E T MATEMATICA EORIA SERCIZI. GeometriaA G. Bonola I. Forno. esercizi effettivi! esercizi per il recupero. esercizi per l'invalsi

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1 G. Bonola I. orno esercizi effettivi! 1000 esercizi per il recupero 800 esercizi per l'inalsi MATEMATICA E T EORIA SERCIZI GeometriaA Le Mappe INTERATTIE per la L.I.M. Approfondimenti ONLINE LIBRO MISTO PROGETTO S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

2 P IANO DELL OPERA ARITMETICA A GEOMETRIA A UNITÀ 1 UNITÀ 2 UNITÀ 3 UNITÀ 4 UNITÀ 5 UNITÀ 6 UNITÀ 7 UNITÀ 8 UNITÀ 9 Gli insiemi Numeri naturali e numeri decimali Le quattro operazioni I problemi Rappresentazioni grafche dei dati Potenze Divisibilità M.C.D ed m.c.m. razioni Operazioni con le frazioni UNITÀ 1 UNITÀ 2 UNITÀ 3 UNITÀ 4 UNITÀ 5 GEOMETRIA B UNITÀ 6 UNITÀ 7 UNITÀ 8 UNITÀ 9 Sistemi di misura Enti geometrici fondamentali Angoli e rette nel piano Generalità dei poligoni. I triangoli Quadrilateri Area dei poligoni Il teorema di Pitagora e le sue applicazioni Isometrie Similitudine ARITMETICA B GEOMETRIA C UNITÀ 10 UNITÀ 11 UNITÀ 12 UNITÀ 13 UNITÀ 14 UNITÀ 15 razioni e numeri decimali Radice quadrata Rapporti e proporzioni Proporzionalità diretta e inversa Applicazioni della proporzionalità La statistica UNITÀ 10 UNITÀ 11 UNITÀ 12 UNITÀ 13 UNITÀ 14 Circonferenza, cerchio, poligoni inscritti e circoscritti Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Geometria solida: elementi fondamentali Prismi e piramidi, superfcie e volume Solidi di rotazione ALGEBRA UNITÀ 1 UNITÀ 2 UNITÀ 3 UNITÀ 4 Numeri relativi e operazioni Calcolo letterale Equazioni di 1 grado Insiemi e relazioni UNITÀ 5 UNITÀ 6 UNITÀ 7 Geometria analitica La logica Statistica e probabilità S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

3 G. Bonola I. orno MATEMATICA E T EORIA SERCIZI Geometria A S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

4 Coordinamento redazionale Puntocapo (Torino) Progetto grafi co e copertina Gandini & Rendina (Milano) Impaginazione CGM (Napoli) Coordinamento prestampa Gianni Dusio Referenze iconografi che istockphoto Gli Autori e la Casa Editrice ringraziano la professoressa Manuela Argirò per la preziosa collaborazione alla stesura degli eserczi. I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfi lm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i paesi. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni effettuate per fi nalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifi ca autorizzazione rilasciata da: AIDRO Corso di Porta Romana,108 - Milano segreteria@aidro.org sito web: Per i casi in cui non è stato possibile ottenere il permesso di riproduzione, a causa della diffi coltà di rintracciare chi potesse darlo, si è notifi cato all Uffi cio della proprietà letteraria, artistica e scientifi ca che l importo del compenso è a disposizione degli aventi diritto. Le immagini del testo (disegni e/o fotografi e) che rappresentano marchi o prodotti presenti sul mercato hanno un valore puramente didattico di esemplifi cazione. Questo volume è stato realizzato tenendo conto di quanto stabilito dal D.M. n. 547 del 07/12/1999 ( Gazzetta Uffi ciale - Serie speciale n. 51 del 02/03/2000) circa le norme avvertenze tecniche per la compilazione dei libri di testo per la scuola dell obbligo. Nomi e marchi citati sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. info@latteseditori.it Proprietà letteraria riservata 2011 S. Lattes & C. Editori SpA - Torino Prima edizione 2011 Stampato in Italia - Printed in Italy per conto della casa editrice da incenzo Bona SpA - Torino ristampa anno II S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

5 P RESENTAZIONE Questo corso di Matematica, supporto al cammino scolastico, nasce da una lunga esperienza nell insegnamento supportata da un costante e motivato aggiornamento. Il modo di insegnare la disciplina attraversa un graduale rinnovamento: non solo lezioni frontali mirate ad acquisire conoscenze ed abilità connesse all applicazione, ma attività che offrono la possibilità di costruire competenze mediante proposte in cui la matematica fornisce strumenti per affrontare la quotidianità. È auspicabile, quindi, un intervento didattico che permetta di trasferire le conoscenze a situazioni e ambiti che facciano parte del vissuto dello studente per ottenere l auspicato sapere competente. Il percorso didattico è organizzato per Unità di Apprendimento che favoriscono, pur rispettando l impianto classico della disciplina, il sorgere di sapere transdisciplinare, utilizzabile anche in contesti extra-scolastici e legato alla personalità, agli interessi e ai bisogni dei singoli studenti. All inizio di ogni Unità sono evidenziati i prerequisiti, utili all allievo per affrontare i nuovi percorsi, le conoscenze (sapere), le abilità (saper fare) e le competenze (saper essere) che l alunno potrà raggiungere. Risulta inoltre indicato il nucleo tematico, sia fondamentale sia trasversale, al quale l Unità si riferisce, secondo il Quadro di riferimento INALSI. La parte teorica è agile, ogni argomento è racchiuso in una sola pagina e propone l apprendimento di regole, proprietà e procedimenti attraverso osservazioni e ragionamenti al fine di evitare formule inutili e non giustificate. A fronte di ogni pagina di Teoria è inserita una pagina intera di Primi esercizi con aiuto destinati ad agevolare gli allievi nell acquisire un metodo di studio e di lavoro. Al termine di ogni Unità si trovano numerosissimi Esercizi (graduati, con difficoltà segnalata), preceduti da un un rapido e immediato Ripasso. La rubrica Ripasso la teoria permette una rapida revisione di quanto studiato, mentre il Test di erifica propone una verifica sommativa dei contenuti dell Unità e, a seconda del risultati ottenuti, consiglia attività di recupero. Gli Esercizi per il recupero sono guidati, graduati, accompagnati da richiami teorici, presentati con un linguaggio semplice e piano con lo scopo di aiutare l alunno a recuperare le conoscenze e le abilità fondamentali (obiettivi minimi) dell Unità. Gli esercizi Per la prova Nazionale non solo permettono, affrontando anche contesti differenti da quelli incontrati sino a quel momento, di applicare le conoscenze e le abilità acquisite, ma stimolano a metterne in gioco di maggiori e diverse, sfruttando le competenze acquisite. Gli esercizi e le attività proposte nella rubrica Consolidiamo le competenze intendono fornire proposte didattiche intese a sottolineare nuovi legami con il mondo reale e con la quotidianità. In relazione con le tematiche dell indagine OCSE-PISA si vogliono stimolare i ragazzi a utilizzare le conoscenze e le competenze matematiche acquisite a scuola per orientarsi nella pratica quotidiana. Un ringraziamento anticipato va a tutti coloro che, con suggerimenti e osservazioni, vorranno contribuire al miglioramento dell opera. Gli Autori S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione III

