La misura e le incertezze

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1 1. Gli strumenti di misura Gli strumenti di misura vengono utilizzati per effettuare la misura di una grandezza fisica. Esistono due tipologie di strumenti di misura: 1. strumenti analogici, in cui la misura deve essere letta su una scala graduata; 2. strumenti digitali, in cui la misura appare come una sequenza di cifre su un display. Proprietà degli strumenti di misura Portata. È il massimo valore della grandezza che lo strumento può misurare. In uno strumento analogico è il valore più grande stampato sulla scala graduata, in uno strumento digitale è il numero più grande che può comparire sul display. Sensibilità. È il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può distinguere. La sensibilità è tanto maggiore, quanto minore è la variazione della grandezza che riesce a rilevare. Negli strumenti analogici è la differenza fra i valori corrispondenti a due tacche successive, in quelli digitali è il valore più piccolo che può apparire sul display. Prontezza. Indica la rapidità con cui uno strumento risponde a una variazione della quantità da misurare. La prontezza è tanto maggiore quanto minore è il tempo impiegato dallo strumento per fornire un valore in conseguenza di una variazione della grandezza che sta misurando. La prontezza è strettamente legata ai fenomeni fisici che vengono utilizzati per il funzionamento dello strumento. Il termometro digitale rileva quasi istantaneamente la temperatura corporea, mentre quello clinico a scala graduata impiega qualche minuto. 2. L incertezza della misura Quando si vuole misurare una grandezza fisica, si commette sempre un errore. Per tale ragione si dice che l errore è connaturato con la misura, ossia è possibile cercare di ridurlo ma non è affatto possibile eliminarlo. L incertezza dello strumento Se si vuole misurare la lunghezza di una matita con un metro da sarto (sensibilità di 1 cm), si otterrà una misura meno meno precisa rispetto a quella ottenuta con un righello (sensibilità di 1 mm). Questo permette di comprendere che l errore è legato alla sensibilità dello strumento di misura e, inoltre, se esso ha una sensibilità alta è possibile incorrere negli errori di lettura, detti errori di parallasse. La lettura di una misurazione cambia se il misuratore muta l angolo di osservazione. Errori sistematici Sono quegli errori che avvengono sempre nello stesso senso: o sempre per eccesso o sempre per difetto. E. Modica - erasmo@galois.it 1

2 Essi dipendono da un difetto di costruzione dello strumento, oppure da una procedura di misurazione effettuata in modo errato. Un classico esempio della presenza di questa tipologia di errori si ha nel caso della bilancia da cucina. Essa spesso presenta la lancetta non perfettamente allineata con lo zero, quindi tutte le misure saranno registrate per eccesso o per difetto. Errori casuali o accidentali Sono quegli errori che variano in maniera imprevedibile da una misura all altra, influenzando il risultato qualche volta per eccesso e qualche volta per difetto. Questi errori si possono presentare quando per esempio sbagliamo ad allineare lo zero di un righello con il punto di partenza della lunghezza che vogliamo misurare. Esercizio. Per controllare il funzionamento di una bilancia misuri più volte una massa il cui valore ti è già noto ed è di 50,00 kg. I risultati delle misure sono: 51,02 kg, 51,00 kg, 50, 98 kg. Da quali errori sono affette le misure? 3. Il valore medio Se si considera una serie di misurazioni di una grandezza fisica, si può dimostrare che il valore che più si avvicina al valore vero è la media aritmetica. Definizione. Date n misurazioni x 1, x 2,..., x n di una grandezza x, si definisce valore medio x il rapporto tra la somma delle misure e il numero delle misurazioni effettuare, in formule: Esempio 1. Dato il set di misure (espresse in cm): 12,3 12,1 12,4 12,3 12,2 12,2 12,3 12,1 12,2 12,4 determinare il valore medio. Applicando la definizione si ha: Definizione. Si dice scarto la differenza di una singola misura dal valore medio, in formule: s i = x i x 4. L errore assoluto o errore massimo o semidispersione Definizione. Date n misurazioni x 1, x 2,..., x n di una grandezza x, si definisce errore assoluto δx la semidifferenza tra il valore massimo e il valore minimo. In formule: x = x = x 1 + x x n n 12,3+12,1+12,4 +12,3+12,2 +12,2 +12,3+12,1+12,2 +12,4 10 = δ x = x max x min 2 E. Modica - erasmo@galois.it 2 n i=1 n x i = 122,5 10 = 12,25 cm

