ONDE ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI

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1 ONDE ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI 1. Tipi di Onde Exercie 1. Un onda viaggia lungo una corda tea. La ditanza verticale dalla creta al ventre è di 13 c e la ditanza orizzontale dalla creta al ventre è 28 c. Calcola la lunghezza d onda e l apiezza. Soluzione: La lunghezza d onda è la ditanza, iurata in orizzontale, tra due crete o tra due ventri. La ditanza tra creta e ventre è pertanto età lunghezza d onda; per cui λ 56 c. L apiezza è invece la età ditanza in verticale tra la creta e il ventre dell onda, per cui A 6, 5 c. 2. Velocità di un onda in oto Exercie 2. Un urfita che fluttua al di là dei frangiflutti nota che paano per la ua poizione 14 onde al inuto. Se la lunghezza d onda di quete onde è 34, trovare la loro velocità di propagazione. Soluzione: Il urfita oerva la grandezza detta frequenza, cioè il nuero di ocillazioni coplete in un intervallo di tepo definito. In queto cao, e vogliao deterinare la frequenza in Herz, cioè tabilendo coe unità di tepo il econdo, i avrà f Hz 60 La velocità di un onda è data dal rapporto tra la lunghezza d onda (ditanza percora nella propagazione) e il tepo ipiegato, periodo che è l invero della frequenza; pertanto v λf , 8 Exercie 3. La velocità delle onde di uperficie nell acqua diinuice con il diinuire della profondità. Supponiao che delle onde viaggino lungo la uperficie di un lago con una velocità di 2.0 / e una lunghezza d onda di 1.5. Quando quete onde i uovono vero la parte del lago eno profonda la loro velocità diinuice fino a 1.6 /, ebbene la loro frequenza rianga la tea. Calcolare la lunghezza d onda nell acqua baa. Soluzione: Nota la relazione v λf, e la frequenza riane cotante, allora velocità e lunghezza d onda riultano direttaente proporzionali. Pertanto v alta v baa λ alta λ baa λ baa v baa λ alta v alta 2.0 Exercie 4. Un onda di frequenza 4.5 Hz con un apiezza di 12 c e una lunghezza d onda di 27 c viaggia lungo una corda tea. Calcolare lo pazio percoro da una creta della corda in un intervallo di tepo Soluzione: La frequenza indica quante onde coplete i propagano in un econdo. In ezzo econdo i avranno, quindi, 2.25 ocillazioni coplete. Pertanto la creta percorre una ditanza Exercie 5. La velocità di un onda di lunghezza d onda λ, che i propaga in acque profonde, è approiativaente v gλ 2π. Calcolare la velocità e la frequenza di un onda che i propaga in acque profonde con una lunghezza d onda di

2 ONDE 2 Soluzione: Applicando la relazione che decrive la velocità, i ottiene v π Note velocità e lunghezza d onda è poibile calcolare la frequenza f v λ Hz Exercie 6. Le onde u una particolare corda viaggiano con una velocità di 16 /. Di quale fattore dovrebbe eere cabiata la tenione nella corda per produrre onde con velocità doppia? Soluzione: Il legae che eprie la velocità di un onda u di una corda in funzione della tenione alla quale è ottopota è T v µ dove µ è la denità lineare, cioè coe la aa è ditribuita ediaente lungo la corda (intea avente una ola dienione). Affinché la velocità raddoppi è neceario, quindi, che la tenione quadruplichi (eendo otto la radice quadrata). Exercie 7. Un babino e ua orella cercano di counicare attravero una cordicella legata tra due lattine. Se la corda è lunga 9.5, ha una aa di 32 g ed è tea con una tenione di 8.6 N, trovare il tepo ipiegato da un onda per viaggiare da un etreo all altro. Soluzione: La velocità di propagazione è uppota cotante e quindi il tepo ipiegato, dalle leggi della cineatica, è epreo da t l v l T µ Poiao calcolare µ aa kg lunghezza t kg, pertanto 8.6 N kg 0, 18 Exercie 8. Un onda ha una velocità di 240 / e una lunghezza d onda di 3.2. Deterinare la frequenza e il periodo dell onda. Soluzione: La velocità di una perturbazione che i propaga coe un onda, è eprea da v λ T dove λ è la lunghezza d onda e T il periodo, cioè l intervallo di tepo per un ocillazione copleta. Eendo però T 1 f

3 ONDE 3 dove f è la frequenza, cioè il nuero di ocillazioni coplete in un tepo fiato (e il tepo è di 1, la frequenza i iura in Hertz), la velocità i può epriere coe v λf Conocendo la velocità è la lunghezza d onda, poiao calcolare il periodo e la frequenza: T λ v f 1 T 1 75 Hz Exercie 9. Un onda ha una pulazione di 110 rad/ e una lunghezza d onda di Calcolare il nuero d onda angolare e la velocità dell onda. Soluzione: La pulazione di un onda inuoidale rappreenta la frequenza angolare, cioè il nuero di radianti pazzati nell unità di tepo (nel notro cao il econdo). È definita coe ω 2π T, entre il nuero d onda angolare è definito coe k 2π λ. Pertanto, e la velocità è data da k v ω k 2π rad Exercie 10. La velocità delle onde elettroagnetiche nel vuoto è di /. Le lunghezze d onda delle onde del viibile vanno da circa 400 n nel violetto fino a circa 700 n nel roo. a)trovare il corripettivo intervallo nelle frequenze. L intervallo per le frequenze radio in onde corte (la radio FM e la televiione in VHS) va da 1.5 a 300 MHz. b) Trovare il corripettivo intervallo per le lunghezze d onda. Anche i raggi X ono onde elettroagnetiche. L intervallo per le loro lunghezze d onda i etende da circa 5.0 n fino a circa n. c)trovare il corripettivo intervallo tra le frequenze. Soluzione: Tutte le doande i rifericono alla relazione eitente tra lunghezza d onda, frequenza e velocità di propagazione di un onda: v λf Cao a) Nota la velocità di propagazione e la lunghezza d onda, riolviao ripetto alla frequenza f 1 v λ Hz f 2 v λ Hz Cao b) queta volta è nota la frequenza, per cui λ 1 v f λ 2 v f Cao c) per i raggi X è nota la lunghezza d onda, per cui f 1 v λ Hz f 2 v λ Hz Nota: L eercizio è abbatanza ripetitivo, a ha il pregio di fiare gli ordini di grandezza di fenoeni con i quali abbiao continuaente a che fare nell eperienza quotidiana (a parte i raggi X). Exercie 11. Un onda inuoidale i uove lungo una corda. Il tepo ipiegato in un certo punto per ocillare dallo potaento aio a zero è di Trovare a) il periodo, b) la frequenza. La lunghezza d onda è di 1.40 ; c) trovare la velocità dell onda.