6 I NDICE UNITÀ 1 Sistemi di misura 1 Misura di una grandezza Sistema Internazionale di Misura... 4 Misura della lunghezza... 4 Misura della superficie... 6 Misura del volume... 8 Misura della capacità... 8 Misura della massa Operazioni con le misure Addizione e sottrazione Moltiplicazione e divisione Sistemi di misura non decimali Misura dell ampiezza degli angoli Misura del tempo Trasformazione in forma normale di una misura non decimale Operazioni con le misure non decimali Addizione Sottrazione Moltiplicazione per un numero naturale Divisione per un numero naturale Stima di una misura e cifre significative Esercizi Ripasso la teoria Test di verifica Esercizi per il recupero Consolidiamo le competenze Per la Prova Nazionale UNITÀ 2 Enti geometrici fondamentali 1 Enti geometrici fondamentali Punto Linea e retta Superficie e piano Assiomi Segmenti Segmenti consecutivi e adiacenti Spezzate Confronto di segmenti Punto medio di un segmento Operazioni con i segmenti Addizione e sottrazione Multipli e sottomultipli di un segmento Problemi con i segmenti Esercizi Ripasso la teoria Test di verifica Esercizi per il recupero Consolidiamo le competenze Per la Prova Nazionale UNITÀ 3 Angoli e rette nel piano 1 Angoli Classificazione degli angoli Angolo nullo, retto, piatto e giro Angoli consecutivi e angoli adiacenti Confronto di due angoli Operazioni con gli angoli Addizione di angoli Sottrazione di angoli Multipli e sottomultipli di un angolo. 134 Bisettrice di un angolo Angoli notevoli Angoli acuti e angoli ottusi Angoli complementari Angoli supplementari Angoli esplementari Angoli opposti al vertice Problemi con gli angoli Rette perpendicolari Perpendicolare a una retta per un punto Proiezioni su una retta Proiezione di un punto su una retta Proiezione di un segmento su una retta Asse di un segmento I S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

7 9 Rette parallele Parallela a una retta per un punto Distanza di due rette parallele Rette parallele tagliate da una trasversale Esercizi Ripasso la teoria Test di verifica Esercizi per il recupero Consolidiamo le competenze Per la Prova Nazionale UNITÀ 4 Generalità dei poligoni. I triangoli 1 Poligoni: caratteristiche generali Elementi di un poligono Angoli interni ed esterni di un poligono Poligoni concavi e convessi Relazione fra i lati di un poligono Perimetro di un poligono Classificazione dei poligoni Perimetro dei poligoni regolari Diagonali e angoli di un poligono Numero delle diagonali di un poligono Somma degli angoli interni di un poligono Somma degli angoli esterni di un poligono Triangoli: caratteristiche generali Elementi di un triangolo Relazioni fra i lati Classificazione dei triangoli. 222 Classificazione rispetto ai lati Classificazione rispetto agli angoli Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo Altezze e ortocentro di un triangolo Mediane e baricentro di un triangolo. 224 Bisettrici e incentro di un triangolo Assi e circocentro di un triangolo Proprietà dei triangoli Triangolo isoscele Triangolo equilatero Triangolo rettangolo Criteri di congruenza dei triangoli Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza Esercizi Ripasso la teoria Test di verifica Esercizi per il recupero Consolidiamo le competenze Per la Prova Nazionale UNITÀ 5 Quadrilateri 1 Quadrilateri: caratteristiche generali Trapezio Caratteristiche generali Proprietà del trapezio Classificazione dei trapezi Parallelogramma Caratteristiche generali Proprietà del parallelogramma Rettangolo Caratteristiche generali Proprietà del rettangolo Rombo Caratteristiche generali Proprietà del rombo Quadrato Caratteristiche generali Proprietà del quadrato Esercizi Ripasso la teoria Test di verifica Esercizi per il recupero Consolidiamo le competenze Per la Prova Nazionale Soluzioni Test di verifica Consolidiamo le competenze Per la Prova Nazionale I IN NDICE S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

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9 Nucleo tematico MISURE, DATI E PREISIONI UNITÀ 1 Sistemi di misura 1. Misura di una grandezza 2. Sistema Internazionale di Misura 3. Operazioni con le misure 4. Sistemi di misura non decimali 5. Trasformazione in forma normale di una misura non decimale 6. Operazioni con le misure non decimali 7. Stima di una misura e cifre significative PREREQUISITI Possedere le conoscenze fondamentali sul sistema metrico decimale Saper operare con il sistema di numerazione decimale CONOSCENZE E ABILITÀ Acquisire i concetti di misura di una grandezza e di unità di misura Saper operare con grandezze omogenee Conoscere i sistemi di misura non decimali Svolgere le quattro operazioni con le misure angolari e con le misure di tempo COMPETENZE Saper scegliere l unità di misura più adatta in situazioni diverse Saper valutare la precisione di una misurazione Risolvere problemi in cui sono coinvolte misure di grandezza ANNO PARTE DELL UNITÀ MATERIALI ONLINE La storia del sistema metrico decimale Le misure anglosassoni COMPLETANO L UNITÀ per la L.I.M. Mappa interattiva dell Unità per l Insegnante S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

