Quesito 1. I seguenti dati si riferiscono ai tempi di reazione motori a uno stimolo luminoso, espressi in decimi di secondo, di un gruppo di piloti:

Transcript

1 Quesito. I segueti dati si riferiscoo ai tempi di reazioe motori a uo stimolo lumioso, espressi i decimi di secodo, di u gruppo di piloti: 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 3, 6 4, 4 5, 4 7, 2 Alla distribuzioe uitaria presetata si riferiscoo i quesiti che seguoo. a) Il carattere è quatitativo discreto qualitativo ordiabile quatitativo cotiuo b) La distribuzioe è uimodale bimodale la moda o è defiita c) Dividere i piloti i 4 gruppi di uguale umerosità, co tempi di reazioe brevi, medio-brevi, medio-lughi, lughi, ed idicare quali piloti fao parte di oguo dei gruppi brevi medio-brevi medio-lughi lughi 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 3, 6 4, 4 5, 4 7, 2 d) Determiare i ciascu gruppo i quartili I quartili soo quei valori tali che le osservazioi soo per u quarto, due quarti e tre quarti, rispettivamete, più piccole. I ciascu gruppo le osservazioi soo 6. La posizioi mediae soo due, la terza e la quarta, metre le posizioi relative al primo e terzo quartile soo la secoda e la quita. Ifatti = 3 è u umero itero, quidi le osservazioi mediae soo la terza e la quarta; =.5 o è u umero itero e va arrotodato all itero successivo per cui l osservazioe relativa al primo quartile è la secoda; = 4.5 o è u umero itero e va arrotodato all itero successivo per cui l osservazioe relativa al terzo quartile è la quita. I u gruppo la terza e la quarta uità hao la stessa modalità. I quartili per ciascuo dei gruppi risultao i segueti: brevi medio-brevi medio-lughi lughi Q 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 Q 2 (med) Q 3 2, 7 2, 8 4, 4, 2 5, 5, 2 7, 2 7, 2 e) Rappresetare il boxplot per ciascu gruppo e commetare i grafici i termii di variabilità delle distribuzioi relative a ciascu gruppo, utilizzado ache il rage e lo scarto iterquartile brevi medio-brevi medio-lughi lughi rage Scarto Iterquartile 0, 2 0, 6 0, 2 0, 6 0, 2, 4 0 I gruppi co tempi di reazioe medio-brevi e medio-lughi hao stesso rage e stesso Scarto Iterquartile, il gruppo co tempi di reazioe brevi ha rage più grade e stesso Scarto Iterquartile il gruppo co tempi di reazioe lughi rage più grade e Scarto Iterquartile più piccolo, pari a zero. Il gruppo co tempi di reazioe lughi ha la maggiore variabilità cosiderado il rage, la miore cosiderado lo Scarto Iterquartile, che o risete delle osservazioi che si trovao alle estremità della distribuzioe. Ifatti el gruppo lughi la metà delle osservazioi, quelle comprese tra il primo e il terzo quartile, risulta di pari valore.

2 tempi di reazioe brevi tempi di reazioe medio brevi tempi di reazioe medio lughi tempi di reazioe lughi f) Rappresetare il grafico a barre per ciascu gruppo e commetare i grafici i termii di asimmetria, utilizzado ache il cofroto tra media aritmetica e mediaa brevi medio-brevi medio-lughi lughi media aritmetica 2, 84 4, 5, 6, 97 Q 2 (med) 2, 7 4, 5, 7, 2 frequeza assoluta frequeza assoluta tempi di reazioe brevi tempi di reazioe medio brevi frequeza assoluta frequeza assoluta tempi di reazioe medio lughi tempi di reazioe lughi tempi di reazioe brevi: coda a destra, media maggiore di mediaa tempi di reazioe medio-brevi: simmetrica, media = mediaa tempi di reazioe medio-lughi: simmetrica, media = mediaa tempi di reazioe lughi: coda a siistra, media miore di mediaa g) Se il valore 3,8 relativo ai tempi di reazioe medio-brevi fosse 3,9 la distribuzioe sarebbe simmetrica: si o valutabile o 2

3 Quesito 2. U ura cotiee 8 pallie, 6 ere e 2 biache. Si estraggoo due pallie seza reimmissioe. Si cosideri la variabile aleatoria X: umero di pallie ere. a) Determiare la fuzioe di probabilità di X e rappresetarla graficamete; Idicado co B e B 2 e N e N 2 l estrazioe di pallia biaca e era rispettivamete ella prima e secoda estrazioe risulta: P (N N 2 ) = P (N )P (N 2 N ) = = 30 Aalogamete risulta: P (N B 2 ) = P (N )P (B 2 N ) = = 2 P (B N 2 ) = P (B )P (N 2 B ) = = 2 P (B B 2 ) = P (B )P (B 2 B ) = = 2 La fuzioe di probabilità di X risulta: teedo coto che: X p(x = x) P (zero pallie ere)=p (B B 2 ) P (ua pallia era)=p ((B N 2 ) (N B 2 )) = P (B N 2 ) + P (N B 2 ) P (due pallie ere)=p (N N 2 ) p x 3

