Scheda n.6: legame tra due variabili; correlazione e regressione
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- Samuele Di Marco
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1 Scheda.6: legame tra due variabili; correlazioe e regressioe October 26, 2008 Covariaza e coefficiete di correlazioe Date due v.a. X ed Y, chiamiamo covariaza il umero Cov (X, Y ) = E [(X E [X]) (Y E [Y ])]. La covariaza geeralizza la variaza: se X ed Y soo uguali, vale Cov (X, X) = V ar [X]. Aalogamete alla variaza, vale la formula (di facile dimostrazioe) Cov (X, Y ) = E [XY ] E [X] E [Y ]. Ricordiamo che, se X ed Y soo idipedeti allora E [XY ] = E [X] E [Y ], ma o vale il viceversa. Da questi fatti si deduce la seguete proprietà: Propositio Se X ed Y soo idipedeti allora Cov (X, Y ) = 0. Il viceversa però o è vero: o basta verificare la sigola codizioe umerica Cov (X, Y ) = 0 per dedurre l idipedeza. Tuttavia, ella pratica, c è ua certa (e giustificata) tedeza a riteere che la codizioe Cov (X, Y ) = 0 sia u otevole sitomo di idipedeza. Ioltre, si può dimostrare che, se la coppia (X, Y ) è gaussiaa (il cocetto di coppia gaussiaa verrà itrodotto i seguito), allora la codizioe Cov (X, Y ) = 0 implica l idipedeza. Ache questo fatto aiuta a cofodere idipedeza e covariaza ulla.
2 Quado, per due v.a. aleatorie X ed Y, vale Cov (X, Y ) = 0, diciamo che soo icorrelate (o scorrelate). La proposizioe afferma quidi che idipedeza implica o correlazioe. La covariaza è legata alla variaza della somma: vale i geerale, cioè per v.a. X ed Y qualsiasi, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X, Y ). La dimostrazioe è immediata, è semplicemete la be ota regola del quadrato della somma. Ma da questa di capisce subito come mai abbiamo affermato, i u paragrafo della scheda. 5, che l idipedeza tra X ed Y implica V ar [X + Y ] = V ar [X]+V ar [Y ]. Qui abbiamo otteuto u risultato persio u po più geerale: Propositio 2 Se X ed Y soo icorrelate (i particolare se soo idipedeti), allora V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ]. Tra le regole di calcolo per la covariaza segaliamo la liearità i ciascuo dei suoi argometi: se X, Y e Z soo tre v.a. ed a, b, c soo tre umeri reali, allora Cov (ax + by + c, Z) = acov (X, Z) + bcov (Y, Z) e lo stesso vale per Cov (Z, ax + by + c), visto che la covariaza è simmetrica ei suoi due argometi. La covariaza soffre dello stesso difetto della variaza: o ha l uità di misura e l ordie di gradezza delle v.a. origiarie. Per questo e o solo per questo, si itroduce il coefficiete di correlazioe defiito da ρ (X, Y ) = Cov (X, Y ) σ X σ Y. L effetto della divisioe per σ X σ Y è acora più drastico: la gradezza ρ (X, Y ) è adimesioale, ed acquista u valore assoluto, o più relativo all uità di misura e l ordie di gradezza tipico dei valori di X ed Y. Si può dimostrare che vale ρ (X, Y ). Cercheremo tra u mometo, tramite lo studio della regressioe lieare semplice, di sviluppare u ituizioe circa il sigificato di valori di ρ (X, Y ) vicii a +, a - ed a 0. 2
