ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO PIANO NAZIONALE DI INFORMATICA SCIENTIFICO BROCCA Sessione 2002 seconda prova scritta Tema di MATEMATICA

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1 ESAMI DI STATO DI LIEO SIENTIFIO PIANO NAZIONALE DI INFORMATIA SIENTIFIO BROA Sssion 00 sconda prova scritta Tma di MATEMATIA Il candidato risolva uno di du problmi 5 di 0 qusiti dl qustionario. PROBLEMA Nl piano rifrito a coordinat cartsian ortogonali monomtrich (,y) è assgnata la funzion: a b log y ov log ( ) dnota il logaritmo natural di a b sono numri rali non nulli. a) Si trovino i valori di a b pr i quali il grafico G dlla funzion passa pr i punti (,0) (, ) b) si studi si disgni G; c) si dtrmini l quazion dlla curva G simmtrica di G risptto alla rtta y( ) ( ) y ; d) si dtrmini, con uno di mtodi numrici studiati, un approssimazion dll ara dlimitata, pr, da G da G ; ) si disgnino, pr i valori di a b trovati, i grafici di: y a b log y a blog ( ) PROBLEMA E data la sfra S di cntro O raggio r. Dtrminar: a) il cono di volum minimo circoscritto a S; b) il cono di volum massimo inscritto in S; c) un approssimazion in litri dlla capacità complssiva di, posto r mtro; d) la misura, in gradi sssagsimali, dll angolo dl sttor circolar sviluppo dlla suprfici latral dl cono ; ) la misura approssimata, in gradi sssagsimali, dll angolo di smiaprtura dl cono applicando uno di mtodi numrici studiati.

2 QUESTIONARIO. Da un urna contnnt 90 pallin numrat s n straggono quattro snza rimbussolamnto. Supponndo ch l ordin in cui i numri vngono stratti sia irrilvant, com è nl gioco dll Enalotto, si calcoli la probabilità ch sca la quatrna (7, 7, 67, 87).. alcolar la probabilità ch in dici lanci di una monta non truccata dal quinto lancio in poi sca smpr tsta.. alcolar la drivata risptto a dlla funzion ov f() è una funzion continua. b f ( t)dt. alcolar: lim 0 0 sin ( t ) dt 5. Utilizzando il torma di Roll provar ch tra du radici rali di sin c è almno una radic ral di cos. 6. Applicando il torma di Lagrang all intrvallo di strmi, provar ch: < log < dar dl risultato un intrprtazion grafica. 7. rificar ch la funzion: y è invrtibil dtta g la funzion invrsa, calcolar g ( 0). 8. on uno di mtodi di quadratura studiati, si valuti l intgral dfinito con un rror infrior a0. log 9. rificato ch l quazion cos log 0 ammtt una sola radic positiva comprsa tra s n calcoli un approssimazion applicando uno di mtodi numrici studiati. 0. hiarir, con smpi appropriati, la diffrnza in matmatica tra conctto primitivo assioma. Durata massima dlla prova : 6 or E consntito l uso dlla calcolatric tascabil non programmabil la consultazion dl vocabolario d Italiano.

3 PROBLEMA Nl piano rifrito a coordinat cartsian ortogonali monomtrich (,y) è assgnata la funzion: a blog y ov log ( ) dnota il logaritmo natural di a b sono numri rali non nulli. Punto Si trovino i valori di a b pr i quali il grafico G dlla funzion passa pr i punti (,0) (, ) ( ) Impostiamo il passaggio pr i du punti indicati nlla traccia: Quindi la funzion divnta Punto si studi si disgni G; log Studio di y Dominio: > 0 cioè ( 0, ) Intrszioni ass asciss: a blog a blog ( ) log y 0 a b 0 a ( ) a b b log - y 0 Intrszioni ass ordinat: non c n sono log Positività: y > 0 la si risolv studiando sparatamnt numrator dnominator: N() log > 0 > D( ) > 0 - Mttndo sulla stssa rtta gli intrvalli dl numrator dnominator si ricava ch - ( ) log y > 0, log 0 Asintoti vrticali: 0, infatti lim ( ) ( ) 0 0 d lhopital log Asintoti orizzontali: y 0, infatti lim lim 0

