BOZZA. fessure. taglio + momento flettente

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1 Lezione n. 19 Stti limite nel cemento rmto Anlisi del comportmento di un trve infless er introdurre l teori sttic del cemento rmto, si consideri un trve di solo clcestruzzo semplicemente ppoggit gli estremi e soggett due crichi concentrti posti distnz dgli ppoggi. er vlori bssi di, l trve si comport come se fosse costituit d mterile omogeneo, isotropo ed elstico. Al crescere del crico, essendo l resistenz compressione del cls molto mggiore di quell trzione, si verific l rottur delle fibre inferiori dell sezione di mezzeri (dove M è mssimo) per cedimento del clcestruzzo teso, mentre il clcestruzzo compresso è ncor molto lontno dll resistenz compressione. L- A + L tglio + fessure momento flettente In un trve di solo clcestruzzo non è pertnto possibile sfruttre il clcestruzzo compresso fino ll su resistenz mssim cus dell rottur nticipt del clcestruzzo teso. Nsce llor l ide di introdurre dei tondini di ferro nelle zone tese dell trve, i quli ssorbendo le tensioni di trzione, un volt che il clcestruzzo si è fessurto, consentono ll trve di sopportre vlori di q superiori quello di fessurzione, ed in funzione del quntittivo di rmtur introdotto, fino l rggiungimento dell resistenz compressione del cls. Si vogli or descrivere il comportmento dell trve in presenz delle rmture nell prte inferiore. B -

2 Lezione n. 19 pg. XIX. L Α δ L/ L L/ Al crescere del crico si registri lo spostmento verticle δ dell sezione di mezzeri l vrire di e si riportino su un digrmm i vlori di δ sull sse delle scisse e quelli di sull sse delle ordinte: u y cr I II III II conv. δ cr δ y δ u L curv risult formt sostnzilmente d tre rmi, che definiscono ltrettnte fsi di comportmento dell trve in c..: rmo I cr il clcestruzzo e l cciio resistono entrmbi trzione e sono con buon pprossimzione in cmpo elstico linere rmo II cr y viene supert l resistenz trzione del clcestruzzo, che si fessur (il pedice cr st per crcking = fessurzione), e le trzioni sono ssorbite solo dll cciio rmo III > y si super l tensione di snervmento dell cciio che subisce notevoli llungmenti fino giungere rottur (può nche succedere che si romp il clcestruzzo compresso, se il quntittivo di rmtur non è sufficientemente lto) Molto spesso le fsi I e II vengono pprossimte pensndo, fvore di sicurezz, che il cemento rmto si comporti, fin d vlori molto piccoli del crico, come se fosse già fessurto, individundo quindi un fse che può essere denomint come fse II convenzionle (l rett che definisce tle rmo è quindi prllel ll rett del rmo II m prte dll origine). Le rgioni di tle modo di procedere (oltre ll mggiore fcilità di clcolo, in qunto d un digrmm bilinere, e quindi complessivmente non linere, si sostituisce un legme cricospostmento di ntur linere) v ricerct nell osservzione che il clcestruzzo può comunque presentrsi già in condizioni fessurte nche l momento dell ppliczione del crico di progetto: quest circostnz è effettivmente molto spesso ver, in qunto possono esserci presenti fessure nel clcestruzzo cus di ltri effetti, quli d esempio il ritiro (che ccompgn sempre il fenomeno δ Β

