Lo Standard JPEG2000: Applicazioni ed Estensioni

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1 Unverstà d Catana Facoltà d Scenze MM.FF.NN. Corso d Laurea n Informatca Tes d Laurea Lo Standard JPEG2000: Applcazon ed Estenson Gaetano Impoco Relatore Prof. Govann Gallo Correlatore Dott. Sebastano Battato

2 Rngrazament Desdero rngrazare l Prof. Gallo e l Dott. Battato per l auto e prezos consgl che m hanno permesso d mglorare e portare a termne questo lavoro. Rngrazo dottorand del Dpartmento d Matematca e Informatca dell Unverstà d Catana e membr del gruppo DSC della STMcroelectroncs d Catana per la dsponbltà e l amcza dmostratem. Rngrazo tutt coloro che, durante gl ann d studo trascors all unverstà, hanno creduto n me e m hanno sostenuto. Un rngrazamento partcolare a me gentor, cu sforz m hanno permesso d raggungere questa tappa mportante della ma vta, e alla ma famgla che ha saputo sopportarm pazentemente. Un graze specale a Ganmarco per l amcza fraterna e per essere stato sempre per me un punto d rfermento e confronto. I

3 Sommaro Negl ultm ann la comuncazone ha assunto un ruolo centrale sa nel mondo economco che nella vta quotdana. La crescente dffusone d Internet ha aperto la strada alla multmedaltà e all nterattvtà sottolneando l mportanza della comuncazone vsva. In questo contesto, le mmagn dgtal hanno assunto un ruolo prncpe ed hanno un numero sempre crescente d applcazon. S pens, ad esempo, alla dffusone che le fotocamere dgtal e gl apparat mobl qual telefon cellular hanno avuto negl ultm ann. Nasce, a questo punto, l esgenza d un sstema flessble, capace d gestre mmagn provenent da sorgent dverse e n grado d adattars a condzon d vsualzzazone dverse. In partcolare requst fondamental rchest ad uno standard per l trattamento d mmagn dgtal sono, soprattutto, qualtà adeguata anche a bass bt-rate, scalabltà e codfca progressva dell nformazone, codfca dfferenzata d zone pù mportant, robustezza alla propagazone degl error. Le mmagn dgtal, non opportunamente codfcate, rchedono un cospcuo mpego d rsorse, sa n termn d memora n un calcolatore che d larghezza d banda n un canale d trasmssone. Per rdurre l numero d bt necessar a rappresentare un mmagne, sono state studate vare tecnche d compressone specfche, alcune delle qual con perdta d nformazone. Tuttava, la compressone de segnal dgtal, mentre ottmzza l segnale compresso, rende generalmente dffcle l elaborazone delle mmagn codfcate. Gl standard d compressone esstent sono nadeguat a fronteggare le due esgenze contrapposte dscusse sopra: flessbltà e rsparmo d rsorse. Per tale ragone l organzzazone d standardzzazone ISO ha chesto al comtato JPEG (Jont Photographc Expert Group) d studare un nuovo sstema d compressone che fosse capace d garantre flessbltà unta a fattor d compressone adeguat. Il rsultato d questo studo è lo standard JPEG2000. Il nuovo standard non mra a superare quell precedent n termn d compressone ma fornsce, senza sacrfcare l effcenza della compressone, una sere d caratterstche qual, ad esempo, scalabltà per rsoluzone e qualtà, accesso casuale a pccole porzon dell mmagne, compressone lossy e lossless. Ovvamente, questo obettvo può essere raggunto solo a patto d accettare una notevole complesstà computazonale. Scopo d questo lavoro è llustrare le caratterstche salent dello standard JPEG2000, con approfondment nelle part pù nteressant e nnovatve, e presentare uno studo su una possble ottmzzazone della qualtà vsva delle mmagn compresse medante JPEG2000. Nel prmo captolo sarà ntrodotto l concetto d compressone, con partcolare attenzone a segnal acustc e vsv, e verrà llustrato lo schema d compressone basato sulle trasformazon lnear del segnale dal domno spazale (o temporale) a quello delle frequenze. II

4 Il secondo captolo descrve lo schema generale d codfca e decodfca e tratta le prme fas della compressone: trasformazone dello spazo de color, trasformata wavelet e quantzzazone. I tre captol successv sono dedcat alla compressone entropca del segnale. In partcolare, l terzo captolo ntroduce l dea dell algortmo e s sofferma su dettagl della modellzzazone de contest, l quarto captolo descrve la codfca artmetca e l qunto tratta della dstrbuzone de dat compress nel flusso n uscta. Nel sesto captolo saranno dscusse due estenson al sstema d base: la codfca d regon dell mmagne con una mglore qualtà (regon d nteresse) e la codfca d mmagn ndczzate. Il settmo captolo fornsce alcun esemp che llustrano le caratterstche d JPEG2000 e un confronto qualtatvo con lo standard JPEG. Nell ultma parte del captolo è presentata un anals della complesstà degl algortm d codfca e decodfca JPEG2000. Infne, nell ottavo captolo è presentato un algortmo nnovatvo, svluppato nel corso della redazone d questa tes, che cerca d ottmzzare la qualtà vsva d un mmagne compressa medante JPEG2000, a partà d dmensone de dat codfcat. III

5 Indce 1 Compressone basata su una trasformata lneare del segnale 1.1. Introduzone alla compressone Trasformazone lneare e compressone Overvew su JPEG Il sstema d codfca JPEG Trasformazone dello spazo de color Trasformata Wavelet Quantzzazone Quantzzazone Scalare Dequantzzazone Scalare Codfca Entropca: EBCOT ter Introduzone Ottmzzazone Btrate-Dstorsone Codfca de blocch Codfca Artmetca: MQ-Coder 4.1 Codfca artmetca deale Codfca artmetca a precsone fnta MQ-Coder Encoder Decoder Formazone del bt-stream compresso: EBCOT ter Organzzazone del bt-stream compresso Tag Trees Intestazone de pacchett Estenson 6.1 Regon Of Interest (ROI) Codfca d mmagn ndczzate Anals qualtatva 7.1 Scalabltà e ordne d progressone Progressone per rsoluzone Progressone per qualtà Regon Of Interest (ROI) Confronto tra JPEG2000 e JPEG Complesstà computazonale Trasformata dello spazo de color Trasformata wavelet Codfca Artmetca...95 IV

6 7.4.3 Quantzzazone Ebcot ter Ebcot ter Concluson Ottmzzazone content-dependent 8.1 Introduzone L algortmo Il rconosctore Assegnamento de pes Complesstà computazonale Rsultat spermental Il software usato Rsultat V

