5 PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MATERIALI

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1 5 PROPRETÀ AGNETCE DE ATERAL A seguito della scopeta di Østed dell azione agnetica podotta da un filo conduttoe pecoso da coente l ipotesi più natuale che olti fisici avanzaono pe spiegae questo effetto fu che in tale cicostanza il filo conduttoe diventa un agnete. Nel 18 Apèe popose un intepetazione altenativa che al contaio ipotizzava che il agnete si dovesse itenee costituito da un insiee di coenti. n paticolae Apèe iaginò che ad esepio all inteno di un agnete cilindico si situasse un coplesso di coenti cicolai equivese disposte pependicolaente all asse del agnete. n tale odello un filo conduttoe fisso pecoso da coente situato paallelaente all asse del Andè aie Apèe agnete deteina una foza su questo facendolo deviae. Tale ipotesi è alla base dell intepetazione odena dei fenoeni agnetici. L attuale conoscenza della stuttua icoscopica della ateia ci pota a icondue in una descizione classica degli atoi le coenti apeiane ai oti degli elettoni negli atoi. n un tale odello pe l atoo di idogeno ad esepio l elettone uota attono al nucleo con velocità v costante lungo un pecoso cicolae. e è il aggio dell obita il tepo T necessaio a descivee tale obita è: T v e la coente associata a questo oto è: e ev T (5.1) dove e appesenta la caica dell elettone. Dal teoea di equivalenza di Apee se indica la supeficie dell obita il oento agnetico associato a questo oto ha odulo pai a: ev 1 ev. iccoe il odulo del oento angolae L dell elettone ispetto all asse di otazione vale v e dove e indica la assa dell elettone il oento agnetico si scive: e e L dove il segno eno segue dal fatto che la caica dell elettone è negativa. L v

2 5- Popietà agnetiche dei ateiali Una descizione copleta dei fenoeni atoici ichiede l ipiego della eccanica quantistica nondieno in tale abito è possibile povae che la elazione pecedente continua a estae valida sebbene il oento angolae possa assuee solo valoi popozionali ad una quantità pai a 34 h in cui h detta costante di Planck vale 6.61 J s cica; in paticolae isulta: e petanto: L l l1 l 1 e ll1 l 1. e l oento agnetico coispondente alla ivoluzione dell elettone attono al nucleo pende il noe di oento agnetico obitale. iccoe nella aggio pate delle sostanze il oento obitale di un elettone si copensa con quello di veso contaio di un alto elettone obitante nella diezione opposta l effetto agnetico podotto dal oto obitale degli elettoni è nullo o olto piccolo. Un ulteioe contibuto al oento agnetico dell atoo è costituito da una caatteistica dell elettone che pende il noe di spin e appesenta un oento angolae intinseco di questa paticella. l odulo dello spin è pai a ed a tale oento angolae è associato un oento agnetico detto oento agnetico di spin che in questo caso assue il valoe: e e. petanto: e. e Negli atoi o olecole gli elettoni sono accoppiati ta loo con gli spin in diezioni opposte con la conseguente copensazione dei elativi oenti agnetici; tuttavia gli atoi con un nueo dispai di elettoni o quelli in cui l accoppiaento con gli spin contapposti non è favoito enegeticaente possono avee uno o più elettoni spaiati e di conseguenza un oento agnetico non nullo. n geneale il oento agnetico di un atoo è la soa vettoiale calcolata secondo le egole della eccanica quantistica dei oenti agnetici obitali e di spin 1. 1 Anche i costituenti del nucleo atoico il potone ed il neutone possiedono un oento angolae di spin di odulo pai a e di conseguenza deteinano un oento agnetico. Pe il potone isulta: dove p e.79 p è la assa del potone; pe il neutone si ha: p e n 1.91 n

3 Popietà agnetiche dei ateiali agnetizzazione Consideiao un ateiale oogeneo in cui gli atoi o le olecole costituenti siano dotati di un oento agnetico eleentae; supponiao di ealizzae un cilindo acoscopico olto lungo ispetto alla sua sezione. upponiao infine che tutti questi oenti agnetici siano allineati paallelaente all asse del cilindo; in tale cicostanza si osseva che le coenti eleentai intene al cilindo tendono ad elidesi utuaente lasciando il solo contibuto delle coenti situate in coispondenza della supeficie. Petanto dal punto di vista acoscopico il cilindo agnetizzato equivale ad una distibuzione supeficiale di coente; tale coente pende il noe di coente di agnetizzazione. La coente di agnetizzazione può essee descitta in aniea quantitativa intoducendo il vettoe di agnetizzazione in aniea analoga a quanto già fatto col vettoe di polaizzazione pe i ateiali dielettici; sia il oento agnetico edio nella diezione dell asse del cilindo agnetizzato e n il nueo di olecole pe unità di volue alloa una isua del gado di allineaento dei dipoli agnetici olecolai del cilindo è dato dal vettoe: n. Consideiao un tatto di lunghezza l del cilindo testé intodotto; pe effetto della sua agnetizzazione unifoe il vettoe saà diveso da zeo all inteno e nullo all esteno. e è la sezione del cilindo il oento agnetico totale saà l. D alta pate pe il teoea di equivalenza se J indica il vettoe densità lineae di coente di agnetizzazione (espessa in A ) il oento agnetico associato a tale coente ha odulo J l. iccoe queste sono due diffeenti appesentazioni dello stesso fenoeno fisico le due coispondenti quantità devono essee uguali ovveo: J l J ; (5.) vettoialente se ˆn è il vesoe noale all asse del cilindo oientato veso l esteno alloa: J nˆ. (5.3) ˆn J L identità ta il odulo del vettoe agnetizzazione e la densità di coente lineae di agnetizzazione copota che dal punto di vista diensionale il vettoe si espia in A. ebbene icavata pe una paticolae configuazione geoetica si pova dove è la assa del neutone. Poiché la assa del potone e quella del neutone sono cica volte più gandi di n quella dell elettone il odulo del oento agnetico associato allo spin dei coponenti del nucleo atoico isulta di te odini di gandezza cica infeioe ispetto a quello dell elettone e petanto il loo contibuto viene solitaente tascuato nel coputo del oento agnetico coplessivo dell atoo.