10 T EORIA 1 Misura di una grandezza Ogni oggetto ha delle caratteristiche che lo contraddistinguono, alcune possono essere misurate, altre no: di una mela si misura il peso, la circonferenza ma non la succosità, il sapore, il profumo; di un bimbo si misura il peso, l altezza ma non la somiglianza con i nonni o la simpatia. Si dice grandezza ogni caratteristica che può essere misurata. Due grandezze della stessa specie possono essere confrontate, addizionate o sottratte fra di loro. Possiamo confrontare, addizionare o sottrarre: la lunghezza di due strade; la durata di due film; il peso di una pesca e quello di una mela. Due grandezze si dicono omogenee quando è possibile confrontarle, addizionarle o sottrarle. Due grandezze che non possono essere confrontate, addizionate o sottratte sono dette eterogenee. Proviamo a effettuare la misura diretta di una grandezza. Innanzitutto si deve scegliere una grandezza omogenea con quella da misurare, poi si conta quante volte la seconda grandezza, detta unità di misura, è contenuta in quella data. Supponiamo di voler misurare il segmento AB scegliendo come unità di misura, indicata con u, il segmento CD. Confrontando il segmento CD con AB notiamo che CD è contenuto 5 volte nel segmento AB, quindi che AB è lungo 5 CD. La misura di un segmento AB rispetto all unità di misura fissata si indica mettendo un trattino sul simbolo del segmento, nel nostro caso AB 5 u. Misurare direttamente una grandezza significa confrontarla con un altra omogenea, detta unità di misura u, e stabilire quante volte l unità di misura u è contenuta nella grandezza in esame. A B C D u Misuriamo ora lo stesso segmento AB scegliendo come unità di misura u il segmento E (E CD): otteniamo che AB u È cambiata la misura, ma non la lunghezza di AB; quindi: A B E u La misura di una grandezza è un numero che dipende dall unità di misura scelta. In alcuni casi è conveniente effettuare una misurazione indiretta, cioè misurare direttamente altre grandezze che hanno un legame noto con la grandezza da misurare. Per esempio, si possono misurare indirettamente: la superficie di una stanza rettangolare o il suo volume conoscendo le misure delle sue dimensioni e applicando le formule per calcolare l area di un rettangolo o il volume di un parallelepipedo; la capacità di un recipiente conoscendo il suo volume. 2 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

11 1 2 Riconosci in quali casi la caratteristica indicata è una grandezza. Occorre individuare le caratteristiche misurabili. a Simpatia di una persona d Bellezza di un paesaggio b Peso di un libro e Profondità di un lago c Lunghezza di un torrente f Altezza di un monte Completa la tabella. frase caratteristica che si misura la strada è larga 10 m larghezza l abete è alto 12 m l armadio è profondo 60 cm quel pesce pesa 2 kg la bottiglia contiene 750 ml U1 Sistemi di misura 3 Completa la tabella inserendo una crocetta nella colonna opportuna. Occorre capire se le due grandezze sono confrontabili, cioè se si riferiscono a una stessa caratteristica. prima grandezza seconda grandezza omogenee eterogenee peso di un libro lunghezza di una stanza superficie di un lago peso di una persona peso di un mobile superficie di una stanza profondità di un lago altezza di una persona 4 Riconosci la risposta corretta. Occorre confrontare il segmento di riferimento (u) con il segmento AB. a A B C D u AB 12 CD AB 3 CD AB 6 CD AB 9 CD b A B E u AB 3 E AB 12 E AB 2 E AB 6 E c A B G H u AB 3 GH AB 4 GH AB 6 GH AB 2 GH d A B I L u AB 2 IL AB 4 IL AB 3 IL AB 12 IL S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 3

12 T EORIA 2 Sistema Internazionale di Misura Anticamente le unità di misura erano diverse da nazione a nazione, addirittura tra regione e regione. Durante la Rivoluzione rancese (1794), per facilitare gli scambi commerciali e culturali, fu introdotto il sistema metrico decimale in cui l unità di misura fondamentale per le lunghezze è il metro. Come nel sistema di numerazione decimale, i multipli e i sottomultipli dell unità principale variano secondo le potenze di 10. Multipli e sottomultipli sono unità di misura secondarie. Nei secoli seguenti, con lo svilupparsi della scienza, furono necessarie altre unità di misura e vennero così introdotti altri sistemi di misura. Nel 1961, durante l XI Conferenza Generale dei pesi e delle misure, fu introdotto il Sistema Internazionale di Misura (SI), utilizzato ormai quasi universalmente. Il SI si basa su sette grandezze fondamentali. L elenco e le loro unità di misura sono riportati nella tabella di pag Per indicare i multipli e i sottomultipli di ogni unità di misura si utilizzano i prefissi: prefisso nome dell unità di misura denominazione multiplo o sottomultiplo decametro 10 metri; ettometro 100 metri; kilometro 1000 metri; millimetro 0,001 metri. Per scrivere correttamente la misura di una grandezza valgono le seguenti regole: il simbolo dell unità di misura deve essere scritto dopo la misura relativa: 13 m e non m 13 non si scrive il puntino dopo il simbolo dell unità di misura (non è un abbreviazione): 3 hl e non 3 hl. Misura della lunghezza Nel SI l unità di misura principale della lunghezza è il metro (m), una grandezza fondamentale di cui si dà la seguente definizione: 1 Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in -esimo di secondo Per trasformare una misura di lunghezza da un unità in un altra: se è di ordine superiore, si divide per 10, 100, 1 000, se è di ordine inferiore, si moltiplica per 10, 100, 1 000, multipli sottomultipli denominazione simbolo : equivalenze kilometro km m ettometro hm 100 m decametro dam 10 m metro m 1 m decimetro dm 0,1 m centimetro cm 0,01 m millimetro mm 0,001 m 30 m 0,030 km : hm mm dm 0,31 dam : S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