4 ONDE 4 Soluzione: Il tepo di ocillazione dal aio a zero equivale a un quarto di periodo, per cui cao a) T Cao b): la frequenza è f 1 T Hz Cao c) la velocità è v λf Exercie 12. Scrivere l equazione di un onda in oto lungo la direzione negativa dell ae X e avente un apiezza di 0.010, una frequenza di 550 Hz e una velocità di 330 /. Soluzione: Queto eercizio chiede olo di aper riconocere le grandezze che copaiono nell equazione generale di un onda inuoidale dipendente dalla poizione e dal tepo: y (x, t) A in (kx ωt) dove A è l apiezza dell onda, ω è la pulazione e k il nuero d onda angolare (ovviaente, x e t rappreentano la poizione e il tepo). Bata ricordare che ω 2π T, dove T è il periodo, e k 2π λ. Nel notro cao A 0.010; per trovare ω ricordiao che f 1 per cui ω 2πf 2π 550 T per trovare k dalla velocità, ricordiao che v λf, e pertanto λ v f k 2π 0.6 L equazione arà quindi ( ) 2π y (x, t) in x 2π 550t 0.6 e raccogliendo π i ha, y (x, t) in [π (3.33x 1100t)] Exercie 13. Scrivere l equazione che decrive un onda aronica con un apiezza di 0.16, una lunghezza d onda di 2.1 e un periodo di 1.8. L onda è traverale e viaggia vero detra e a t 0 e x 0, ha uno potaento y Soluzione: L equazione generale di un onda del tipo decritto è y (x, t) A in (kx ωt) dove A è l apiezza, k il nuero d onda, cioè 2π 2π λ, ω la pulazione, cioè T. Sotituendo i valori aegnati i ha ( 2π y (x, t) 0.16 in 2.1 x 2π ) 1.8 t Inoltre, tenendo conto delle condizioni iniziali, l onda riulta potata di un valore pari all apiezza, per cui è faata di 90. Si ha quindi y (x, t) 0.16 co (2.99x 3.49t) Exercie 14. L equazione di un onda traverale in oto in una corda è data da y (2.00 ) in [( 20 1) x ( 600 1) t ] a) trovare l apiezza, la frequenza, la velocità e la lunghezza d onda. Soluzione: Eercizio con caratteritiche invere al precedente, dalla forula riconocere il ignificato delle grandezze preenti. Confrontando la forula data con quella di un onda generica ( 2π y (x, t) A in λ x 2π ) T t è poibile ricavare quanto richieto. Infatti a) A 2.00 ; π T 2πf f Hz 2π

5 ONDE 5 la velocità e la lunghezza d onda v ω k λ v f Exercie 15. Scrivere l equazione di un onda traverale inuoidale in oto u una corda lungo la direzione +y con un nuero d onda 60 c 1, un periodo di 0.20 e un apiezza di 3.0. Auere z coe direzione traverale. Soluzione: L equazione generale di una tale onda è ( 2π z (y, t) A in λ y 2π ) T t nel notro cao A , 1 λ e T 0.20 ; pertanto z in (3.77y 31.4t) Exercie 16. La corda più peante e quella più leggera in un violino hanno le denità lineari pari a 3.0 g/ e 0.29 g/. Trovare il rapporto tra il diaetro della corda più peante e quella più leggera, upponendo che iano cotituite dallo teo ateriale. Soluzione: La denità lineare è la aa della corda divia per la ua lunghezza. L onda può viaggiare lungo una corda e queta riulta pria tea. La corda tea può eere penata coe un cilindro di volue πr 2 l, dove R è il raggio della corda e l la ua lunghezza. Eendo cotituite dallo teo ateriale, le due corde avranno la tea denità, cioè d M 1 M 2 V 1 V 2 ora la aa può eere eprea traite la denità lineare coe M µl, e otituendo, i ha d µ 1l πr1 2l µ 2l πr2 2l Il rapporto tra i due raggi arà pertanto R 2 R 1 µ2 µ Exercie 17. La velocità di un onda u una corda è 170 / quando la tenione è 120 N. A quale valore deve eere auentata la tenione affinché l onda raggiunga una velocità di 180 /? Soluzione: Un onda traverale può viaggiare lungo una corda e queta è tea, ediante l azione di una forza. al variare della tenione cabia il odo di vibrazione della corda e quindi la velocità con cui l onda i propaga. La relazione è data da τ v µ dove τ è la tenione e µ è la denità lineare della corda. Nel notro cao la denità è epre la tea, per cui µ τ v 2 confrontando i due cai, i ha otituendo i valori nuerici τ 1 v1 2 τ 2 v 2 2 τ N Exercie 18. Due corde d acciaio di una chitarra hanno la tea lunghezza. La corda A ha un diaetro di 0, 50 ed è oggetta a una tenione di N. La corda B ha un diaetro di 1.0 ed è ottopota a una tenione di 820 N. Deterina il rapporto tra le velocità delle onde in quete due corde.

6 ONDE 6 Soluzione: Le corde hanno la tea lunghezza a divero diaetro, e ono dello teo ateriale, l acciaio. Pertanto, la denità di entrabe (d V ) arà la tea. Avendo però divera ezione, avranno una divera denità lineare (µ da bae ) per cui T A TA T A v A µ A da A dπra 2 T B v B T B T B µ B da B dπrb 2 il rapporto tra le due velocità arà TA v A dπra 2 T A v B TB T B dπr 2 B ( rb r A ) 2 ( ) Exercie 19. L equazione di un onda traverale in una corda è y (2.0 ) in [( 20 1) x ( 600 1) t ] La tenione della corda è di 15 N. Trovare la velocità dell onda e la denità lineare della corda in grai al etro. Soluzione: Dall equazione dell onda otteniao che l apiezza A 2.00 ; π T 2πf f Hz 2π la velocità v ω k Dalla relazione τ v µ otteniao che µ τ v 2 15 kg kg g Exercie 20. La denità lineare di una corda vibrante è kg/. Un onda traverale che viaggia lungo la corda è decritta dalla equazione y (0.021 ) in [( 2.0 1) x + ( 30 1) t ]. Trovare la velocità dell onda e la tenione della corda. Soluzione: La velocità è data da v ω k Da ciò è poibile ottenere la tenione della corda τ µv 2 4 kg N Exercie 21. Trovare l onda traverale più veloce che può eere inviata lungo un cavo di acciaio, coniderando che la tenione elatica aia alla quale l acciaio può reitere è N/ 2 e la denità dell acciaio è 7800 kg/ 3. Soluzione: la velocità di un onda è data da v τ Area µ Area N kg Exercie 22. Una corda tea ha una aa per unità di lunghezza di 5.0 g/c e una tenione di 10 N. Un onda inuoidale u queta corda ha un apiezza di 0.12 e una frequenza di 100 Hz ed è in oto nel vero in cui x diinuice. Scrivere l equazione di quet onda.

7 ONDE 7 Soluzione: Ricaviao dalle grandezze aegnate i paraetri per crivere la funzione d onda. Innanzitutto A 0.12, ω 2πf 2π ; per deterinare k è neceario conocere la velocità di propagazione pertanto, la funzione d onda è quindi v τ µ k 2πf v 10 N kg 2π y (0.12 ) in [( 140 1) x + ( 628 1) t ] Exercie 23. Una corda ottopota a una tenione τ 1 ocilla nella terza aronica alla frequenza ν 3 e le onde nella corda hanno una lunghezza d onda λ 3. Se i auenta la tenione da τ f 4τ 1 e i fa di nuovo ocillare la corda nella terza aronica, trovare la frequenza di ocillazione in funzione di ν 3 e la lunghezza d onda delle onde in funzione di λ 3. Soluzione: Si tratta in queto cao di onde tazionarie, per le quali le poizioni dei aii e inii non varia. Ee i generano quando due onde inuoidali di tea apiezza e lunghezza d onda i uovono in veri oppoti lungo una corda. Il legae tra frequenza e tenione va coe la radice quadrata, per cui e la tenione quadruplica, la frequenza raddoppia. La lunghezza d onda riarrà invece la tea. Exercie 24. Una corda di chitarra in nylon ha una denità lineare di 7.2 g/ ed è ottopota ad una tenione di 150 N. I upporti fii ditano 90 c. La corda ocilla econdo lo chea in figura. Calcolarne la velocità, la lunghezza d onda, la frequenza delle onde la cui ovrappoizione deterina quet onda tazionaria. Soluzione: La velocità è data da v τ 150 N µ kg 144 La lunghezza d onda per una corda con un ocillazione e ezza (n 3) è data da λ 2L la frequenza di quete onde tazionarie è f v λ v 2L n Hz 1.80 Exercie 25. La nota più baa in un pianoforte è un La, quattro ottave al otto del La di frequenza 440 Hz. La nota più alta è un Do, quattro ottave al di opra del Do centrale (261.7 Hz). Trovare frequenze e lunghezze d onda di quete note. Soluzione: In un pianoforte la frequenza di un uono è legato alla lunghezza della corda percoa dal artelletto. Più la corda è lunga e più il uono è bao. La relazione che decrive tali onde tazionarie è f v 2L Il La più bao avrà una frequenza per cui La frequenza del Do più alto f Labao f La f Labao f Doalto v 16L v 2L Hz 16f Do 4187 Hz