3 Metre per la covariaza vale Cov (λx, ηy ) = ληcov (X, Y ), per il coefficiete di correlazioe vale ρ (λx, ηy ) = ρ (X, Y ). Questo è u modo matematico di apprezzare l idipedeza dall uità di misura e dall ordie di gradezza del coefficiete di correlazioe, i cotrasto co quato accade per la covariaza. 2 Regressioe lieare semplice Ipotizziamo che tre v.a. X, Y ed ε siao legate dalla relazioe lieare Y = ax + b + σε dove a, b e σ soo umeri reali (σ > 0). Iterpretiamo questa scrittura pesado che X ed Y siao legate da ua relazioe lieare (graficamete ua retta di equazioe y = ax + b, per cui a si dirà coefficiete agolare e b itercetta), perturbata però da u errore casuale σε. La v.a. X verrà detta iput, o predittore, o fattore, la Y output, o quatità da predire. Supporremo sempre che ε sia stadardizzato: E [ε] = 0, V ar [ε] =. La deviazioe stadard dell errore è iglobata i σ, la sua evetuale media i b. Supporremo ioltre che ε ed X siao idipedeti o almeo icorrelate: Cov (X, ε) = 0. Chiameremo modello lieare (semplice) la relazioe precedete. Diremo ache modello di regressioe lieare (semplice), e chiameremo retta di regressioe la retta y = ax + b. Ci poiamo due scopi:. trovare formule che permettao di calcolare approssimativamete a, b e σ a partire da dati sperimetali, quado si ipotizza il modello lieare ma o si cooscoo i coefficieti; 2. iterpretare rigorosamete il cocetto di coefficiete di correlazioe ell ambito del modello lieare. Raggiugeremo etrambi gli scopi calcolado valori medi, variaze e covariaze tra le diverse gradezze i gioco. Vale, per liearità e per la proprietà E [ε] = 0, E [Y ] = ae [X] + b. 3
4 Vale iotre, per le regole sulla variaza (qui usiao la scorrelazioe tra X ed ε), V ar [Y ] = a 2 V ar [X] + σ 2. Ifie, per aaloghe ragioi vale da cui Cov (Y, X) = Cov (ax + b + σε, X) = acov (X, X) + σcov (ε, X) Cov (Y, X) = av ar [X]. Riscriviamo queste formule i modo adatto al calcolo (iterativo) dei coefficieti a partire dai valori medi: Cov (Y, X) a = V ar [X] b = E [Y ] ae [X] σ 2 = V ar [Y ] a 2 V ar [X]. Suppoiamo di avere dati sperimetali, che i questo cotesto sigifica avere coppie (x, y ),..., (x, y ) ( idividui soo stati esamiati e per ciascuo soo stati trovati i valori di due gradezze X ed Y ). Possiamo calcolare i umeri x = x i, y = y i (x i x) 2, (x i x) (y i y) (y i y) 2 e cosiderarli come approssiamzioi (stime) rispettivamete di E [X], E [Y ] V ar [X], V ar [Y ] Cov (X, Y ). Tramite queste approssimazioi possiamo stimare a, b e σ. 4
5 2. Iterpretazioe di ρ (X, Y ) Cerchiamo di legare il coefficiete di correlazioe al coefficiete agolare: vale σ Y quidi Cov(Y,X) V ar[x] = Cov(Y,X) σ X σ Y σ X a = ρ (Y, X) σ Y σ X. Iazi tutto questo chiarisce che a o è il coefficiete di correlazioe, come ivece per ua sorta di gioco di parole si è spesso portati a credere. Del resto, ρ (Y, X) può variare solo tra - e, metre la pedeza di ua retta può essere maggiore di quella delle bisettrici. Vale però la regola: a > 0 se e solo se ρ (Y, X) > 0 (ed aalogamete per valori egativi). Quidi ρ (Y, X) > 0 è idice di legame lieare diretto, cioè co coefficiete agolare positivo, metre ρ (Y, X) < 0 è idice di legame lieare iverso (el seso: ua variabile cresce se l altra cala), cioè co coefficiete agolare egativo. Almeo il sego di ρ (Y, X) è facilmete iterpretabile. Suppoiamo di stadardizzare sia X sia Y. I realtà o importa che sottraiamo la media, ma è esseziale che dividiamo per la deviazioe stadard, i modo da ricodurci ad avere σ X = e σ Y =. I questo caso a = ρ (Y, X). Questo può offrire u iterpretazioe più stretta. I realtà però, ache così è piuttosto faticoso capire il ruolo di codizioi tipo ρ (Y, X) = 0.9 rispetto a ρ (Y, X) = 0.2. L iterpretazioe più precisa viee ivece dallo studio dell errore. Abbiamo visto sopra che σ 2 = V ar [Y ] a 2 V ar [X]. Sostituedo a = ρ (Y, X) σ Y σ X si trova σ 2 = V ar [Y ] ( ρ 2 (Y, X) ). Questo dice che la variaza dell errore, cioè la gradezza che misura quato preciso sia il legame lieare tra X ed Y, è tato maggiore quato più vicio a zero è ρ (Y, X): valori vicii a zero di ρ (Y, X) implicao u cattivo legame lieare (errore elevato). Viceversa, valori di ρ (Y, X) vicii a ± (o importa il sego!), implicao σ 2 piccolo e quidi u legame lieare stretto. 5