3 Lezione n. 19 pg. XIX.3 dell pres del clcestruzzo) che generlmente conduce d un sistem di microfessure che ne compromettono, già per crichi esigui, l resistenz trzione. L fse II convenzionle è quell usulmente impiegt nel clcolo secondo il metodo delle tensioni mmissibili e, come verrà illustrto nel seguito, nche nel controllo delle tensioni in esercizio. er lo studio del comportmento delle trvi inflesse e per l verific delle sezioni in c.. si utilizz il modello di comportmento in fse III ( rottur) ogni volt in cui si debb fr riferimento situzioni ultime ; i modelli di comportmento in fse I + fse II (o, lterntivmente, in fse II convenzionle) si utilizzno invece qundo si fcci riferimento condizioni di esercizio per l struttur in esme. Individuzione degli Stti Limite nel c.. Nell ottic del metodo degli Stti Limite, si individuno, per il cemento rmto, situzioni diverse che possono comportre l crisi od il cttivo utilizzo in esercizio dell struttur. Le ttuli normtive impongono di conseguenz il controllo dell struttur e delle sezioni mggiormente sollecitte in corrispondenz del rggiungimento delle seguenti condizioni: STATI LIMITE ULTIMI (SLU) verific llo stto limite per tensioni normli: l verific viene effettut in termini di confronto tr enti sollecitnti vlutto llo SLU e resistenz dell sezione nell condizioni individut di collsso, limitndo l ttenzione lle sole sollecitzioni che producono tensioni normli (quindi sforzo normle e flessione) verific llo stto limite per sollecitzioni tglinti: si effettu l verific ttrverso il confronto tr V sdu (tglio sollecitnte llo SLU) e V rdu (tglio resistente dell sezione) verific llo stto limite per sollecitzioni torcenti: nlogmente l cso visto in precedenz, si controll che T sdu (momento torcente sollecitnte llo SLU) risulti inferiore T rdu (mssimo momento torcente ssorbibile dll sezione) verific llo stto limite ultimo per sollecitzioni composte: vengono presi in esme i csi in cui si bbi contempornemente torsione, flessione e sforzo normle, oppure nel cso in cui sino presenti si sollecitzioni di tglio si sollecitzioni di torsione. STATI LIMITE DI ESERCIZIO (SLE) verific llo stto limite per fessurzione: si controll che non si formino fessure nel c.. (verific più grvos) oppure che, se formtesi, queste non superino un vlore di mpiezz prestbilito, in funzione dell vulnerbilità dell struttur e dell impiego dell stess; verific llo stto di limite delle tensioni di esercizio: si considerno i vlori delle tensioni nel clcestruzzo e nell cciio nelle condizioni di esercizio dell struttur, imponendo il non supermento di limiti prestbiliti; verific llo stto limite di deformzione: consiste nel controllo delle deformzioni dell struttur in condizioni di esercizio, in modo d verificre che ess si comptibile con l funzionlità dell oper e che non comporti dnni lle sovrstrutture dicenti. Legmi costitutivi llo Stto Limite Ultimo Allo SLU si ipotizz, essendo le condizioni prossime quelle di rottur, di nlizzre il comportmento dell sezione in fse III, ossi con clcestruzzo teso intermente fessurto, con il supermento del limite elstico si per il clcestruzzo compresso che per l cciio teso. Superto il limite elstico, per entrmbi i mterili si considerno comportmenti di tipo plstico ossi in cui sino possibili incrementi di deformzioni nche in ssenz di incrementi nello stto tensionle.

4 Lezione n. 19 pg. XIX.4 Clcestruzzo L definizione di un modello di comportmento per il clcestruzzo in condizioni prossime quelle di rottur può vvenire nlizzndo quello che ccde in un prov di compressione semplice. L prov consiste nel sottoporre un provino prismtico o cilindrico di clcestruzzo d uno sforzo di compressione centrto; tle prov viene eseguit su provini di dimensioni stndrd d un prefisst velocità di deformzione. Se con A n si indic l re nominle del provino e con lo sforzo ssile pplicto, si possono definire come per l prov di trzione le due seguenti grndezze: l σ n = ε = An l 0 che sono dette rispettivmente tensione nominle (σ n ) e deformzione convenzionle (ε). Se l crescere del crico si riportno i vlori σ n sull sse delle ordinte e quelli delleε sull sse delle scisse si ottiene un curv del tipo di quelle rppresentte nell figur seguente. In prticolre per un clcestruzzo d lt resistenz si ottiene l curv, mentre per un clcestruzzo di normle resistenz si h l curv b. er convenzione l curv è stt trccit ssumendo positive le tensioni e le deformzioni di compressione. In generle si not: - un comportmento non linere nche per livelli bssi di tensione (ossi nche per tensioni notevolmente inferiori rispetto quelle che provocno l rottur del provino): il livello tensionle mssimo l di sotto del qule il comportmento del clcestruzzo compresso può ritenersi elstico linere è pri circ il 30% dell resistenz di picco; - il rggiungimento dell tensione di picco per un deformzione pri circ lo 0. % ( ), vlore più o meno indipendente dll resistenz del clcestruzzo; - l presenz di un comportmento così detto di tipo softening un volt rggiunt l tensione di picco: il mterile cioè non è in grdo di ssorbire deformzioni mggiori di quell di picco se non ttrverso un riduzione dello stto tensionle. Se sottoposto trzione il clcestruzzo mnifest un rottur frgile per un vlore molto bsso dello sforzo di trzione, pertnto nelle verifiche di resistenz, l resistenz trzione del clcestruzzo viene trscurt. Il digrmm σ-ε è così limitto lle sole tensioni e deformzioni di compressione. Nel clcolo gli Stti Limite, concentrndo l ttenzione ll vlutzione dell sicurezz nei confronti dello Stto Limite Ultimo, il legme tensioni-deformzione convenzionle che viene dottto è riportto nell figur seguente.