8 ONDE 8 Le lunghezze d onda aranno λ Labao λ Doalto c 4187 Exercie 26. Quando una corda di violino viene uonata in un certo odo, la frequenza di rionanza più baa corriponde al LA centrale (440 Hz). Trovare la frequenza della econda e della terza aronica di tale corda. Soluzione: la frequenza 440 Hz corripondente alla pria aronica conente di deterinare la velocità di propagazione di queta onda tazionaria la econda aronica avrà per la terza aronica v 2Lf n( 1) 880L f 2 v 2L n 880L Hz 2L f 3 v 2L n 880L Hz 2L Exercie 27. Una corda fiata ad entrabe le etreità è lunga 8.40 e ha una aa di kg. Ea è ottopota a una tenione di 96.0 N e viene fatta ocillare. Trovare (a) la velocità delle onde ulla corda; (b) la aia lunghezza d onda per un onda tazionaria; (c) la frequenza di queta onda. Soluzione: la denità lineare della corda è data da la velocità delle onde è µ M L v kg 8.40 τ 96.0 N µ kg kg 82.0 la lunghezza d onda aia corriponde ad una ei ocillazione nell intera lunghezza della corda, cioè λ ax e la frequenza è f v λ Hz Exercie 28. Una corda lunga 120 c è tea tra due upporti fii. Trovare le tre lunghezze d onda aie per onde tazionarie u queta corda. Soluzione: le lunghezze d onda delle onde tazionarie in una corda fia ono date da per cui λ 2L n λ 1 2L(n 1) 2.40 λ 2 2L n λ 3 2L n (n 2) 1.20 (n 3) 0.80 Exercie 29. Una corda lunga 125 c ha una aa di 2.00 g. Ea è tea con una tenione di 7.00 N tra due upporti fii. Trovare la velocità dell onda e la frequenza di rionanza più baa.

9 ONDE 9 Soluzione: Per ottenere la velocità di un onda tazionaria è neceario conocere pria la denità lineare della corda, cioè µ M L 2.00 g 125 c g kg c pertanto v τ µ la frequenza di rionanza per n 1 è 7.00 N kg 66.1 f v 2L Hz 2.50 Exercie 30. Un cavo lungo 1.50 ha una aa di 8.70 g ed è ottopoto a una tenione di 120 N. Il cavo è teo rigidaente a entrabe le etreità e viene fatto vibrare. Calcolare a) la velocità delle onde ul cavo; b) le lunghezze d onda delle onde che producono onde tazionarie ulla corda con uno e due occhielli; c) le frequenze delle onde che producono onde tazionarie con uno o due occhielli. Soluzione: la denità lineare è data dal rapporto tra la aa e la lunghezza del cavo µ M L kg 1.50 a) la velocità di propagazione è eprea da τ v µ b) le lunghezze d onda ono epree da per cui, con un occhiello con due occhielli 120 N kg λ 2L n λ 2L λ 2L c) le frequenze i poono ricavare anche dalla relazione riolvendo ripetto a f e v fλ f Hz 3.00 f Hz kg 144 Exercie 31. Siete a un grande concerto all aperto, eduti a 300 dal itea di altoparlanti. Il concerto è traeo anche dal vivo via atellite. Iaginiao un radioacoltatore poto a 5000 k di ditanza. Chi ente per prio la uica, voi o il radioacoltatore, e con quale intervallo di tepo di differenza? Soluzione:: Per riolvere queto eercizio erve ricordare che il egnale traeo via atellite i pota alla velocità della luce, entre il uono nell aria ha una velocità di propagazione di 343 /. Il tepo neceario affinché l acoltatore dal vivo riceva il uono, upponendo che il egnale venga raccolto dall ipianto, è t v L analogo tepo per il radioacoltatore è t 5000 k v Coe i può oervare, il radioacoltatore riceverà pria il uono t

10 ONDE 10 Exercie 32. Una corda è tea tra due upporti fii eparati da una ditanza di 75.0 c. Si ono oervate le frequenze di 420 Hz e di 315 Hz, e neun altra frequenza di rionanza tra quete due. Trovare le frequenza di rionanza più baa per queta corda e la velocità dell onda. Soluzione: Entrabi i valori della frequenza, e copoti, ono ultipli di 105, in particolare, pertanto quando n 1 i ha la frequenza più baa pari a 105 Hz. La velocità dell onda i ottiene da v 2fL n Exercie 33. Due onde i propagano u una tea corda olto lunga. Un generatore all etreità initra della corda crea un onda data da y (6.0 c) co π [( ) x + ( 8.0 1) t ] 2 e uno all etreità detra genera l onda y (6.0 c) co π 2 [( ) x ( 8.0 1) t ] Calcolare a) la frequenza, la lunghezza d onda e la velocità di ogni onda; b) trovare i punti nei quali non i ha potaento (nodi) e c) in quali punti il oto della corda è aio. Soluzione: le due onde hanno gli tei paraetri, i differenziano olo per il vero del oviento. a) Ricordando che l equazione generale di un onda e che k 2π λ π 1 e ω 2πf 4π 1 i può ricavare la frequenza f ω 2π 4π 2π 2 Hz λ 2π k 2π π 2 v λf 4 b) Applicando la forula gonioetrica co (α ± β) co α co β in α in β alle due funzioni d onda, i ottiene un onda riultante dalla oa delle due, ediante il principio di ovrappoizione, della fora y (12.0 c) co πx co 4πt queta funzione è uguale a zero (nodi) quando co πx co 4πt 0, cioè co πx 0 per πx π 2 + kπ e quindi x 0.5, e ricordando che λ 2, anche per x 1.5, 2.5, ecc, c) ricordando il grafico della funzione coeno, la funzione è aia per x 0, x 1.0, x 2.0, ecc. Exercie 34. Un onda inuoidale longitudinale continua viene inviata lungo una olla da una orgente ocillante attaccata ad ea. La frequenza della orgente è 25 Hz, e la ditanza tra i punti ucceivi di aia epanione nella olla è 24 c. Trovare la velocità dell onda. Se il aio potaento longitudinale di un punto nella olla è 0.30 c e l onda i uove nella direzione x, crivere l equazione per l onda. (Supporre che la orgente ia in x 0 e che lo potaento in x 0 quando t 0 ia nullo. Soluzione: la velocità dell onda è data da v λf, dove f 25 Hz e λ v e l onda i uove nel vero x, e per le condizioni, la ua equazione arà a k 2π λ y (x, t) A in (kx + ωt) 0.26 c 1 e ω 2πf y (x, t) 0.30 (c) in (0.26x + 157t) Exercie 35. Una corda lunga 3.0 ta ocillando coe un onda tazionaria con tre occhielli, la cui apiezza è 1.0 c. La velocità dell onda è 100 /. Trovare la frequenza e crivere le equazioni per due onde che, e cobinate, riultano in un onda tazionaria.

