LEZIONI N 35 E 36 ANALISI ALLO STATO LIMITE ULTIMO DELLA SEZIONE INFLESSA

Transcript

1 LEZIONI N 35 E 36 ANALISI ALLO STATO LIMITE ULTIMO DELLA SEZIONE INFLESSA Nel cao delle ezioni inflee di cemento armato, la verifica di icurezza allo tato limite ultimo di reitenza conite nel controllare che ia oddifatta la relazione: M Ed M Rd Il momento eterno di calcolo M Ed viene valutato utilizzando le regole di combinazione dei carichi di cui abbiamo già parlato ed M Rd è la capacità di pretazione della ezione allo tato limite ultimo, valutata tenendo conto dei coefficienti parziali di icurezza dei materiali. Nel calcolo a rottura l accertamento delle modalità di crii è preliminare alla valutazione del momento ultimo: la crii può avere come caua primaria o lo chiacciamento del calcetruzzo, mentre l acciaio è ancora in campo elatico (rottura fragile) oppure lo nervamento dell acciaio, a cui fa eguito lo chiacciamento del calcetruzzo (rottura duttile). Eite anche la poibilità che la crii della ezione i manifeti con la imultanea realizzazione di entrambi i fenomeni, lo chiacciamento del calcetruzzo e lo nervamento dell acciaio (rottura bilanciata). La modalità di rottura (fragile, duttile, bilanciata) per una data ezione di carpenteria, dipende dalla percentuale di armatura tea. Più preciamente al di otto di una percentuale molto baa di armatura (armatura minima) i verifica la rottura fragile perché al momento della feurazione la capacità reitente della ezione feurata è più piccola del momento flettente che produce la feurazione: in otanza la ezione collaa al termine del I tadio. Il comportamento della ezione è duttile quando l armatura è comprea tra il valore minimo e quello corripondente alla rottura bilanciata. La ezione è fragile quando l armatura è uperiore a quella corripondente alla rottura bilanciata. 140

2 Scopo della corretta progettazione di una ezione inflea è quello di garantire la realizzazione della rottura di tipo duttile, per le eguenti ragioni: a) la rottura fragile avviene in modo improvvio, enza egni premonitori, dati dalla apparizione di ampie feure, che conentono di prendere immediati provvedimenti di alvaguardia; b) nelle trutture ipertatiche, che nelle cotruzioni di c.a. ono molto frequenti per la facilità con cui i realizza la continuità fra olette e travi e fra travi e pilatri, il comportamento duttile delle ezioni inflee conente la riditribuzione dei momenti flettenti ripetto alla ditribuzione elatica iniziale, come abbiamo già avuto modo di oervare; c) nelle zone imiche la duttilità delle ezioni favorice la diipazione di una parte della energia cinetica tramea alla cotruzione dalle accelerazioni impree alla fondazione dal terremoto. LE IPOTESI DI BASE Il modello di calcolo utilizzato per il calcolo del momento flettente ultimo è definito dalle quattro ipotei eguenti: 1) vale la conervazione delle ezioni piane, cioè la variazione delle deformazioni unitarie (y) ulla ezione è lineare; ) l aderenza fra l acciaio ed il calcetruzzo è perfetta ( c = ), coì da ecludere qualiai corrimento relativo fra le armature e la matrice lapidea che le avvolge (queta ipotei è necearia perché valga l ipotei 1); 3) il calcetruzzo teo viene coniderato non reagente; 4) i legami cotitutivi dei materiali ono non-lineari con le eguenti caratteritiche: a) calcetruzzo compreo: diagramma - non lineare fiato dalla normativa. In Italia i adotta il legame parabola rettangolo, che otituice convenzionalmente il legame effettivo. Il valore maimo della tenione nel calcetruzzo da aumere nei calcoli (f cd ) è tabilito dalla normativa, partendo dalla reitenza caratteritica del calcetruzzo, determinata u provini normalizzati a 8 giorni di tagionatura. 141

3 Il valore della tenione ultima di compreione è: f cd fck Rck 0.83 cc c In cui il coefficiente cc =0.85 tiene conto della lunga durata di applicazione dei carichi, fck è la reitenza caratteritica cilindrica, che i ottiene da quella cubica tramite il coefficiente di paaggio 0.83 ed il coefficiente 1.5 è il coefficiente parziale di icurezza per il calcetruzzo. Il tratto parabolico del diagramma - i etende nell intervallo di deformazioni compreo fra lo 0 ed il, in corripondenza del quale i raggiunge il valore di picco. Il tratto orizzontale i etende tra il ed il 3.5 ; b) acciaio teo: diagramma bilineare elatico perfettamente platico. Il diagramma di calcolo dell acciaio è di tipo elato-platico e i ricava da quello caratteritico effettuando un affinità parallelamente alla tangente all origine nel rapporto 1/ : i ottiene f yd = f yk /. Il coefficiente parziale di icurezza dell acciaio vale Il diagramma i etende convenzionalmente in modo indefinito econdo l ae. 14