5 Lezione n. 19 pg. XIX.5 σ c Il digrmm h un ndmento prbolico fino ll deformzione del, presentndo poi un ndmento perfettmente plstico fino ll deformzione rottur fisst convenzionlmente l 3.5. Il digrmm è in sostnzile ccordo con i risultti sperimentli, ed il vlore ssunto come mssim contrzione risente dell difficoltà nel definire correttmente, cus del ftto che il mterile esibisce un curv che rottur tende d bbssre l propri pendenz, il vlore dell deformzione corrispondente ll rottur. Di risultti sperimentli si ricvno comunque vlori nell intervllo , per cui il vlore ssunto risult cuteltivo. L mssim tensione viene vlutt prtire dll resistenz cilindric di progetto, quindi d fck 0.83 R ck fcd = = γ c γ c dove γ c, coefficiente przile di sicurezz llo SLU, viene ssunto per il clcestruzzo pri 1.6. In reltà il livello mssimo riportto nel digrmm tiene conto del ftto che l tensione crtteristic di rottur rppresent un tensione istntne, in qunto ricvt d prove di schiccimento su provini. Gli spetti non lineri insiti nel comportmento del clcestruzzo suggeriscono di ridurre tle vlore d uno inferiore che può essere ritento ccettbile nche tempo infinito, ossi un vlore prudenzile che teng conto dell invecchimento del clcestruzzo. Di conseguenz si dott un riduzione del 15% dell tensione di progetto come vlutt prtire d prove istntnee. L prbol che rppresent il comportmento del clcestruzzo per deformzioni inferiori l è definit dlle seguenti tre proprietà: - pssggio dll origine del digrmm; - vlore pri 0.85 f cd in corrispondenz dell deformzione ε=, nel seguito indict per brevità con ε 0 ; - tngente orizzontle in corrispondenz del vlore ε 0. Quindi l equzione dell prbol risult essere: per ε = 0 : f = 0 c = 0 f = ε + b ε + c per ε = ε0 : f = 0.85 fcd ε0 + b ε0 = 0.85 fcd per ε = ε0 : f ' = 0 ε0 + b = 0 d cui 0.85 fcd 0.85 fcd =, b =, c = 0 ε ε 0 0 e quindi ε ε f = 0.85 f cd ε0 ε0 L tngente ll origine ll prbol (che corrisponde l vlore di b) intersec l mssim ordint 0.85 f cd l vlore ε 0 /=1. Nell seguente tbell sono riportti vlori delle resistenze di progetto che si utilizzno nel clcolo rottur dei clcestruzzi di uso più comune: ε c