4 5-4 Popietà agnetiche dei ateiali che la elazione (5.) è di caattee geneale; isulta infatti che in ogni punto della supeficie la densità lineae di coente di agnetizzazione è uguale alla coponente del vettoe agnetizzazione paallela ad un piano tangente alla supeficie nel punto consideato. Dalla (5.3) segue infine che la diezione di questo vettoe è sepe pependicolae alla diezione di. i ossevi che siccoe J appesenta la densità lineae di coente e in quanto tale si isua in A pe icavae la coispondente intensità della coente di agnetizzazione occoe calcolae: J dl nˆ (5.4) dove l integazione è estesa alla lunghezza della supeficie sulla quale è distibuito il vettoe J. Nel caso del cilindo descitto pecedenteente se il vettoe dl è tangente alla sua supeficie lateale e paallelo all asse la lunghezza attavesata dalla coente di densità J è l quindi se J è unifoe lungo l si ha: ˆn J dl J l. Ciò in analogia alla densità di coente intodotta nella elazione (3.) detta densità voluetica di coente J V che se distibuita unifoeente su una sezione deteina una coente di intensità pai al podotto JV. R ˆn d Esepio: Consideiao un disco foato con un ateiale oogeneo agnetizzato di aggio R e spessoe d. upponendo che il vettoe di agnetizzazione sia dietto paallelaente all asse del disco stabiliao il vettoe capo agnetico al cento del disco. l disco unifoeente agnetizzato coisponde ad un dipolo agnetico pai a: V dove V è il volue del disco pai a d dove è la supeficie delle basi. Dal teoea di equivalenza di Apee segue che tale configuazione è equivalente ad una spia pecosa da una coente che genea nel suo cento lo stesso capo agnetico. Pe deteinae questa coente è possibile pocedee in due aniee. dentifichiao con il oento di dipolo della spia equivalente espiendolo coe: nˆ dove ˆn è il vesoe noale passante pe l asse del disco; uguagliando questa espessione con la elazione pecedente si tova: da cui segue: V nˆ V d d. Altenativaente dalla elazione (5.3) è possibile dedue la densità lineae di coente di agnetizzazione J vettoe è diveso da zeo solo in coispondenza del bodo del disco ed ha intensità: ˆn ˆn J ; tale

5 Popietà agnetiche dei ateiali 5-5 J ; infine dalla (5.4) integando lungo lo spessoe del bodo segue: J dl nˆ J dl J d d. dl ˆn J Nota è possibile icavae attaveso l espessione del capo agnetico al cento di una spia cicolae pecosa da coente: d ˆ ˆ. R R n n 5. l vettoe Consideiao un solenoide ideale di lunghezza indefinita; se le spie di tale solenoide sono pecose da una coente di intensità l inteno saà sede di un capo agnetico di intensità popozionale ad. Pe un solenoide ideale (o pe uno eale a gande distanza dai suoi estei) il capo agnetico all inteno ha intensità: n (5.5) dove n appesenta il nueo di spie pe unità di lunghezza. n un tatto di lunghezza L del solenoide costituito da N spie n vale N L così il podotto n è pai a N L ; siccoe la quantità N può essee iguadata coe la coente totale che scoe nel tatto L di supeficie del solenoide il appoto N L pai a n appesenta il odulo della densità J con cui è distibuita supeficialente la coente sul solenoide: J n. Alla luce di tale definizione la elazione (5.5) può essee scitta coe: J. upponiao di intodue all inteno del solenoide un cilindo di sezione pai a quella del solenoide e costituito da un ateiale agnetizzato nella diezione del suo asse col vettoe agnetizzazione oientato coe. Pe il pincipio di sovapposizione il capo agnetico totale nel cilindo contenuto all inteno del solenoide saà pai alla soa del capo podotto dal solenoide e del capo podotto dalla coente di agnetizzazione del cilindo: J J J avendo sostituito J con dalla (5.). ntoduciao un capo così definito:

6 5-6 Popietà agnetiche dei ateiali J n facendo uso di questo capo è possibile espiee il capo agnetico totale all inteno del cilindo coe:. ebbene icavata in un accezione unidiensionale e pe una paticolae configuazione di coente si pova che tale espessione ha validità di caattee geneale e isulta:. (5.6) Questa elazione fa i te vettoi e pesenta una foale analogia con la elazione D EP che lega ta loo i vettoi D E e P tuttavia ente è concettualente evidente la siilitudine fenoenologica ta i vettoi e P non è altettanto anifesta l analogia ta i vettoi e E. Dalla definizione del vettoe segue che diensionalente tale gandezza si espie in A. Nel caso dei ateiali dielettici la elazione di popozionalità ta il capo elettico applicato e la polaizzazione che ne consegue è stata appesentata attaveso la (.1) con l intoduzione di una quantità detta suscettività dielettica. Analogaente la suscettività agnetica dovebbe essee definita coe il appoto ta l intensità del vettoe di agnetizzazione ed il odulo del capo agnetico vista l affinità dei uoli ivestiti da questi due vettoi. Tuttavia pe agioni di caattee stoico questa quantità si definisce attaveso la elazione seguente: così dalla (5.6) il capo agnetico pe una sostanza agnetizzata può essee scitto coe: ; 1 la quantità 1 pende il noe di peeabilità agnetica elativa del ezzo consideato e si indica: 1 ; petanto sostituendo si ha: (5.7) dove pende il noe di peeabilità agnetica (assoluta) del ezzo. Occoe infine fae pesente che tale tattazione non può essee applicata alle sostanze feoagnetiche.

7 Popietà agnetiche dei ateiali Popietà del vettoe Consideiao un tatto di un solenoide ideale avvolto stettaente intono ad un cilindo agnetizzato; supponiao che l avvolgiento sia pecoso da una coente ' e che la supeficie del cilindo isulti sede di una coente di agnetizzazione di intensità. iccoe il solenoide è ideale all esteno il capo agnetico isulteà nullo inolte poiché il ateiale agnetizzato è inteno al solenoide all esteno saà nullo anche il vettoe ; di conseguenza pe la (5.6) all esteno anche il capo saà nullo. All inteno del solenoide sia che sono dietti coassialente al solenoide così anche saà paallelo all asse del solenoide. tabiliao la cicuitazione del vettoe lungo il pecoso di figua. olo il contibuto lungo il tatto CD saà diveso da zeo essendo nullo lungo il pecoso EF ed otogonale alla diezione di cicolazione dl nei tatti DE e FC; petanto: D dl dl L nl' C ' C C F L D E ' essendo il odulo di pai a n'. D alta pate il podotto nl appesenta il nueo coplessivo di spie acchiuse all inteno del cicuito ; così indicando con la coente totale che pecoe il solenoide nel tatto contenuto all inteno del cicuito consideato: nl' si ha: dl. (5.8) La coente soa delle nl coenti ' che attavesano il solenoide è da distinguee dalla coente totale che attavesa la supeficie del sistea (solenoide più cilindo) consideato che è copensiva anche della coente di agnetizzazione. La elazione icavata in questo paticolae contesto può essee povata in condizioni più geneali e ivela l ipotanza dal punto di vista patico del capo nel senso che solo tale capo dipendendo dalla sola coente acoscopica può essee in geneale oggetto di contollo speientale. nfatti confontando la (5.8) con l analoga elazione pe : dl si osseva che al secondo ebo copae la coente totale che attavesa la supeficie del sistea; in pesenza di fenoeni di agnetizzazione tale coente non può essee oggetto di

8 5-8 Popietà agnetiche dei ateiali contollo. Analogaente pe il vettoe D isulta D ds q dove q è la caica libea contenuta all inteno della supeficie chiusa ente pe il vettoe E isulta E ds qqp dove q q P appesenta la soa della caica libea e di polaizzazione contenuta nel volue consideato. L analogia ta i vettoi D e è solo foale poiché ente nel caso dei dielettici isulta quasi sepe ipossibile scindee la caiche totali in caiche libee e caiche di polaizzazione e quindi D iveste un uolo concettualente ipotante a tascuabile nella patica nel caso dei pocessi di agnetizzazione è genealente seplice scindee le coenti totali in coenti libee e coenti di agnetizzazione così il uolo del capo è decisaente più ipotante di quanto non lo sia quello del capo D nel caso elettico. Nell espessione della cicuitazione di lungo una cuva chiusa è possibile dedue la coente coe flusso del vettoe J attaveso una supeficie che ha coe contono : dl Jds ; applicando il teoea del otoe all integale al pio ebo si ha: ds dl J ds e dovendo valee tale identità pe ogni supeficie segue: J. (5.9) Analogaente siccoe: dl J J ds seguendo la stessa pocedua si ottiene: J J. D alta pate applicando l opeatoe otoe ad abo i ebi dell espessione (5.6) si ha: (5.1) da cui segue: J. (5.11) i ossevi che J è una densità di coente definita in un volue e isuata in A ente J è una densità lineae di coente definita su una supeficie e isuata in A. La densità di coente J è nulla ad esepio in assenza di coenti libee J infatti in tale cicostanza dalla

