CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA.

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1 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 1 CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA Itroduzoe. I geerale, parametr caratterstc d ua v.a. (che per o soo l suo valore medo e la sua varaza o scarto quadratco medo) o soo ot: s pes fatt all mpossbltà cocreta d valutarl per ua v.a. costtuta dalla msura d ua qualtà osservable per ua tera popolazoe, formata da u umero probablmete molto elevato d dvdu. Dobbamo allora accotetarc d tetare d dare ua stma d tal parametr, e la strada per fare cò sarà obblgatoramete quella d partre da msure de parametr da determare esegute su d u campoe tratto dalla popolazoe questoe, dalle qual msure s cercherà d otteere dcazo sul valore degl stess parametr relatv all tera popolazoe. Soo fatt quell campoar gl uc dat d cu ragoevolmete pesamo d poter dsporre. Questo processo troduce ecessaramete ua buoa dose d approssmazoe su rsultat fal la cu attedbltà dovrà essere dscussa attetamete, come faremo al prossmo paragrafo, dal mometo che è evdete come o sa lecto cofodere dat campoar co dat effettv dell tera popolazoe. Ioltre metod da segure o soo uvocamete determat, e sorge allora ache l problema dell dvduazoe tra ess d quello che da maggor garaze. La strada che dchamo è la seguete. A partre da dat campoar, ossa dalle msure effettuate sugl dvdu che formao l campoe, s calcolao parametr campoar al modo seguete: come valore campoaro per l valore medo s usa drettamete la meda artmetca x k 1 x k eseguta sugl dvdu che compogoo l campoe; come stma ( xk x) della varaza s usa, sopratutto per la sua pratctà d calcolo, la quattà s k 1 1, varaza campoara. S ot come l valor medo campoaro vega determato come ua ormale speraza matematca; vceversa, ella determazoe della varaza campoara s prefersce pesare gl scart o co l tradzoale fattore 1 ma co 1 ( 1). Questa dffereza, per bass valor d, può dvetare sgfcatva, metre per elevato, ossa per campo umeros, rsulta essezale. C accotetamo questa sede d gustfcare questa

2 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - scelta osservado che degl dat a dsposzoe, uo per og dvduo del campoe, c samo gà servt per calcolare l valor medo campoaro, e s pesa allora che e resto solamete 1 sgfcatv. A questo puto abbamo eseguto quella che s chama ua stma putuale, ossa ua stma che porterebbe ad assegare valor precs a parametr della popolazoe. I realtà, sarebbe arbtraro assumere drettamete valor campoar come valor de corrspodet parametr dell tera popolazoe. S passa qud alla così detta stma tervallare, ella quale s cerca d determare u tervallo, cetrato sul dato campoaro, el quale cada co ua probabltà prefssata l dato effettvo della popolazoe. La stma tervallare cosste duque el determare l tervallo ( a, b), o tervallo d cofdeza, co a e b lmt d cofdeza, all tero del quale deve cadere l valore del parametro stmato (per esempo l valore medo) co probabltà, detto lvello d cofdeza: ( a µ b) P. Operatvamete s fssa l lvello (per esempo sarà del 95% o ache del 99%), e s determao qud lmt a e b. Ovvamete l grosso del problema cosste propro ella determazoe d tal lmt, dal mometo che o sappamo emmeo quale dstrbuzoe d probabltà seguao valor campoar. A questo proposto c soccorre l