3 Esempio 2. L errore assoluto, nel caso del set di misure dell esempio 1 è dato da: Il risultato della misura può essere espresso come: Nel caso dell esempio precedente si avrà: x = 12,3 ± 0,2 Osservazione. Quando si presenta una misura nella forma: valore medio ± errore come errore si sceglie il valore più grande fra l errore assoluto e la sensibilità dello strumento. 5. L errore relativo e l errore percentuale Definizione. Date n misurazioni x 1, x 2,..., x n di una grandezza x, si definisce errore relativo er il rapporto tra l errore assoluto e il valore medio. In formule: Tale errore viene utilizzato quando si vogliono effettuare dei confronti tra misurazioni, al fine di stabilire quale sia quella più precisa; inoltre è un numero puro, ossia privo di unità di misura Infatti, se si suppone di aver misurato la massa di un elefante e quella di un piatto di spaghetti e di aver ottenuto i seguenti risultati: m e = 4800 ± 6 e Confrontando i rispettivi errori relativi: δ x = 12,4 12,1 2 = 0,3 2 x = x ± δ x cm e r = δ x x = 0,15 cm kg m p = 115,2 ±1,5 g δ m e = 6 e m e 4800 = 0,00125 δ m p = 1,5 m p 115,2 = 0,013 si deduce che la misura della massa dell elefante è più precisa di quella della massa della pasta, anche se l incertezza della misura di me è maggiore di quella della misura di mp. Definizione. Si dice errore percentuale e% l errore relativo espresso in percentuale, ossia: E. Modica - erasmo@galois.it 3

4 e % = e r 100 Esempio. Determinare l errore percentuale nel caso della misura della massa dell elefante. e % = δ m e 100 = = 0, = 0,125% m e 4800 Esercizi proposti 1) Una pallina di gomma viene lasciata cadere da un altezza di 2 m. Un gruppo di studenti misura con un cronometro l intervallo di tempo che la pallina impiega ad arrivare a terra. I valori trovati sono stati riportati nella seguente tabella: Misura Valore (s) 1 0,75 2 0,57 3 0,69 4 0,48 5 0,82 6 0,55 7 0,65 8 0,62 9 0, ,42 a. Calcola il valore medio e l errore assoluto delle misure. b. La sensibilità del cronometro è 0,01 s. Come esprimi in maniera corretta il risultato della misura? c. Calcola l errore relativo e l errore percentuale. [R. 0,61 s; 0,20 s; (0,6±0,2) s; 0,33; 33%] 2) La misura del periodo di oscillazione di un pendolo ha dato come risultato 15,0 s con un errore percentuale del 4%. a. Calcola l errore della misura. b. La sensibilità del cronometro utilizzato è di 0,3 s. Come puoi scrivere il risultato? [R. 0,6 s; (15,0±0,6) s] 3) Con il righello si misura ripetutamente la lunghezza di una corda, ottenendo i seguenti risultati: 3,84 m; 3,79 m; 3,85 m; 3,76 m; 3,80 m; 3,86 m; 3,80 m; 3,78 m. a. Qual è il valore medio di queste misure? b. Calcola l errore massimo. c. Quanto valgono l errore relativo e l errore percentuale? d. Come deve essere scritto il risultato della misura? [R. 3,81 m; 0,05 m; 0,01; 1%; (3,81±0,05) m] E. Modica - erasmo@galois.it 4

5 6. L istogramma dei dati e l errore statistico Se si ha a disposizione un elevato numero di misurazioni di una grandezza fisica, è possibile valutare in modo più accurato l incertezza sperimentale. È possibile presentare i dati statistici utilizzando un istrogramma. L istogramma dei dati è una rappresentazione grafica dei dati di una misurazione, al fine di analizzarne i risultati. PROCEDURA DI COSTRUZIONE 1) Date le n misure x 1, x 2,..., x n, riportare su un asse orizzontale il valore massimo xmax e il valore minimo xmin. 2) Suddividere l intervallo ( x min ; x max ) in un numero k di intervalli di ampiezza: essendo k un numero prossimo alla radice quadrata del numero delle misurazioni effettuate, ossia k n. 3) Ottenuti gli intervalli: si conta il numero delle misure che cade in ciascuno di essi. Siano esse M 1, M 2,..., M k ottenute considerando appartenenti a un intervallo quelle misure che hanno valore maggiore o uguale all estremo sinistro e minore dell estremo destro. 4) Si disegna su ciascun intervallo un rettangolo avente altezza proporzionale al numero delle misure di ciascun intervallo. ESEMPIO Effettuando la misura in metri delle altezze di un mobile di casa ottengono i valori riportati nella seguente tabella. d = x max x min k... I 1 = x min ; x min + d I 2 = x min + d; x min + 2d I k = x min + (k 1)d; x max Alunno Altezza Alunno Altezza Alunno Altezza Alunno Altezza 1 1,61 6 1, , ,61 2 1,63 7 1, , ,63 3 1,62 8 1, , ,63 4 1,64 9 1, , ,61 5 1, , , ,62 E. Modica - erasmo@galois.it 5