7 Captolo 1 Compressone d Segnal Dgtal In questo captolo ntrodurremmo l concetto d compressone e presenteremo l paradgma d compressone basata sulla trasformazone del segnale, medante una trasformata lneare, da un domno (tpcamente spazale o temporale) n un altro che permetta d metterne meglo n evdenza alcune caratterstche utl alla compressone Introduzone alla Compressone Il prncpo su cu s basa la compressone de dat è l elmnazone della rdondanza contenuta nell nformazone. L obettvo è rappresentare un segnale utlzzando l mnor numero possble d smbol, n accordo a determnat vncol d qualtà sul segnale rcostruto. Una buona compressone può essere ottenuta con tecnche lossless (senza perdta), n cu dat decodfcat resttuscono una copa esatta d quell orgnal. La compressone lossless è necessara n applcazon n cu è mportante che l nformazone sa decodfcata n manera fedele (ad es. compressone d archv), tuttava questo requsto lmta la performance degl algortm d compressone che s basano su tal tecnche. Rlassando questo vncolo d qualtà e permettendo che dat rcostrut dfferscano da quell orgnal entro una certa sogla d errore, dat possono essere compress con effcenza crescente all aumentare della tolleranza sull errore nel segnale rcostruto. Poché è necessaro elmnare parte de dat, l problema che s pone nella compressone lossy (con perdta) è quello d dscrmnare l nformazone essenzale da quella meno mportante, al fne d poter scartare dat meno utl alla rcostruzone fedele de dat orgnal, per ottenere, a partà d dmensone de dat compress, la mglore qualtà possble. Quando trattamo segnal acustc o vsv, nella valutazone dell errore è opportuno sceglere una msura che rfletta le caratterstche del sstema percettvo dell osservatore. Ad esempo, una caratterstca del sstema vsvo umano è la dmnuzone d sensbltà al contrasto al crescere della frequenza del segnale. Un codfcatore d mmagn potrebbe sfruttare questa peculartà utlzzando pù bt per codfcare le basse frequenze rspetto a 1

8 quell rservat alle alte frequenze, ottenendo n tal modo, a partà d bt-rate 1, una maggore qualtà percepta. In altre parole, la msura della dstorsone deve essere consstente con cò che l osservatore è n grado d percepre. Tutto cò che non può essere catturato dall osservatore può essere rmosso senza rsch. Infatt, poché l osservatore non è n grado d percepre l errore commesso elmnando tale nformazone, dal suo punto d vsta l segnale orgnale e quello rpulto dall nformazone superflua sono ndstngubl. Ovvamente, le tecnche che permettono d mettere n evdenza l nformazone pù sgnfcatva d un segnale dpendono dalle caratterstche del segnale stesso, qund è convenente consderare class d sorgent 2 che abbano propretà statstche sml. Per questo esstono molt sstem d codfca specalzzat nella compressone d class specfche d segnal, che ottengono performance mglor rspetto a compressor generc, anche nel caso d compressone lossless. Quest sstem traggono vantaggo dal comportamento tpco del segnale, utlzzando modell capac d prevedere la dstrbuzone de coeffcent. Utlzzando questa nformazone, assegnano codfche brev a dstrbuzon con probabltà pù alta e, vceversa, codfche lunghe a sequenze meno probabl Trasformazone Lneare e Compressone Uno degl approcc pù comun alla compressone basata su modell statstc del segnale è quello descrtto nel seguente dagramma: Fgura 1: Sequenza d pass d un generco algortmo d compressone basato sulla trasformata lneare del segnale. I pass rlevant, rappresentat da rettangol nel dagramma precedente, hanno l seguente sgnfcato: 1. Trasformata Lneare: l segnale sorgente è decomposto nelle sue component d frequenza medante una trasformazone lneare (tpcamente Dscrete Cosne Transform o Dscrete Wavelet Transform). La trasformazone lneare del segnale ha due scop: - decorrelazone del segnale, n modo tale che l valore d ogn coeffcente trasformato sa statstcamente ndpendente dal valore degl altr coeffcent. - compressone dell energa, n manera tale che la maggor parte dell energa del segnale s concentr n una pccola porzone de coeffcent trasformat. La Fgura 2 mostra un esempo d trasformata lneare (DCT) n cu l energa dell mmagne s 1 Numero d smbol usat per rappresentare un campone del segnale. Nell mage processng, l bt-rate tpcamente è msurato n bt/pxel. 2 Per sorgente s ntende qualunque collezone d dat, sano ess provenent, ad esempo, da un fle nel dsco d una workstaton o da un canale d comuncazone. 2

9 concentra ne coeffcent a frequenza pù bassa (nell angolo n alto a snstra). Un altro esempo d trasformata lneare (DWT) è quello d Fgura 10. Anche n questo caso, medante l mpego d opportun fltr, l energa s concentra n una porzone rstretta de coeffcent trasformat. Fgura 2: Immagne rappresentata : (a) nel domno spazale (b) nel domno delle frequenze. L energa è concentrata n una pccola frazone de coeffcent trasformat. 2. Quantzzazone: da coeffcent del segnale, rappresentat nel domno delle frequenze, vengono taglat bt meno sgnfcatv, n manera unforme o adattatva rspetto alla frequenza d ogn sngola componente del segnale. La quantzzazone è l passo fondamentale nella compressone lossy. É questa operazone, nfatt, che consente d elmnare l nformazone meno mportante, per ottenere una maggore compressone. Per questo motvo, nella compressone lossless questo passo è omesso. La decorrelazone, dovuta alla trasformazone del segnale, permette d quantzzare coeffcent trasformat n manera ndpendente gl un dagl altr (quantzzazone scalare), l che rende pù veloce l processo d codfca (e decodfca). 3. Codfca Entropca: coeffcent quantzzat sono codfcat n base a propretà statstche del segnale, secondo un modello noto a pror o n base a nformazon raccolte durante una fase d pre-processng (come per l encoder d Huffman), n modo tale da rdurre la rdondanza nella rappresentazone del segnale. La codfca entropca trae vantaggo dalla compressone dell energa, dovuta alla trasformazone lneare del segnale, perché la rappresentazone nel domno trasformato gode della propretà che l energa del segnale s concentra n un pccolo numero de coeffcent trasformat. 4. Controllo del Fattore d Compressone: è utlzzato solo quando la dmensone de dat compress è fssata a pror, ndpendentemente del processo d codfca. Il controllo del fattore d compressone è usato, tpcamente, n applcazon soggette a lmtazon per quanto rguarda la memorzzazone o la trasmssone del segnale compresso. S pens, ad esempo, ad una fotocamera dgtale. Una funzone mportante d una macchna fotografca è quella d fornre all utente nformazon sullo stato della memora. Tuttava, cò che l utente vuole sapere è l numero d scatt rmanent, non la quanttà d bytes lber. In un applcazone d questo tpo, evdentemente, l controllo del bt-rate è fondamentale, perché è l meccansmo che c permette d stablre, data la quanttà d memora lbera, quante foto possono ancora essere memorzzate. Il seguente dagramma mostra la sequenza d pass dell algortmo d decompressone, duale del precedente. 3