così detto teorema del lmte cetrale, base al quale è suffcete che l umero degl elemet che costtuscoo l campoe esame sa maggore d 30 per poter usare la dstrbuzoe d probabltà ormale (o d Gauss); duque occorre dsporre d almeo 30 msure dalle qual rcavare sa l valore medo campoaro x come meda artmetca, che la varaza campoara s (qualora, come probable, o sa cooscuta l effettva varaza σ della popolazoe): lmt d cofdeza s ottegoo sottraedo e sommado al valore medo la quattà s (o, se σ è ota, σ ) moltplcata per l valore della dstrbuzoe ormale che corrspode al lvello prescelto, letto sulle tavole de valor de percetl d tale dstrbuzoe (come s rcorderà da paragraf precedet tale umero è 1,96 per 95%, metre è,58 per 99% ). U aalogo dscorso s potrà fare per la stma tervallare della varaza, co la dffereza che questo caso, per poter usare la dstrbuzoe d Gauss, l umero d dvdu del campoe deve essere almeo d 100 ed lmt d cofdeza s ottegoo sommado e sottraedo al valore medo la quattà s sulle tavole. (o σ ), sempre moltplcata per l valore letto

3 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 3 La stma della varaza sarà comuque, ma solo per o, u problema secodaro, del quale duque o c occuperemo. Ifatt, problem che dovremo trattare presupporrao che qualche fattore estero provoch, o possa provocare, la varazoe del valor medo ua popolazoe della quale s cooscoo gà parametr effettv: ad esempo, ot parametr valor medo e varaza, per esempo del colesterolo HDL delle persoe sae, s vuole verfcare se ua determata patologa e abba o meo cambato l valor medo, lascado per altro varata la varaza. S tratta così d stmare l solo valor medo del campoe costtuto dagl dvdu affett da tale patologa. Ad esempo, s voglao determare lmt che garatscoo u lvello d cofdeza del 95% ua prma volta, e successvamete del 99%. I base al teorema del lmte cetrale occorre dsporre d almeo 30 msure, el ostro caso e potzzamo 100, dalle qual rcavare la meda artmetca x k 1 x k e la varaza campoara s k 1 1 xk x ( ) (questo secodo calcolo potrebbe essere evtato se fosse gà cooscuta l effettva varaza della popolazoe, otteuta base a precedet attedbl stme, che verrebbe usata luogo della varaza campoara); dalle 100 msure effettuate s sao otteut rsultat x 67, 45 cm e s, 93 cm. L tervallo d cofdeza sarà allora 67,45±s 1,96 cm 67,45±1,96,93/10 cm, coè da 66,88 a 68,0 cm per u lvello d cofdeza del 95%; aalogamete per u lvello del 99% l tervallo va da 66,69 a 68,8 cm. Qud, co probabltà del 95%, l valor medo effettvo cade ell tervallo 66.88, 68.0, e co probabltà del 99% lo stesso valor medo deve essere tero all tervallo 66.69, S osserv che, per avere probabltà maggor, dobbamo allargare l tervallo, accettado evdetemete ache valor pù lota dal valore cetrale. I metod ed rsultat propost valgoo el caso cu l umero d elemet che compogoo l campoe o sa cofrotable co quello N degl dvdu dell tera popolazoe: è fatt ecessaro poter affermare che l prelevo d dvdu da ua popolazoe che cota complessvamete N dvdu o alter sgfcatvamete la popolazoe stessa. I caso cotraro sarà ecessaro teere coto d cò troducedo u fattore correttvo che d orma vee proposto ella forma N N 1 1 N, che evdetemete tede ad uo, qud 1 1 N a rsultat precedet, al crescere d N, coè per N che tede ad fto, el qual caso l prelevo degl dvdu del campoe rsulta fluete.