9 Popietà agnetiche dei ateiali 5-9 (5.9) segue che è nullo e quindi dalla (5.7) che è nullo così dalla (5.1) si ha che è nullo anche ed infine dalla (5.11) segue che è nullo il vettoe J. Le elazioni: J ˆ n J stabiliscono nel caso più geneale le elazioni ta il vettoe agnetizzazione intodotto pe caatteizzae il oento agnetico acquisito dal ezzo e le coenti di agnetizzazione che costituiscono l aspetto acoscopico delle coenti atoiche oiginate nel ezzo dalla pesenza di un capo agnetico esteno. Gli effetti agnetici del ateiale agnetizzato possono quindi essee dedotti da una distibuzione supeficiale di coente con densità lineae J e da una distibuzione voluetica di coente con densità J. La situazione pecedenteente descitta isulta foalente analoga a quella di un dielettico polaizzato in cui l effetto del ezzo si calcola a patie da una distibuzione supeficiale di caica di polaizzazione P e da una distibuzione di volue di densità P legate al vettoe polaizzazione P dalle elazioni: ˆ P Pn P. P Esepio: Consideiao un filo conduttoe indefinito di aggio tascuabile pecoso da una coente stazionaia posto sull asse di un tubo cilindico di ateiale agnetizzabile di aggi R 1 e R. tabiliao l andaento dei vettoi ed in tutto lo spazio. La sietia del poblea suggeisce che i capi dipendano dalla sola distanza dall asse. Consideiao una ciconfeenza di aggio R concentica all asse del 1 tubo e disposta pependicolaente a tale asse. Applicando la elazione (5.8) a tale ciconfeenza si ha: dl R R 1 cioè: 1. (5.1) Pe R si è nel vuoto petanto è possibile icavae il capo agnetico dalla elazione (5.7) pe 1 1 così:. (5.13) Pe R1 R siccoe la cicuitazione del vettoe dipende dalle sole coenti di conduzione continua a valee l espessione (5.1) e analogaente pe R. Dalla (5.7) segue che nel passaggio dalla egione intena al tubo dove R 1 a quella in cui R1 R il capo agnetico subisce una discontinuità cioè:

10 5-1 Popietà agnetiche dei ateiali (5.14) e infine pe R continua a valee la (5.13). l vettoe agnetizzazione saà diveso da zeo solo pe R 1 R ; dalla elazione (5.6) utilizzando la (5.1) e la (5.14) il suo odulo vale: O R 1 R Petanto il vettoe vale: 1 ; il capo agnetico vale: R1 R; R1 R O R 1 R e il vettoe agnetizzazione vale: R1 1 R1 R R. O R 1 R Vettoialente ed sono tangenti alle ciconfeenze concentiche al filo col veso dipendente da quello della coente secondo la egola della ano desta; le densità lineai di coente di agnetizzazione sulla supeficie intena J ed estena 1 J del tubo sono date dalla elazione (5.3) e petanto hanno i vesi indicati in figua e i oduli: J ˆn J J 1 R1 1. R ˆn J 1 d dl Pe stabilie le intensità delle coenti di agnetizzazione dividiao la coente che pecoe le supefici del tubo in tante stisce paallele all asse e di spessoe infinitesio dl ciascuna equipaabile ad un filo ettilineo pecoso dalla coente d pai a J dl alloa: R R 1 J dl J R R 1 R 1 R J R J dl. R

11 Popietà agnetiche dei ateiali 5-11 Cioè alle divese densità di coente J e 1 J coispondono eguali coenti che scoono paallelaente a in 1 senso concode e in senso discode. Esepio: (Capo agnetico di una bobina avvolta su un suppoto agnetizzabile) Consideiao un solenoide indefinito pecoso da una coente e avvolto attono ad un cilindo agnetizzabile coe nel pecedente paagafo. Pe quanto visto la cicuitazione del vettoe lungo il pecoso di figua vale: dl L nl cioè: n. C L Applicando la elazione (5.7) segue: n. 5.4 ogenti del capo La caatteistica del capo elettostatico di pesentae dei poli nel senso che le sue linee di foza sono apete oiginando dalle caiche o teinando su queste viene appesentata ateaticaente dalla legge di Gauss che puntualente si espie coe E. L assenza di poli agnetici è sintetizzata dalla elazione. D alta pate applicando l opeatoe divegenza ad abo i ebi dell equazione (5.6) siccoe la divegenza del vettoe è nulla si ha:. Consideiao un agnete peanente ossia tale da non ichiedee delle coenti libee pe sostenee la agnetizzazione; upponiao che il agnete abbia foa cilindica e sia unifoeente agnetizzato lungo il suo asse al quale associao un ascissa x; così il vettoe saà dietto lungo x e si avà: d. dx ntoducendo quindi una densità di poli agnetici definita coe: isulteà: d dx - d dx x x

12 5-1 Popietà agnetiche dei ateiali. Dall analisi dell andaento di con x si evince che il capo aette dei poli situati in coispondenza delle esteità del cilindo consideato e in geneale dove isulta non nulla la divegenza di. Quindi in assenza di coenti libee J e il vettoe soddisfa le elazioni: ; ciò ette in luce l analogia con il copotaento del capo elettostatico che soddisfa le elazioni polo E E. polo N Cioè entabi i capi sono consevativi e sono geneati da poli che possono essee positivi (da essi si dipatono le linee di flusso) o negativi (in essi convegono tali linee). Questo concilia inolte l uso del teine polo agnetico con il fatto che il capo è a divegenza nulla: i poli agnetici a cui ci si ifeisce alludendo alle esteità di un agnete peanente sono in effetti sogenti del capo e non del capo. L analogia ta i due sistei di equazioni consente di icavae la configuazione di linee di foza di. Con ifeiento alla figua siccoe pesenta una discontinuità in coispondenza delle intefacce appesentate dalle esteità del cilindo agnetizzato queste costituianno un polo negativo detto polo sud (a sinista) e un polo positivo detto polo nod (a desta). Queste linee di flusso isultano siili a quelle del capo elettico E geneate da due distibuzioni di caica di segno opposto sepaate da una ceta distanza cioè a quelle di un dipolo elettico. l capo podotto dalla agnetizzazione del ateiale punta nel veso opposto a quello del vettoe all inteno del ateiale e pe questo otivo il capo inteno al agnete è detto capo deagnetizzante. All esteno del ateiale è nullo ed i capi e sono legati ta loo da una elazione di popozionalità attaveso il coefficiente petanto le linee di flusso di questi due capi all esteno del ateiale sono identiche. Così le diffeenze ta e si anifestano al solo inteno del ateiale dove è popozionale sepe attaveso il coefficiente alla soa. N Linee di foza geneate da un agnete (adattato da Patical Physics 1914)

