Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche

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1 Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche Gli strumenti di misura Gli errori di misura Il risultato di una misura Errore relativo ed errore percentuale Propagazione degli errori Rappresentazione di leggi fisiche Relazioni tra grandezze fisiche

2 1 Gli strumenti di misura La distinzione più importante è quella tra strumenti analogici (dotati di una scala graduata su cui si legge il valore della misura) e digitali (sui quali il valore appare come una seguenza di cifre) Bilancia analogica Bilancia digitale 2

3 1 Gli strumenti di misura Portata di uno strumento Portata La portata di uno strumento è il massimo valore della grandezza che lo strumento può misurare 3

4 1 Gli strumenti di misura Sensibilità di uno strumento Sensibilità La sensibilità di uno strumento è la più piccola variazione della grandezza che lo strumento può rilevare In uno strumento analogico, la sensibilità è la differenza tra i valori di due tacche consecutive In uno strumento digitale, la sensibilità è determinata dalla cifra più a destra sul display 4

5 1 Gli strumenti di misura Sensibilità di uno strumento 5

6 2 Gli errori di misura Quando in un esperimento viene misurata una grandezza, il risultato è sempre affetto da una certa imprecisione, causata da fattori legati allo strumento e al procedimento di misura Quando si effettua una misura, pertanto, è necessario: determinare il valore più attendibile della grandezza misurata valutare quantitativamente l incertezza della misura 6

7 2 Gli errori di misura Errori sistematici Un errore sistematico determina misure errate sempre nello stesso senso Sono errori sistematici: L errore dello strumento (una bilancia che non segna lo zero esatto quando il piatto è vuoto) L errore nell utilizzo dello strumento (un righello non perfettamente allineato con il banco di cui si vuole misurare la lunghezza) L errore di parallasse, dovuto alla posizione non corretta dell osservatore che effettua la misura Il tempo di reazione, ad esempio nel far scattare un cronometro 7

8 2 Gli errori di misura Errori sistematici 8

9 2 Gli errori di misura Errori accidentali (o casuali) Le imprecisioni accidentali della misura o le variazioni imprevedibili della grandezza in esame danno luogo agli errori accidentali detti anche casuali o statistici Non è possibile eliminare gli errori accidentali Essi, tuttavia, possono essere ridotti aumentando il numero di misure. È per questo che negli esperimenti si ripetono le misure della stessa grandezza molte volte. 9

10 3 Il risultato di una misura Risultato della misura di una grandezza dove è il valore attendibile di mentre è l errore assoluto (o incertezza) della misura Ciò significa che il valore vero della grandezza è compreso, con buona probabilità, tra e 10

11 3 Il risultato di una misura Risultato di una singola misura Se si effettua una sola misura si considera come valore attendibile il valore misurato e come errore assoluto la sensibilità dello strumento di misura Valore attendibile di una misura = valore misurato 11

12 3 Il risultato di una misura Risultato di n misure Effettuando un gran numero di misurazioni di una grandezza e sommando i risultati ottenuti, gli errori accidentali tendono a cancellarsi Valore attendibile di n misure Il valore attendibile di una grandezza misurata è quindi il valore medio delle misure: 12

13 3 Il risultato di una misura Errore assoluto Una semplice stima dell errore assoluto (cioè dell incertezza) di una misura è data dalla semidispersione: Errore assoluto Se l errore assoluto stimato con il metodo della semidispersione risulta più piccolo della sensibilità dello strumento, è questa sensibilità che va assunta come errore della misura 13

14 3 Il risultato di una misura Come si scrive il risultato di una misura Per scrivere il risultato di una misura con il corretto numero di cifre significative teniamo presenti le regole seguenti: L errore assoluto deve sempre essere arrotondato a una sola cifra significativa L ultima cifra significativa del risultato di una misura deve essere dello stesso ordine di grandezza, cioè nella stessa posizione decimale dell errore 14