10 Fgura 3: Sequenza d pass dell algortmo d decompressone duale al precedente. Una nota mportante rguarda l controllo del fattore d compressone. Mentre ogn passo d codfca trova nel decoder un passo duale (e quest pass sono esegut n ordne nverso rspetto a quello dell encoder), l passo d controllo del bt-rate appare solo nell encoder. Il decoder, nfatt, per rcostrure l segnale, ha bsogno d conoscere solamente l fattore d quantzzazone usato per comprmere l segnale, non l metodo usato per trovarlo. In questo modo, l encoder è lbero d utlzzare uno schema d quantzzazone che s adatt ad una partcolare applcazone. Questo framework è utlzzato da molt standard d compressone d segnal audo o vdeo, tra qual MP3, JPEG e JPEG

11 Captolo 2 Overvew su JPEG2000 Lo scopo d questo captolo è quello d ntrodurre l sstema d codfca JPEG2000, così come è descrtto nella PART I dello standard. S dscuterà, noltre, della trasformazone delle component d colore dell mmagne, della trasformata wavelet e della quantzzazone Il Sstema d Codfca JPEG2000 Lo schema d compressone adottato da JPEG2000 è smle a quello descrtto nella sezone precedente: all mmagne n nput è applcata la trasformata wavelet; coeffcent wavelet sono quantzzat e codfcat medante un codfcatore entropco, EBCOT (Embedded Block Codng wth Optmzed Truncaton), che è l cuore d JPEG2000. La codfca consste d due fas dstnte o Ter ( strat, ordn ). Nel ter 1 vengono raccolte nformazon statstche su smbol dello stream n nput secondo un modello probablstco predefnto, che sono utlzzate da un codfcatore artmetco (MQ-coder), responsable della compressone (lossless) dell mmagne; nel ter 2 blocch d dat compress sono raggruppat n qualty layers progressv, utlzzando nformazon agguntve fornte dal ter 1. Poché è possble troncare l bt-stream 3 n dvers punt, e qund scartare qualcuno de layers, l ter 2 rappresenta, mplctamente, una seconda fase d quantzzazone, che può essere gudata, come sarà mostrato nel seguto, sa dall encoder che dal decoder. Lo schema descrtto è rassunto n Fgura 4. 3 Sequenza d bt che costtusce la codfca dell mmagne orgnale. 5

12 Fgura 4: Sequenza d pass dell encoder JPEG2000. Prma d procedere con la descrzone dell algortmo, è opportuno mostrare come l mmagne è rappresentata nel domno spazale e come vene suddvsa durante le vare fas mostrate nella fgura precedente. La superfce su cu gace l mmagne è rappresentata medante una grgla rettangolare detta reference grd (grgla d rfermento). L angolo superore snstro dell mmagne ha coordnate non negatve rspetto all angolo superore snstro della grgla, mentre gl angol nferor destr della grgla e dell mmagne devono concdere. La grgla è partzonata n una matrce d tles rettangolar d dmenson regolar che non s sovrappongono; le dmenson delle tles e l offset della prma tle n alto a snstra possono essere scelt arbtraramente dall encoder, con l vncolo che, pur potendo le tles superare lmt dell mmagne, ogn campone dell mmagne deve appartenere ad una e una sola tle, coè le tles non devono sovrappors. La fgura mostra la reference grd e l mmagne suddvsa n tles. 6

13 Fgura 5: Reference Grd e suddvsone n tles dell mmagne. T x e T y sono gl offset, rspettvamente orzzontale e vertcale, dell orgne della prma tle n alto a snstra rspetto all orgne della reference grd. I x e I y sono gl offset dell mmagne rspetto alla reference grd. Ad ogn tle è applcata separatamente la trasformata wavelet. Dopo la trasformata, coeffcent wavelet quantzzat sono raggruppat n pù code-blocks, che sono codfcat n manera ndpendente gl un dagl altr dal codfcatore artmetco. Durante la codfca d un blocco s utlzzano nformazon su coeffcent appartenent a blocch confnant, purché faccano parte della stessa sottobanda. Questa partcolare struttura è gustfcata dalle seguent ragon: permettere semplc manpolazon geometrche senza dover rcodfcare l ntera mmagne (ad esempo, per taglare la rga superore basta elmnare coeffcent delle tles nteressate e ncrementare l offset dell ordnata dell mmagne rspetto alla reference grd); permettere modfche localzzate dell mmagne rcodfcando solo le tles nteressate da tal modfche; codfcare blocch relatvamente pccol (con conseguent vantagg n termn d memora) evtando d ntrodurre artefatt a bord de blocch (artefatt dovut alla codfca sono possbl solo a bord delle tles, che sono d dmenson relatvamente grand rspetto a code-blocks). Ogn code-block può, a sua volta, essere suddvso n sub-blocks, per ottmzzare l uso della prmtva d Run-Length, descrtta pù avant, su grand aree composte tutte da zer. Quanto appena detto ntroduce l processo d compressone JPEG2000 per mmagn che hanno una sola componente d colore. Quando s codfcano mmagn a pù color, ogn 7

14 componente all nterno d una tle è codfcata ndpendentemente dalle altre ed è possble assegnare fattor d scala dvers a cascuna componente. Ad esempo, utlzzando l modello YC b C r, descrtto nella prossma sezone, poché le component d cromnanza hanno un mnore mpatto sulla qualtà percepta, tal component possono essere sottocamponate (come tpcamente opera lo standard JPEG). S not, comunque, che questo può essere fatto solo per una compressone d tpo lossy. Nel seguto saranno analzzat n dettaglo var pass dell algortmo JPEG Trasformazone dello Spazo de Color Nell algortmo JPEG2000, come è prass per tutt gl algortm d compressone basat su una trasformata lneare, la trasformata wavelet è eseguta su ogn componente d colore n manera ndpendente rspetto alle altre. È dunque necessaro che le component sano ragonevolmente decorrelate l una rspetto all altra. La rappresentazone RGB non gode d questa mportante propretà, dunque s prefersce utlzzare la rappresentazone dell mmagne n uno spazo d coordnate lumnanza-cromnanza, che asscura una suffcente decorrelazone tra le tre component d colore dell mmagne. Bsogna, allora, operare una trasformazone dell mmagne dallo spazo RGB a quello basato su lumnanzacromnanza. Uno spazo lumnanza-cromnanza standard è quello YC b C r, che s ottene a partre dallo spazo RGB medante le seguent trasformazon: Y Cb = Cr R 0.5 G B (E.1) dove le component R, G e B d un pxel dell mmagne assumono valor nell ntervallo [0,1]. La trasformazone nversa (da YC b C r a RGB) è la seguente: R 1.0 G = 1.0 B Y C 0 C b r (E.2) Come rsulta evdente dalle precedent formule, la trasformazone è non-reversble a causa dell approssmazone ne calcol. Nella compressone lossless, allora, non possono essere utlzzate le formule precedent; al loro posto s utlzzano le seguent: Y C C b r R + 2G + B 4 = R G B G (E.3) 8