13 1 Completa. a Nel sistema metrico decimale l unità di misura fondamentale è il.. b Nel sistema metrico decimale le misure derivate sono., volume, e peso. c Nel Sistema Internazionale di unità di misura le grandezze fondamentali sono d Per i multipli e i sottomultipli si utilizzano e simboli. grandezza fondamentale del SI unità di misura simbolo lunghezza metro m massa kilogrammo kg tempo secondo s intensità di corrente elettrica ampere A temperatura kelvin K quantità di materia mole mol intensità luminosa candela cd U1 Sistemi di misura 2 ero o falso? a L unità di misura della lunghezza è il kilometro. b Il simbolo del metro è mt. c Per passare dal metro al decimetro si moltiplica per 10. d Per passare dal decametro al metro si divide la misura per Riconosci le scritture non corrette. 56 m hl 50 km 5 7 mt 16 dm. m m 3 4 Con riferimento alla figura, riconosci quali strumenti utilizzeresti per misurare: a la larghezza di una pagina del tuo libro di geometria. b l altezza della porta della tua aula. c la lunghezza della palestra della tua scuola d la circonferenza del tronco di un albero. doppio metro decametro metro doppio decimetro 5 Riconosci la misura più appropriata. a Lunghezza di una matita: 15 m 15 cm b Lunghezza di un campo da calcio: 90 km 90 m c Altezza di una porta: 2,10 m 2,10 dm d Larghezza di un tavolo: 90 m 90 cm S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 5

14 T EORIA Misura della superficie L unità di misura principale della superficie è il metro quadrato (m 2 ) che è una grandezza derivata dal metro. Il metro quadrato è la misura della superficie di un quadrato con il lato lungo un metro. multipli denominazione simbolo : equivalenza kilometro quadrato km m 2 ettometro quadrato hm m 2 decametro quadrato dam m 2 metro quadrato m 2 1 m 2 sottomultipli decimetro quadrato dm 2 0,01 m 2 centimetro quadrato cm 2 0,0001 m 2 millimetro quadrato mm 2 0, m 2 Per trasformare una misura di superficie da un unità in un altra: se è di ordine superiore, si divide per 100, , , 237 m 2 0,0237 hm ,32 dm 2 27,5232 m 2 : : 100 se è di ordine inferiore, si moltiplica per 100, , , 324 dam m Tradizionalmente le unità di superficie utilizzate per misurare i terreni si dicono unità agrarie. Attualmente l uso delle unità agrarie è limitato ad alcune situazioni legate strettamente all attività agricola. Le unità agrarie possono anche variare da regione a regione e assumere nomi e valori diversi. Le più utilizzate sono le seguenti: denominazione simbolo : equivalenza ettaro ha 1 ha m 2 ara a 1 a 100 m 2 centiara ca 1 ca 1 m 2 1 ha 100 a ca m 2 1 a 100 ca 100 m 2 42 ha ca a 37,50 ha : S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

15 1 ero o falso? 2 a L unità di misura principale della superficie è il metro quadrato. b Nelle misure di superficie ogni unità contiene 100 volte quella che la segue. c 1 m 2 contiene 100 volte 1 dam 2. d Le unità di misura agrarie sono: ettaro, ara e centiara. Con riferimento alla figura, completa. Occorre contare quanti quadretti piccoli formano a La lunghezza del segmento CD è volte la lunghezza del segmento AB. b Il quadrato che ha come lato il segmento CD è volte il quadrato che ha come lato il segmento AB. c Ogni unità di misura di superficie contiene volte quella immediatamente inferiore ed è contenuta.. volte in quella immediatamente U1 Sistemi di misura A B C D u 10 u 3 Completa. 2 m 2... dm 2 0,5 dm m 2... dam :... 4 Riconosci la misura più appropriata. Occorre ragionare sull unità di misura. a Superficie di una stanza: 16 m 2 16 dm 2 b Superficie di un foglio di quaderno: 320 dm cm 2 c Superficie della alle d Aosta: m km 2 d Superficie di una parete di una stanza: 15 dm 2 15 m 2 e Superficie di uno schermo televisivo: 20 dm 2 20 m 2 5 ero o falso? Occorre ricordare che 1 a 100 m 2. a 2 a 2 m 2 c m 2 4 ha b 20 a m 2 d 20 a 2 ha S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 7

16 T EORIA Misura del volume L unità di misura principale del volume è il metro cubo (m 3 ) che è una grandezza derivata dal metro. Il metro cubo è la misura del volume di un cubo con lo spigolo lungo un metro. Per trasformare una misura di volume da un unità in un altra: se è di ordine superiore, si divide per 1 000, , , se è di ordine inferiore, si moltiplica per 1 000, , , multipli sottomultipli denominazione simbolo : equivalenza kilometro cubo km m 3 ettometro cubo hm m 3 decametro cubo dam m 3 metro cubo m 3 1 m 3 decimetro cubo dm 3 0,001 m 3 centimetro cubo cm 3 0, m 3 millimetro cubo mm 3 0, m 3 5 dm cm cm 3 0,52 dm 3 : ,32 m cm Misura della capacità La capacità di un recipiente è il volume di liquido che esso può contenere. L unità di misura principale della capacità è il litro ( ). Il litro è la capacità equivalente al volume di un decimetro cubo. multipli sottomultipli denominazione simbolo : equivalenza ettolitro hl 100 decalitro dal 10 litro 1 decilitro dl 0,1 centilitro cl 0,01 millilitro ml 0, ,15 hl : ,8 cl 0,0428 dal : hl dl Per trasformare una misura di capacità da un unità in un altra: se è di ordine superiore, si divide per 10, 100, se è di ordine inferiore, si moltiplica per 10, 100, 8 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