15 3 Il risultato di una misura Accordo entro l errore Teoria ed esperimento Se la previsione teorica per il valore di una grandezza ricade all interno dell intervallo definito dall errore sperimentale, possiamo dire che è in accordo con la misura entro i limiti dell errore sperimentale Accordo entro l errore: Esperimento 1 esperimento 2 Date due misurazioni diverse della stessa grandezza, diciamo che le due misure sono compatibili (cioè in accordo entro gli errori) quando entrambi i valori medi ricadono negli intervalli di incertezza delle due misure 15

16 3 Il risultato di una misura Accordo entro l errore 16

17 4 Errore relativo ed errore percentuale Errore relativo Ciò che conta come indice di precisione della misura è il rapporto tra l errore assoluto e il valore attendibile, ovvero l errore relativo della misura Se la misurazione di una grandezza dà come risultato l errore relativo, che indichiamo con x») è dato da (leggi «epsilon con Errore relativo 17

18 4 Errore relativo ed errore percentuale Errore percentuale Nella maggior parte dei casi l errore relativo di una misura è espresso in forma percentuale: Errore percentuale Errore percentuale = errore relativo 100% 18

19 5 Propagazione degli errori Misure dirette e indirette In molti casi può essere difficile o addirittura impossibile misurare direttamente una grandezza Misura diretta Misurare direttamente una grandezza significa confrontarla con una grandezza campione, l unità di misura, e stabilire quante volte questa è contenuta nella grandezza data 19

20 5 Propagazione degli errori Misure dirette e indirette Misura indiretta Misurare indirettamente una grandezza significa ricavarne il valore a partire da misure note di altre grandezze 20

21 5 Propagazione degli errori Propagazione degli errori nelle misure indirette Errore nella somma s di due grandezze a e b Errore nella differenza d di due grandezze a e b 21

22 5 Propagazione degli errori Propagazione degli errori nelle misure indirette Errore nel prodotto e nel rapporto di una grandezza a per un numero k Errore nel prodotto p e nel quoziente q di due grandezza a e b 22

23 6 Rappresentazione di leggi fisiche La rappresentazione dei dati: le tabelle Nella maggior parte dei casi, in un esperimento si cercano relazioni tra due o più grandezze fisiche. Conviene allora organizzare i dati in tabelle Una delle prime tabelle della storia della fisica si trova in una nota di Galileo e riporta i dati dei suoi esperimenti sul piano inclinato 23

24 6 Rappresentazione di leggi fisiche La rappresentazione dei dati: i grafici Le relazioni tra due grandezze possono essere rappresentate graficamente mediante i cosiddetti diagrammi cartesiani In un problema fisico, sugli assi del diagramma cartesiano vengono riportate due grandezze con le loro unità di misura 24

25 6 Rappresentazione di leggi fisiche Rappresentazione grafica dei dati sperimentali Quando in un esperimento si misurano due grandezze correlate, la rappresentazione grafica delle misure deve includere gli errori 25

26 6 Rappresentazione di leggi fisiche Rappresentazione grafica dei dati sperimentali Per ogni serie di dati sperimentali si rappresentano in un grafico il valore attendibile (punto centrale) e i relativi errori 26

27 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità diretta Grandezze direttamente proporzionali Due grandezze, l una funzione dell altra, sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante Relazione di proporzionalità diretta oppure costante (k è detto coefficiente di proporzionalità) 27

28 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità diretta Il grafico delle grandezze direttamente proporzionali è una retta passante per l origine degli assi, più o meno inclinata a seconda del valore di k 28

29 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità inversa Grandezze inversamente proporzionali Due grandezze, l una funzione dell altra, sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante Relazione di proporzionalità inversa oppure costante (k è detto coefficiente di proporzionalità inversa) 29

30 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità inversa Il grafico delle grandezze inversamente proporzionali è un ramo di iperbole avente gli assi cartesiani come asintoti 30

31 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità quadratica Proporzionalità quadratica diretta Una grandezza y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza x se il rapporto tra y 2 e x è costante Relazione di proporzionalità quadratica diretta oppure costante 31

32 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità quadratica In fisica ha particolare importanza la Proporzionalità quadratica inversa Una grandezza y è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza x se il prodotto tra y 2 e x è costante Relazione di proporzionalità quadratica inversa oppure costante 32

33 7 Relazioni tra grandezze fisiche La proporzionalità quadratica 33