4 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI Regole d decsoe. S cosder l seguete problema: quale grado d fduca samo dspost a dare alle osservazo fatte su d u campoe? ossa, l rsultato otteuto può rteers ella orma, ed essere qud sgfcatvo, oppure abbamo avuto la sfortua d cappare u campoe del tutto atpco, d probabltà molto bassa ma o ulla, e duque c trovamo d frote ad u eveto d estrema rartà? Per esempo, se el laco d ua moeta rpetuto per 10 volte cosecutve otteamo per 10 volte come rsultato la testa, cosa dobbamo dre della moeta? E certo fatt che l caso ctato o è mpossble ache per moete o truccate, ma probablmete, puttosto d pesare d avere otteuto propro quel rsultato estremamete raro, peseremo ad ua moeta o equa. S tratta d dare ua veste pù rgorosa a quato abbamo ora esposto va del tutto qualtatva. Per prma cosa dobbamo stablre fo a che puto samo dspost a credere al verfcars d u eveto raro (o d u eveto acora pù raro che compreda quello realzzato); coè, dal mometo che l esempo ctato, 10 teste su 10 lac, ha probabltà 1/ 10 0,000976, samo dspost ad accettare u smle rscho? La rsposta, probablmete, sarà NO! Procedamo allora al modo seguete. Comcamo co l formulare u potes, el ostro caso: la moeta o è truccata, l che corrspode a fssare 1 l valore della probabltà d ogua delle due facce, e duque l valor medo. Successvamete fssamo u lvello d sgfcatvtà, coè u valore d probabltà mmo per l eveto che rsulterà dalla campoatura che effettueremo: per esempo dcamo d accettare come sgfcatv evet che o cadao elle code d probabltà troppo bassa, dcamo ferore ad 10%. La probabltà complessva d tal code può essere calcolata come somma delle probabltà che e dec lac s vedao troppo poche teste, per esempo zero, ua o due, o troppo poche croc, acora zero, ua o due. Nel prmo caso dobbamo calcolare la somma p ,0 ( ) p10,1 + p10, p q + p q + p q el secodo caso l calcolo è aalogo, e duque la probabltà delle code è Come s vede, tale probabltà è maggore del 10% rchesto. Se cosderamo code mor, d zero o ua testa, e rspettvamete d zero o ua croce, la probabltà complessva s rduce a ;

5 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI , par a crca l.15%. Possamo così cocludere che, per accettare l potes d equtà della moeta, è suffcete che el campoe o compaa ua delle due facce pù d otto volte. I questo caso è stato facle valutare la probabltà dell eveto verfcato, coè del rsultato dell espermeto, o d u eveto d rartà maggore, dal mometo che sappamo d dover fare rcorso alla dstrbuzoe bomale. No sarà sempre così, quato geerale o sarà ota la dstrbuzoe d probabltà alla quale fare rfermeto. I geere, base al teorema del lmte cetrale, la dstrbuzoe d probabltà sarà quella ormale o d Gauss, ma o sarà l uca, come vedremo el seguto. Rcaptolado: samo d frote al problema d verfcare tramte campoatura la attedbltà d ua potes formulata per parametr (per o l solo valor medo) d ua varable aleatora su u tera popolazoe. S tratta d fssare delle regole precse per stablre se l rsultato otteuto è tale da portare alla coferma od alla smetta dell potes fatta. S procede al modo seguete. 1. S formula u potes, detta potes eutra, dcata co H 0, che porta alla determazoe d u valore supposto per parametr d ua popolazoe, per esempo l valor medo;. s fssa u marge d errore massmo accettable, lvello d sgfcatvtà, per esempo del 10%, del 5% o ache dell 1%; 3. s effettua la campoatura rlevado valor campoar per l parametro ( parametr) oggetto dell potes H 0 ; 4. s calcola la probabltà che ell potes eutra avrebbero l rsultato otteuto ed rsultat pù rar (questo calcolo vee fatto sulla base d ua dstrbuzoe d probabltà, per esempo quella ormale); 5. s cofrota la probabltà