17 1 ero o falso? 2 a L unità di misura principale del volume è il metro cubo. b Il metro cubo è un unità di misura fondamentale. c Il metro cubo si indica con m 3. d La milionesima parte del metro cubo è il decimetro cubo. Con riferimento alla figura, completa. a La lunghezza del segmento CD è... la lunghezza del segmento AB. b Il cubo che ha come spigolo il segmento CD è... volte il cubo che ha come spigolo il segmento AB. U1 Sistemi di misura c Ogni unità di misura di volume contiene... volte quella immediatamente inferiore ed è contenuta... volte in quella immediatamente... A B C D 3 Riconosci la misura più appropriata. u 10 u a olume di una piscina: 600 m cm 3 b olume di un secchiello: 10 mm 3 10 dm 3 c olume di una forma di formaggio: 6 m 3 6 dm 3 d olume di una scatola di scarpe: 6 dm 3 6 m 3 4 ero o falso? a L unità di misura principale della capacità è il litro. b La capacità di 1 litro equivale al volume di 1 m 3. c Il litro non ha multipli. d 100 litri equivalgono a 1 ettolitro. 5 Completa dl 6 hl cl : Riconosci la misura più appropriata. Occorre ragionare sull unità di misura. a Latte prodotto giornalmente da una mucca: hl b ino contenuto in una damigiana: 24 cl 24 c Capacità di una tazzina di caffè: cl d Acqua bevuta giornalmente da una persona: 1,5 1,5 dal Riconosci la risposta corretta. a Un litro equivale a: 10 cl 100 cl cl 100 dl b Mezzo litro equivale a: 5 ml 5 cl 500 ml ml c Un quarto di litro equivale a: 25 dl 250 cl ml 250 ml d Tre quarti di litro equivalgono a: 750 ml 750 cl 750 dl 75 dl S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 9

18 T EORIA Misura della massa Nel SI l unità di misura principale della massa è il kilogrammo (kg) che è una grandezza fondamentale di cui si dà la seguente definizione. Il kilogrammo è uguale alla massa del campione di platino-iridio conservato a Sèvres, che corrisponde alla massa di un dm 3 di acqua distillata a livello del mare alla temperatura di 4 C. Non dobbiamo confondere la massa con il peso: il peso di un corpo varia al variare della sua distanza dal centro della Terra, la massa invece rimane dovunque costante. Un corpo che sulla Terra pesa 60 kg sulla Luna peserà circa 10 kg a causa della minore forza di attrazione generata dalla Luna, mentre la sua massa rimane invariata. La massa indica la quantità di materia contenuta in un corpo e ha un valore costante. Il peso è la forza con cui un corpo è attratto verso il centro della Terra. multipli sottomultipli denominazione simbolo : equivalenza Megagrammo Mg kg quintale miriagrammo 100 kg 10 kg kilogrammo kg 1 kg ettogrammo hg 0,1 kg decagrammo dag 0,01 kg grammo g 0,001 kg decigrammo dg 0,0001 kg centigrammo cg 0,00001 kg milligrammo mg 0, kg ATTENZIONE! Il quintale (q) 100 kg e il miriagrammo 10 kg non sono più ufficialmente accettati nella U.E. e la tonnellata (t) è stata sostituita dal Megagrammo. Per trasformare una misura di massa da un unità in un altra: se è di ordine superiore, si divide per 10, 100, 1 000, 270 g 2,70 hg 42 dg 0,0004 Mg : 100 se è di ordine inferiore, si moltiplica per 10, 100, 1 000, 32 kg dg : hg g S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

19 1 ero o falso? 2 a L unità di misura principale della massa è il grammo. b Massa e peso sono due grandezze diverse. c Il peso è una forza. d Il peso di un corpo è costante. Completa. 20 g.. mg 15 hg g.. kg U1 Sistemi di misura :.. 3 ero o falso? a 1 kg 10 g b 1 dg 10 cg c 300 mg 0,3 g d 100 hg 1 kg e 1 hg 100 g f 1 g mg 4 Inserisci il simbolo maggiore ( ), uguale ( ) o minore ( ). a 5 kg g b 0,5 kg g c 2 mg g d 7 g g e 8 hg g f 35 g.. 0,35 hg 5 Riconosci la misura più appropriata. a La massa di una persona è: 75 hg 75 kg b La massa di un pesce è: 1,5 Mg 1,5 kg c La massa di un cane è: 15 kg 15 mg d La massa di una forma di formaggio è: 22 g 22 kg S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 11

20 T EORIA 3 Operazioni con le misure Tra i valori numerici di misure di grandezze omogenee ed espresse nella stessa unità di misura è possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali. Addizione e sottrazione Addizionando e sottraendo misure di grandezze omogenee si ottengono ancora misure di grandezze omogenee con quelle date. 11 kg 23 kg 34 kg 320 mm 12 cm 32 cm 12 cm 20 cm Moltiplicazione e divisione Moltiplicando misure di grandezze omogenee si possono ottenere misure prive di significato o misure di grandezze non omogenee con quelle date ma accettabili. Problema 1 Dato un rettangolo avente le dimensioni lunghe 8 cm e 5 cm, calcola la sua area. 8 cm 5 cm 40 cm 2 (area del rettangolo) Moltiplicando due misure di lunghezza si ottiene una misura non omogenea con quelle date, ma accettabile perché è una misura di superficie. Il prodotto 2 3 invece dà come risultato una misura ( 2 ) priva di significato. Dividendo misure di grandezze omogenee si ottengono numeri puri (ovvero non sono più una misura). Problema 2 Lungo la strada, che porta all agriturismo Il Cascinale, a partire dalla distanza di 24 km vengono posti, uno ogni 3 km, dei cartelli indicatori. Quanti cartelli indicatori vengono utilizzati? IL CASCINALE a 24 km IL CASCINALE a 21 km IL CASCINALE a 18 km IL CASCINALE a 15 km IL CASCINALE a 12 km IL CASCINALE a 9 km IL CASCINALE a 6 km IL CASCINALE a 3 km IL CASCINALE 24 km : 3 km 8 numero di cartelli Il numero 8 è un numero puro, non indica cioè alcuna misura. Moltiplicando o dividendo una grandezza per un numero si ottiene una grandezza omogenea con quella data. 12 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