4 Asintoti obliqui: non c n sono rscnza dcrscnza: la drivata prima è: log y ( ) pr cui y ( ) > 0 log > 0 Quindi - log > 0 log < 0 0 < < strttamnt dcrscnt in (, ) log prchè nl dominio > 0 pr cui la funzion è strttamnt crscnt in Flssi: la drivata sconda è: y ( ) pr cui y ( ) < 0 cioè (, ) mntr y ( ) 0 log cioè, è un flsso a tangnt obliqua ( 0, ) è un massimo, Il grafico è sotto rapprsntato: Punto Si dtrmini l quazion dlla curva G simmtrica di G risptto alla rtta y( ) La curva simmtrica risptto alla rtta y ( ) è data dall quazion y S y() y ( ) log Nlla figura sottostant vngono rapprsntat l du curv sullo stsso grafico: y ;

5 Punto si dtrmini, con uno di mtodi numrici studiati, un approssimazion dll ara dlimitata, pr, da G da G ; L ara crcata è con sattzza: log log A ( ys ( ) y( ) ) d d d log [ log log ] log log log log 0. log Attravrso il mtodo di trapzi con la suddivision dll intrvallo [,] in sotto intrvalli di log, si ha: ampizza, chiamata ( ) g ( ) g( ) log g 5 7 A g g g Punto 5 si disgnino, pr i valori di a b trovati, i grafici di: y a b log a blog y ( )

6 I grafici richisti si possono trovar a partir dal grafico dlla curva inizial facndo alcun considrazioni. log log ominciamo con y log ( ) ( ) s > 0 s < 0 Qusta funzion è una funzion pari cioè y( ) y( ) pr cui il grafico non è altro ch il grafico log dlla funzion y cui va aggiunta la part di grafico pr <0 ch è il simmtrico dl log grafico di y risptto all ass dll ordinat pr l considrazioni fatt. Il grafico è sotto rapprsntato: diamo ora il grafico di y log log log s y f s y f Ricordando ch il valor assoluto rnd positivo ciò ch è ngativo, allora qusto grafico lo si log ricava dal grafico di y lasciando inaltrat l parti positiv ribaltando vrso l ordinat positiv l parti ngativ, cioè il grafico risulta: ( ) ( ) 0 < 0

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8 PROBLEMA E data la sfra S di cntro O raggio r. Dtrminar: Punto il cono di volum minimo circoscritto a S; ircoscriviamo ad una data sfra un cono circolar rtto con un piano passant pr laltzza dl cono tagliamo ntrambi i solidi ricavando la szion di figura. Poniamo AH, con > r. on qust assunzioni AO r poiché il triangolo AOK è rttangolo, pr il torma di Pitagora AK AO OK ( r). I triangolo AOK AH sono simili pr cui OK AH H AK r ( r) H AH r con > r. La massimizzazion Il volum dl cono è ( ) ( ) ( r) dl volum la ffttuiamo attravrso l drivat: ( ) ( ) Si ha: ( ) ( ) r r r r r ( r) 8r ( r) ( r) r r ( r) r > 0 > < 0 r < < r ( ) strttamnt crscnt in ( r, ) ( ) strttamnt dcrscnt in ( r,r) Inoltr ( ) r 8r ( r) r r > 0, pr cui il volum è minimo pr r

9 val ( r) ( r) 8 ( r r) r r. Punto il cono di volum massimo inscritto in S; onsidriamo la figura sottostant rapprsntant la szion di un cono inscritto in una sfra: Poniamo H, con 0 < < r. on qust assunzioni HD r poiché il triangolo DB è rttangolo in quanto inscritto in una smicirconfrnza, pr il torma di Euclid HB H HD ( r ) [ ]. Il volum dl cono è ( ) ( HB ) H ( r ) con 0 < < r. La massimizzazion dl volum la ffttuiamo attravrso l drivat: Si ha: ( ) [ r ] ( ) [ r 6] ( ) [ r ] > 0 0 < < ( ) r r r strttamnt crscnt in 0, r ( ) [ r ] < 0 < < r ( ) strttamnt dcrscnt in,r Inoltr ( ) [ r 6] r 0 val Punto < r r r r r 8, pr cui il volum è massimo pr. r un approssimazion in litri dlla capacità complssiva di, posto r mtro; Ricordiamo ch [ m ] 000[ dm ] 000[ litri] pr cui il volum in litri di du coni è

