere invertibile in A. In tal caso il corrispondente modulo ciclico < ϕ(v i ) > e nullo e quindi non contribuisce alla decomposizione di M. Facciamo un esempio. Consideriamo il modulo libero Z 2 = L e sia F il sottomodulo di L generato da (3, 2) e (4, 5). É facile osservare che questi vettori sono lineramente indipendenti e quindi costituiscono una base di F. Vogliamo decomporre il modulo L/F come somma diretta di moduli ciclici. É chiaro che una presentazione del nostro modulo é data dalla proiezione canonica sul quoziente ϕ : L L/F il cui nucleo é F stesso. Se e 1, e 2 é la base canonica di L, si ha ( ) 3 4 ((3, 2), (4, 5)) = ((e 1, e 2 )). 2 5 Diagonalizziamo la matrice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Le operazioni eseguite sono nell ordine: I riga - II riga: corrispondente alla moltiplicazione a sinistra per E 1,2 ( 1). II riga - 2(I riga): corrispondente alla moltiplicazione a sinistra per E 2,1 ( 2). II colonna - 9(I colonna): corrispondente alla moltiplicazione a destra per E 1,2 ( 9). ( 1) (II colonna): corrispondente alla moltiplicazione a destra per E 2 ( 1). Quindi si ha ( ) ( ) E 2,1 ( 2).E 1,2 ( 1) E 2 5 1,2 ( 9)E 2 ( 1) = 23. Ne segue U 1 = E 1 1 2E 1 2 2(1) = E 1+2E 2+2(1) = ( ) ( ) 1 = 2 1 ( )

19 Dunque si ha d 1 = 1, d 2 = 23, e se scegliamo come nuova base di L i vettori (v 1, v 2 ) = (e 1, e 2 )U 1 = ((3, 2), (1, 1)) la base cercata di F é {d 1 v 1, d 2 v 2 } = {v 1, 23v 2 } = {(3, 2), (23, 23)}. Si ha dunque L/F =< v 1 > < v 2 >=< v 2 >=< (1, 1) > Z/(23). Facciamo un altro esempio. Sia L il sottomodulo di Z 2 generato dai vettori (5, 12), (3, 1), (2, 14). Vogliamo determinare una base di L, che é sicuramente libero in quanto abbiamo visto che ogni sottomodulo di un modulo libero su un dominio euclideo é libero. Si ha una presentazione ϕ : Z 3 L definita da ϕ(e 1 ) = (5, 12), ϕ(e 2 ) = (3, 1), ϕ(e 3 ) = (2, 14). Cerchiamo una base di Ker(ϕ). Dobbiamo risolvere il sistema { 5a + 3b + 2c = 12a + 1b + 14c =. Si vede facilmente che una base di Ker(ϕ) é il vettore ( 11, 23, 7) e quindi t = 1. Si completa subito questo vettore ad una matrice invertibile Quindi se si pone 11 1 (v 1, v 2, v 3 ) := (e 1, e 2, e 3 ) i vettori v 1 = ( 11, 23, 7), v 2 = ( 1, 2, ), v 3 = (,, 1) sono una base di Z 3 tale che v 1 é base di Ker(ϕ). Notiamo che in questo caso non c é stato bisogno di diagonalizzare per trovare la base opportuna di Z 3. Dunque d 1 = 1 e si ha L =< ϕ(v 1 ) > < ϕ(v 2 ) > < ϕ(v 3 ) >=< (1, 8) > < (2, 14) >. Poiché : (1, 8) = : (2, 14) = (), questi vettori sono una base di L. Notare che L é un sottomodulo proprio di Z 2. Facciamo un esempio con A = Q[X]. Sia M = A 2 e F =< (X 2 3X + 2, (X 1) 3 ), (X 2, X 2 3X + 2) >. 19

20 Abbiamo giá visto come si diagonalizzi la matrice ( ) (X 1)(X 2) X 2 (X 1) 3 (X 1)(X 2) Si ottiene la matrice diagonale ( 1 ) (X 2)(X 1) 2 e quindi si ha A 2 /F Q[X]/((X 2)(X 1) 2 ) Q[X]/(1) Q[X]/((X 2)(X 1) 2 ). Dunque il modulo quoziente A 2 /F e ciclico. Il Teorema 8.1 fornisce la decomposizione di un modulo M finitamente generato su un dominio euclideo in una parte libera L e in una parte di torsione. Naturalmente una delle due parti puó essere nulla. Se é nulla la parte di torsione, il modulo é libero, se é nulla la parte libera allora il modulo é di torsione. Ci possiamo chiedere se la decomposizione ottenuta sia minimale o se e possibile ancora decomporre qualche modulo ciclico in somma diretta di ciclici piú piccoli. Il seguente lemma ci dice quando ció é possibile. Lemma 8.2. Sia A un dominio euclideo e M un A-modulo. Se m M e : m = (ab) con (a, b) = 1, allora con : ma = (b) e : mb = (a). < m >=< am > < bm > Proof. Sappiamo che per qualche x, y A si ha ax + by = 1. Allora m = axm + bym < am > + < bm >. Ció prova < m >=< am > + < bm >. Ma se cam = dbm, allora ca db (ab) e quindi ca db = abe. Siccome a e b sono primi tra loro, ció implica d = ar. Sostituendo e cancellando a si trova c = b(r + e) e infine cam = (r + e)abm =. Inoltre si ha tbm = se e solo se tb (ab) se e solo se t (a). Quindi : mb = (a) e analogamente : ma = (b). Come conseguenza si ha il seguente risultato che prova come la decomposizione ottenuta si possa ancora raffinare giungendo ad una decomposizione in moduli ciclici primari. Teorema 8.3. Sia A un dominio euclideo, M un A-modulo e sia m M tale che : m = (d). Se d = p r 1 1 p r 2 2 p rs s e la decomposizione di d come prodotto di potenze di elementi irriducibili distinti, allora, posto d i := d/p r i i, si ha e inoltre : d i m = (p r i i ) per ogni i. < m >=< d 1 m > < d 2 m > < d s m > 2

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