15 per la trasformazone dretta, e: Cb + C G = Y 4 R = Cb + G B = Cr + G r (E.4) per la trasformazone nversa. È mportante osservare che la trasformazone reversble può essere usata solo se tutte le component hanno lo stesso fattore d sottocamponamento rspetto alla reference grd. Inoltre, campon d cascuna componente devono avere lo stesso segno e lo stesso numero d bt nella magntudo Trasformata Wavelet A cascuna tle è applcato l ntero algortmo d codfca ndpendentemente dalle altre: la dscussone seguente, qund, s concentrerà su una sngola tle puttosto che sull ntera mmagne. Prma d descrvere la trasformata wavelet n JPEG2000, ntrodurremo l concetto d sottocamponamento, partendo da segnal mono-dmensonal. S consder un segnale mono-dmensonale composto da N campon. Supponamo d voler sottocamponare tale segnale per ottenerne uno contenente solo N 2 campon. Un metodo banale per ottenere l segnale sottocamponato è quello d scartare coeffcent dspar o par. I coeffcent scartat costtuscono l nformazone che, aggunta al segnale sottocamponato, permette d rcostrure l segnale orgnale. La fgura seguente mostra l processo d sottocamponamento e rcostruzone d un segnale con otto campon. Fgura 6: Esempo d decomposzone wavelet d un segnale mono-dmensonale con otto campon. 9

16 Un sottocamponamento come quello descrtto nella precedente fgura non sarebbe d nessuna utltà pratca, se l segnale non fosse opportunamente fltrato, n manera tale da concentrare l nformazone pù mportante ne coeffcent del segnale sottocamponato. Nella fgura seguente, allo stesso segnale del precedente esempo è applcato un fltro che sosttusce l valore del coeffcente d ndce 2n 1 (s suppone che gl ndc partano da 1) con la meda artmetca de coeffcent d ndce 2n 1 e 2 n, mentre l coeffcente 2 n è posto uguale alla dfferenza tra l valore precedente del coeffcente 2n 1 e quello attuale. Il valore de coeffcent d posto par è nteso come l errore commesso nel sottocamponamento. Fgura 7: Esempo d fltraggo e decomposzone wavelet d un segnale mono-dmensonale con otto campon. Quello della fgura precedente è un esempo d fltraggo. Nella pratca, quando s tratta con segnal acustc o vsv, vengono usat fltr passa-basso e passa-alto che suddvdono l segnale n due bande d frequenza dstnte. Questo schema può essere faclmente esteso a segnal bdmensonal, sottocamponando alternatvamente nella drezone orzzontale e n quella vertcale, come mostrato nella fgura seguente. Fgura 8: Esempo d decomposzone wavelet d un segnale bdmensonale. Quello mostrato è un semplce esempo d decomposzone wavelet d un segnale bdmensonale. Esstono decomposzon pù sofstcate, ma lo schema è smle a quello descrtto. 10

17 Vedamo, ora, come la trasformata wavelet sa mplementata n JPEG2000. Ad ogn tle è applcata la trasformata wavelet, secondo uno tra tre dvers schem d decomposzone: Mallat, SPACL e Packet. La seguente fgura llustra la caratterstche prncpal delle strutture d decomposzone supportate dallo standard, che sono essenzalmente un estensone del ben noto schema d Mallat. Fgura 9: Immagne decomposta medante lo schema d Mallat. Denotamo con L l numero totale de lvell d decomposzone. Il numero de lvell d rsoluzone dell mmagne è allora L+1. Nel seguto per comodtà due termn saranno usat con sgnfcato equvalente. Identfchamo con l = 0, 1,, L lvell d rsoluzone, dove l = 0 corrsponde alla banda LL a pù bassa frequenza e l = L corrsponde all mmagne orgnale. Le bande sono raggruppate rspetto al lvello d rsoluzone al quale contrbuscono. Il lvello d rsoluzone 0 comprende solo la banda LL. In generale, dato l lvello d rsoluzone l, per rcostrure l mmagne al lvello d rsoluzone l+1 sono necessar coeffcent delle bande del lvello (l+1)-esmo. Nella classca decomposzone á la Mallat cascun lvello da 1 a L aggunge 3 sottobande, denotate rspettvamente HL (passa-alto orzzontale), LH (passa-alto vertcale) e HH (passa-alto orzzontale e vertcale). La seguente fgura mostra pass d una decomposzone wavelet a 3 lvell, secondo lo schema d Mallat. Fgura 10: Immagne fltrata e decomposta medante lo schema d Mallat. Nello standard, la struttura descrtta sopra è estesa con un parametro φ l per ogn lvello d rsoluzone l=1,2,,l, detto hgh-pass descent depth, che ndca l numero d lvell d decomposzone delle bande contenent alte frequenze (LH, HL e HH) al lvello l. Ad esempo φ l = 2 sgnfca che le bande LH, HL, HH al lvello l sono suddvse cascuna n quattro sottobande; se φ l = 3, ancora una volta le bande ad alta frequenza sono suddvse n quattro sottobande cascuna e le dodc sottobande ottenute sono ulterormente decomposte n quattro sottobande. I valor d φ l ammess nello standard sono 1, 2 e 3. In partcolare, per la decomposzone Mallat φ l = 1, l = 1,2,..L; per lo schema SPACL φ l = 1, l = 1, 2,, L-1 11

18 e φ l = 2, l = L; per Packet, φ l = 1, l = 1,2, L-2 e φ l = 2, l = L-1, φ l = 3, l = L. Le tre decomposzon sono mostrate n fgura. Fgura 11: Confronto tra le decomposzon wavelet supportate dallo standard Lo standard JPEG2000 supporta sa la trasformata reversble, a coeffcent nter, che quella non-reversble, a coeffcent real. La trasformazone rreversble utlzzata normalmente da JPEG 2000 mpega l fltro Daubeches 9/7. I coeffcent de fltr d anals, passa-alto e passa-basso, sono rportat n Tabella 1, quell d sntes n Tabella 2. La trasformazone reversble, nvece, vene realzzata medante un fltro 5/3. La caratterstca d questo tpo d fltro è quella d permettere una rcostruzone completa e senza perdte (lossless) n fase d sntes. I coeffcent de fltr d anals, passa-alto e passa-basso, sono rportat n Tabella 3, quell de fltr d sntes n Tabella 4. La Part II dello standard permette d utlzzare altr tp d fltr defnt dall utente, oltre a quell sopra ndcat. 9/7 - analyss k low pass hgh pass 0 0, , ±1 0, , ±2-0, , ±3-0, , ±4 0, Tabella 1: Fltro Daubeches 9/7 d anals usato per la trasformata rreversble. k è l offset del coeffcente rspetto alla poszone centrale del fltro. 9/7 - syntess k low pass hgh pass 0 1, , ±1 0, , ±2-0, , ±3-0, , ±4 0, Tabella 2: Fltro Daubeches 9/7 d sntes usato per la trasformata rreversble. k è l offset del coeffcente rspetto alla poszone centrale del fltro. 12