così calcolata co l lvello d sgfcatvtà prefssato: se rsulta more, l potes eutra H 0 va respta e va accettata l potes cotrara, H 1, co cofdeza par ad 1, ossa del 90%, del 95% o del 99%. Quado l test è basato sulla dstrbuzoe ormale s procede al modo seguete. Eseguta la campoatura dalla quale s è rcavato per la varable aleatora esame l valor medo campoaro x, s fssa l lvello d sgfcatvtà leggedo qud sulle tavole l valore z, semampezza dell tervallo che dvdua u area corrspodete alla probabltà fssata: per esempo se s scegle per l valore del 5% la semampezza dell tervallo sarà d 1,96. S è così determato u tervallo per l valor medo della popolazoe µ, determato base ad H 0, oggetto della stma, cetrato sul rsultato campoaro x, d semampezza z σ

6 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 6 dove σ è la devazoe stadard per la popolazoe, che, se o ota, vee sosttuta da quella campoara s. Se x è l valor medo campoaro, s deve cosderare la sua dstaza da µ, valor medo supposto, x µ, e cofrotarla qud co z σ la quattà z x µ ( σ ) ; altre parole s calcola e la s cofrota co l parametro z letto precedeza sulle tavole base alla scelta d : se z rsulta maggore, l potes H 0 va rfutata ed accettata sua vece l potes cotrara H 1, sempre co probabltà 1. Rassumamo acora quato detto sopra. La scelta d u lvello d sgfcatvtà porta a determare dalle tavole l valore z della varable aleatora ormale stadardzzata che dvde l asse delle ascsse tre part: la prcpale, l tervallo z < z < z, all tero del quale deve cadere l valor medo stmato co probabltà 1, ed altre due, smmetrche, le code, elle qual cade co probabltà complessva lo stesso valor medo. C aspettamo che l rsultato otteuto port ad u valore z µ ( σ ) x more d z, modo che la sua probabltà o sa ferore al lvello d sgfcatvtà prefssato. Valor eccessv porterao al rfuto dell potes, quato dc del realzzars d u eveto d probabltà rteuta troppo bassa per poter costture coferma dell potes formulata: o potremo fatt accettare come probatoro l verfcars d u eveto che o abba probabltà almeo par ad. S ot l fatto che ella determazoe della semampezza dell tervallo el quale deve cadere, co probabltà assegata, l valor medo, s è usata o la devazoe stadard σ, besì l suo rapporto co, dove è l umero d dat a dsposzoe. Questo tee coto del fatto che la varaza, essedo somma d cotrbut o egatv, aumeta co l aumetare del umero d dat a dsposzoe per l suo calcolo; questo modo, u maggor umero d dat, vece d aumetare l affdabltà del rsultato otteuto, e aumeta l determazoe. E ragoevole supporre che l aumeto de dat a dsposzoe comport vece u mglorameto del rsultato stmato, coè ua more certezza su d esso, e o u peggorameto, quale l allargameto dell tervallo. La dvsoe d σ per atteua l effetto esposto e crtcato.

7 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI Dstrbuzoe della varable aleatora χ. Cosderamo u caso dverso dal precedete, el quale l potes eutra porta ad assegare o l valore ad u parametro della dstrbuzoe d probabltà, quale egl esemp precedet l suo valor medo, ma puttosto alla frequeza de rsultat assut dalla v.a. Per spegare meglo, se ua v.a. X assume valor x, co 1,,...,, l potes eutra deve portare a prevedere, per u campoe d N elemet, ua frequeza ν per oguo d ess, co ovvamete 1 ν N. Per esempo, se l potes eutra afferma che addrttura u quarto degl dvdu d ua popolazoe è rappresetato da fumator, dovremo aspettarc d trovare 50 fumator u campoe d 1000 dvdu, 750 de qual duque o sarebbero fumator. I questa stuazoe, ua campoatura c mette a dsposzoe le frequeze effettve de sgol valor della v.a. (rappresetao l dato campoaro), che dchamo co, sempre co 1 N. S devoo allora cofrotare dat campoar co dat attes, e