6 Lezione n. 19 pg. XIX.6 R ck [N/mm ] Denominz. f ck [N/mm ] f cd [N/mm ] 0.85 f cd [N/mm ] 5 C0/ C5/ C30/ Acciio er l cciio viene usulmente impiegto un legme costitutivo elsto-plstico. Si suppone cioè che, superto il limite elstico, si poss ttribuire ll cciio un comportmento perfettmente plstico, cioè sino possibili incrementi di deformzione tensione costnte, fino l rggiungimento del limite convenzionle di deformzione rottur σs fyk f yd = fyk γs E s = 06 kn/mm² Il limite convenzionle di deformzione rottur è fissto nell misur del 10 ; osservndo i vlori effettivi dell llungmento rottur delle brre di cciio si not un limite sensibilmente superiore (di lmeno 10 volte). L esigenz di limitre l deformzione mssim vlori così bssi nsce dll necessità di mntenere l derenz tr cciio (soprttutto teso) e clcestruzzo, ll bse dei metodi di clcolo che verrnno illustrti in seguito. Se inftti si ttingesse deformzioni elevte nell cciio, l effetto di contrzione trsversle (o strizione, prodotto per vlori sensibili dell llungmento dl coefficiente di oisson) tenderebbe ridurre l re dell cciio, contrendolo, e quindi fvorendone lo sfilmento dl clcestruzzo circostnte. Il vlore mssimo nell ordint del digrmm è offerto dll tensione di progetto dell cciio, f yk f yd = γs dove γ s, coefficiente przile di sicurezz llo SLU, viene ssunto per l cciio pri Legmi costitutivi nelle verifiche gli Stti Limite di Esercizio In condizioni di esercizio si suppone, per entrmbi i mterili, un comportmento in cmpo elstico linere. A second dell verifiche che vengono effettute, il clcolo procede con l nlisi dello sviluppo del comportmento dll fse I ll fse II oppure, in lcuni csi, considerndo soltnto l fse II convenzionle. In entrmbi i csi, si ssume per il clcestruzzo un comportmento elstico linere con un vlore del modulo elstico crescente in funzione dell clsse del mterile, convenzionlmente pri = 5700 R ck (N / mm ) = R ck (kg / cm ) er l cciio il vlore del modulo elstico viene fissto in Es = N / mm = ( M) 06 G εs

7 Lezione n. 19 pg. XIX.7 In fse II (supert quindi l resistenz trzione del clcestruzzo) e in fse II convenzionle, il clcolo viene condotto introducendo il coefficiente di omogeneizzzione, indicto con l letter n (o m in lcuni testi). Coefficiente di omogeneizzzione (n) Nel cosiddetto metodo n (utilizzndo nche se si opersse con il metodo delle tensioni mmissibili) le verifiche di resistenz delle sezioni vengono eseguite con riferimento l solo clcestruzzo, riducendo le ree delle brre di cciio d ree di clcestruzzo equivlente ttrverso un opportuno coefficiente di omogeneizzzione, indicto con il simbolo n. Questo modo di procedere è giustificto dl ftto che, un volt trscurto il contributo del clcestruzzo teso, si ipotizz l perfett derenz tr le brre di cciio ed il clcestruzzo circostnte e l vlidità dell legge di conservzione delle sezioni pine come per le trvi di mterile omogeneo ed isotropo (ipotesi di Bernoulli-Nvier). Di conseguenz, vendo ipotizzto l vlidità dell legge di Hooke per entrmbi i mterili, vlgono le seguenti relzioni: σ σ ε = ε c c = E inoltre per l ipotesi di perfett derenz risult: ε c = ε quindi sostituendo in quest ultim relzione le due precedenti, si giunge ll seguente espressione σ σ = c E d cui E σ = σc = nσc dove si è posto E n = A prità di deformzione l tensione nell cciio risult n volte mggiore di quell nel clcestruzzo, dove il coefficiente n (spesso, in lcuni testi, indicto nche con m) è detto coefficiente di omogeneizzzione ed è dto dl rpporto tr il modulo di elsticità dell cciio e quello del clcestruzzo. Omogeneizzzione dell sezione Si consideri un elemento verticle prismtico in c.., di sezione A c, contenente un solo tondino di re A in posizione centrle.