19 5/3 - analyss k low pass hgh pass 0 3/4 1 ±1 1/4-1/2 ±2-1/8 Tabella 3: Fltro 5/3 d anals usato per la trasformata rreversble. k è l offset del coeffcente rspetto alla poszone centrale del fltro. 5/3 - syntess k low pass hgh pass 0 1 3/4 ±1-1/2 1/4 ±2-1/8 Tabella 4: Fltro 5/3 d sntes usato per la trasformata rreversble. k è l offset del coeffcente rspetto alla poszone centrale del fltro. Lo standard permette d realzzare la trasformata wavelet n due mod dvers. L mplementazone pù tradzonale è quella a banco d fltr; l secondo metodo s basa sul lftng scheme. Il fltraggo basato sul lftng scheme consste d una sequenza d operazon elementar, dette pass d lftng (lftng steps), medante le qual, alternatvamente, l valore de campon d posto par è aggornato medante una meda pesata de campon d posto dspar (predcton), arrotondata a un valore ntero, e l valore de campon d posto dspar è aggornato n base ad una meda pesata de campon d posto par appena aggornat (update), anche questa arrotondata. Un semplce esempo d lftng è rappresentato nella seguente fgura. Il blocco SPLIT separa campon d posto par da quell d posto dspar. I blocch P e U sono responsabl d aggornare l valore de campon d posto, rspettvamente, par e dspar. Fgura 12: Esempo d lftng scheme. Anals. Per approfondment sul lftng scheme, s vedano [2] e [7]. Sa l metodo a banco d fltr che l lftng scheme possono essere usat per la trasformata rreversble con l fltro 9/7. La trasformata reversble, nvece, può essere mplementata solo medante l lftng scheme, usando l fltro 5/3. Allora, per la compressone lossless, 13

20 che deve necessaramente fare uso d una trasformazone reversble, l unca mplementazone possble è quella che prevede l uso del lftng scheme, con l fltro 5/3 (o un altro fltro a coeffcent nter). Nessuna restrzone, nvece, s applca alla compressone lossy. Le equazon che mplementano fltr 5/3 e 9/7 medante l lftng scheme sono rportate d seguto. Le prme due sono relatve al calcolo coeffcent d posto dspar e d posto par del fltro d anals 5/3. Seguono, nell ordne, le due formule del fltro 5/3 d sntes, fltro 9/7 d anals e fltro 9/7 d sntes. Nelle formule, X e Y sono, rspettvamente, l segnale orgnale e coeffcent wavelet, mentre X ext e Y ext sono corrspondent segnal estes a bord (s veda pù avant). Y (2n + 1) = X ext (2n) + X ext (2n + 2) X ext (2n + 1) (E.5) 2 Y (2n 1) + Y (2n + 1) + 2 Y (2n) = X ext (2n) + 4 (E.6) Yext (2n 1) + Yext (2n + 1) + 2 X (2n) = Yext (2n) (E.7) 4 X (2n) + X (2n + 2) X ext (2n + 1) = Yext (2n + 1) + 2 (E.8) Y (2n + 1) = X ext Y (2n) = X (2n + 1) ext (2n) + Y (2n + 1) = Y (2n + Y (2n) = Y (2n) + + ( α [ X ext (2n) + X ext (2n + 2) ]) ( β [ Y (2n 1) + Y (2n + 1) ]) 1) + ( γ [ Y (2n) + Y (2n + 2) ]) ( δ [ Y (2n 1) + Y (2n + 1) ]) Y (2n) = K Y (2n + 1) Y (2n) = (1 K) Y (2n) [step1] [step 2] [step 3] [step 4] [step 5] [step 6] (E.9) X (2n) = K Yext (2n) X (2n + 1) = (1 K) Yext (2n + 1) X (2n) = X (2n) X (2n + 1) = X (2n + X (2n) = X (2n) X (2n + 1) = X (2n + ( δ [ X (2n 1) + X (2n + 1) ]) 1) ( γ [ X (2n) + X (2n + 2) ]) ( β [ X (2n 1) + X (2n + 1) ]) 1) ( α [ X (2n) + X (2n + 2) ]) [step1] [step 2] [step 3] [step 4] [step 5] [step 6] (E.10) dove valor de parametr (α, β,γ,δ ) sono defnt come segue: 14

21 α = β = γ = δ = (E.11) e l fattore d scala K è uguale a K = Quando s applca l fltraggo a bord d una tle, sorge l problema d qual valor mettere al posto de campon mancant oltre l bordo. Usando fltr smmetrc, un modo tpco d procedere è quello che consste nell estendere l mmagne a bord n manera smmetrca e perodca rspetto al bordo stesso. La fgura seguente mostra un esempo d tale estensone. I coeffcent del segnale orgnale sono dsegnat con una lnea marcata, mentre coeffcent aggunt dall estensone sono quell tratteggat. Fgura 13: Esempo d estensone smmetrca del segnale al bordo. La dmensone dell estensone dpende, ovvamente, dalla dmensone del supporto del fltro usato. Ad esempo, se è l ndce del coeffcente vcno al bordo, usando un fltro 9/7 devono essere aggunt 3 o 4 coeffcent oltre l bordo, a seconda che sa dspar o par. Pur essendo questa una soluzone accettable quando l fltro è applcato a bord dell mmagne, questo metodo ntroduce artefatt quando applcato a bord delle tle, con conseguente effetto blockng (presenza d artefatt a bord de blocch), che è tanto pù vsble quanto pù alto è l fattore d compressone. Per rdurre l effetto blockng, lo standard JPEG2000 prevede un opzone che permette d utlzzare campon appartenent alle tles vcne, a fn dell applcazone del fltro wavelet. Pù precsamente, la tle da codfcare, d dmenson MxN, è estesa d una rga e una colonna; la trasformata wavelet è applcata a questo blocco d dmenson (M+1)x(N+1), secondo uno de metod descrtt sopra. In questo modo, s permette una parzale nterdpendenza tra le tles, dovuta alla sovrapposzone de coeffcent a bord, ma n genere s resce a rdurre l effetto blockng Quantzzazone La trasformata wavelet decompone la tle n lvell d rsoluzone e, all nterno d ogn lvello, n sottobande, cascuna con un certo contenuto d frequenza. Il numero de coeffcent wavelet è uguale a quello de campon che la tle conteneva prma 15