21 1 ero o falso? 2 a Due grandezze omogenee si possono sempre addizionare. b Due grandezze omogenee si possono sempre moltiplicare. c La differenza fra le misure di due grandezze omogenee è un numero puro. d Il quoziente fra le misure di due grandezze omogenee è un numero puro. Riconosci quali operazioni si possono eseguire. a 3 m 8 m d 70 kg : 5 kg g 72 m : 36 cl b 45 cm 54 cm 2 e 3 m 9 m h 5 12 c 4 kg 3 hl f 4 g 40 g i 35 dm 2 5 ml U1 Sistemi di misura 3 ero o falso? a 3 m 6 m 18 m d 3 kg 5 kg 15 kg b 48 : 0,5 96 e 7 m 2 14 m 2 c 50 m 2 : 0,25 m f 100 g : 5 20 g 4 Completa la tabella inserendo il risultato nella colonna opportuna. operazione numero puro grandezza 3 dm 5 dm 8 dm 54 : m 3 m 24 kg : 6 20 m 2 : 5 m 2 Completa. Occorre convertire le grandezze nella stessa unità di misura. 5 a 5 m 40 dm. dm 40 dm. dm b 3 km 500 m. m 500 m. m c 7 kg 20 hg 7 kg. kg. kg d 4 kg 350 g. g 350 g. g e 45 cl 350 ml 45 cl. cl. cl f cl a 25 m 2 : 50 dm 2. dm 2 : 50 dm 2 50 b 20 dam 2 : 500 m 2. m 2 : 500 m 2. c 1 m 3 : 250 dm 3. dm 3 : 250 dm 3. d 8 dm 3 : cm 3 8 dm 3 :. dm 3. 7 a 400 kg : 200 hg 400 kg :. kg. b 3 hg : 5 g. g : 5 g.. c 30 g : mg 30 g :. g. d 45 hl : 3. : 3. e 24 : 50 cl 24 :.. f 30 hl : 300 cl. :.. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 13

22 T EORIA 4 Sistemi di misura non decimali Per alcune grandezze fisiche si usano sistemi di misura che non sono decimali; per esempio per misurare gli angoli e il tempo si usa il sistema sessagesimale. Sistema sessagesimale sistema a base sessanta Nel sistema sessagesimale occorrono 60 unità di ordine inferiore per formare un unità di ordine superiore. Misura dell ampiezza degli angoli L unità principale di misura degli angoli è il grado (simbolo ) di cui si dà la seguente definizione: il grado è l angolo uguale alla trecentosessantesima parte dell angolo giro. denominazione simbolo equivalenza grado primo 1 secondo : 60 : 60 : Misura del tempo Il più usato sistema di misura del tempo è un sistema misto, formato cioè da una parte sessagesimale (i multipli del secondo) e da una parte decimale (i sottomultipli del secondo). L unità di misura principale degli intervalli di tempo è il minuto secondo (simbolo s) di cui si dà la seguente definizione: il minuto secondo è il tempo occorrente al Cesio 133 per compiere vibrazioni. denominazione simbolo equivalenza anno commerciale a s 360 d mese commerciale M s 30 d giorno d s 24 h ora h s 60 m minuto primo m 60 s minuto secondo s 1 s decimo di secondo 0,1 s centesimo di secondo 0,01 s millesimo di secondo 0,001 s 50 m 300 s 2 a 720 d 10 h s h 600 m 7 M 210 d 4 d 96 h s 4 h m 7 d 2160 h 3 M : : : d 9 M 1980 s 33 m 84 M 7 a : 30 : 60 : S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

23 1 ero o falso? 2 a Il sistema sessagesimale è un sistema di misura a base sessanta. b Nel sistema sessagesimale dieci unità di un certo ordine formano un unità di ordine superiore. c Nel sistema sessagesimale per passare da un unità a quella immediatamente inferiore si moltiplica per 60. Completa. Occorre ricordare che servono 60 unità di ordine inferiore per formare un unità di ordine superiore U1 Sistemi di misura :... : 60 :... 3 ero o falso? a Il sistema di misurazione del tempo è formato da una parte sessagesimale e da una parte decimale. b In un giorno ci sono 12 ore. c In 1 minuto primo ci sono 60 minuti secondi. d L anno commerciale è formato da 360 giorni. 4 Completa. 3 d h 4 h m 2 h s 20 m s h d 180 m h 420 s m 90 d M : 24 : 60 :... :... 5 Riconosci la misura più appropriata. Occorre riconoscere l unità di misura più adatta. a Tempo per fare una passeggiata di 1 km: 20 minuti 20 secondi 20 ore b Durata di una partita di calcio: 1 giorno 90 minuti 90 secondi c Tempo impiegato da un corridore del Giro d Italia per compiere una tappa a cronometro di 40 km: 48 minuti 4 ore 4 giorni d Tempo impiegato per battere le ciglia: di secondo secondi 1 secondo S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 15

24 T EORIA 5 Trasformazione in forma normale di una misura non decimale Per esprimere la misura di un angolo o una misura di tempo si può scrivere: (angolo) 3 d 12 h 36 m 12 s (tempo) Le misure sono scritte in forma normale, poiché tutte le unità di ciascun ordine sono minori di quante ne occorrono per formare un unità dell ordine immediatamente superiore. Al contrario le seguenti misure non decimali non sono scritte in forma normale: d 47 h 108 m 20 s Infatti, nella prima, i primi e i secondi superano il valore 59 e nella seconda i giorni superano 29, le ore superano 23 e i minuti superano 59. ediamo come si riduce una misura non decimale in forma normale. Si può procedere in due modi. a) Abbiamo scritto in rosso la misura espressa in forma normale: d 49 h 95 m 39 s d 49 h 60 m 35 m 39 s d 49 h 1 h 35 m 39 s d 50 h 35 m d 48 h 2 h 35 m 39 s d 2 d 2 h 35 m 39 s d 2 h 35 m 39 s 30 d 9 d 2 h 35 m 39 s 1 M 9 d 2 h 35 m 39 s b) Potremmo procedere anche nel seguente modo: : 60 1 resto : 60 2 resto quindi: d 49 h 95 m 39 s 95 m : 60 1 h resto 35 m 49 h 1 h 50 h 50 h : 24 2 d resto 2 h 37 d 2 d 39 d 39 d : 30 1 M resto 9 d quindi: 37 d 49 h 95 m 39 s 1 M 9 d 2 h 35 m 39 s 16 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