13 Popietà agnetiche dei ateiali Classificazione dei ateiali agnetici Dispositivo adopeato da Faaday pe lo studio del diaagnetiso (Royal nstitution London) Nel 1845 Faaday ossevò che un pezzo di veto posto in possiità di una gossa elettocalaita veniva debolente espinto da questa; analoghi effetti epulsivi eano stati notati in pecedenza a tali ossevazioni eano estate isolate. Faaday tovò olteplici sostanze che godevano di questa caatteistica e le chiaò diaagnetiche. Le sostanze che invece isultano attatte dai poli agnetici fuono denoinate paaagnetiche. Alla fine di un lungo studio speientale Faaday concluse che non esistono copi neuti nei confonti del fenoeno agnetico a tutti i copi sono o paaagnetici o diaagnetici. Le sostanze agnetiche possono essee distinte attaveso i valoi della coispondente suscettività agnetica (o della peeabilità agnetica elativa pai a 1 ) elativaente al valoe nullo che assue nel vuoto. Vale la seguente classificazione: ostanze diaagnetiche ( ostanze paaagnetiche ( ostanze feoagnetiche ( iccoe pe le sostanze diaagnetiche e paaagnetiche è olto piccolo il podotto pe tali sostanze è paticaente uguale a. nolte coe già anticipato la elazione di seplice popozionalità ta i vettoi e indicata nella (5.7) non ha valoe pe i ateiali feoagnetici; pe tali sostanze infatti il valoe di dipende sia dallo stato pecedente che dal tattaento subito dalla sostanza ostanze diaagnetiche 5 1 ) 1 l diaagnetiso può essee consideato un fenoeno di tipo geneale nel senso che è coune a tutte le sostanze; i ateiali paaagnetici e feoagnetici sono tali pe la pesenza di alti effetti più significativi che si sovappongono al diaagnetiso pue pesente. Nel caso dei ateiali popiaente diaagnetici l assenza di un oento di dipolo peanente da pate degli atoi costituenti esalta questo effetto. L applicazione di un capo agnetico esteno ad una sostanza diaagnetica deteina l induzione nel ateiale di un debole oento agnetico di veso opposto a quello del capo tale oento si annulla alla iozione del capo esteno. Esepio: L atoo del neon ha 1 elettoni disposti secondo la configuazione 1s s p ; poiché tutte le coppie di elettoni pe livello sono appaiate con oenti agnetici di spin contapposti 1s s p l atoo di questo eleento non pesenta un oento di dipolo agnetico peanente coe ostato dal diagaa obitale di figua. ono diaagnetici olti eleenti ta cui il ae l agento il ecuio l oo il bisuto e il cabonio negli stati di diaante o della gafite. l bisuto e il diaante sono 5 i ateiali col diaagnetiso più intenso (ispettivaente con pai a e.1 1 ). ateiali supeconduttoi affeddati al di sotto della tepeatua citica in pesenza di un capo agnetico esteno annullano il capo agnetico all inteno diventando dei ateiali diaagnetici pefetti con 1 o (effetto eissne). Questo fenoeno scopeto nel 1933 da Walthe eissne e Robet Ochsenfeld è dovuto alla geneazione di coenti elettiche supeficiali in questi ateiali al di sotto della tepeatua citica tali da endee nullo il capo agnetico totale all inteno del ateiale. 5 1 ) ) 1