8 Lezione n. 19 pg. XIX.8 Si pplichi ll elemento un crico ssile F diretto verso il bsso. Si indichi con ε l deformzione unitri in un sezione A-A sufficientemente lontn dll sezione di ppliczione del crico, in modo che in ess si soddisftt l ipotesi di conservzione delle sezioni pine. Quest deformzione è identic per il clcestruzzo e per l cciio per l ipotesi di perfett derenz dei due mterili. Ad ε corrispondono un forz F c nel clcestruzzo e un forz F nell cciio Fc = Ac ε = Ac σc F = A E ε = A σ = A n σc L somm delle due forze deve essere pri, per equilibrio, ll zione estern F pplict, per cui si ottiene F = Fc + F = Ac σc + A n σc = σc ( Ac + n A ) All luce di qunto detto, si può pertnto ffermre che: i fini dell resistenz compressione un re A di cciio è equivlente d un re di clcestruzzo n volte più grnde un sezione di c.. può essere considert come un sezione omogene in cls, di re equivlente idele A ci pri ll somm dell re di clcestruzzo compresso e dell re di cciio moltiplict per n: A ci = Ac + na Qunto vle n? Si vogli determinre il vlore del coefficiente di omogeneizzzione n. Si suppong di vere un clcestruzzo di clsse R ck 30; utilizzndo l formul fornit dll normtiv il suo modulo di elsticità istntne ll origine è pri : E = 5700 R = = 310 N / mm c ck il modulo di elsticità dell cciio è pri N/mm, pertnto n ssume il seguente vlore: n = = Se il crico pplicto sull elemento in c.. è di lung durt, d qunto esposto nei cpitoli precedenti, risult che esso induce deformzioni viscose, l cui entità è circ il doppio dell deformzione elstic inizile. ertnto nei confronti dei crichi di lung durt, il clcestruzzo si comport come se vesse un modulo di elsticità fittizio pri circ 1/3 di quello inizile. Sempre con riferimento un clcestruzzo con R ck = 30 N/mm il coefficiente di omogeneizzzione per crichi di lung durt è pri : n = = er n occorrerebbe dottre pertnto due vlori diversi second che si considerino crichi di breve o di lung durt. Inoltre i vlori di n cmbino in funzione dell clsse di resistenz del clcestruzzo, perché con ess cmbi il modulo di elsticità del clcestruzzo. A F Ac

9 Lezione n. 19 pg. XIX.9 oiché sulle strutture in c.. generlmente si h l presenz contemporne di crichi istntnei e di crichi permnenti, si preferisce in genere definire un unico vlore di n. Normlmente si utilizz un vlore di n pri 15, indipendentemente dll clsse di resistenz del cls, e rppresent un vlore intermedio tr quello per crichi istntnei e quello per crichi permnenti. L Normtiv, nel prgrfo reltivo ll verific llo stto limite delle tensioni in esercizio (pr del DM ), riport che in vi semplifictiv si può ssumere il comportmento elstico-linere (per il clcestruzzo) e per le rmture il coefficiente di omogeneizzzione con il vlore convenzionle n=15. Operndo secondo il metodo delle tensioni mmissibili, sempre l Normtiv vigente indic che si può ssumere come re dell sezione resistente quell corrispondente l conglomerto compresso ed lle ree metlliche tese e compresse ffette dl coefficiente convenzionle di omogeneizzzione n=15 (p.to del DM 14..9). L resistenz trzione del clcestruzzo Nel cso in cui l verific veng effettut considerndo nche l fse I nel comportmento dell sezione in c.., occorre definire un resistenz trzione per il clcestruzzo. L Normtiv individu due diversi vlori per tle grndezz: il primo (indicto con f ct ) è riferito ll resistenz trzione semplice, mentre il secondo f riferimento ll resistenz trzione per flessione ed è indicto con f cf, ossi tutte quelle condizioni in cui l trzione nel clcestruzzo è indott dll presenz di momenti flettenti. Convenzionlmente di individu il vlore medio (pedice m) di f ct nell quntità f ctm = R ck (N / mm ) = 0.7 R /3 ck (N / mm Mentre i vlori crtteristici corrispondenti i frttili 5% e 95% possono ssumersi rispettivmente pri 0.7 f tcm e 1.3 f ctm. Il vlore cui si f riferimento nelle verifiche è di solito quello corrispondente l frttile inferiore, ossi fctk = 0.7 f ctm L resistenz flessione è generlmente ssunt pri fcfm = 1. f ctm Nell seguente tbell sono riportti vlori delle resistenze trzione che si utilizzno nel clcolo in fse I nei clcestruzzi di uso più comune: R ck ) f ctm [N/mm ] Denominz. [N/mm ] [N/mm ] [N/mm ] f ck /f ctk 5 C0/ C5/ C30/ Come si può osservre, l resistenz trzione del clcestruzzo è pri medimente circ 1/13 dell resistenz compressione. f ctk f cfk