25 1 2 Completa. Occorre ricordare che le misure sono espresse in forma normale quando tutte le unità di ciascun ordine sono minori di quante ne servono per formare l unità dell ordine immediatamente superiore. a La misura non è espressa in forma normale perché i secondi superano b La misura 28 h 15 m 40 s non è espressa in forma normale perché le ore superano c La misura non è espressa in forma normale perché superano d La misura 20 h 85 m 36 s non è espressa in forma normale perché superano. Riconosci quali misure non sono scritte in forma normale. Occorre ricoscere quali scritture possono essere semplificate. U1 Sistemi di misura a d 16 d 36 h 34 m 50 s b e 12 h 58 m 45 s c f 13 M 20 d 52 h 3 Completa. a d 88 s 1 m.. s b c e 135 m 2 h.. m f 38 h 1 d.. h 4 ero o falso? a b c 90 m 1 h 30 m d 36 h 1 d 6 h e f g 50 h 4 d 2 h h 200 m 3 h 20 m 5 Completa le trasformazioni in forma normale. a c 28 h 68 m 85 s h 68 m 60 s.. s h 69 m.. s h 60 m.. m.. s h.. m.. s 24 h.. h.. m.. s 1 d 5 h 9 m 25 s b d 50 h 54 m 150 s 75 : 60 1 resto s : 60 2 m resto.. s m.. m 56 m 86 : 60 1 resto.. 50 h : 24.. d resto.. h quindi: quindi: h 54 m 150 s 2 d 2 h 56 m 30 s S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 17

26 T EORIA 6 Operazioni con le misure non decimali Anche con le misure non decimali si possono eseguire operazioni, utilizzando nuove tecniche. Addizione Per addizionare misure non decimali, le unità dello stesso ordine devono essere incolonnate, poi si calcola la somma di queste unità e infine si riduce in forma normale il risultato ottenuto M 24 d 14 h 41 m d 8 h 56 m M 41 d 22 h 97 m M 30 d 11 d 1 h 60 m 37 m 87 3 M 11 d 23 h 37 m Prova a esercitarti: Sottrazione Anche per sottrarre due misure non decimali, le unità dello stesso ordine devono essere incolonnate, si calcola poi la differenza fra queste unità. Se il minuendo è minore del sottraendo, si chiede un prestito e si trasforma una unità dell ordine immediatamente superiore in equivalenti unità dell ordine inferiore M 7 d 13 h 21 m M d 1 h m M 37 d 12 h 81 m d 12 h 37 m M 28 d 0 h 44 m Prova a esercitarti: S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

27 1 ero o falso? 2 a Nell addizione di misure non decimali le unità dello stesso ordine si addizionano separatamente. b Nella sottrazione di misure non decimali non si possono chiedere prestiti. c Non si possono sottrarre misure di tempo. d Quando si chiede un prestito si trasforma nell unità di ordine inferiore. Completa ciascuna operazione. Attenzione agli incolonnamenti: unità uguali devono essere riportate una sotto l altra. Se un unità del sottraendo è maggiore della corrispondente unità del minuendo, occorre chiedere un prestito. U1 Sistemi di misura a c b d Completa ciascuna operazione con le misure di tempo. a 3 h 45 m 36 s c 3 d 16 h 25 m 5 h 20 m 12 s 1 d h... d... h 25 m 8 h... m... s 20 h 10 m 8 h 60 m... m... s... h... m... s... d 20 h... m b 23 h 48 s d 2 d 3 h 7 h 10 m 20 s 1 d h... h... h 10 m... s... d 10 h 1 m 60 s... s... h 11 m... s... d... h 24 h... h 1 d... h 11 m... s S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 19

28 T EORIA Moltiplicazione per un numero naturale Per moltiplicare una misura non decimale per un numero naturale, si moltiplicano le varie unità di misura per quel numero e poi si riduce in forma normale il risultato ottenuto d 4 h 45 m 5 s d 44 h 495 m 55 s h 480 m 15 m h 2 d 48 h 4 h 13 d 4 h 15 m 55 s Divisione per un numero naturale Per dividere una misura non decimale per un numero naturale, si dividono le varie unità per quel numero incominciando da quelle di ordine maggiore; l eventuale resto si trasforma in equivalenti unità dell ordine immediatamente inferiore e si addizionano a quelle del medesimo ordine del dividendo : 6. 13h 56 m 48 s : h 29 m 12 s 14 1 h m m s S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

29 1 ero o falso? 2 a Per moltiplicare una misura non decimale per un numero intero si moltiplicano le varie unità per quel numero. b Si possono moltiplicare fra loro due misure di tempo. c Nelle divisioni di una misura non decimale per un numero intero, i resti non vengono considerati. d Nelle divisioni i resti vanno trasformati nelle unità di ordine inferiore. Completa ciascuna operazione. Il risultato deve essere espresso in forma normale. U1 Sistemi di misura a c : == == = b d : == == 3 Completa ciascuna operazione con le misure di tempo. a 2 h 9 m 16 s c 20 h 18 m 42 s : h 10 h h... m.. s... m... s... b 8 h 16 m 12 s d 7 d 10 h 15 m : d 1 d 11 h... m... h... m.. s 2 d h 1 h 60 m... m... h... h 1 d 24 h... h 55 h 1 d... h... m.. s... h m... m... m S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 21