6 Quidi, salvo che si esegua ua stadardizzazioe di etrambe le variabili, ρ (Y, X) o è legato tato all icliazioe della retta di regressioe quato piuttosto alla precisioe co cui essa descrive il legame tra le variabili. Nel ragioameto precedete bisoga osservare che la gradezza o piccolezza di σ 2 è relativa ache alla gradezza o piccolezza di V ar [Y ]. Questa è solo ua questioe di uità di misura delle quatità aleatorie che stiamo esamiado. Il discorso diveta idipedete dall uità di misura e dall ordie di gradezza dei valori tipici di Y se itroduciamo la variaza stadardizzata dell errore: σ 2 V ar [Y ]. Per essa vale σ 2 V ar [Y ] = ρ2 (Y, X) portado ad u ragioameto più uiversale circa il legame tra etità dell errore e valore di ρ (Y, X). Ifie, itroduciamo alcui uovi omi. Essi si ispirao all idea che co u modello lieare stiamo cercado di dare ua spiegazioe della variabilità della gradezza Y. Abbiamo ua gradezza Y, essa varia i modo imprevedibile, aleatorio, e oi vorremmo capire se queste variazioi soo almeo i parte spiegabili tramite u legame lieare co u predittore X: quado osserviamo ad es. valori di Y pià gradi della media, questo o è dovuto semplicemete al caso, ma al fatto che il predittore ha assuto valori ad es. più gradi del solito (se a > 0). Tutto però è pur sempre corrotto dall errore, per cui la spiegazioe della variabilità di Y offerta dalla retta di regressioe o è mai ua spiegazioe completa. I quest ottica, Y ha ua sua variaza, ua sua variabilità. L espressioe ax + b riesce a spiegare ua parte, l altra resta o spiegata. La parte o spiegata di Y è la differeza tra Y e la parte spiegata, cioè ax + b. Quidi la parte o spiegata di Y è proprio l errore σε (o c è iete di uovo, è solo ua questioe di liguaggio). Co questo uovo liguaggio, chiamiamo variaza spiegata la percetuale della variaza che è stata spiegata da ax + b e variaza o spiegata la percetuale complemetare. Siccome la parte di Y o spiegata è σε, la variaza o spiegata è σ 2 V ar [Y ]. 6
7 Quidi la variaza spiegata è σ2 V ar [Y ]. Ma questa è pari a ρ 2 (Y, X)! Siamo arrivati al seguete risultato: Propositio 3 Il coefficiete di correlazioe al quadrato, ρ 2 (Y, X), è la variaza spiegata σ2 dalla relazioe lieare. V ar[y ] Più ρ 2 (Y, X) è alto (vicio a ) più la relazioe lieare riesce a spiegare la variabilità di Y. 3 Desità cogiute e margiali Cosideriamo due v.a. X ed Y aveti desità di probabilità f X (x) ed f Y (y), rispettivamete. Possiamo cosiderare X ed Y come modi separati, limitadoci a calcolare ad esempio probabilità del tipo P (X A) = f X (x) dx A P (Y B) = f Y (y) dy dove A e B soo ad esempio degli itervalli. Oppure possiamo cosiderare (X, Y ) come ua sigola gradezza aleatoria bidimesioale. Diciamo che (X, Y ) è ua v.a. cotiua co desità di probabilità cogiuta f (x, y) se P (X A, Y B) = f (x, y) dxdy I quest ottica, per distiguere, diremo che f X (x) ed f Y (y) soo le desità margiali. I geerale, o c è u modo per calcolare la desità cogiuta a partire dalle margiali (metre si può sempre fare il viceversa, che però o espoiamo). Fa eccezioe il caso di v.a. idipedeti. Theorem 4 Siao X ed Y due v.a. co desità di probabilità f X (x) ed f Y (y), rispettivamete. Esse soo idipedeti se e solo se B A B f (x, y) = f X (x) f Y (y). 7
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