4 b) Determiare la fuzioe di ripartizioe di X e rappresetarla graficamete; La fuzioe di ripartizioe di X risulta: 0 x < 0 2 F (x) = 0 x < 26 x < 2 x 2 F x c) Utilizzado la fuzioe di ripartizioe determiare la probabilità che X assuma u valore miore o uguale a ; d) Determiare valore atteso e variaza di X Per il calcolo di E(X) e V ar(x) risulta: P (X ) = F () = 26 x p(x) xp(x) x 2 p(x) tot da cui si ricava E(X) =.49 e V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = = 0.33 e) Defiire la distribuzioe di probabilità di X el caso di estrazioe co reimmissioe X ha distribuzioe Biomiale di parametri = 2 e π = P (N) = 6 8 Quesito 3. Si è iteressati a studiare la difettosità dei pezzi prodotti i u processo produttivo. U campioe di 2400 pezzi è stato selezioato e per ciascuo si è rilevata la difettosità. Il 40% dei pezzi è risultato difettoso. a) Proporre uo stimatore putuale o distorto per π, il valore medio della variabile casuale Y di Beroulli che assume il valore se il pezzo è difettoso, 0 altrimeti, e giustificare la stima. b) Proporre u itervallo di cofideza al 99% per π, il valore medio della variabile casuale Y di Beroulli che assume il valore se il pezzo è difettoso, 0 altrimeti. 4

5 Soluzioe. Uo stimatore corretto, cosistete i probabilità e di massima verosimigliaza per la proporzioe π è la media campioaria X = X i, x = x i = 0.4 = ˆp. La Variaza di tale stimatore data da σ 2 /. Ora, poichè X ua variabile aleatoria di Beroulli, la sua variaza sarà σ 2 = π( π). Quidi ua stima della variaza di ˆp o è altro che ˆp( ˆp)/ = Utilizzado l approssimazioe alla Normale, per sufficietemete elevato, e cosiderado che α = 0.99 α = 0.0 α/2 = Φ(z α/2 ) = α/2 = z α/2 = 2.575, l itervallo di cofideza al livello ( α) = 0.99 è dato da: 99%IC [ ] ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp z α/2 ; ˆp + z α/2 = [ ; ] = [0.374; 0.426]. Ciò sigifica che la proporzioe di pezzi difettosi è compresa tra (0.374;0.426) al livello di cofideza di circa il 99%. Quesito 4. Si suppoga che il diametro dei tubi prodotti i u idustria meccaica sia ua variabile aleatoria ormale co valore atteso µ, e variaza σ 2. Si soo osservati 50 tubi e se e è rilevato il diametro. E risultato: 50 x i = x 2 i = 740. a) Proporre uo stimatore per il valore medio µ di X ed idicare le proprietà Lo stimatore per µ è la media campioaria X = X i. La corrispodete stima risulta: x = 50 x i = 750/50 = 5 La media campioaria è uo stimatore o distorto e cosistete i probabilità. b) Proporre uo stimatore per la variaza di X ed idicare le proprietà Lo stimatore per σ 2 è la variaza campioaria ˆσ 2 = S 2. Esso risulta [ ] ˆσ 2 = Xi 2 X 2 5

6 La corrispodete stima risulta: ˆσ 2 = = 49 [ ] x 2 i x 2 = [ ] = (490) = La variaza campioaria ˆσ 2 è uo stimatore o distorto e cosistete i probabilità. c) I resposabili del cotrollo di qualità ritegoo che il diametro medio sia 6 metre gli igegeri della produzioe ritegoo che sia iferiore. Impostare u test di ipotesi co livello di sigificatività α = 0.0. Le ipotesi risultao: La statistica test risulta: Quidi la regioe di rifiuto è data da: H 0 : µ = 6 H : µ < 6 X µ ˆσ/ t 49 R.C. : x µ 0 ˆσ/ < Il valore della statistica test sotto l ipotesi ulla risulta: t = x µ 0 ˆσ/ = 5 6 0/ 50 = 2.22 Il valore osservato della statistica test o appartiee alla regioe critica, si può cocludere affermado che il campioe o offre ua sufficiete evideza per rigettare l ipotesi ulla H 0. Gli igegeri hao ragioe. Basterebbe però aumetare di poco il livello di sigificatività per rifiutare l ipotesi ulla. d) rappresetare graficamete la zoa di rifiuto del test. dt(x, 49) x 6