30 ATTENZIONE! T EORIA 7 Stima di una misura e cifre significative La stima è la determinazione della misura approssimata di una grandezza quando non è possibile misurarla direttamente o indirettamente. Ci sono situazioni in cui è necessario avere buone capacità di stima: un automobilista quando deve effettuare un sorpasso deve stimare con rapidità la distanza del veicolo che sopraggiunge in senso contrario; al mattino ci alziamo a una determinata ora perché abbiamo stimato il tempo che ci occorre per prepararci, fare colazione e raggiungere la scuola. La stima ci aiuta quando dobbiamo scegliere l unità di misura di riferimento: per misurare il peso di un uovo utilizzeremo il grammo; per misurare la capacità di una bottiglia il centilitro; per misurare l altezza di una casa, il metro; per misurare la distanza fra due città, il kilometro. Ogni misura eseguita con uno strumento è un approssimazione del valore reale della grandezza. Al variare di ciò che dobbiamo misurare è quindi opportuno scegliere un adeguata unità di misura e uno strumento capace di valutare sino ai decimi di quell unità di misura. Se vogliamo misurare la lunghezza di una mensola, lo spessore di un libro o la profondità di un ripiano useremo come unità di riferimento il centimetro e come strumento la riga che ci permette di valutare i decimi di centimetro (cioè i millimetri). Si dicono cifre significative del risultato di un operazione di misura le cifre note con certezza più la prima cifra incerta. Ad esempio se misurando la larghezza di un tavolo con la riga si trova il valore di 92,3 centimetri, la misura ha tre cifre significative: il 9 e il 2, che esprimono i centimetri, più la prima cifra incerta il 3 (che sono millimetri). Misurando lo stesso banco con uno strumento che permette di valutare i centimetri si trova il valore di 9,2 decimetri. Se insieme ai tuoi compagni provi a stimare la misura della larghezza della lavagna ti accorgerai che i valori ottenuti sono diversi: dipendono dalla capacità individuale di effettuare una stima. Se poi ognuno di voi effettuerà la misurazione con un metro, vedrai che i vostri risultati non saranno tutti uguali: nell effettuare un misura si commettono errori. Gli errori di misura possono essere di due tipi: oggettivi: dipendono dallo strumento usato e possono essere eliminati con strumenti più precisi; soggettivi: dipendono dalla persona che esegue la misura, dalla sua esperienza e dalla sua attenzione, non si possono mai eliminare del tutto, ma si può cercare il valore più probabile della misura effettuando diverse misurazioni e poi calcolando la media dei risultati ottenuti. La media, come vedrai in seguito, si calcola addizionando tutti i valori delle misure effettuate e dividendo il risultato per il numero di tali misure. 22 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione

31 1 ero o falso? 2 a La stima della misura di una grandezza si può effettuare solo quando si conosce la misura esatta. b La stima è la determinazione della misura approssimata di una grandezza. c La stima della misura di una grandezza si effettua senza l uso di strumenti. d La stima effettuata da persone diverse della lunghezza di un oggetto è sempre la stessa. Riconosci in quali casi è necessario effettuare una misura precisa e in quali è sufficiente effettuare una stima. La stima è un valore approssimativo di una grandezza. U1 Sistemi di misura a Determinare l altezza di un albero. b Determinare il tempo impiegato da un atleta in una gara dei 100 metri piani. c Determinare il carico trasportato da un autocarro. d Determinare lo spessore di un vocabolario. 3 Riconosci in quali situazioni è necessario effettuare rapidamente una stima. a Entrare in un cancello automatico alla guida di un automobile. b Andare a fare una passeggiata nel parco. c Effettuare un sorpasso durante una gara automobilistica di ormula 1. d Mangiare un panino. e Saltare un ostacolo. f Leggere un libro. 4 Riconosci l unità di misura più appropriata. Occorre valutare la corretta unità di misura. a Lunghezza della tua camera: kilometro metro centimetro millimetro b Quantità di vino prodotta in un anno in Piemonte: ettolitro litro centilitro millilitro c Quantità di farina necessaria per fare una torta per 4 persone: megagrammo quintale grammo kilogrammo d Tempo impiegato per recarti a scuola: giorno ora secondo minuto 5 Completa la tabella. Le cifre certe sono quelle della parte intera. La cifra incerta è la cifra decimale. misura cifre certe cifra incerta 3,6 cm 29,8 dm 400,56 g 3,24 hg 54,689 g S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 23

32 E SERCIZI I 1 Misura di una grandezza Ripassa Grandezza: qualità di un oggetto che può essere misurata. Grandezze omogenee: grandezze dello stesso tipo; è possibile confrontarle, addizionarle o sottrarle. Misurazione diretta: confronto fra due grandezze omogenee di cui una è quella da misurare e l altra è scelta come unità di misura. Misurazione indiretta: si effettua misurando direttamente altre grandezze che hanno un legame noto con la grandezza da misurare. Misura di una grandezza è un numero che: indica quante volte l unità di misura è contenuta nella grandezza da misurare; dipende dall unità di misura scelta. Conoscenze 1 Rispondi. 3 ero o falso? a Quali caratteristiche di un oggetto sono le grandezze? b Quando due grandezze si dicono omogenee? c Come vengono chiamate due grandezze non omogenee? d È possibile confrontare due grandezze non omogenee? e È possibile sommare due grandezze non omegenee? a L unità di misura deve essere una grandezza omogenea con la grandezza da misurare. b La misura di una grandezza è sempre espressa dallo stesso numero. c Cambiando unità di misura cambia il numero che esprime la misura di una grandezza. d La misurazione può solo essere diretta. 2 Completa. a Per misurare una grandezza occorre fissare un unità di... b L unità di misura deve essere una grandezza... con la grandezza da misurare. c Il numero di volte che la grandezza scelta come unità di misura è contenuta nella grandezza da misurare costituisce la... della grandezza. d La misura di una grandezza... dall unità di misura scelta. e La misura di una grandezza si può effettuare anche per via... 4 Completa a Nella misurazione indiretta di una grandezza si misurano... altre grandezze legate alla grandezza data. b Per determinare la misura della superficie di una stanza rettangolare occorre conoscere le misure delle... c Per determinare la capacità di un recipiente occorre conoscere il suo... d Per determinare il volume di una stanza si applicano le formule per calcolare il di un parallelepipedo. 24 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione