SCOPO DELL ANALISI DI CORRELAZIONE

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1 CORRELAZIONE 1

2 SCOPO DELL ANALISI DI CORRELAZIONE STUDIARE LA RELAZIONE TRA DUE VARIABILI X E Y 2

3 diagrammi di dispersione un diagramma di dispersione (o grafico di dispersione) èuna rappresentazione grafica in cui si rappresentano i valori che due variabili X e Y assumono sulle unità statistiche. una variabile (ad esempio la X) viene rappresentata sull asse delle ascisse, mentre l altra variabile (la Y) viene rappresentata sull asse delle ordinate. ogni coppia di valori (X,Y), rilevata su ciascuna unità statistica, viene rappresentata sul grafico con un punto 3

4 tipi di relazioni 4

5 esempio 1 Supponiamo di avere misurato la statura di 10 bambini di età compresa tra 6 e 12 anni e di riportare i dati su una tabella: soggetto età statura (anni) (centimetri) X Y

6 esempio 1 (2) Riportando i valori su un diagramma di dispersione otterremo il grafico statura (cm) età (anni) 6

7 coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson misura il tipo e l intensità della relazione lineare tra due variabili X e Y. Il coefficiente di correlazione si indica con la lettera greca ρ se viene calcolato su tutta la popolazione oggetto dell indagine; mentre si indica con la lettera r se viene calcolato su un campione rappresentativo della popolazione. Il coefficiente di correlazione lineare varia tra -1 e 1. 7

8 coefficiente di correlazione Il segno di r (+ o -) da informazioni sul tipo di relazione lineare: il segno positivo indica che le due variabili aumentano o diminuiscono assieme (relazione lineare positiva) il segno negativo indica che all aumentare di una variabile l altra diminuisce e viceversa (relazione lineare negativa) Il valore assoluto di r, che varia tra 0 e 1, da informazioni sulla forza della relazione lineare: èmassimo(assume valore 1) quando esiste una perfetta relazione lineare tra le due variabili. tende a ridursi al diminuire dell intensità della relazione lineare e assume il valore 0 quando essa è nulla. 8

9 coefficiente di correlazione relazione lineare positiva relazione lineare negativa y y x r 0.97 r x nessuna relazione relazione non lineare y y x r x r

10 coefficiente di correlazione da un punto di vista matematico, il coefficiente di correlazione (Bravais-Pearson) è definito come r cov s X s XY Y in cui: cov XY s X s Y è la covarianza tra X e Y; è la deviazione standard di X è la deviazione standard di Y 10

11 covarianza la covarianza esprime l intensità con cui due variabili variano insieme matematicamente si esprime con cov in cui: X Y N XY ( )( ) X X Y Y N 1 è la media di X; è la media di Y; è la numerosità del campione 11

12 covarianza la covarianza si può calcolare più comodamente con la formula semplificata: cov XY X Y XY N N 1 in cui: XY X Y è la somma dei prodotti XY; è la somma dei valori di X; è la somma dei valori di Y 12

13 esempio 1 (3) Dalla tabella dell esempio 1 ricaviamo i seguenti valori: XY X 87 Y 1323 Con questi possiamo calcolare la covarianza: cov 10 XY ,656 13

14 esempio 1 (4) Ora calcoliamo le deviazioni standard: X 87 X s x ( 87) ,058 Y 1323 Y s y ( 1323) ,653 14

15 esempio 1 (5) A questo punto possiamo calcolare il coefficiente di correlazione: r cov XY s X s Y 23,656 0,986 2,058 11,653 abbiamo ottenuto un alta correlazione positiva. 15

16 esempio 2 10 soggetti di età superiore ai 60 anni sono stati sottoposti ad un test di abilità motorie con i seguenti risultati: soggetto età abilità (anni) motorie X Y

17 esempio 2 Si calcoli la correlazione tra età e punteggio di abilità motorie. soggetto età abilità (anni) motorie X Y

18 esempio 2 prima calcoliamo le somme: X 733 X Y 203 Y XY poi, da questi valori possiamo ricavare le deviazioni standard e la covarianza: s 7,10 9, 99 X s Y cov 61,66 XY infine otteniamo la correlazione: r cov s X s XY Y 0,87 18

19 esempio 2 Riportando i valori su un diagramma di dispersione otteniamo: 19

20 esercizio Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella. soggetto X Y

21 esercizio prima calcoliamo le somme: X 49 X Y 80 Y XY 632 poi, le deviazioni standard e la covarianza: s 4,32 6, 11 X s Y cov 12 XY infine otteniamo la correlazione: r cov s X s XY Y 0,45 21

22 ATTENZIONE Il coefficiente r misura l intensità della relazione lineare; se r è basso (vicino a zero) vuol dire che non c è relazione lineare ma potrebbe esserci una relazione di altro genere. 22

23 esempio 3 In questo caso, anche se r -0,2, risulta evidente che esista una relazione tra le due variabili. 23