6 1) Il valore massimo è x max = 1,68 m, mentre il valore minimo è x min = 1,60 m. 2) L intervallo 1,60;1,68 può essere suddiviso in un numero k=5 di parti aventi ampiezza: d = 1,68 1,60 5 3) La tabella della distribuzione dei dati è quindi: = 0,016 m = 0,02 m 8 Intervallo 1,60 x < 1,62 1,62 x < 1,64 1,64 x < 1,66 1,66 x < 1,68 1,68 x < 1,60 Frequenza Misure mobile 6 Frequenze ,60-1,62 1,62-1,64 1,64-1,66 1,66-1,68 1,68-1,70 Intervalli Dall istogramma è possibile notare che i dati non si distribuiscono in maniera casuale tra il valore massimo e il valore minimo, ma sono più numerosi in prossimità del valore medio x = 1,63 m. CURVA DI GAUSS Se si aumenta il numero delle misurazioni effettuate e il numero k degli intervalli in cui viene suddiviso l intervallo x min ; x max, è possibile dimostrare che: se le incertezze nelle misure sono dovute a errori casuali indipendenti e il numero delle misure è molto grande, l istogramma tende ad assumere una forma simmetrica attorno al massimo centrale e il suo profilo tende a diventare una curva a campana, detta curva di Gauss. E. Modica - erasmo@galois.it 6

7 La curva di Gauss è centrata in prossimità del valore medio e si dimostra che il 68,3% delle misure effettuate è compreso tra i valori x σ e x + σ, in cui σ prende il nome di deviazione standard. Definizione. Date le misure x 1, x 2,..., x n di una grandezza fisica, si dice scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata del rapporto tra la somma dei quadrati degli scarti e il numero delle misurazioni. In formule: Esempio 3. Se consideriamo i dati relativi alla misurazione dell altezza di un mobile, la deviazione standard è pari a σ = 0,02 m. Tale valore è decisamente inferiore dell errore assoluto che risulta essere uguale a δ x = 0,04 m. La misura del mobile può essere quindi presentata come: σ = n i=1 ( x i x ) 2 Osservazione. È possibile dimostrare che il 95,4% delle misure cade in media nell intervallo x 2σ;x + 2σ, mentre il 99,7% cade nell intervallo. 7. L incertezza delle misure indirette Se si vuole calcolare il perimetro di un triangolo o l area di un rettangolo, è necessario effettuare delle operazioni matematiche sulle grandezze che vengono misurate. Come viene valutato l errore in questo caso? Proposizione. L errore assoluto sulla somma di due misure è uguale alla somma degli errori assoluti. In formule: Proposizione. L errore assoluto sulla differenza di due misure è uguale alla somma degli errori assoluti, ossia: n m x = x ± σ = 1,63 ± 0,02 [ ] [ x 3σ;x + 3σ ] δ z = δ x + y E. Modica - erasmo@galois.it 7 = δ x + δ y

8 Esempio 4. Determinare l errore assoluto della somma delle due lunghezze l 1 = ( 1,32 ± 0,03) cm e l 2 = ( 4,11± 0,01) cm. Utilizzando la precedente proposizione si ha: È quindi possibile scrivere la misura come: L = l 1 + l 2 = 5,43 ± 0,04 Proposizione. L errore relativo sul prodotto di due misure è uguale alla somma degli errori relativi. In formule: Proposizione. L errore relativo sul quoziente di due misure è uguale alla somma degli errori relativi, ossia: Esempio 5. Determinare l errore relativo del prodotto P delle due lunghezze l 1 = ( 1,32 ± 0,03) cm e l 2 = ( 1,45 ± 0,02) cm. Utilizzando la precedente proposizione si ha: Essendo: l errore assoluto sarà: δ P = δ P P = 0,03 1,91 = 0,05 cm2 P quindi è possibile scrivere la misura come: δ z = δ ( x y) = δ x + δ y δ ( l 1 + l 2 ) = δl 1 + δl 2 = ( 0,03+ 0,01) cm = 0,04 cm δ P P = δ l l 1 2 l 1 l δ z z = δ x y x y cm δ z z = δ x / y x / y = δ x x + δ y y = δ x x + δ y y = δl 1 + δl 2 = 0,03 l 1 l 2 1,32 + 0,02 = 0,02 + 0,01 = 0,03 1,45 P = l 1 l 2 = 1,32 1,45 = 1,91 cm P = l 1 l 2 = ( 1,91± 0,05) cm 2 E. Modica - erasmo@galois.it 8