14 5-14 Popietà agnetiche dei ateiali La teoia pe la descizione del diaagnetiso fu poposta nel 195 da Paul Langevin. L azione di un capo agnetico sugli elettoni obitanti attono al nucleo atoico deteina un oto di pecessione antioaio del vettoe oento angolae degli elettoni attono alla diezione del capo agnetico (pecessione di Lao). Coe il oto obitale degli elettoni poduce la coente (5.1) al oto di pecessione coisponde una coente che cicola in senso antioaio attono alla diezione del capo agnetico e che dal teoea di equivalenza di Apee genea di conseguenza un oento agnetico dietto in veso opposto ispetto al capo ostanze paaagnetiche Nel odello di Langevin il paaagnetiso è una popietà dovuta alla pesenza di atoi dotati di un oento di dipolo agnetico peanente di oigine obitale o di spin. n assenza di un capo agnetico esteno i dipoli sono allineati casualente deteinando una agnetizzazione netta nulla. L oigine della agnetizzazione nel ateiale è una copetizione ta l effetto odinante del capo agnetico esteno e l effetto disodinante dell agitazione teica; si tova infatti che se i oenti di dipolo agnetico non inteagiscono ta loo la suscettività del ateiale segue la legge di Cuie: C T Paul Langevin in cui è la densità del ateiale T la tepeatua assoluta e C un fattoe di popozionalità detto costante di Cuie. Tale legge appesenta un caso paticolae della legge di Weiss-Cuie che estende il odello anche al caso in cui i dipoli agnetici inteagiscono ta loo: C. T T C n tale espessione T C può essee positiva negativa o nulla; un valoe positivo di T C indica la tepeatua di tansizione (tepeatua di Cuie) al di sotto della quale il ateiale pesenta popietà feoagnetiche un valoe negativo di T C caatteizza i ateiali che sono antifeoagnetici al di sotto di una ceta tepeatua di citica. Esepio: L atoo di alluinio ha 13 elettoni disposti secondo la configuazione 6 1 1s s p 3s 3p ; lo spin dell elettone spaiato sul livello 3p deteina un oento agnetico coplessivo non nullo. l piccolo valoe della suscettività agnetica pe 1s s p 3s 3p questa classe di ateiali elativaente a quella dei ateiali feoagnetici li pota ad essee consideati genealente coe ateiali non agnetici. Esepi di ateiali paaagnetici olte all alluinio sono il tungsteno il cesio il litio e il sodio ostanze feoagnetiche ente nei ateiali paaagnetici la agnetizzazione dipende dalla pesenza di un capo agnetico esteno pe cui all annullasi del capo tale agnetizzazione viene eno nei ateiali feoagnetici è possibile ossevae una agnetizzazione anche in assenza di un capo agnetico esteno (agnetizzazione spontanea). n tali ateiali a dispetto dell agitazione teica è pesente

15 Popietà agnetiche dei ateiali 5-15 un agente odinante dovuto alla fote inteazione fa dipoli eleentai vicini che deteina l oientazione dei coispondenti oenti tutti nella edesia diezione. ebbene a basse tepeatue la agnetizzazione spontanea isulti sostanzialente indipendente dalla tepeatua all auentae della tepeatua la agnetizzazione diinuisce pe effetto dell azione disodinante dell agitazione teica sui dipoli agnetici eleentai. l fenoeno secondo cui una calaita pede le popietà agnetiche sopa una ceta tepeatua fu ipotato da Gilbet nel De agnete e studiato successivaente da olti fisici copeso Faaday fino a Piee Cuie che nel 1895 ne foulò la descizione. La agnetizzazione spontanea si Piee Cuie annulla in coispondenza della tepeatua di Cuie T C ciò copota che pe ottenee una agnetizzazione nel ateiale consideato pe tepeatue supeioi a T C occoe applicae un capo agnetico esteno. Una teoia dei ateiali feoagnetici fu poposta nel 196 dal fisico fancese Piee Weiss. E possibile veificae speientalente che la diezione del vettoe agnetizzazione in un ateiale feoagnetico non è abitaia a dipende dalla diezione degli assi cistallogafici. Consideiao idealente un paallelepipedo di ateiale feoagnetico tagliato in aniea tale che un asse isulti coincidente con una diezione pefeenziale di agnetizzazione. A causa della agnetizzazione spontanea la egione di spazio situata in possiità del solido saà sede di un capo agnetico. E possibile povae che dal punto di vista enegetico tale configuazione non è la più favoevole. L enegia associata al capo agnetico in tutto lo spazio è data dall integale : Piee Weiss U 1 dv V dove il vettoe è legato al capo agnetico dalla elazione (5.7) che pe seplicità assuiao valida anche pe questi ateiali con 1 ; nell espessione pecedente V indica il volue ento cui il podotto è diveso da zeo. Nel caso in questione tale integale può essee diviso in due teini uno calcolato nel volue del ateiale e l alto nello spazio estante: 1 1 U dv dv esteno ateiale dove essendo 1 il secondo addendo è tascuabile ispetto al pio così: N U 1 esteno dv Questa elazione veà icavata nel pa. 6.6