22 dell applcazone della trasformata, qund l passo della trasformata wavelet d per sé non comprme l segnale. La prma compressone avvene nel passo d quantzzazone, l cu compto è quello d fornre un approssmazone de coeffcent che sa convenente n termn d numero d smbol utlzzat per rappresentare cascuno d loro. L approssmazone ntrodotta non permette la perfetta rcostruzone de coeffcent e cò fa della quantzzazone un processo nerentemente lossy. Lo schema d quantzzazone supportato dalla PART I dello standard JPEG 2000 è quello scalare. La PART II permette anche l uso d uno schema pù sofstcato, detto Trells Coded Quantzaton. Qu sarà trattato solo l prmo Quantzzazone Scalare Questo schema d quantzzazone è detto scalare perché cascun coeffcente quantzzato è ottenuto solo come funzone del solo coeffcente wavelet d partenza, dversamente da altr metod che utlzzano nformazon su un certo numero d coeffcent vcn. Prma d prosegure nell argomento, ntroducamo la notazone necessara. Dato un codeblock B, ndchamo con x [ l coeffcente n-esmo d B, rspetto ad un ordne arbtraro, e sa q [ l corrspondente coeffcente quantzzato. Allora q [ e dato dall equazone: x[ q[ = sgn( x[ ) (E.12) b dove sgn ( ) è la funzone segno e b è l cosddetto passo d quantzzazone per la sottobanda b, cu l blocco B appartene. Come rsulta charo dalla formula, coeffcent quantzzat sono ottenut troncando la rappresentazone decmale de coeffcent orgnal dvs per l passo d quantzzazone. Cò sgnfca che coeffcent che hanno magntudo nferore a b sono azzerat e nessuna nformazone potrà essere rcostruta per loro durante la dequantzzazone. Per tale motvo questa quantzzazone è detta dead-zone quantzaton (quantzzazone a zona morta). Il parametro b suddvde l asse delle frequenze n ntervall d dmensone b, come mostrato n Fgura 14. Tutt coeffcent wavelet che appartengono ad un dato ntervallo hanno lo stesso valore quantzzato, qund, al momento d dequantzzarl, non c è modo d dstnguerl. Dal punto d vsta del dequantzzatore tal smbol rsultano, dunque, approssmat ad un unco valore appartenente allo stesso ntervallo. Cò apparrà pù charo fra breve, quando ntrodurremo la formula per rcavare coeffcent dequantzzat a partre da quell quantzzat. 16

23 Fgura 14: Asse delle frequenze dvso n ntervall d dmensone b Come s può osservare dalla precedente fgura, tutt gl ntervall hanno ampezza b, tranne l ntervallo ntorno allo zero (dead-zone), la cu ampezza è 2 b. Cò è dovuto al fatto che a tale ntervallo appartengono tutt coeffcent la cu magntudo è nferore al passo d quantzzazone, postv e negatv, qund la dead-zone è n realtà l unone d due ntervall cu coeffcent hanno valor smmetrc rspetto allo zero. Il passo d quantzzazone può essere dverso per ogn sottobanda. Questo permette d quantzzare n manera pù fne coeffcent d una sottobanda rspetto a quell d un altra. Cò fornsce un meccansmo grezzo d quantzzazone adattatva rspetto al contenuto delle bande. Tuttava, propro perché l passo d quantzzazone è uguale per tutt coeffcent appartenent alla stessa banda, la quantzzazone è ancora unforme. La quantzzazone non-unforme, unta a consderazon d carattere psco-vsvo, spesso raggunge mglor rsultat, n termn d qualtà percepta. Dvers stud sono stat fatt su questo argomento. É mportante osservare che, al fne d poter rcostrure n manera affdable coeffcent wavelet, l modello usato, non solo l passo d quantzzazone, deve essere segnalato esplctamente al decoder Dequantzzazone Scalare Una delle caratterstche d JPEG2000 è la scalabltà per qualtà dell mmagne compressa. Cò è ottenuto, come vedremo pù avant, medante la codfca a bt-plane. Tanto l encoder, quanto l decoder sono lber d scartare alcun tra bt-planes meno sgnfcatv o parte d ess. Questa possbltà nduce una forma d quantzzazone embedded (ncapsulata), della quale è necessaro tenere conto n fase d dequantzzazone. Per modellare correttamente questa stuazone, l equazone precedente deve essere generalzzata. Sano, allora, p [ l numero d bt-planes scartat n corrspondenza al smbolo n-esmo del code-block B e M b l massmo numero d bt-planes nella sottobanda b. L equazone modfcata è la seguente: 17

24 18 = ] [ ] [ ] [ ]) [ ( ] [ n p b n p n x n x sgn n q (E.13) con b n p n p b = ] [ ] [ 2. Il fattore ] [ 2 n p rappresenta l fatto che sono stat taglat p [ bts meno sgnfcatv del coeffcente x [. Allora, l equazone che permette d rcostrure coeffcent wavelet a partre da coeffcent quantzzat ] [ ˆ n x è la seguente: ( ) ( ) > = < + = ] [ 0 2 ] [ ] [ ˆ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ n p n p n p n p b n p M n p n p b n p M n p b b q q q r n q r n q n x (E.14) dove l parametro r è nel range 1 0 < r e dovrebbe essere scelto per produrre la mglore qualtà dell mmagne rcostruta, secondo un crtero vsvo o oggettvo. Un valore tpco è 2 = 1 r.

25 Captolo 3 Codfca Entropca: EBCOT ter 1 In questo captolo sarà presentato n dettaglo l algortmo d codfca entropca utlzzato n JPEG2000. Dopo una breve ntroduzone all argomento, saranno presentat prncp della teora bt-rate/dstorsone, che gustfcano l algortmo presentato. Infne, l attenzone s concentrerà sulla modellzzazone de contest assocat a bt da codfcare Introduzone Introdotto da Taubman [1] nel 1998, EBCOT (Embedded Block Codng wth Optmzed Truncaton) è stato adottato dallo standard JPEG2000 per la sua capactà d combnare un alto fattore d compressone a un buon grado d scalabltà 4 rspetto a rsoluzone e qualtà. Inoltre, graze alla codfca a blocch relatvamente pccol, l accesso dretto a dat compress è puttosto granulare. I coeffcent quantzzat sono passat a EBCOT, che s occupa d rscrvere dat n nput, n manera tale da elmnare le rdondanze dovute alla rappresentazone de coeffcent wavelet, e rordnare l output, trasmettendo prma l nformazone pù mportante. Nel far questo, l encoder deve tenere conto d come l mmagne compressa dovrà essere rcostruta; deve, dunque, fare n modo che l decoder sa n grado d assocare a cascuna sequenza d bt un solo sgnfcato, coè la codfca deve essere unvoca. Cò potrebbe essere fatto segnalando nel btstream l ordne d codfca e d trasmssone, tuttava l overhead rsultante da questo metodo annullerebbe vantagg della codfca adattatva. É dunque necessaro che questa nformazone sa segnalata mplctamente nella sequenza d bt codfcata. Prma d descrvere come questo tpo d codfca è ottenuto dal codfcatore entropco, descrveremo brevemente la struttura d EBCOT. Come mostrato n Fgura 4, EBCOT è composto da due blocch logc dstnt, dett ter. Il ter 1 rceve n nput un blocco rettangolare d coeffcent wavelet quantzzat e l codfca utlzzando un modello d probabltà adattatvo, che segue uno schema prestablto. Ogn blocco genera codewords (sequenza d dat compress) ndpendent, che sono raggruppate 4 Per scalabltà d un mmagne compressa s ntende la possbltà d decodfcare l mmagne n manera parzale, ottenendo una rcostruzone n scala rdotta (scalabltà per rsoluzone) o d mnore qualtà (scalabltà per qualtà). 19

26 n lvell d qualtà progressv, dett layers o qualty layers. Per costrure layers, le codewords sono suddvse n pezz, dett chunks, n manera tale da non compromettere la corretta sntass de dat codfcat. Il ter 2 raccogle queste nformazon e dspone chunks d tutt blocch ne layers. L encoder è lbero d dsporre chunks d dvers blocch nell ordne desderato, purché preserv l ordne de chunks all nterno d un blocco, n manera tale da assegnare contrbut ncremental da cascun blocco ad ogn layer. Il btstream fnale può essere troncato alla fne d quest chunks, sa n fase d codfca che d decodfca. La fgura seguente mostra un esempo d suddvsone de chunks n layers. Fgura 15: Illustrazone de contrbut de blocch a layers. S not che non tutt blocch devono contrbure ad ogn lvello e l numero d byte fornt a cascun lvello da blocch è, n generale, molto varable. Tutte le operazon d codfca procedono n manera ndpendente per cascun blocco, qund la codfca de blocch avvene n manera vertcale, nel verso ndcato dalle frecce. L organzzazone del bt-stream è, nvece, orzzontale, nel senso che chunks sono ordnat per layer nel bt-stream fnale. Non tutt blocch devono contrbure ad ogn lvello e l contrbuto n byte de blocch n cascun lvello è, n genere, molto varable. Tutte le operazon d codfca procedono n manera ndpendente per cascun blocco. Quando tutt blocch sono stat codfcat, ess sono spezzat n chunks e suddvs n manera opportuna ne var layers, n base al valore dell nformazone che contengono. Infne, l nformazone codfcata è raggruppata n una collezone d cosddett pacchett, cascuno contenente dat codfcat per un certa sottobanda (scalabltà per rsoluzone) e per un certo layer (scalabltà per qualtà). In partcolare, un pacchetto contene, per cascun blocco nella sottobanda corrente, una porzone della codeword generata da tale blocco, corrspondente ad uno o pù chunks, nclus nel layer corrente. Questa struttura è stata progettata con l obettvo d ottenere un bt-stream che fosse scalable per qualtà e rsoluzone e, nello stesso tempo, possedesse un certo grado d scalabltà spazale. La scalabltà per rsoluzone è ottenuta medante la decomposzone wavelet. La scalabltà spazale è asscurata dal fatto che le operazon d codfca sono esegute, n manera ndpendente, su blocch suffcentemente pccol da garantre una certa granulartà nell ndrzzamento de sngol element. L organzzazone a qualty layers progressv, nfne, garantsce la scalabltà per qualtà. 20

27 3.2. Ottmzzazone Btrate-Dstorsone La chave dell effcenza d questo sstema d codfca è la scelta oculata de punt d troncamento al fne d mnmzzare l rapporto dstorsone/btrate, dato un certo target btrate. Dato un code-block B appartenente ad una certa sottobanda b nella tle corrente, ndchamo con R 0, R 1,..., R n le lunghezze n bt a cu è possble troncare la codeword relatva al blocco B, dove R 0 rappresenta la stuazone nzale, n cu nessun bt è trasmesso, e R n è la codfca completa del blocco. Fgura 16: Esempo d codeword relatva ad un blocco. R 0, R 1,..., R n sono punt d troncamento legal, coè punt n cu è possble troncare l bt-stream, senza alterarne la sntass. j A cascun punto d troncamento R è assocata una dstorsone D, che rappresenta l errore commesso nella rcostruzone del code-block se l btstream è troncato alla j lunghezza R. In partcolare, se l btstream non è troncato n nessun punto ntermedo, coè l numero d bt trasmess è R n, coeffcent del code-block potranno essere rcostrut n manera fedele (a meno dell errore commesso nella fase d quantzzazone), qund la dstorsone D n è nulla. Denotamo con n R = R (E.15) la dmensone totale dell mmagne compressa, escluso l overhead dovuto alla segnalazone d nformazon a contorno, e con n D = D (E.16) la dstorsone globale. Allora, fssato un btrate massmo R max, l obettvo è trovare un nseme d punt d troncamento n tal da mnmzzare la dstorsone D, soggett al vncolo R max sul btrate, coè: j R = R max (E.17) É mportante osservare che l equazone E.16 assume che la metrca usata per quantfcare la dstorsone sa addtva. Una metrca che soddsfa l addtvtà è l Mean Square Error (Errore Quadratco Medo), che tuttava non è adeguata per rappresentare l modo n cu l essere umano percepsce le mmagn. In seno al progetto JPEG2000, sono state proposte dverse metrche che s basano sul sstema vsvo umano. Un metodo per trovare punt d troncamento ottmal è l cosddetto metodo de moltplcator d Lagrange per problem d ottmzzazone vncolat, che consste nel mnmzzare la funzone D + λ R (E.18) 21

28 dove l valore d λ deve essere scelto n manera tale che l btrate R, prodotto da punt d troncamento che mnmzzano la precedente funzone, soddsf l vncolo R = Rmax. Il metodo d Lagrange trova sempre una soluzone ottmale, ma opera con un nseme n contnuo d valor real, mentre valor R sono dscret. Conseguentemente, tale metodo n generale non sarà n grado d trovare un valore λ per cu R è esattamente uguale a R max, qund dobbamo rlassare l vncolo E.15, mponendo che R Rmax. Nella pratca, tuttava, la subottmaltà del metodo è lmtata se l numero de punt d troncamento per ogn blocco è suffcentemente grande. Vedremo n seguto come questo obettvo sa raggunto da EBCOT. Rtornando al problema d ottmzzazone, dalla defnzone d R e D e dall potes d addtvtà della metrca usata per valutare la dstorsone, è charo che la soluzone al problema globale è composzone delle soluzon d problem d ottmzzazone analogh su sngol blocch. In breve, per ogn blocco B bsogna trovare l punto d troncamento λ λ λ n n n che mnmzza la funzone ( D + λr ). Un semplce λ algortmo per trovare n è quello descrtto da D.Taubman n [1] che rportamo qu d seguto: Algortmo A.1: Algortmo per l calcolo de punt d troncamento ottmal. L output è l punto d λ λ n troncamento n che mnmzza la funzone ( D + λr n ). λ λ Inzalzza n = 0 (nessuna nformazone nclusa per l blocco corrente) for j = 1,2,3, λ λ j n j j j n - Sano D = D D e R = R R j D λ - f > λ then update n j j = R Poché questo algortmo potrebbe dover essere eseguto per molt valor dstnt d λ, ha senso dentfcare l nseme N de punt d troncamento canddat prma d esegure l algortmo stesso. Sa j 1, j 2,, j m una enumerazone degl element d N tale che jk jk jk +1 j D k R < R e sa S = l rapporto btrate-dstorsone per cascun elemento j j k, k R jk jk 1 jk jk jk jk 1 jk dove D = D D e R = R R. I rapport S devono essere strettamente decrescent rspetto a k, nfatt se per assurdo esstesse un ndce k tale che jk j S +1 k S, l punto d troncamento j k non potrebbe ma essere selezonato dall algortmo precedente, ndpendentemente dal valore d λ, qund N non sarebbe l nseme de punt d troncamento canddat. È facle verfcare che, eseguto sull nseme rstretto d punt d jk troncamento N, l algortmo A.1 mplementa la funzone n = max{ jk N S > λ}. jk jk Se rappresentamo n un grafco btrate-dstorsone punt ( R, D ), punt d troncamento che appartengono all nseme N sono quell che gaccono sulla curva rappresentata n Fgura 17.a, che è l nseme de punt che mnmzzano la somma λ λ n n ( D + λr ) per un certo λ fssato. Tale curva è l nvolucro convesso dell nseme de jk punt d troncamento, Il rapporto S può essere pensato come la pendenza della tangente jk jk alla curva nel punto ( R, D ) e per questo, d ora n po, c rferremo ad esso col nome 22

29 slope btrate-dstorsone. Da quanto detto rsulta charo che l nseme N può essere determnato medante l anals dell nvolucro convesso dell nseme de punt d troncamento. Fgura 17: (a) problema dscreto e nvolucro convesso; (b) rappresentazone del problema d ottmzzazone vncolato. La Fgura 17.b rappresenta l problema d ottmzzazone btrate-dstorsone. La retta n fgura è la retta rate = R e la curva ha lo stesso sgnfcato d quella rappresentata nella max n Fgura 17.a. Allora, l mnmo della somma ( D + λr ) è l punto d ntersezone tra curva e retta. Quando trattamo con un nseme dscreto d punt, come nel nostro caso, l punto d ntersezone n generale non esste, qund non è possble ottenere una soluzone ottmale. La soluzone sub-ottmale del problema è l punto che gace nell nvolucro convesso e che ha ascssa massma, a snstra della retta rate = Rmax, coè l punto la cu pendenza è massma tra quell l cu btrate non supera R max. L anals condotta gustfca l algortmo A1. jk Il parametro λ nell algortmo rappresenta un lmte mnmo sulla pendenza S della tangente all nvolucro convesso, n corrspondenza de punt d troncamento j k. Al λ λ λ n n dmnure d λ, nel calcolo del mnmo della somma ( D + λr ) valor R tendono a crescere e, vceversa, l valore delle dstorson λ n n λ λ n D tende a dmnure. Dunque, λ è un peso che blanca bt-rate e dstorsone. Il perché d questa affermazone sarà pù charo con un esempo. S consder un nseme d quattro punt d troncamento, n1, n2, n3, n4, a cascuno de qual assocamo un bt-rate e una dstorsone. La tabella a snstra rporta valor d bt-rate e dstorsone per quattro punt d troncamento, mentre quella a destra λ n λ n mostra valor della somma ( D + λr ) ottenut con λ dvers. Al decrescere d λ, l peso del bt-rate nella sommatora dmnusce, coè samo pù dspost ad accettare un aumento d bt-rate pur d ottenere una dmnuzone d dstorsone. 23

30 truncaton D + λ R D R pont λ n n n n Tabella 5: Esempo d calcolo del punto d troncamento ottmale, al varare d λ. Nel caso λ = 1, la dmnuzone d dstorsone, ottenuta passando dal punto d troncamento n1 al punto n2, non gustfca l aumento d bt necessaro. Con λ = 0. 5, samo dspost a codfcare l punto n2, ma non successv. Infne, per λ = 0. 1 l punto d troncamento ottmale è n4. S not, comunque, che se l bt-rate massmo fosse, ad esempo, R max = 15, n corrspondenza d λ = 0. 1 dovremmo accontentarc del punto d troncamento n3. I dagramm seguent descrvono l algortmo per l calcolo de punt d troncamento ottmal (Algortmo A.1) e quello per l calcolo dell nseme N. Fgura 18: Algortmo per l calcolo de punt dell'nseme N. 24

31 Fgura 19: Algortmo per l calcolo de punt d troncamento ottmal (A.1). Rsulta charo, a questo punto, perché un nseme ampo d punt d troncamento soppersce all neffcenza d questo approcco nel caso dscreto. Infatt, maggore è l numero de punt d troncamento, maggore è l numero d quell che gaccono nell nvolucro convesso, qund nell nseme N. All aumentare de punt nell nvolucro convesso, la soluzone trovata dall algortmo s avvcna, n generale, alla soluzone ottmale del problema Codfca de Blocch Come messo n evdenza dalla precedente dscussone, l approcco al problema dell ottmzzazone bt-rate/dstorsone medante lo studo dell nvolucro convesso è effcente solo per bt-streams dotat d un numero adeguato d punt d troncamento. Tal punt, noltre, devono essere scelt n manera tale da trasmettere l nformazone pù mportante prma possble. Un metodo comune per rsolvere questo problema è la codfca per bt-plane, che consste nel codfcare prma l bt pù sgnfcatvo d cascun coeffcente del blocco, bt che costtuscono l bt-plane pù sgnfcatvo, po bt de btplanes successv, n ordne d magntudo. 25

32 Fgura 20: Un blocco dvso n 5 bt-planes. Sono evdenzat bt relatv ad un coeffcente wavelet quantzzato. Nella fgura è mostrato un blocco costtuto da coeffcent wavelet quantzzat rappresentat medante word d 5 bts. La trasmssone avvene per bt-plane, n ordne decrescente dal pù sgnfcatvo al meno sgnfcatvo. Evdentemente, essendo costtuto da MSBs d tutt coeffcent del blocco, l prmo bt-plane trasmesso è quello che contene l'nformazone pù mportante e la rlevanza de bt-planes è strettamente decrescente rspetto all ordne con cu ess sono nsert nello stream, qund la codfca per bt-plane raggunge l'obettvo della trasmssone progressva ed noltre cascun bt-plane è un punto d troncamento naturale dello stream compresso. Tuttava, taglare un certo numero n d bt-planes corrsponde a quantzzare coeffcent con un passo d ampezza =2 n, che è una codfca non suffcentemente granulare per nostr scop. In altre parole, punt d troncamento fornt da lmt de bt-planes non sono n numero suffcente per rendere effcente l anals dell nvolucro convesso dscussa sopra, percò è necessaro trovare altr punt d troncamento all nterno d cascun bt-plane. Per raggungere questo scopo, JPEG2000 utlzza l cosddetto context modelng (modellzzazone de contest), che descrveremo qu d seguto. Per cascun bt-plane, la codfca procede n tre pass dstnt 5. Denotamo con P p,1, P p,2 e P p,3 l nformazone codfcata n cascuno de pass d codfca, dove p e sono rspettvamente l bt-plane e l ndce del blocco cu pass d codfca 1, 2 e 3 appartengono. La fgura seguente mostra l organzzazone del bt-stream d un code-block codfcato. Fgura 21: Composzone e organzzazone del bt-stream d un code-block codfcato. L dea è quella d vstare ogn coeffcente n uno e uno solo de tre pass assocat a cascun bt-plane p. In questo modo, s ottengono tre nsem d bt dsgunt ed esaustv 5 Nel suo lavoro orgnale, Taubman aveva defnto un ntorno pù esteso e quattro pass d codfca anzché tre. 26