tale cofroto s esegue calcolado l valore della v.a., detta del χ (legg ch quadro ), defto come χ ( ν ) Questa varable vee usata come s è fatto co la v.a. ormale stadardzzata. Ache per essa c è ua fuzoe destà d probabltà, defta per valor postv (o per ulla s parla d ch quadro), d modo che le aree che le stao al d sotto rappreseto la probabltà del rsultato otteuto. Fssato allora u lvello d probabltà, s deve determare, ache questo caso ν. da tabelle, l valore massmo ammesso per χ : valor eccessv portao al rfuto dell potes ed all accettazoe dell potes cotrara, sempre co probabltà 1. I realtà, questo cotesto compare u parametro pù rspetto al caso precedete, e precsamete l così detto grado d lbertà (o degree of freedom), che el ostro caso cosste semplcemete el umero de dat dspobl, dmuto d ua utà. Come grado d lbertà dovremmo cotare dat, dpedet, effettvamete otteut dalle osservazo campoare; el caso precedete, dat dspobl soo le frequeze effettve, ua per og valore della v.a. x, che però o soo tutte dpedet tra loro: soo fatt vcolate dalla cod-

8 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 8 zoe 1 N, se N è l umero delle osservazo fatte; duque solamete 1 d esse costtuscoo l grado d lbertà. Gl esemp successv dovrebbero charre l dscorso. Immagamo d potzzare che gl dvdu d ua popolazoe sao rpartt part ugual tra masch e femme, e che dalla popolazoe stessa sa stato estratto u campoe d dvdu; la ostra potes attrbusce frequeze ugual alle femme ed a masch, e duque c porta a rteere che el campoe c sao femme e masch. Il campoe da però come rsultato femme e masch (s vede gà qu come l secodo dato o sa dpedete dal prmo, e qud come s debba cosderare l grado d lbertà par ad 1 e o a : se 5100 soo le femme su dvdu, samo portat a credere che rmaet dvdu sao masch). S tratta d decdere se l rsultato sa compatble co l potes fatta e l aomala sa legata alla scelta del campoe, o se vece sa dcatvo d ua dfferete dstrbuzoe tra masch e femme, e d cosegueza la ostra potes vada rfutata. Fssato u lvello d probabltà del 5 %, la decsoe s effettua base al valore della v.a. χ, che calcolamo come ( ) ( ) χ + 4 ; dalle tavole, vedamo che, per u solo grado d lbertà, questo valore supera quello cosderato accettable, che per è Duque, cocludamo che, co probabltà par al 95 %, la ostra potes va rfutata. Acora qualche parola sul sgfcato e sul modo d leggere le tabelle de percetl della v.a. χ, stretta aaloga co quato fatto el caso della v.a. ormale stadardzzata. La scelta del lvello d sgfcatvtà 5%, fssato per esempo che 1 95%, determa, dalle tavole, u valore d χ, come vsto, per grado d lbertà utaro, par χ ; questo dvde l asse delle ascsse due part: ua prma parte, lmtata, costtuta da valor fe- ror a χ 95, per la quale l area soprastate delmtata dalla fuzoe destà d probabltà vale 0. 95, e corrspode qud al 95 esmo percetle, ed ua secoda, superormete ll- mtata, costtuta da valor maggor d χ 95, che dvdua ua coda d probabltà bassa, par al restate 5 %. Il fatto che l valore calcolato per la v.a χ super l valore letto sulle tavole dca che l eveto realzzato ha ua probabltà bassa, ferore al lvello d sgfcatvtà scelto: fatt l valore della v.a. è caduto ella coda sopra dcata, e l potes eutra, che sta