11 ONDE 11 Soluzione: poiao trovare la frequenza coniderando n 3; per cui f v 2L n Hz le due onde che deterinano queta onda tazionaria devono avere apiezza pari alla età di quella riultante (i oano infatti in fae); con n 3, la lunghezza d onda è λ 2L e quindi k 2π λ 2π ; inoltre ω 2πf 2π , le due equazioni ono y 1 ( ) in (3.14x + 314t) y 2 ( ) in (3.14x 314t) Exercie 36. Due pettatori ad una partita di calcio vedono, e un itante più tardi entono, la palla che viene colpita ul capo di gioco. Il tepo di ritardo per uno pettatore è 0.23 e per l altro Le linee che unicono ogni pettatore con il calciatore che colpice la palla i incontrano forando un angolo di 90. Deterinare la ditanza di ogni pettatore dal calciatore e la ditanza tra i due pettatori. Soluzione:: Poiao coniderare le ditanze in linea d aria, poiché la luce e il uono i propagano in linea retta in uno teo ezzo. Il tepo di ritardo rappreenta la differenza tra il tepo ipiegato dalla luce e dal uono a percorrere le tee ditanze, t uono t luce. Per calcolare la ditanza pettatorecalciatore, bata utilizzare la differenza tra le velocità delle due onde; t d v t l d v l ottraendo, i ha per lo pettatore più vicino per l altro t t l d v d v l dv l dv v v l d (v l v ) v v l 0.12 d ( ) d d Tali ditanze ono perpendicolari tra loro, per cui, applicando il th. di Pitagora è poibile ottenere la ditanza tra i due pettatori d Exercie 37. Nel Parco del Gran Paradio, un forte grido produce un eco da una parete in roccia granitica dopo Trovare la ditanza della parete. Soluzione: L eco dipende dalla rifleione dell onda onora quando colpice la parete. Il tepo tracoro rappreenta l intervallo di tepo per l andata e il ritorno dell onda onora. Poiché il uono viaggia nell aria ad una velocità v aria 343 /, la ditanza arà, upponendo il oto rettilineo unifore d vt Exercie 38. I delfini dell oceano aperto con gli ultrauoni con una frequenza di 55kHz navigano e individuano le loro prede. Supponiao che un delfino eetta una erie di uoni che vengono riflei dal fondo dell oceano, 75 più in bao. Trovare il tepo che paa pria che il delfino enta l eco dei uoni che ha eeo (v acqua 1530 /) e la lunghezza d onda di un tale uono nell oceano.

12 ONDE 12 Soluzione: Il uono eeo deve percorrere copleivaente 150 (andata e ritorno). Se il uono i propaga di oto unifore, il tepo è dato da t v La lunghezza d onda i può derivare da λ v f c Exercie 39. La denità edia della crota terretre 10 k al di otto dei continenti è 2.7 g/c 3. La velocità delle onde iiche longitudinali a quella profondità è di 5.4 k/. Trovare il odulo di copreibilità della crota terretre a quella profondità (coe paragone, quella dell acciaio è P a) Soluzione: il coefficiente di copreibilità decrive la variazione edia del volue di un eleento della crota terretre al variare della preione ed è epreo da B p V V dove V V è la variazione relativa di volue e p la variazione della preione. Tale coefficiente è legato alla velocità di propagazione di un onda dalla relazione B v ρ dove ρ è la denità della ateria in kg/ 3. Con i dati diponibili, calcoliao B, ( B v 2 ρ 5400 ) 2 kg P a Exercie 40. La velocità del uono in un certo etallo è V. Un etreità di un lungo tubo di quel etallo di lunghezza L viene colpita duraente. Un acoltatore all altra etreità ente due uoni, uno dall onda che ha viaggiato lungo il tubo e l altro dall onda che ha viaggiato attravero l aria. a) Se v è la velocità del uono nell aria, trovare l intervallo di tepo t che tracorre tra l arrivo dei due uoni; b) upponendo t 1.00 e il tubo in acciaio, trovare la lunghezza L. Soluzione: a) upponiao le velocità cotanti, per cui il tepo di percorrenza è dato dal rapporto tra la ditanza percora e la velocità, per cui t L v L V L (V v) vv b) la velocità del uono nell acciaio, prea dalla letteratura, è 5941 /, e quella nell aria è 331 / per cui L tvv (V v) ( ) 352 Exercie 41. I pipitrelli ono in grado di eettere ultrauoni. Supponendo che la più piccola lunghezza d onda, λ eea ia pari a 0.32 c, deterinare la aia frequenza, f, ultraonora eea dall aniale. Auere coe velocità di propagazione 330 /. Soluzione:: Nei fenoeni ondulatori, la lunghezza d onda e la frequenza ono collegati dalla relazione v λf Conocendo, pertanto, velocità e lunghezza d onda, i ha f v λ Hz Exercie 42. Calcolare a che ditanza eplode una boba apendo che l intervallo di tepo fra il lapo luinoo e il boato è pari a 5.0. Auere coe velocità di propagazione del uono, v 340 /.

13 ONDE 13 Soluzione:: È neceario ricordare che la velocità della luce è pari a c /. Le due onde, eccanica e luinoa, devono percorrere la tea ditanza, viaggiando però a velocità deciaente divere. Pertanto t uono t luce d v d c inerendo i dati del problea, i ottiene dc dv vc 5.0 d ( d d (c v) vc ) 1700 Exercie 43. Un uoo batte con un artello una rotaia di ferro. Calcolare l intervallo di tepo che intercorre tra i due colpi percepiti da un altra perona ituata vicino alla rotaia a 680 dal punto colpito, auendo coe velocità di propagazione del uono nell aria e nel ferro i valori 340 / e 5000 /. Soluzione:: La perona ditante avvertirà due uoni, uno dovuto alla propagazione nell aria e l altro alla propagazione nel etallo. La ditanza riane in queto cao epre la tea. Il uono i propaga con oto rettilineo e unifore e la relazione tra pazio e tepo può eere decritta da v /t, e riolvendo ripetto a t /v, i ha t aria t ferro t (2 0.14) 1.86 Exercie 44. Un uoo colpice una lunga barra di alluinio a un etreità. Un altro uoo, all altra etreità con l orecchio vicino alla barra, ente il colpo due volte (una attravero l aria, l altra attravero la barra), con un intervallo tra i due uoni di Trovare la lunghezza della barra. Soluzione: la velocità del uono nell aria è di 343 /, entre nell alluinio è di 6420 /. Allora, t L L ( 1 L 1 ) v aria v all v aria v all i ottiene, riolvendo ripetto a L L ( t ) ( 1 v 343 ) 1 43, all 1 v aria 1 Exercie 45. Una pietra viene fatta cadere in un pozzo. Il uono del tonfo viene entito dopo Trovare la profondità del pozzo. Soluzione: Si tratta di valutare il tepo di caduta dovuto al peo del ao e il tepo di propagazione dell onda onora prodotta nell ipatto con il fondo del pozzo. Il ao in caduta i uove di oto uniforeente accelerato (partenza da fero) e pertanto ipiega 2 2 t 1 g 9.8 il uono ipiega a rialire il pozzo t 2 v uono 343 la oa dei due tepi è pari a 3.00, per cui 2 t 1 + t riolvendo ripetto a, i ha elevando al quadrato e eliinando i denoinatori (c ), i ottiene riolvendo l equazione di econdo grado i ottiene la oluzione accettabile 40.7.