4 DETERMINAZIONE DELLA PERCENTUALE DI ARMATURA CORRISPONDENTE ALLA ROTTURA BILANCIATA. Conideriamo una ezione rettangolare (b x H), a emplice armatura, di cui ia nota la modalità di crii per rottura bilanciata, nella quale i verificano imultaneamente la deformazione maima del calcetruzzo compreo e l incipiente nervamento dell acciaio teo. Proponiamoci di determinare la quantità di armatura aociata alla rottura bilanciata. Le deformazioni marginali della ezione ono note, dalla definizione di rottura bilanciata: c = cu = 3.5 (rottura del calcetruzzo) = y = f y,d /E (inizio nervamento) La conocenza delle deformazioni marginali determina automaticamente la poizione dell ae neutro ulla bae della imilitudine dei triangoli individuati dal diagramma lineare delle deformazioni: y bil = k bil d, in cui k bil cu f / E cu yd con E = N/mm 143

5 Per determinare l area dell acciaio criviamo l equazione di equilibrio alla tralazione delle forze interne econdo l ae della trave: C - T = 0 C è la riultante delle tenioni di compreione e vale: C = f cd b y bil = f cd k bil bd in cui è il coefficiente di riempimento del diagramma parabola-rettangolo, che vale T è la riultante delle tenioni di trazione, pari a: T = A f yd. Si ricava pertanto: C fcdkbilbd A f f yd yd La percentuale di armatura ripetto alla ezione di calcetruzzo vale: A f k bil bd f cd bil yd Per acquiire l ordine di grandezza della percentuale di armatura corripondente alla rottura bilanciata, facciamo un eempio numerico. Conideriamo una ezione di c.a. realizzata con un calcetruzzo di clae Rck = 30 N/mm ed un acciaio tipo B450C, avente tenione caratteritica di nervamento f yk = 450 N/mm. 144

6 30 x 0.83 fcd N / mm 1.5 k bil / (1.15 x00000) fcdkbil 0.81x14.11x0.641 bil % f 450 /1.15 yd Noto il diagramma delle tenioni interne è anche poibile calcolare il momento interno corripondente: M ult = C x z = T x z in cui z è il braccio di leva delle forze interne. Per le proprietà geometriche del diagramma parabola rettangolo, la riultante di compreione dita dal lembo uperiore della ezione di y bil. Pertanto il braccio delle forze interne, z, vale: z= d y = d k bil d = d ( k bil ) Si ottiene perciò: Mult Tz fyd A d 10, 416 f cu / E cu yd 145

7 DETERMINAZIONE DELLA PERCENTUALE MINIMA DI ARMATURA. Conideriamo una ezione rettangolare (b x H), con armatura dipota olo in zona tea (armatura emplice). Ci proponiamo di determinare la quantità di armatura necearia ad impedire la rottura immediata della ezione ubito dopo la feurazione. Valutiamo innanzitutto il momento flettente che produce la feurazione della ezione inflea dotata di emplice armatura. Prima della feurazione la ezione di cemento armato è integra (reagice anche il calcetruzzo teo) e, per effetto del momento eterno applicato, M Et, i determina all interno della ezione lo tato di tenione nel calcetruzzo rappreentato in figura. Eo non è immetrico ripetto all ae neutro (che dita y dal lembo compreo) olo perché l acciaio di armatura, A, attrae l ae neutro vero il lembo teo. La poizione dell ae neutro è, naturalmente, baricentrica e può eere determinata con i metodi claici della Scienza delle Cotruzioni. L unica avvertenza da tener preente è che è utile omogeneizzare l armatura metallica a calcetruzzo, utilizzando un appoito coefficiente n pari al rapporto tra il modulo elatico dell acciaio e quello del calcetruzzo, che amplifica l area dell acciaio. Il momento tatico S c ripetto al lembo compreo vale: 1 Sc bh nad 146

8 L area A c, è, invece: A bh na c La poizione dell ae neutro è: y 1 bh na d bh na Per n E E i può aumere il valore di prima approimazione n = 7. c Una volta nota la poizione dell ae neutro è poibile determinare il momento d inerzia della ezione interamente reagente omogeneizzata Jc e quindi il valore della tenione nel calcetruzzo teo, che vale: M Et t H Jc y La feurazione i verifica quando la tenione nel calcetruzzo raggiunge il valore della reitenza a trazione media per fleione, pari a 1,0 f ctm. Conideriamo il valore medio della reitenza a trazione e non quello caratteritico corripondente (frattìle 5 %) perché il primo conduce ad un momento di feurazione più elevato e quindi ad una percentuale minima di armatura più alta. Per lo teo motivo conideriamo unitario il coefficiente parziale di icurezza. Il momento di feurazione è quindi pari a: M fe Jc 1, 0 fctm H y L armatura minima è quella che è in grado di garantire alla ezione una reitenza a rottura pari al momento di feurazione. La determinazione della reitenza a rottura della ezione di cemento armato dotata di emplice armatura verrà trattata più avanti, quando avremo viluppato gli elementi teorici per farlo. Rimandiamo ad allora la proecuzione dello tudio del problema. 147