9 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 9 alla base del ostro calcolo, va qud rfutata. Al solto, u abbassameto del lvello d sg- fcatvtà, aumetado l valore d χ 95, potrebbe far sì che l valore determato sa accettable, e co esso la stessa potes eutra Due esemp Sa oto l valor medo della v.a. glcema, µ 90 mg%, oché la sua devazoe stadard, σ 4 mg%; la sommstrazoe d u farmaco su 64 pazet porta ad u valor medo campoaro d x 100 mg% (lascado alterata la devazoe stadard); l potes H 0 cosste ell affermare che comuque l valor medo della popolazoe è rmasto alterato a 90 mg%, e la varazoe rscotrata è del tutto accdetale, metre per l potes cotrara H 1 tale valore è effettvamete salto a 100 mg%. Fssamo u lvello d sgfcatvtà del 1 %, che determa u valore z 99 par a. 58 ; calcolamo x σ µ , 33, e corrspodeza a leggamo sulle tavole l valore , che, per dffereza 0. 5, dà Ache teuto coto del ecessaro raddoppo (sulle tavole vegoo dcate le aree della sola parte postva), rcavamo che la probabltà del rsultato otteuto (o d u rsultato peggore) è par , ossa è dello 0.08%, largamete ferore allo 1 % ammesso. Duque l potes H 0 va scartata e s accetta la coclusoe che l farmaco ha provocato u aumeto a 100 mg% del valor medo della glcema co ua probabltà (cofdeza) del 99 %. Il rmaete 1 % vee rcooscuto all evetualtà che comuque l valor medo della glcema sa rmasto alterato, a 90 mg%. Al fe d charre acora l sgfcato della legge de grad umer, rpredamo u esempo fatto parlado delle regole d decsoe, precsamete quello relatvo al laco d ua moeta rpetuto dec volte. S era vsto allora come la probabltà che l rsultato, testa o croce, o comparsse pù d otto volte è d %. Faccamo lo stesso calcolo, ma partedo questa volta da u laco della stessa moeta rpetuto vet volte, co o pù d sedc est ugual. Sbaglerebbe ch pesasse d trovars elle codzo precedet, basados sul fatto, per altro dscutble, che le frequeze relatve e due cas soo ugual, dal mometo che Ifatt, l uovo calcolo porta ad ua probabltà del 47.46%, molto pù bassa della precedete. La cosa s spega co la legge de grad umer: fatt, se essuo d o s meravglerebbe per ua rpetzoe del medesmo rsultato per due volte, tutt al cotra-

10 TE11_st fb - 5/10/007 5/10/007 XI - 10 ro o accetteremmo passvamete ua rpetzoe del medesmo rsultato per ceto o pù volte Cosderazo coclusve Ne (poch) esemp precedet, abbamo sempre cosderato come accettabl rsultat troppo lota da quell attes, sa che la dffereza sa dovuta a valor troppo grad che el caso d valor troppo pccol. No soo però frequet cas e qual l errore rsulta sgfcatvo u verso solo ( u esempo precedete ua dmuzoe, aturalmete o eccessva, della glcema potrebbe essere accettata); questo caso va cambato l modo d determare dalle tavole l parametro h (o z ). Questa volta fatt o s vuole trovare u tervallo lmtato ( z + ), el quale deva cadere co probabltà l rsultato della campoatura: z dovremo vece cosderare l tervallo llmtato (, ) z, dal mometo che ua delle due code d errore, coè ua delle due rego estere all tervallo lmtato precedete, o va cosderata ( quato potzzato sopra, la coda sstra). Duque, per determare l estremo z o dobbamo dvdere per due l lvello d sgfcatvtà, ma dobbamo puttosto sottrargl 0.5. Per esempo per avere ua probabltà del 99 %, u test ad ua coda o s deve cercare sulle tavole l valore pù vco a 0.99 come fatto precedeza, per trovare u tervallo da. 58 a : dobbamo vece cercare, sulle stesse tavole, l valore pù vco a , trovado. 33 crca: l tervallo, ferormete llmtato, va duque da a Ife, se vece d esegure msure su dvdu e calcolare valor med campoar, s eseguoo test per esempo d postvtà (coè s coducoo espermet per qual soo ammesse le sole rsposte sì o o), luogo d valor med s calcola la frequeza relatva campoara P della postvtà del test, che adrà cofrotata co l valor medo della v.a. frequeza relatva, che, come gà vsto, è p, probabltà del sgolo successo. S procede qud come el caso precedete, facedo rfermeto alla v.a. ormale stadardzzata, cofrotado l valore d quest ultma, letto sulle tavole base al lvello d sgfcatvtà prescelto, co l rapporto P - p pq, dove, come vsto, la quattà pq rappreseta la varaza della frequeza relatva.