LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

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1 LEZIONE Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe. Si osservi, però, che dato un sistema di equazioni lineari, in generale, la sua matrice non sarà fortemente ridotta per righe, o anche solo ridotta per righe. Per esempio la matrice completa del sistema (4.. { x + y + z = x y + 2z = 3 a coefficienti in k =, C è ( 2 3 che non è ridotta per righe. Un possibile metodo di soluzione è quello di trasformare il Sistema (4.. in un nuovo sistema con le stesse soluzioni e che abbia una matrice fortemente ridotta per righe e risolvere quest ultimo invece di quello di partenza. Per esempio, se nel Sistema (4.. si sostituisce alla seconda equazione la somma delle due equazioni, si ottiene il nuovo sistema (4..2 { x + y + z = 2x + 3z = 2 ( che è ridotta per righe. Chiaramente se t ( x 0 y 0 z 0 è soluzione del Sistema (4.. si ha x 0 + y 0 + z 0 = 0, x 0 y 0 + 2z = 0, dunque x 0 + y 0 + z 0 = 0, 2x 0 + 3z = (x 0 + y 0 + z 0 + (x 0 y 0 + 2z = 0, sicché t ( x 0 y 0 z 0 è anche soluzione del Sistema (4..2: concludiamo che l insieme delle soluzioni del Sistema (4.. è contenuto in quello del Sistema (4..2. Typeset by AMS-TEX

2 2 4.. OPEAZIONI ELEMENTAI DI IGA Poiché, viceversa, il Sistema (4.. si può ottenere dal Sistema (4..2 sostituendo alla sua seconda equazione la seconda equazione meno la prima anche l insieme delle soluzioni del Sistema (4..2 è contenuto in quello del Sistema (4..,dunque tali insiemi coincidono, cioè i due Sistemi (4.. e (4..2 hanno le stesse soluzioni, ovvero sono equivalenti nel senso della seguente Definizione Due sistemi di equazioni (non necessariamente lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Proseguendo con il Sistema (4..2, dividendo la seconda equazione per 2 otteniamo il sistema { x + y + z = (4..4 x + 3z/2 = ( 0 3. È facile osservare che il Sistema (4..4 è ancora equivalente al Sistema (4.. di partenza. Sottraendo, infine, alla prima equazione del sistema così ottenuto la seconda otteniamo { y z/2 = 2 (4..5 x + 3z/2 = ( 0 / che è fortemente ridotta per righe. agionando analogamente a quanto fatto prima osserviamo che il Sistema (4..5 è equivalente al Sistema (4..2, dunque al Sistema (4... isolvendo il Sistema (4..5 come spiegato nell Esempio 3.2., otteniamo che la soluzione generale del Sistema (4..5 e, perciò, del Sistema (4.. è { t ( 3z/2 2 + z/2 z z k }. Si noti che ogni operazione fatta sulle equazioni del sistema corrisponde ad un analoga operazione fra le righe della matrice completa del sistema stesso: questa è la tecnica generale per risolvere un qualsiasi sistema di equazioni lineari. Per enunciare il risultato generale introduciamo la definizione di operazioni elementari di riga. Definizione Sia A k m,n, k =, C. Le operazioni elementari di riga su A sono: (E sommare ad una riga di A un multiplo di un altra riga di A (se si somma alla riga di indice i la riga di indice i 0 i moltiplicata per α k tale operazione viene spesso indicata con i i + α i0 ; (E2 moltiplicare una riga di A per una costante non nulla α k (se si moltiplica la riga di indice i per α tale operazione viene spesso indicata con i α i ; (E3 scambiare due righe di A (se si scambiano le riga di indici i e i 0 tale operazione viene spesso indicata con i i0. Il risultato fondamentale di questo paragrafo è il seguente.

3 LEZIONE 4 3 Proposizione Sia A k m,n, k =, C. Allora esiste una successione finita di operazioni elementari di riga che trasforma A in una matrice A k m,n (fortemente ridotta per righe. Dimostrazione. Supponiamo che A = (a i,j i m. Supponiamo che A 0 m,n (altrimenti j n non c è nulla da dimostrare. Sia i 0 il più piccolo indice per cui esiste a i0,j 0 0. Moltiplicando la riga di indice i 0 per a i 0,j 0 (cioè i0 i0 /a i0,j 0 trasformiamo la matrice A in una nuova matrice A avente l entrata in posizione (i 0, j 0. Per ogni i i 0 si sostituisca la riga di indice i con la sua somma alla riga di indice i 0 moltiplicata per a i,j0 A in una nuova matrice A = (a i,j i m j n (cioè i i a i,j0 i0. In questo modo trasformiamo la matrice la cui colonna di indice j 0 contiene un unica entrata non nulla che vale in posizione (i 0, j 0. A questo punto si presentano due possibilità. Nel primo caso tutte le righe di indice i i 0 sono nulle: scambiando la riga di indice i 0 con la riga di indice (cioè i0 trasformiamo A in una nuova matrice A = (a i,j i m j n contiene un unica entrata non nulla che vale in posizione (, j 0 e tale che a la cui colonna di indice j 0 i,j = 0 per ogni i >. Quindi A è fortemente ridotta per righe. Nel secondo caso ripetiamo lo stesso procedimento con il più piccolo indice i > i 0 per cui esiste a i,j 0. Poiché a i,j 0 = 0 per i i 0 segue che j j 0. In questo modo dopo al più m passi (uno per ogni riga otteniamo una matrice fortemente ridotta per righe. Esempio Si consideri la matrice A = Allora A = Â :

4 ANGO DI UNA MATICE tale matrice è ridotta per righe. Proseguendo 2 2 /2 Â 4 4 /2 0 3/2 0 / / / / / / / /4 = A, che è fortemente ridotta per righe ango di una matrice. È chiaro che da ogni matrice A, con operazioni elementari di riga, si potranno ottenere varie matrici ridotte per righe, anche molto diverse: infatti, ad ogni passo, bisogna fare una scelta del pivot. Si può, però, dimostrare che Proposizione Sia A k m,n, k =, C, e siano A ed A due matrici ridotte per righe ottenute da A con una successione finita di operazioni elementari di riga. Allora i numeri di righe di A e di A contenenti entrate non nulle coincidono. Dimostrazione. Omettiamo la dimostrazione. Vedremo più avanti, nel corso delle prossime lezioni, che tale numero dipende solo da A (coincide con un numero chiamato dimensione dello spazio riga di A e non dalla riduzione operata. Si comprende che tale numero riveste un importanza particolare nell algebra delle matrici, pertanto merita un nome particolare. Definizione Sia A k m,n, k =, C, e sia A una matrice ridotta per righe ottenuta da A con una successione finita di operazioni elementari di riga. Il numeri di righe di A contenenti entrate non nulle viene detto rango di A ed indicato con il simbolo rk(a. In particolare rk(a m per definizione. Inoltre rk(a coincide con il numero di pivot di una forma ridotta per righe di A: ognuno di essi si trova necessariamente in una colonna diversa, quindi si ha anche rk(a n. Abbiamo perciò dimostrato che Proposizione Sia A k m,n, k =, C. Allora rk(a min{ m, n }.

5 Esempio Si consideri la matrice LEZIONE A = Poiché con operazioni elementari di riga A può essere trasformata in una delle due matrici / Â =, A /4 =, segue che rk(a = rk(â = rk(a = 3. Osservazione Oltre alla notazione rk(a, per indicare il rango della matrice A si utilizzano anche altri simboli. Per esempio ϱ(a e N(A, per citare solo i più diffusi.

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