16 5-16 Popietà agnetiche dei ateiali Questa enegia saà tanto aggioe quanto più è esteso il volue ento il quale il capo agnetico assue valoi significativaente divesi da zeo. Configuando la agnetizzazione in due egioni sepaate dette doini è possibile idue il valoe dell enegia poiché in questa aniea diinuisce il volue ento cui è significativo il capo agnetico in quanto le linee di foza si chiudeanno stettaente dal polo nod di un doinio a quello sud dell alto. iccoe a tale configuazione copete un enegia agnetica infeioe a quella della configuazione pecedente ne segue che tale configuazione isulta favoita. E possibile natualente estendee questo pocediento a aggioi faentazioni dei doini pe conseguie stati enegeticaente sepe più favoevoli. Questo copotaento suggeisce che un ateiale feoagnetico ha la tendenza pe otivi enegetici ad oganizzasi in egioni in ciascuna delle quali la agnetizzazione è oogenea a diffeente da quella pesente nelle egioni cicostanti. i pova inolte che tale divisione non pocede sino al copleto disallineaento di tutti i dipoli eleentai che costituiscono il ateiale poiché all auentae del nueo di doini auentano alte foe di enegia intena sino a endee sfavoevole l ulteioe faentazione dei doini; si aggiunge così una condizione di equilibio coispondente ad un nueo di doini agnetici infeioe al nueo di dipoli eleentai. n assenza di un capo agnetico esteno il ateiale non anifesta in geneale popietà agnetiche peché sebbene in un doinio sia pesente una ceta agnetizzazione spontanea l effetto è globalente annullato dalle agnetizzazioni divese dei doini contigui. L effetto di un capo agnetico esteno coisponde quindi all alteazione della stuttua a doini in isua tale da deteinae l oientazione dei vettoi agnetizzazione locale nella diezione del capo esteno. Cioè a seguito dell applicazione del capo esteno auenteà il nueo di egioni in cui la agnetizzazione è oientata nella diezione del capo a scapito di quelle in cui è oientata divesaente. n patica tale effetto saà deteinato o da uno spostaento delle paeti (paeti di loch) che deliitano i doini di agnetizzazione concode al capo veso i doini di diffeente agnetizzazione oppue da una specifica oientazione dei dipoli eleentai costituenti i doini nella diezione del capo esteno. L esistenza dei doini agnetici fu confeata speientalente nel 1931 da Fancis itte attaveso ossevazioni al icoscopio. Doini agnetici in un fil di nickel spesso 8 n. La diezione del vettoe agnetizzazione è oientata pependicolaente al piano del foglio il veso è entante nelle egioni più scue e uscente in quelle più chiae. (R. offann et al. Univ. di asel vizzea) Nel 193 Louis-Eugène Néel ostò che in alcune sostanze pe tepeatue infeioi ad una ceta tepeatua citica (tepeatua di Néel) età dei oenti agnetici è oientata in una ceta diezione e l alta età è allineata nella diezione opposta pe cui la agnetizzazione isultante è nulla. Tali sostanze sono dette antifeoagnetiche. N N N N N 5.6 steesi agnetica Consideiao un ateiale feoagnetico a tepeatue infeioi a quella di Cuie e supponiao che gli effetti dei doini agnetici siano utuaente copensati in odo che la agnetizzazione netta del ateiale sia nulla. All applicazione di un capo col cescee del odulo di questo l intensità del vettoe agnetizzazione nel ateiale auenteà sino a aggiungee un valoe di satuazione s

17 Popietà agnetiche dei ateiali 5-17 coispondente alla situazione in cui tutti i doini sono oientati nella diezione del capo esteno. Al idusi del odulo di l intensità della agnetizzazione non diinuià passando attaveso i valoi assunti pecedenteente a a causa della non lineaità del fenoeno della agnetizzazione seguià un alto andaento. Quando il capo esteno si annulla la agnetizzazione antiene un valoe non nullo detto agnetizzazione esidua. Pe annullae questa agnetizzazione si ende necessaio quindi invetie il veso del capo applicato sino a aggiungee un valoe detto capo coecitivo. c Auentando ulteioente l intensità del capo sepe in tale diezione si aggiunge una nuova condizione di satuazione coispondente in questo caso allo stato in cui tutti i doini sono oientati nella nuova diezione del capo. Diinuendo l intensità del capo sino ad annullala la agnetizzazione antiene un valoe non nullo. Pe annullae tale agnetizzazione occoe nuovaente invetie la diezione del capo e potalo ad un valoe pai a c. nfine auentando ulteioente il capo si iottiene la condizione di satuazione coispondente alla agnetizzazione s. Da questo punto in poi iducendo il capo e poi auentandolo nuovaente si ipecoe la stessa cuva che pende il noe di cuva di isteesi. Attaveso la conoscenza dei valoi delle intensità della agnetizzazione esidua e del capo coecitivo c è possibile classificae i ateiali dal punto di vista della isposta all applicazione di un capo agnetico esteno. Un ateiale feoagnetico con un basso valoe di c e con possio al valoe di satuazione s è - c c - c c - caatteizzato dal ichiedee capi appena supeioi a c pe aggiungee la satuazione. iccoe la suscettività agnetica del ateiale è definita coe il appoto in possiità dei tatti del ciclo in cui la pendenza è elevata isulta alta di conseguenza anche la suscettività e quindi è gande anche la peeabilità del ateiale. ateiali di questo tipo sono detti dolci nel senso che sono in gado di vaiae apidaente il loo stato agnetico in coispondenza di piccole vaiazioni del capo applicato. Un ateiale feoagnetico in cui c è elevato sebbene sia possio a s è detto duo peché pesenta un estea difficoltà ad essee agnetizzato nel senso che se pe effetto di un capo esteno viene potato alla condizione di satuazione occoe fonie un capo intenso pe deteinane la sagnetizzazione. Ad esepio in un sistea di eoizzazione su suppoto agnetico è pesente una testina agnetica ealizzata in feo dolce pe essee in gado di seguie apidaente le vaiazioni della coente applicata alla bobina eccitatice ed un suppoto pe l iagazzinaento dei dati in feo duo in aniea da ipedie la pedita di infoazioni pe sagnetizzazione. s - c c - s