9 Esercizi proposti 1) Le lunghezze dei lati di un tavolo sono (15,4±0,1) cm e (10,7±0,1) cm. Calcolare il valore più plausibile del semiperimetro e la corrispondente incertezza. [R. (26,1±0,2) 10-2 m] 2) La lunghezza del lato di un blocco quadrato di alluminio è (12,1±0,1) cm. Calcola il valore più plausibile dell area e la corrispondente incertezza. [R. (146±2) 10-4 m 2 ] 3) Le misure sperimentali dei lati di un parallelepipedo sono a = 5,4 ± 0,1 b = 7,9 ± 0,1 e. Qual è il valore più plausibile del volume del parallelepipedo? Calcola la corrispondente incertezza. [R. (5,0±0,2) 10-4 m 3 ] 8. Le cifre significative Definizione. Si dicono cifre significative di una misura le cifre certe e la prima cifra incerta. Quando scriviamo che la massa di un blocco di ferro è di 112 kg, intendiamo dire che le prime due cifre (11) sono certe, mentre l ultima cifra (2) è incerta. Se fossimo certi anche dell ultima cifra, la misura andrebbe scritta come 112,0 kg. Regole Quando lo zero è posto alla fine di un numero, allora esso è una cifra significativa. Quando lo zero è all inizio del numero, allora non è una cifra significativa. Le cifre significative del numero 0, sono soltanto due, in quanto tutti gli zeri non sono considerati cifre significative. Arrotondamento Arrotondare un numero significa cambiarlo con un altro numero avente meno cifre significative. Regole per l arrotondamento Se si vuole arrotondare un numero, bisogna attenersi alle due seguenti regole: 1) se il primo numero che si cancella è strettamente minore di 5, ossia se è pari a 1, 2, 3 o 4, allora la cifra che lo precede rimane la stessa; per esempio se si vuole arrotondare a tre cifre il numero 1,783, esso verrà scritto come 1,78; 2) se il primo numero che si cancella è maggiore o uguale a 5, ossia se è pari a 5, 6, 7, 8 o 9, allora la cifra che lo precede deve essere aumentata di una unità; per esempio se si vuole arrotondare a due cifre il numero 1,76, esso verrà scritto come 1,8. cm c = ( 11,7 ± 0,1) cm E. Modica - erasmo@galois.it 9 cm,

10 Come si determinano le cifre significative nel caso di misure derivate da altre misure mediante operazioni matematiche? Bisogna attenersi alle seguenti regole. Regola 1. Se si moltiplica o divide una misura per un numero, il risultato deve avere le stesse cifre significative della misura. Esempio 6. Se si moltiplica il numero 7,53 per 5, otteniamo: Poiché il risultato deve avere le stesse cifre significative della misura, ossia tre, scriveremo il risultato della moltiplicazione come 37,7. Regola 2. Se si moltiplicano o dividono due misure, il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa. Esempio 7. Se si moltiplicano le misure 1,435 e 7,23, si ha: Essendo la misura meno precisa 7,23 (tre cifre significative), dovremo scrivere il risultato con sole tre cifre significative, ossia 10,4. Regola 3. Se si sommano o sottraggono due misure, è necessario arrotondare prima le misure in modo che abbiano come prima cifra incerta quella della misura meno precisa. Esempio 8. Se si vogliono sommare le tre misure: 42,1 cm 18 cm 3,586 cm bisogna arrotondare le altre in modo tale che abbiano le stesse cifre significative della misura con l incertezza maggiore. La misura con l incertezza maggiore è 18 cm, in quanto la prima cifra incerta sono le unità, di conseguenza bisogna arrotondare le altre due misure alle unità. Si ha quindi: 7,53 5 = 37,65 1,435 7,23 = 10, ,1 cm + 18 cm + 3,586 cm = 42 cm + 18 cm + 4 cm = 64 cm Esercizio svolto. La lunghezza del lato di un blocco quadrato di alluminio è l = 1,21± 0,1. Calcolare il valore più plausibile dell area e la corrispondente cm incertezza. Determiniamo il valore medio dell area: A = l l = ( 1,21) 2 cm 2 = 146,41 cm 2 L errore relativo sull area è pari alla somma degli errori relativi sui lati, ovvero: E. Modica - erasmo@galois.it 10

11 L errore assoluto sull area è quindi: δ A = δ A A A = 0, ,41 = 2,4187 cm2 2 cm 2 La misura dell area verrà quindi scritta come: δ A A = δl + δl = 2 δl = 2 0,1 l l l 12,1 = 0,01652 A = ( 146 ± 2) cm 2 Osservazione. In generale, vale la regola per la quale se si vuole scrivere il risultato finale di una misura, si approssima prima l errore, portandolo a una sola cifra significativa. In questo modo esso fornisce la prima cifra incerta e successivamente si approssima la misura fino alla stessa cifra dell errore. E. Modica - erasmo@galois.it 11