14 ONDE 14 Exercie 46. L intervallo di frequenza udibile per l udito norale va circa da 20 Hz a 20 KHz. Trovare le lunghezze d onda corripondenti a quete frequenze. Soluzione: Bata ricordare la relazione che lega le tre grandezze: velocità di propagazione, v, lunghezza d onda, λ, frequenza, f. v λf per cui, utilizzando v uono 343 /, i ha λ , λ Exercie 47. La lunghezza d onda più corta eea da un pipitrello è circa 3.3. Trovare la frequenza corripondente. Soluzione: ancora f v λ KHz Exercie 48. Gli ultrauoni diagnotici di frequenza 4.50 MHz ono utilizzati per eainare i tuori nei teuti olli. a) Trovare la lunghezza d onda nell aria di queta onda acutica; b) e la velocità del uono nel teuto è di 1500 /, trovare la relativa lunghezza d onda. Soluzione: a) Nell aria il uono viaggia a 343 /. Pertanto λ v f b) nel cao l onda i propaghi nel teuto i ha λ v f Exercie 49. Un altoparlante conico ha un diaetro di 15.0 c. Trovare per quale frequenza la lunghezza d onda del uono eeo nell aria è uguale al uo diaetro. Soluzione: i utilizza epre la relazione per cui v λf f v λ Hz 0.15 Exercie 50. Due onde onore, eee nella tea direzione da due divere orgenti con la tea frequenza, 540 Hz, i uovono alla velocità di 330 /. Le orgenti ono in fae. Trovare la differenza di fae delle onde in un punto che è a 4.40 da una orgente e a 4.00 dall altra. Soluzione: la differenza di fae è data dal rapporto tra la differenza dei due percori e la lunghezza d onda calcoliao quindi la lunghezza d onda φ 2π (d 2 d 1 ) λ avreo quindi λ v f π ( ) rad

15 ONDE 15 Exercie 51. In figura ono otrati due altoparlanti eparati da una ditanza di 2.0 in fae. Supponiao che le altezze dei uoni provenienti da entrabi iano uguali nella poizione di un acoltatore poto a 3, 75 direttaente di fronte a uno degli altoparlanti. Trovare le frequenze nell udibile (20; Hz)per cui i ha un egnale inio e aio. Soluzione: Il uono proveniente dall altoparlante deve percorrere una ditanza d 1 3, 75, entre quello proveniente dall alto d 2 3, Le due onde hanno nel punto coniderato la tea apiezza. Ciò conente di ricavare la lunghezza d onda φ 2π (d 2 d 1 ) λ infatti, un inio i ha quando φ ( + 2) 1 2π, per cui ( λ + 1 ) (d 2 d 1 ) 2 cioè per una frequenza λ f v 343 (2 + 1) Hz λ dovendo eere nell udibile arà 0,...28 i avrà invece una condizione di aio per φ 2π λ 0.5 e f 686 con ). INTERFERENZA Exercie 52. Un onda onora di lunghezza d onda 40.0 c entra nel tubo in figura. Trovare il inor raggio r tale che i percepica un inio nel rivelatore. Soluzione: Si ha interferenza tra l onda che egue il percoro rettilineo e quella che paa attravero la curva uperiore. Calcoliao la differenza nel caino oervando la figura l r l πr l r (π 2)

16 ONDE 16 la differenza di fae riulta quindi φ L r (π 2) 2π λ π Il inio al rivelatore i ottiene quando φ ( + 2) 1 2π. Se 0, i ha φ π, cioè età lunghezza d onda. Pertanto, r (π 2) 4 2π π 10, riolvendo ripetto al raggio, i ottiene r 5r (π 2) c 5 (π 2) 3. Intenità e livello onoro Exercie 53. Un uono con fronti d onda ferici è eeo da una orgente di 1.0 W. Supponendo che l energia delle onde i conervi, trovare l intenità a 1.0 orgente. Soluzione: L onda è di tipo ferico, cioè i uppone che il uono i propaghi con la tea intenità in tutte le direzioni. Se l energia i conerva allora l intera energia eea dalla orgente i ditribuice ull intera fera. L intenità varia, quindi, coe I P 4πr W 4π W 2 Exercie 54. Una orgente eette onde iotropicaente. L intenità delle onde a 2.50 dalla orgente è W/ 2. Supponendo che l energia delle onde i conervi, trovare la potenza della orgente. Soluzione: Cao invero ripetto al precedente eercizio. P I4πr W 2 4π W Exercie 55. Una nota di frequenza 300 Hz ha un intenità di 1.00 µw/ 2. Trovare l apiezza delle ocillazioni dell aria cauate da queto uono. Soluzione: L intenità è correlata all apiezza dello potaento dalla relazione I 1 2 ρvω2 2 dove v 331 / è la velocità del uono nell aria, ρ 1.21 kg/ 3 è la denità dell aria e ω 2πf è la pulazione. Sotituendo W kg π Exercie 56. Due uoni differicono di 1.00 db nel livello onoro. Trovare il rapporto tra l intenità aggiore e quella inore. Soluzione: Il livello onoro è definito coe β log I I 0, dove I 0 è è un intenità tandard di riferiento. In queto cao abbiao due uoni con divero livello onoro, a entrabi ono riferiti allo teo livello tandard, che pertanto i eplifica. Si ha quindi log I ax I in 1.00 db 0.1 Bell I ax I in

17 ONDE 17 Exercie 57. Un coeo affera che un itea tereo ha una potenza audio aia di 120 W. Provando il itea con nueroi altoparlanti dipoti in odo da iulare una orgente puntifore. L acquirente nota che potrebbe avvicinari a 1.2 con il volue aio pria che il uono provochi dolore alle orecchie. Deve denunciare la ditta per la tutela dei conuatori? Soluzione: La oglia del dolore è pari a 120 db. L intenità del uono alla ditanza indicata è pari a Il livello onoro è quindi I Il uono upera la oglia del dolore. P 4πr W 4π W 2 β log I log bel 128 db I Exercie 58. Un altoparlante produce un uono con una frequenza di 200 Hz e un intenità di W/ 2 a una ditanza di Supponiao che ci ia rifleione e che l altoparlante eetta allo teo odo in tutte le direzioni. Trovare l intenità a 30.0, l apiezza dello potaento a 6.10 e l apiezza della preione a Soluzione: L intenità del uono è legata alla potenza eea e all invero del quadrato della ditanza. Pertanto, indicata con I 0 l intenità a r 6.10 e con I 1 quella a R 30.0, i può crivere I 0 P 4πr 2 I P 4πR 2 I 04πr 2 4πR 2 L apiezza dello potaento a 6.10 è data da 2I ρvω W kg π infine l apiezza della preione p (vρω) W 2 (6.10) 2 2 (30.0) W kg 3 2π P a Exercie 59. Una orgente onora ha una potenza di 1.00 µw di ditanza e il livello onoro in decibel a tale ditanza. Soluzione: L intenità è data da I P 4πr W 4π W il uo livello onoro è dato da β log I log I bel 39.5 db Suppota puntifore, trovare l intenità a Exercie 60. Se due onde onore, una nell aria e l altra nell acqua dolce hanno la tea intenità, trovare il rapporto tra l apiezza di preione nell acqua ripetto a quella nell aria, upponendo che i due ezzi iano a 20 C. Trovare poi il rapporto tra le intenità nel cao in cui iano uguali le apiezze di preione. Soluzione: L apiezza di preione è data da p vρω, entre l intenità è legata all apiezza di preione da I 1 2 vρω2 2. Confrontando le due relazioni i ottiene I 1 2 p ω. Il rapporto tra le due intenità (v H2O 1481, ρ H 2O 1000 kg ; v 3 aria 343, ρ H 2O 1.26 kg ) è dato da 3 I H2O I aria ( ρvω 2 2 ) H 2O (ρvω 2 2 ) aria i ha pertanto, eendo uguali le due intenità ( ω 2 2 ) aria (ω 2 2 ) H2O ( ω 2 ) (ω 2 2 ) aria 3569 H 2O Confrontando ora le preioni, i ha p H2O (ω ) H2O (ω ) aria p aria (ω ) aria (ω ) aria