18 5-18 Popietà agnetiche dei ateiali 5.7 Condizioni di accodo all intefaccia ta due ateiali agnetici Le condizioni di accodo pe i capi e nel passaggio da un ezzo ateiale ad un alto possono essee dedotte in aniea analoga a quanto fatto pe i vettoi D e E nel caso dei ateiali dielettici. n paticolae consideando un cilindo infinitesio che inteseca l intefaccia consideata siccoe il flusso del vettoe attaveso una qualsiasi supeficie chiusa è nullo si ottiene: ; (5.15) n1 n inolte dalla (5.7) segue:. 1 n1 n Consideando un pecoso infinitesio chiuso situato a cavallo dell intefaccia consideata e che non concatena alcuna coente acoscopica poiché in tal caso dalla (5.8) segue che la cicuitazione del vettoe è nulla si ottiene: t1 t e dalla (5.7):. (5.16) t1 t 1 Petanto le elazioni di accodo all intefaccia ta due ezzi ateiali divesi sono pe il capo agnetico: n1 n t1 t 1 e pe il vettoe : t1 t 1 n1 n. Esepio: Dalle condizioni di accodo si evince che le linee di foza del capo agnetico tendono ad addensasi all inteno di un ateiale feoagnetico. ia la supeficie di sepaazione ta due ezzi ateiale di peeabilità agnetica elativa ispettivaente e 1. Con ifeiento alla figua isulta: t1 tan 1 n 1 t n tan t1 J 1 n1 1 1 n X J t

19 Popietà agnetiche dei ateiali 5-19 pe cui dividendo ebo a ebo dalla (5.15) e dalla (5.16) si ottiene: tan1 t1 n t1 1 tan n1 t t espessione nota coe legge della ifazione delle linee di foza del capo agnetico nel passaggio da un ezzo ateiale ad un alto. e 1 coe accade all intefaccia ta il vuoto in cui 1 vale 1 e un ateiale 4 feoagnetico in cui è dell odine di 1 1 isulta 1 cioè il vettoe è paticaente paallelo alla supeficie. Questa popietà è alla base del funzionaento degli schei agnetici. Consideiao un tubo di ateiale feoagnetico situato in una egione in cui è pesente un capo agnetico; pe quanto visto le linee di foza tendono ad addensasi nel ateiale dove il capo assue un valoe elevato ente sono quasi assenti all inteno. L azione dello scheo è ipefetta poiché se il capo agnetico incide pependicolaente alla supeficie del tubo e 1 vale alloa dalla elazione pecedente si ha che anche vale e petanto le coispondenti linee di foza del capo agnetico penetano all inteno. Tale dispositivo viene couneente adopeato in tutte le cicostanza in cui si ende necessaio annullae il capo agnetico all inteno di una egione. 5.8 Cicuiti agnetici L esepio pecedente osta coe adopeando un ateiale feoagnetico è possibile confinae in aniea soddisfacente le linee di foza del capo agnetico in una istetta egione dello spazio. Tale popietà dei ateiali feoagnetici costituisce la base pe la costuzione dei cicuiti agnetici. Consideiao N spie di filo conduttoe unifoeente avvolte su un suppoto feoagnetico tooidale di sezione e pecose da una coente ; tascuando le linee di foza di che escono dal suppoto 3 il flusso del capo agnetico assue lo stesso valoe in coispondenza di ciascuna sezione del suppoto. upponendo inolte che il vettoe sia unifoe su tutti i punti della sezione e dietto pependicolaente ad essa assuendo valida pe questo ateiale la elazione (5.7) isulta:. (5.17) nolte dalla (5.8) valutando la cicuitazione del vettoe lungo la linea ediana del suppoto (di lunghezza l) si ha: dl l N. (5.18) Confontando le elazioni (5.17) e (5.18) segue: John opkinson N 1 l ; (5.19) 3 Tali linee di foza costituiscono il flusso dispeso del capo agnetico.

20 5- Popietà agnetiche dei ateiali questa espessione foulata da John opkinson nella seconda età del diciannovesio secolo ette in luce una elazione di popozionalità ta la coente coplessiva N che attavesa le spie del solenoide ed il flusso del capo agnetico. Tale elazione isulta foalente analoga alla legge di Oh applicata ad un cicuito elettico chiuso in cui un geneatoe di foza elettootice deteina il flusso di una coente attaveso una esistenza. ndicando con: 1 l e definendo inolte: N la legge di opkinson (5.19) si espie coe:. (5.) Le quantità ed ispettivaente analoghe alla foza elettootice ed alla esistenza pendono i noi di foza agnetootice e iluttanza. La foza agnetootice si isua in apespie ( Asp ) e poiché il flusso del capo agnetico si espie in Wb la iluttanza si isua in Asp Wb. Esepio: Consideiao il dispositivo di figua in cui i vai tonchi del cicuito agnetico posti a contatto ta loo coe ostato sono caatteizzati da divesi valoi della sezione e della peeabilità agnetica elativa; assuendo che sia tascuabile il flusso dispeso il flusso del capo agnetico attaveso le sezioni di ciascun tonco vale: N ; inolte calcolando la cicuitazione del vettoe ediana del cicuito si ha: lungo la linea 1 N 1 N 4 N 3 3 l l l l N N N N dove l 1 l l e 3 l appesentano le lunghezze di ogni tonco del 4 cicuito e N 1 1 N N e 3 3 N le foze agnetootici associate 4 4 a ciascuna bobina. ndicando con: 4 N 1 1N N 3 3N 4 4 la foza agnetootice totale agente sul cicuito agnetico dalla elazione (5.7) segue: N N N N ll l l l l l l petanto indicando con l l l l l1 l l3 l