10 Punto [ litri] [ litri] [ litri]. [ litri] la misura, in gradi sssagsimali, dll angolo dl sttor circolar sviluppo dlla suprfici latral dl cono ; Lo sviluppo piano dlla suprfici latral dl cono dtrmina il sttor circolar di raggio pari all apotma dl cono A AH H ( r) ( r ) r rapprsntato in figura. La lunghzza dll arco B è pari alla misura dlla circonfrnza dlla bas dl cono r H r, prtanto la misura in gradi sssagsimali è α 0. r Punto 5 la misura approssimata, in gradi sssagsimali, dll angolo di smiaprtura dl cono applicando uno di mtodi numrici studiati. L angolo di smiaprtura dl cono è tal pr cui ˆ H HA arcsin arcsin. Quindi la A misura dll angolo si ricava dalla soluzion dll quazion sin con ( 0, 90 ). Il problma è quivalnt allora a trovar lo zro dlla funzion h ( ) sin con ( 0, 90 ) Nll intrvallo ( 0, 90 ) la funzion ( ) 6. h sin è strttamnt crscnt d inoltr h ( 0 ) < 0, h( 0 ) > 0 pr cui la soluzion da calcolar si trova nll intrvallo (, 0 ) 0 a

11 norma dl torma dgli zri. Lo zro crcato, a mno di un cntsimo di grado, lo troviamo tramit il mtodo di biszion, il cui sviluppo è mostrato in forma tabllar: a b a b h (a) h (b) a b b a h , 0,667-0, ,5-0,075 0,667 0,09 5 5,5 8,75-0,075 0,09-0,09 7,5 8,75, ,09 0,09 0,089,75 8, ,6875-0,09 0, ,75 9,6875 9,875-0, ,00 0,975 9,875 9,6875 9,55-0, ,009 0,6875 9,55 9,6875 9,5705-0, ,006 0,75 9,55 9,5705 9, ,009 0, ,7875 9,55 9, ,8875-0, , ,55 9,8875 9,6777-0, , ,6777 9,8875 9, , ,6777 9, , , ,6777 9,7555 Dalla tablla soprastant si vinc ch a mno di un cntsimo di grado, la soluzion dll quazion sin è 9,7555.

12 QUESTIONARIO Qusito Da un urna contnnt 90 pallin numrat s n straggono quattro snza rimbussolamnto. Supponndo ch l ordin in cui i numri vngono stratti sia irrilvant, com è nl gioco dll Enalotto, si calcoli la probabilità ch sca la quatrna (7, 7, 67, 87) ! Il numro di quatrn è dato dal cofficint binomial 90, Pr cui la!86! 7 probabilità ch sca la quatrna (7, 7, 67, 87) è p, Qusito alcolar la probabilità ch in dici lanci di una monta non truccata dal quinto lancio in poi sca smpr tsta. La probabilità ch in un lancio sca tsta o croc è la stssa p ( T ) p( ) 90,, pr cui il risultato di primi lanci non condiziona il risultato dal quinto al dcimo lancio. Pr cui, poiché dal quinto al dcimo i lanci sono 6, la probabilità richista è Qusito alcolar la drivata risptto a dlla funzion ov f() è una funzion continua. b 6 p. 6 f ( t)dt Pr la proprità dgli intgrali f ( t) dt f ( t)dt b intgral, si ha f ( t) dt f ( t) Qusito alcolar:. Pr il torma di drivazion dlla funzion b ( ) b d d d dt [ f ( t) ] t f ( ) d d. d b lim 0 0 sin Il limit si prsnta nlla forma 0 0 siamo nll ipotsi di potr applicar il torma di d l Hopital. Pr il torma di drivazion dlla funzion intgral, si ha ( t ) dt