18 ONDE 18 Se ora i pongono uguali le preioni p H2O (ρvω ) H2O (ω ) H2O p aria (ρvω ) aria 415 (ω ) aria (ω ) aria 3569 (ω ) H2O prendendo ora il rapporto tra le intenità, i ha I H2O I aria ( p ω ) H2O ( p ω ) aria (ω ) H2O (ω ) aria (ω ) H2O 3569 (ω ) H2O Exercie 61. Motrare che l intenità di un onda è il prodotto tra l energia dell onda per unità di volue u e la ua velocità v. Le onde radio viaggiano a una velocità di /. Trovare u per un onda radio a 480 k da una orgente di 50 kw, upponendo che le onde iano feriche. Soluzione: L intenità di un onda è data dal rapporto tra la potenza e la uperficie che la intercetta. La potenza è il rapporto tra l energia e l intervallo di tepo in cui viene pea, per cui, cotruendo un equazione dienionale, i ha [ J [I] 2 J 2 J 2 J ] 3 tradotto in grandezze I E v u v V ol Dai dati relativi all onda radio i ricava W I 4π (480000) W u I v W J 3 Exercie 62. Trovare i rapporti delle intenità, delle apiezze di preione e delle apiezze di potaento delle particelle di due uoni i cui livelli ono differicono di 37 db. Soluzione: Il livello onoro è epreo da β 10 log I I 0 (in db) dove I W/ 2 è una intenità tandard che corriponde circa al liite inferiore dei uoni udibili dall uoo. Nel notro cao β 1 10 log I 1 I 0 β 2 10 log I 2 I 0 calcolando la differenza tra i due livelli e ponendola uguale a 37 db, i ha ( log I 1 log I ) 2 I 0 I 0 applicando le proprietà dei logariti, i ricrive 3.7 log I 1 I 2 I I 2 I uoni differicono nel livello onoro a non nella frequenza, per cui poiao coniderare che ω 1 ω 2. Allora ρv (ω ) ρv (ω ) 2 1 a anche ρ e v ono uguali propagandoi nello teo ezzo, per cui lo teo rapporto vale anche per le apiezze di preione eendo p vqω

19 ONDE 19 Exercie 63. A una ditanza di 10 k un clacon che uona alla frequenza di 100 Hz, coniderato coe una orgente puntifore, è appena udibile. Trovare la ditanza alla quale inizia a cauare dolore. Soluzione: La oglia del dolore è pota a 120 db. La differenza nel livello onoro è pari quindi a 120 db, per cui ne egue log I 2 I 1 r2 2 I 2 r poiché la potenza del uono eeo è la tea. Ma r , per cui 10 8 r I 1 Exercie 64. Siete feri a una ditanza D da una orgente che eette onde onore allo teo odo in tutte le direzioni. Cainate per 50.0 vero la orgente e notate che l intenità di quete onde è raddoppiata. Calcolare la ditanza D. Soluzione: Il rapporto tra le due intenità (chiaiao I 1 l intenità corripondente alla ditanza D) è uguale a 2. Pertanto I 2 r2 1 I 1 r2 2 2 eendo r 2 (D 50.0), i ha ( ) 2 D 2 (D 50) cioè D 2 2D 2 200D e riolvendo ripetto a D, ditanza aggiore, i ha D Exercie 65. Un altoparlante, uppoto coe puntifore, eette un uono con una potenza di 30.0 W. Un piccolo icrofono, la cui ezione orizzontale ha un area effettiva di c 2, è poto a 200 dall altoparlante. Calcolare l intenità del uono dove c è il icrofono e la potenza intercettata dallo teo. Soluzione: L intenità è data da I P 4πr 2 e otituendo i valori aegnati i ha 30 W I 4π W la potenza intercettata dalla ezione del icrofono arà P interc IA W W Exercie 66. In un eperiento un jet ubonico vola ad un altitudine di 100. L intenità del uono al uolo è di 150 db. Trovare l altezza alla quale deve volare l aereo affinché il ruore non uperi i 120 db (tracurare il tepo finito richieto dal uono per raggiungere il uolo). Soluzione: Il rapporto tra le intenità è uguale al rapporto invero tra i quadrati delle ditanze. differenza del livello onoro è pari a 30 db 30 db 10 log I 2 I 1 10 log ( ) 2 r1 Si avrà, anche applicando la proprietà dei logariti per cui log x 2 2 log x e la proprietà log a b log a log b, pertanto 1.5 log h log h log a log 100 2, per cui h r 2 La

20 ONDE 20 Exercie 67. Un tecnico hi-fi ha progettato un altoparlante di fora ferica che diffonde il uono con la tea intenità in tutte le direzioni. L altoparlante eette una potenza acutica di 10 W in una tanza con le pareti, il paviento e il offitto copletaente aorbenti. Trovare l intenità delle onde onore a 3.0 dal centro della orgente; l apiezza delle onde a 4.0 ripetto a quella a 3.0 dal centro della orgente. Soluzione: La tanza decritta non riflette alcun uono eliinando in tal odo ogni poibile ovrappoizione di onde. Troviao l intenità I P 4πr 2 10 W 4π W L intenità a 4 è pari a 9 16 a cioè dell intenità a 3. Infatti [ ] I 4 9 I 3 16 P 64π P 36π I I Exercie 68. L interferoetro acutico in figura riepito d aria è utilizzato per diotrare l interferenza delle onde onore. S è una ebrana ocillante; R è un rivelatore di uoni. Il tratto SBR può variare in lunghezza, entre il tratto SAR è fio. In R le onde che percorrono il tratto SBR interfericono con quelle che percorrono il tratto SAR. L intenità del uono in R ha un valore inio di 100 unità in una certa poizione di B e con continuità crece fino a un valore aio di 900 unità quando B è potato di 1.65 c. Trovare la frequenza del uono eeo dalla orgente e il rapporto tra l apiezza dell onda SAR e quella dell onda SBR in R. Soluzione: Se lo potaento orizzontale del tubo obile è pari a 1.65 c, allora il uono percorrerà una ditanza doppia (da S a B e da B a R) pari a 3.30 c Poiché l interferenza tra le onde paa da un inio al aio ucceivo, tale ditanza è pari a età lunghezza d onda. Pertanto, λ 2 e conocendo la velocità del uono, troviao la frequenza f v λ Hz Ricaviao ora il rapporto tra le apiezze delle onde. Sappiao che l intenità I 1 2 ρvω2 2 ; a poiao porre k 2 1 1, eendo le grandezze coinvolte uguali per entrabe le onde; ne egue che 2 ρvω2 I k. Nella condizione di inio le apiezze i ottraggono (interferenza ditruttiva) e avreo SAR SBR ; nella condizione di aio i oano (interferenza cotruttiva) SAR + SBR. Allora in 100 k ( SAR SBR ) ax 900 k ( SAR + SBR ) Soiao terine a terine k (SAR SBR + SAR + SBR ) 2k SAR SAR k 40 2k 20 k

