Scuola Secondaria di 1 Grado Via MAFFUCCI-PAVONI Via Maffucci 60 Milano PROGETTO STRANIERI MAT 4

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1 Scuola Secondaria di 1 Grado Via MAFFUCCI-PAVONI Via Maffucci 60 Milano PROGETTO STRANIERI MAT 4 ASSE CARTESIANO RAPPRESENTAZIONI IN SCALA SOLUZIONE DEI PROBLEMI DIAGRAMMI DI FLUSSI LOGICA IL COMPUTER A cura di Maurizio Cesca

2 Numeri periodici... 1 L asse cartesiano... 3 Le rappresentazioni in scala... 4 La risoluzione dei problemi... 5 Algoritmi e diagrammi di flusso... 8 Logica... 9 Risolvere un problema Il computer... 11

3 Numeri periodici Consideriamo le seguenti frazioni e calcoliamo il valore dei numeri decimali corrispondenti: Periodo: gruppo di cifre, dopo la virgola, che si ripetono all infinito nello stesso ordine (nell esempio ) Si dicono numeri decimali periodici semplici quelli in cui c è solo il periodo Si dicono numeri decimali periodici misti quelli in cui troviamo sia il periodo che l antiperiodo Decimale limitato o finito (D.F.) = il denominatore della frazione, scomposto in fattori primi, è formato da fattori ugual a 2, 5 o 10 Periodico semplice (P.S.) = il denominatore della frazione, scomposto in fattori primi, è formato solo da fattori diversi da 2 e 5 Periodico misto (P.M.) = il denominatore della frazione, scomposto in fattori primi, è formato da fattori come 2 e 5, accompagnati ad altri fattori Frazione GENERATRICE Si dice frazione generatrice di un numero periodico la sua frazione corrispondente. Per calcolare la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici devo: Prendere il numero completo senza considerare la virgola Sottrarre a questo numero la parte non periodica Dividere il risultato per a) tante volte 9 quante sono le cifre del periodo PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano pag. 1

4 b) tante volte 9 quanti sono i numeri periodici aggiungendo tanti zeri quanti sono i numeri dopo la virgola (non periodici) prima del numero periodico Pag. 2 PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano

5 L asse cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento, che si utilizza per trovare un punto o una figura nel piano. Esso è composto da 2 semirette perpendicolari e orientate (hanno cioè una freccia), aventi la stessa origine, dette assi cartesiani: quella orizzontale è detta asse x o delle ascisse quella verticale è detta asse y o delle ordinate Per trovare un punto sono necessarie due informazioni che indicano: lo spostamento in linea orizzontale (x) lo spostamento in linea verticale (y) L origine comune delle due semirette è l origine degli assi cartesiani ed è indicata con la lettera O.L asse orizzontale è l asse delle ascisse, o asse x, quello verticale è quello delle ordinate, o asse y. Segniamo sulle due semirette una serie di punti, tutti alla stessa distanza, ad ognuno dei quali corrisponde un numero. Questi punti formano così un reticolo. Il punto A si trova all incrocio della semiretta che parte dal punto 3 dell asse x, e della semiretta che parte dal punto 3 dell asse y. Il punto B all incrocio della semirette che partono rispettivamente dal punto 2 dell asse x, e dal punto 4 dell asse y. Diciamo allora che il punto A è individuato dalla coppia ordinata di numeri (3, 3). Il punto B dalla coppia ordinata (2, 4). I numeri della coppia ordinata si chiamano coordinate del punto. Le coordinate dell origine degli assi O sono (0, 0). Nella coppia ordinata il primo numero è sempre preso sull asse delle ascisse, il secondo numero sull asse delle ordinate. PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano pag. 3

6 Le rappresentazioni in scala A B C D Tra le figure disegnate qui sopra, A e C sono simili e così anche B e D. Sono simili perché la loro forma è la stessa, cambiano solo le dimensioni. In questo caso i lati di B e C sono il doppio di quelli di D e A. Il rapporto di ingrandimento è perciò: 1 : 2 Le lunghezze dei lati di A e D sono la metà delle lunghezze dei lati di C e B Il rapporto di riduzione è perciò: 2 : 1 La similitudine è una trasformazione che produce l ingrandimento o la riduzione delle figure, rispettando la loro forma: le figure ottenute sono sempre simili. Le mappe, le piantine, le carte stradali e le carte geografiche sono tutte rappresentazioni della realtà dove le dimensioni reali sono state rimpicciolite o, più correttamente, sono state ridotte in scala. Per esempio in una piantina in scala 1 : (uno a diecimila) significa che a ogni centimetro sulla carta corrispondono cm (100 m) nella realtà. Pag. 4 PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano

7 La risoluzione dei problemi Spesso i problemi di matematica non sono così difficili come sembrano. Cosa fare 1) comprendere quali informazioni vengono richieste e quali vengono fornite. MATEMATICA 4 Come fare? Leggere attentamente il testo e riflettere sulle richieste. 2) organizzare le informazioni Scrivere i dati conosciuti (espliciti) e quelli che si possono trovare attraverso i dati conosciuti (impliciti) 3) elaborare una strategia risolutiva Usare un modello numerico Usare un modello grafico Strategia basata su un modello numerico Problema: il signor Rossi vuole comprare un automobile, ma è incerto fra due tipi. Per la prima deve versare 6000 Euro alla consegna e il resto pagarlo con 14 rate mensili. Per la seconda deve pagare 1000 Euro alla consegna e il resto in 10 rate mensili. La seconda automobile costa Euro, la prima 3000 Euro in più. Calcola l ammontare della rata mensile della prima e della seconda automobile. Dati: = somma da pagare alla consegna per la prima automobile 14 = numero rate mensili per la prima automobile = somma da pagare alla consegna per la seconda automobile 10 = numero rate mensili per la seconda automobile = costo della seconda automobile = differenza di costo (in più) tra la prima e la seconda automobile Incognite rata mensile della prima automobile =? rata mensile della seconda automobile =? costo della prima automobile =? Soluzione (i dati sconosciuti sono in grassetto): Sappiamo quanto costa la prima automobile? NO! Possiamo calcolarlo? SI! Costo auto 1 = Costo auto = = Calcoliamo ora il costo totale delle 14 rate: Somma totale rate prima auto = Costo auto 1 acconto = = Calcoliamo ora il costo di una singola rata/ PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano pag. 5

8 Costo una rata auto 1 = Costo totale rate : numero rate = : 14 = Rifacciamo questi ultimi due calcoli per la seconda auto Somma totale rate auto 2 = Costo seconda auto acconto = = Costo una rata auto 2 = Costo totale rate : numero rate = : 10 = Problema: da un frutteto si raccolgono 520 kg di mele. Una parte di queste viene messa in 12 cassette che contengono 15 kg di mele ciascuna. Il rimanente viene messo in cassette da 17 kg. Quante cassette da 17 kg si sono potute riempire? Problema: per una festa di compleanno sono state preparate 38 crostatine alla crema e 27 alla marmellata. Sono state mangiate 25 crostatine alla crema e alcune alla marmellata. Alla sera erano rimaste 23 crostatine. Quante crostatine alla marmellata sono state mangiate alla festa? Strategia basata su un modello grafico In molti casi la rappresentazione grafica di un problema ne facilita la soluzione. Problema: Marco e Luca devono dividersi 422,000 lire in modo che Marco abbia lire più dell altro. Quanto spetta a ciascuno? Dati: 2 = numero degli amici 422 = somma totale da dividere 28 = somma in più spettante a Marco Incognite: somma spettante a Marco =? somma spettante a Luca =? Soluzione Rappresentiamo la somma che spetta a Luca con un segmento Rappresentiamo la somma che spetta a Marco con un segmento uguale al primo, aumentato di un altro che raffigura le 28 Rappresentiamo la somma totale da dividere sommando i segmenti disegnati sopra Pag. 6 PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano

9 Possiamo così vedere che la somma totale è formata da tre parti: due uguali e una più piccola. Dalla somma totale togliamo i 28 e otteniamo la somma che Marco e Luca devono dividersi in parti uguali Soma totale = = 394 Dividiamo per 2 i 394 per vedere quanto spetta a ciascuno 394 : 2 = 197 Per sapere quanto spetta a Marco aggiungiamo le lire = 225 Problema: ci sono cinque amici che fanno un torneo di ping-pong. Ogni amico gioca con ciascuno degli altri. Quante partite vengono giocate in tutto? Per risolvere questo problema conviene rappresentarlo con un modello grafico chiamato grafo. a) Iniziamo rappresentando i 5 amici con 5 punti non allineati e numerati b) Iniziamo dal punto 1 e uniamolo agli altri punti con dei segmenti c) Completiamo il grafo unendo tutti i punti a due a due Il numero dei segmenti corrisponde al numero complessivo delle partite, cioè 10. Problema: Mario è più giovane di Claudio e Giovanni è più vecchio di Claudio. Chi è il più giovane e chi è il più vecchio? PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano pag. 7

10 Algoritmi e diagrammi di flusso In matematica si parla di algoritmo quando si deve compiere una serie di operazioni in un determinato ordine, fino a raggiungere il risultato preciso Il diagramma di flusso rappresenta l algoritmo per eseguire una serie di azioni (rettangoli), che, a volte, sono interrotte da domande (rombi o altro) che verificano se ci sono le condizioni per continuare il procedimento. Nell algoritmo qui sotto viene spiegato come preparare una cioccolata in tazza. Questi sono i dati Queste sono le istruzioni Questo è un ciclo Questa è la domanda Questo è il risultato Pag. 8 PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano

11 Logica IN CONCLUSIONE AGIRE SECONDO LA LOGICA SIGNIFICA Non essere impulsivi Non procedere esclusivamente per tentativi ed errori Stabilire relazioni (causa-effetto, analogie, similitudini, ordine, collegamenti, ) Formulare ipotesi e scartare quelle impossibili Seguire percorsi (consegne, diagrammi di flusso, regole, formule, _) Conoscere il punto di partenza e d arrivo Riconoscere le informazioni utili e quelle superflue Tenere conto delle esperienze positive e negative E' SUFFICIENTE LA LOGICA PER RISOLVERE QUALSIASI PROBLEMA? NO. Spesso è necessario avere delle conoscenze o sapere dove e come trovare le informazioni necessarie es.: Roma : Italia = x : Nicaragua (ovvero Roma sta all'italia come x sta al Nicaragua) Se ho compreso la relazione (è capitale di ) ma ignoro quale sia la parola da sostituire ad X Dove posso trovare l'informazione che mi serve? Sull'atlante Sulla cartina geografica Sull'enciclopedia Altro... Possiedo uno di questi strumenti? SI NO Lo cerco o lo procuro e lo consulto Non posso procedere per trovare una risposta Devo sapere come cercare l'informazione che mi serve (ordine alfabetico, coordinate di un punto, continente, _) PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano pag. 9

12 Risolvere un problema 1. Leggo attentamente il problema. 2. Individuo tutti i termini matematici CONOSCO IL SIGNIFICATO? SI NO Ricerco sul quaderno, libro o schede 3. Disegno la figura col righello 4. Sistemo i dati sulla figura e metto le lettere ai vertici. 5. Trascrivo i dati espliciti ed impliciti. 6. Individuo le richieste esplicite. 7. Scrivo la formula per trovare la risposta LA CONOSCO? SI NO Ricerco sul quaderno, libro o schede 8. La cerco sul quaderno, libro 9. Riconosco le variabili CONOSCO IL LORO VALORE? SI NO Scrivo la formula che mi permette di trovarle 10. Lo sostituisco alle lettere e procedo 11. Eseguo i calcoli. 12. Controllo se ho scritto tutte le unita di misura e se i risultati sono accettabili. 13. Do la risposta. Pag. 10 PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano

13 Il computer Unità di misura dell informatica BIT (BInary digit): èun numero binario (Ø o 1) ed è la più piccola quantità di informazione che un computer può memorizzare; esso è come un interruttore che può essere acceso o spento (ON e OFF), se è ON ha un valore 1, se è OFF ha un valore Ø BYTE: rappresenta un carattere ed è l insieme di 8 Bit; è possibile avere un totale di 255 diverse combinazioi di BIT KBYTE (Kb): 1000 byte MegaByte (MB): 1000 k GigaByte (GB): 1000 MB TeraByte (TB): 1000 GB Come comunica il computer con noi (sistema binario) Un computer non è in grado di risolvere i problemi, ma solo di eseguire le istruzioni che gli vengono fornite. Alla digitazione di un tasto il computer legge un codice, scritto col sistema binario, ad esso abbinato e lo traduce a video nel simbolo corrispondente Il linguaggio binario è un sistema che raggruppa per 2 ed è posizionale, usa solo due cifre, 0 e 1, che a seconda di dove sono poste, assumono un valore piuttosto che un altro. Numero 12 in base 10 = 12 Numero 12 in base 2 = 1100 Qualsiasi combinazione di otto fra Ø e 1, si trasforma in un valore decimale unico compreso fra Ø e PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano pag. 11

14 Per calcolare il valore del numero binario: Si sommano i rispettivi valori decimali quando il simbolo binario è 1 (è una potenza di 2); nell es.: = 173 es. traduzione dal sistema binario al decimale 01= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = es. traduzione da binario a decimale (es. il N. 29): si divide il numero sempre per due segnando il riporto (1 o 0) 29:2= 14:2= 7:2= 3:2= si otterrà un numero binario con i riporti più l ultimo risultato (nell es ) da leggersi al contrario cioé Nella tastiera ci sono 256 simboli alfanumerici che sono stati codificati internazionalmente (col sist. binario) attraverso un sistema chiamato ASCII Il sistema binario può essere paragonato ad un circuito elettrico dove l 1 permette il passaggio di corrente e lo Ø no, e dato che il computer per funzionare ha bisogno di energia (nel nostro caso di energia elettrica), il sistema per dialogare con l operatore è il passaggio o meno di energia. Pag. 12 PROGETTO STRANIERI SMS Maffucci-Pavoni - Milano

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