13 d d lim 0 d ( ) ( ) t dt [ sin( t )] sin( ) sin t, pr cui applicando d l Hopital si ha d 0 0 sin ( t ) Qusito 5 dt sin lim 0 ( ) sin( ) lim 0. Utilizzando il torma di Roll provar ch tra du radici rali di sin c è almno una radic ral di cos. Siano a, b du soluzioni di sin. L quazion sin è quivalnt a sin ; considriamo h( ) sin. Si ha h ( a) h( b) 0 d inoltr h( ) sin soddisfa l ipotsi dl torma di Roll, pr cui c ( a, b) h ( c) 0. La drivata prima di h( ) h c ( ) cos pr cui a norma dl torma di Roll ( c) cosc 0 cioè c è soluzion di cos. Qusito 6 sin è h da cui c cos c Applicando il torma di Lagrang all intrvallo di strmi, provar ch: dar dl risultato un intrprtazion grafica. < log < onsidriamo la funzion f ( t) log( t) con t [, ] si ha ch (, ) f ( c) log < <. Poiché > ( ) f ( ) f c cioè, moltiplicando la disuguaglianza pr ( ). E possibil applicar il torma di Lagrang log. Poiché < c < < < pr cui c c si ha < log < com volvasi dimostrar. La rtta y è la tangnt sia alla curva y log ch alla funzion omografica y nl punto di ascissa. Gomtricamnt la disuguaglianza < log < sprim il fatto ch il grafico dlla curva y log si trova tra il grafico dlla rtta qullo dl ramo di iprbol. Il grafico sottostant vidnzia l intrprtazion gomtrica dl risultato ottnuto.

14 Qusito 7 rificar ch la funzion: y è invrtibil dtta g la funzion invrsa, calcolar ( ) 0 g. La funzion y è dfinita continua in tutto R. La sua drivata è ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y pr cui la funzion è strttamnt crscnt in tutto R. Quindi è invrtibil. Pr il torma dlla drivata dalla funzion invrsa, dtta ( ) y g l invrsa di y, la drivata di ( ) y g è ( ) ( ) f y g. Ora a 0 y corrispond pr cui ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f g Qusito 8 on uno di mtodi di quadratura studiati, si valuti l intgral dfinito log con un rror infrior a 0.

15 Utilizziamo il mtodo di avaliri Simpson ricordiamo ch l rror commsso nl calcolo dll intgral è 5 ( b a) I ε ma f ( ). Nl caso in sam la funzion f ( ) 80n quarta è f I ( ) 5 log la drivata log 50 in [,] il massimo dl valor assoluto lo si ha in val log ma f I ( ) ma 50 pr cui l rror commsso è ε pr cui imponndo 5 9n n n. Scgliamo allora n ε < si ricava > n > suddividiamo l intrvallo [,] in 8 sotto intrvalli di ampizza numricamnt, sarà: ( ) g( ) 8 7 log b a g 0 8 d g h n h 0 h 0 ( ) g( ) h b a 8. L intgral, 9 log log log Il valor satto dll intgral è d ch diffrisc da pr mno di 0. Qusito 9 rificato ch l quazion cos log 0 ammtt una sola radic positiva comprsa tra s n calcoli un approssimazion applicando uno di mtodi numrici studiati. onsidriamo la funzion h( ) cos log h ( ) sin pr cui in [,] h( ) cos log ( ) > 0, h( ) < 0. Essa è continua in [,] d ha drivata è strttamnt dcrscnt. Inoltr h pr cui pr il torma dgli zri sist un unica radic in [,] Lo zro crcato, a mno di un dcimo, lo troviamo tramit il mtodo di biszion, il cui sviluppo è mostrato in forma tabllar: a b a b h (a) h (b) a b b a h,5 0,50 -,09-0,5,5,5 0,50-0,5 0,09 0,5,5,5,75 0,09-0,5-0, 0,5,5,75,5 0,09-0, -0,065 0,5,5,5,85 0,09-0,065 0,077 0,065,85,5

16 Dalla tablla soprastant si vinc ch a mno di un cntsimo di grado, la soluzion dll quazion ( ) cos log 0 h è,85. Qusito 0 hiarir, con smpi appropriati, la diffrnza in matmatica tra conctto primitivo assioma. Un conctto primitivo è un oggtto ch non vin dfinito ma vin accttato com noto. Ad smpio conctti o nti primitivi nlla gomtria uclida sono il punto la rtta. Gli assiomi o postulati sono dll proposizioni ch non si dimostrano, accttat com vr, ch stabiliscono rlazioni tra gli nti primitivi: cioè gli assiomi chiariscono l proprità di bas di conctti primitivi. Nlla gomtria uclida la proposizion pr cui data una rtta d un punto P non appartnnt ad ssa, sist un unica rtta parallla ad ssa passant pr P è un assioma.