21 ONDE 21 e ottraendo i ha k (SAR + SBR SAR + SBR) 2k SBR : il rapporto arà pertanto SBR k SAR SBR k 10 k 4. Sorgenti di uoni uicali Exercie 69. Un onda onora di frequenza 1000 Hz che i propaga attravero l aria ha un apiezza di preione di 10.0 P a. Trovare la ua lunghezza d onda, l apiezza di potaento di una particella e la aia velocità di una particella. Se queta è la frequenza di una canna d organo con entrabe le etreità aperte, trovare la lunghezza della canna. Soluzione: La relazione che lega la frequenza alla lunghezza d onda è v λf, per cui λ v f l apiezza di potaento è data da p 2πvρf 10.0 P a 2π 343 kg µ 3 la aia velocità di potaento di una particella di aria nella ua ocillazione longitudinale arà???????? Exercie 70. Un onda onora in un ezzo fluido è riflea a una barriera in odo che i fori un onda tazionaria. La ditanza tra i nodi è 3.8 c e la velocità di propagazione è 1500 /. Trovare la frequenza. Soluzione: La ditanza tra due nodi conecutivi rappreenta età della lunghezza d onda, pertanto f v λ Hz Exercie 71. Una corda di violino lunga 15.0 c, fiata a entrabe le etreità, ocilla nella ua odalità caratterizzata da n 1. La velocità delle onde ulla corda è 250 / e la velocità del uono nell aria è 348 /. Trovare la frequenza e la lunghezza d onda dell onda onora eea. Soluzione: la corda del violino, vincolata ad entrabi i lati, vibra forando onde tazionarie, le cui frequenze di rionanza ono ultipli interi della frequenza di rionanza inora, caratterizzata da n 1. f v 2L n Hz 2 0, 15 la lunghezza d onda, nota frequenza e velocità, è data da λ v f Exercie 72. Una corda di violino, che ocilla col uo chea fondaentale, genera un onda onora con lunghezza d onda λ. Trovare il ultiplo di cui va auentata la tenione e la corda, che ocilla ancora nel uo chea fondaentale, deve generare una nuova onda onora con lunghezza d onda λ /2. Soluzione: La tenione di una corda è legata alla velocità di propagazione di un onda che i genera u di ea dalla relazione τ v µ dove τ è la tenione della corda e µ la denità lineare della corda, cioè /L. Ma v λf, e otituendo, i ha τl λf ne egue che affinché la lunghezza d onda diezzi, la tenione, che copare otto radice, deve eere oltiplicata per un fattore 4.

22 ONDE 22 Exercie 73. Una canna d organo A, con entrabe le etreità aperte, ha una frequenza fondaentale di 300 Hz. La terza aronica di una canna d organo B, con una etreità aperta, ha la tea frequenza della econda aronica della canna A. Trovare la lunghezza delle due canne. Soluzione: Le frequenze di una canna d organo, aiilabile ad uno truento a fiato, aperta da entrabi i lati è data da f nv 2L A dove n è il nuero aronico, v la velocità del uono e L la lunghezza della canna. Se la canna B è aperta da un olo lato, allora le frequenze ono date da f nv 4L B Se la canna A, ha una frequenza di 300 Hz per n 1, i ha L A v 2f Se, pertanto, la terza aronica della canna B (n 3) ha la tea frequenza della econda aronica (n 2) della canna A, allora 3v 2v 4L B 2L A e L B 3 4 L A Exercie 74. Il livello dell acqua in un tubo di vetro verticale lungo 1.00 può eere regolato in qualiai poizione del tubo. Un diapaon che vibra a 686 Hz è tenuto proprio opra l etreità aperta uperiore del tubo. Trovare la poizione del livello dell acqua per la quale vi arà rionanza. Soluzione: la velocità del uono nell aria è 343 / e la lunghezza d onda del uono eeo dal diapaon arà λ v f 0.5 e la pria lunghezza d onda di rionanza arà λ 4L n ; e n 1, 3, 5, 7..., i avrà L nλ 4 1 8, , Exercie 75. Trovare la velocità delle onde u una corda di violino di 800 g lunga 22.0 c e la frequenza fondaentale è 920 Hz. Trovare poi la tenione della corda. Coniderando l onda fondaentale, trovare la lunghezza d onda delle onde ulla corda e delle onde onore eee dalla corda. Soluzione: La relazione tra la velocità di un onda ulla corda e e la frequenza è data da f v 2L n per la frequenza fondaentale n 1, per cui la relazione tra la tenione e la velocità è v 2Lf Hz 405 v τ µ dove τ è la tenione e µ la denità lineare, cioè /L, pertanto τ µv kg 0.22 la lunghezza d onda delle onde ulla corda arà λ v f entre la lunghezza d onda delle onde onore prodotte arà λ N

23 ONDE 23 Exercie 76. Una corda di violino lunga 30.0 c tra le ue etreità fie con una aa di 2.0 g, genera un LA (440 Hz) quando viene uonata a corda libera. Trovare la poizione del dito ulla corda per ottenere un DO (528 Hz); il rapporto tra la lunghezza d onda delle onde ulla corda richieta per un LA e per un DO; il rapporto tra la lunghezza d onda dell onda onora per un LA e per un DO. Soluzione: la velocità dell onda ulla corda, ricavata nella condizione di corda fia, è v 2Lf c 440 Hz 264 a parità di velocità, è poibile ricavare la lunghezza della corda per ottenere il DO L 1 v 2f c per cui il dito va poto a una ditanza di 5.0 c dalla chiave; il rapporto tra le lunghezze d onda ulla corda è λ LA f DO 528 λ DO f LA ricavabile epre dalla relazione che lega la velocità alla lunghezza d onda e alla frequenza. Per la lunghezza d onda dell onda onora, il rapporto arà lo teo, variando olo la velocità di propagazione nel ezzo, che è la tea per entrabe le note. Exercie 77. Una corda di violoncello ha una lunghezza L, per la quale la frequenza fondaentale è f. Trovare di quale lunghezza l deve eere accorciata la corda toccandola con un dito per cabiare la frequenza fondaentale in rf; trovare l e L 0.80 e r 1.2 e in tal cao trovare il rapporto tra la lunghezza d onda della nuova onda onora e quella eea pria di toccare la corda. Soluzione: la velocità di propagazione riane cotante per cui, da v 2Lf è poibile, otituendo, ottenere L 1 2Lf 2rf L r ; l accorciaento l L L 1, per cui ( l L 1 1 ) r e L 0.80 e r 1.2, i ha l 0.13 e il rapporto tra le due lunghezze d onda è λ 2 λ 1 f 1 f 2 f rf 1 r 5 6 Exercie 78. Nella figura, S è un piccolo altoparlante pilotato da un egnale audio aplificato, di frequenza regolabile olo da 1000 a 2000 Hz. Il tubo D è un pezzo di tubo cilindrico lungo 72 c e aperto a entrabe le etreità. Se la velocità del uono è 345 /, trovare la frequenza alla quale i verificherà rionanza nella canna durante la variazione della frequenza nell intervallo indicato. Soluzione: La frequenza fondaentale di rionanza per un tubo aperto da entrabi i lati è data da f v 2L Hz 1.44 per cui nell intervallo Hz i avranno le frequenze per n 5, 6, 7, 8, cioè f 1200, 1440, 1680, 1880 Hz Exercie 79. Un pozzo con pareti verticali e acqua ul fondo riuona a 7.00 Hz e a neuna frequenza inferiore. L aria nel pozzo ha una denità di 1.10 kg/ 3 e un odulo di copreibilità di P a. Trovare la profondità del pozzo. Soluzione: il odulo di copreibilità può eere epreo coe B ρv 2, entre la frequenza di 7.00 Hz può eere coniderata quella fondaentale; il pozzo è chiuo ad una etreità per cui la frequenza di rionanza è data da f v 4L ; otituendo il valore di v e riolvendo ripetto a L, i ottiene B 5 P a ρ 1.10 kg L 4f Hz 12.4

24 ONDE 24 Exercie 80. Un battito di ani ul palcocenico di un anfiteatro invia onde onore che i diffondono dai gradini di larghezza w Il uono ritorna vero il palcocenico coe una erie periodica di ipuli, una da ogni gradino; l iniee degli ipuli dà l effetto di una nota tonata. Trovare la frequenza con la quale ritornano gli ipuli, cioè della nota percepita. Soluzione: Conideriao una equenza di ipuli che ritornano vero il palcocenico. Un ipulo che ritorna ubito pria di quello precedente ha percoro una ditanza di 2w; ipiegando un tepo aggiore t 2w v, che poiao coniderare coe il periodo. La frequenza dell ipulo arà pertanto f 1 t v 2w Exercie 81. Un tubo lungo 1.20 è chiuo a un etreità. Un filo teo è poto vicino all etreità aperta. Il filo è lungo e ha una aa di 9.60 g: è fiato a entrabe le etreità e vibra nel uo chea fondaentale. Eo fa ocillare la colonna d aria nel tubo alla ua frequenza fondaentale in condizioni di rionanza. Trovare la frequenza di ocillazione della colonna d aria e la tenione del filo. Soluzione: La velocità di propagazione del uono prodotto dalla corda vibrante è uguale a 343 /; queta onda produrrà un onda tazionaria fondaentale nel tubo la cui frequenza è data da f v 4L Hz la tenione della corda vibrante arà eprea da τ v2 L (2L filof) 2 L 4L filo f kg N 5. Effetto Doppler Exercie 82. Una orgente S genera onde circolari ulla uperficie di un lago. La velocità delle onde è 5.5 / e la eparazione tra le crete è 2.3. Se una perona i trova u una piccola barca che i dirige direttaente vero S a una velocità cotante di 3.3 / ripetto alla riva, trovare la frequenza delle onde da ea oervate. Soluzione: La orgente genera onde circolari di lunghezza d onda pari alla eparazione tra le crete, cioè λ 2.3. La frequenza delle onde generate arà f v λ Hz 2.3 Nel notro cao la orgente è fera, entre l oervatore è in oviento, per cui la frequenza percepita riulterà aggiore, poiché il rivelatore i uove vero la orgente incontrando le onde pria f f v onda + v barca Hz v onda 5.5 Exercie 83. Il ruore delle turbine nei otori a reazione di un aereo che vola alla velocità di 200 / ha frequenza di Hz. Trovare la frequenza alla quale è udito da un pilota di un econdo aereo, che cerca di raggiungere il prio alla velocità di 250 /. Soluzione: In queto cao ia la orgente ia il rivelatore ono in oviento, per cui la frequenza udita è f f v + v R Hz v v S Exercie 84. Una pallottola viene parata a una velocità di 700 /. Trovare l angolo forato dal cono d urto con la direzione del oto della pallottola.

25 ONDE 25 Soluzione: Il oto del proiettile è uperiore alla velocità del uono nell aria; in queto cao la orgente i uove più veloceente dei fronti d onda dell aria potata dalla punta del proiettile e, raggruppandoi, forano un onda d urto, dovuta ad un bruco auento e ucceiva caduta della preione dell aria. Tutti i fronti d onda ferici i epandono alla velocità del uono e i ditribuicono lungo la uperficie di un cono, la cui uperficie fora un ei angolo θ ed è tangente a tutti i fronti d onda. Tale angolo è dato da in θ v uono riolvendo ripetto all angolo i ha θ arcin v orgente ( ) La propagazione rettilinea Exercie 85. Un foglio di cartone opaco, avente la fora di un quadrato di lato 4.0 c, intercetta la luce proveniente da una lapada puntifore pota perpendicolarente al foglio a 10 c di ditanza. Calcolare il lato dell obra quadrata che i fora u uno chero ituato a 40 c dalla orgente. Soluzione:: poiao cheatizzare il fenoeno con il eguente odello geoetrico cioè Ricordando che in due triangoli ono iili i lati corripondenti ono tra loro proporzionali, i può crivere 7.1. Rifleione e rifrazione. SA : SH AB : HK 10 c : 40 c 4 c : HK HK 160 c2 10 c 16 c 7. Onde Luinoe Exercie 86. La figura otra un raggio luinoo, proveniente dall alto, rifleo da due uperfici perpendicolari. Trovare l angolo tra il raggio incidente i e il raggio rifleo r. Soluzione: La rifleione della luce egue due leggi: il raggio rifleo è uguale a quello incidente; i due raggi e la perpendicolare alla uperficie riflettente ono coplanari. La oluzione, ottenibile per via geoetrica, è indicata nella figura.

26 ONDE 26 Exercie 87. Un raggio di luce nel vuoto incide u di una latra di vetro. Nel vuoto il raggio incidente fora un angolo di 32, 0 con la norale alla uperficie, entre nel vetro il raggio rifratto è inclinato di 21, 0 ripetto alla norale. Trovare l indice di rifrazione del vetro. Soluzione: La rifrazione di un raggio luinoo i ha nel paaggio della luce da un ezzo ad uno con denità ottica divera, coe appunto il vuoto e il vetro. In queto cao i parla di indice di rifrazione aoluto. La legge della rifrazione è data da in i in r n vetro n vuoto apendo che n vuoto 1, i ha in 32, 0 in 21, 0 n vetro 1.48 Exercie 88. Nella figura è otrata una vaca etallica a ezione rettangolare piena di un liquido fino al bordo. Un oervatore con occhi a livello del bordo della vaca è in grado di vedere, al liite, lo pigolo E; la figura otra un raggio che va da E all oervatore. Calcola l indice di rifrazione del liquido Soluzione: Il raggio di luce, in roo, rappreenta, nel odello geoetrico, la diagonale del rettangolo che lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Poiao quindi, con le relazioni della gonioetria, trovare l angolo che tale raggio fora con la bae del rettangolo (angolo di incidenza): ( ) 0.85 α arctan Il raggio luinoo eerge forando un angolo liite (uguale a 0 con la norale alla uperficie di eparazione). Eendo n aria 1 l indice di rifrazione aoluto dell aria, i ha n aria n liquido 0.61 in 37.7 Exercie 89. Intorno all anno 150 d.c., Claudio Toloeo attribuì le eguenti iure all angolo i incidenza i 1 e all angolo di rifrazione i 2, per un raggio di luce che paa dall aria all acqua: i 1 i 2 i 1 i Verificare e queti dati ono in accordo con la legge di rifrazione e, in cao afferativo, ricavare l indice di rifrazione. Soluzione: La legge di rifrazione dice che il rapporto tra il eno dell angolo incidente e rifratto è uguale al rapporto invero tra gli indici di rifrazione aoluti dei due ezzi, cioè in i 1 n 2 k in i 2 n 1 Applicando tale legge ai valori aegnati i ha in i 1 in i 2 in 10 k in in 50 in 20 in in 70 in 30 in 80 in in 40 in in i 1 in i 2 i 2 in in in

27 ONDE 27 il valore tende ad eere cotante e in edia uguale a 1, 300, aegnando a n 1 n aria 1 i può ottenere l indice di rifrazione dell acqua n 2 1, 300 Exercie 90. Un palo verticale lungo 2 i erge dal fondo di una picina fino ad una quota di 50.0 c opra la uperficie dell acqua. La luce del ole incide con un angolo di 55.0 ripetto al piano orizzontale. Trovare la lunghezza dell obra proiettata dal palo ul fondo piano e orizzontale della picina. Soluzione: la figura illutra il fenoeno. L obra è quella evidenziata in nero. Ea può eere calcolata oando i due egenti AB P Q e BC. Applicando la trigonoetria i ha AB 0.50 tan 35 0, 35 Per calcolare BC i deve tenere conto che il raggio penetrando nell acqua viene deviato. È quindi neceario calcolare l angolo di rifrazione che deterina la direzione di propagazione nel ezzo acqua ediante la legge che decrive il fenoeno di rifrazione alla uperficie di eparazione tra due ezzi diveri: in 35 1, 33 in r ( ) in 35 r arcin , 33 Queto angolo è l angolo B ˆP C in figura. Pertanto, La lunghezza copleiva dell obra è BC 2 tan c AC 0, , 96 1, 21