Triangolo rettangolo

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1 Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa adiacente ipotenusa opposto adiacente ad ad ad sen, cos, tg per determinare gli elementi del triangolo (lati ed a) Conoscendo l ipotenusa OP e l angolo (cioè sen, cos, tg ) cateto opposto ad α = PA ipotenusa sen cateto adiacente ad α = OA ipotenusa cos b) Conoscendo il cateto AP e l angolo opposto cateto.. opposto.. ad.. ipotenusa sen cateto.. adiacente.. ad.. ipotenusa cos c) Conoscendo il cateto OA e l angolo adiacente cateto.. adiacentead ipotenusa cos cateto.. opposto. ad. ipotenusa sen d) Conoscendo il cateto PA e l ipotenusa OP posso trovare PA sen e quindi anche cos e tg OP Dalla conoscenza di sen posso risalire all angolo (tasto di inversione della calcolatrice)

2 Per determinare OA posso utilizzare il teorema di Pitagora oppure cos poiché OA OP cos e) Conoscendo il cateto OA e l ipotenusa OP abbiamo OA cos OP AP con il teorema di Pitagora oppure AP OP sen f) Conoscendo i due cateti PA e OA possiamo determinare PA tg (anche sen e cos ) OA OP con il teorema di Pitagora oppure OP PA sen Nota: Naturalmente in tutti questi esempi dalla conoscenza di si può ricavare anche OPA In conclusione, dalla conoscenza di elementi di un triangolo rettangolo, che però non siano due angoli, posso determinare tutti gli altri (si dice risolvere il triangolo). Conoscere equivale a conoscere sen o cos o tg. Osserviamo che si ha cateto.. opposto.. ad.. cateto.. adiacente.. a.. sen ipotenusa ipotenusa cateto.. adiacente.. ad.. cateto.. opposto.. a.. cos ipotenusa ipotenusa tg tg cos sen

3 Esempi a) Nel triangolo rettangolo gli altri elementi del triangolo. OPA sia l ipotenusa OP e sen POA. Determinare OP sen AP OP sen Per determinare OA posso anche utilizzare il teorema di Pitagora oppure ricavo cos 9 OA OP cos Se OPA abbiamo sen cos cos sen Per avere un idea della misura degli angoli e possiamo utilizzare la calcolatrice premendo, per esempio, il tasto del seno il numero indicato. SIN che permette di risalire all angolo che ha come valore Prendendo SIN (o viceversa, a seconda delle calcolatrici) otteniamo (9,7 ) come valore di. Infine 90 70,

4 b) Progetto Matematica in Rete AP cos 6 Se cos abbiamo sen Quindi OP AP e OA OP cos (oppure con il teorema di Pitagora) Per ricavare utilizzando per esempio il tasto cos della calcolatrice abbiamo cos 6,86 e quindi OPA 90, c) OA tg Se tg posso ricavare sen e cos dal sistema sen cos sen cos oppure ricordare che sen tg tg e cos tg Si ottiene, in ogni caso, che OA OP cos e AP OP sen sen e cos da cui Utilizzando la calcolatrice tg 9,7 e 90 6

5 Nota: il problema poteva essere risolto anche così d) AP tg AP OAtg OA e OP si può trovare con il teorema di Pitagora. OP 8 AP e) Posso determinare sen e con la calcolatrice 8, 68 e per determinare OA posso 8 9 utilizzare il teorema di Pitagora oppure calcolare cos e 6 8 OA OP cos OP 0 OA Determino cos (con la calcolatrice 66, ). 0 Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare AP, basterà calcolare 9 sen e avrò AP OP sen 0 f) AP OA Posso determinare AP tg (con la calcolatrice, 7 ). OA Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare OP basta ricavare da tg.risoluzione Per esempio. tg sen tg OP AP sen sen sen (o cos )

6 Problemi sul triangolo rettangolo. In un triangolo isoscele ABC la base AB a e e area del triangolo. sen ( ABC ). Determina perimetro 9 [p = a ; A = a ]. In un triangolo isoscele ABC di base AB, il lato obliquo CB l e tg ( ABC ). Determina perimetro e area del triangolo ABC. Determina infine la misura dell altezza AK relativa al lato obliquo. [ p l l ; A l ; AK l ]. In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo e la base minore misurano a e cos dove è uno degli angoli adiacenti alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio. 9 [ p a ; 6 A a ]. In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC misura a, forma un angolo retto con il lato obliquo BC e sen dove è l angolo acuto adiacente alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio. 68 [ p a ; A a ] 7. In un triangolo isoscele ABC di base AB il lato obliquo misura a e cos dove è l angolo alla base. Determina la misura delle altezze CH e AK del triangolo. 8 [ CH a ; AK a ] 6. In un trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 0 e la base minore DC misura 0. Sapendo che cos, dove è l angolo ottuso adiacente alla base minore, determina perimetro e area del trapezio. [ p 68 ; A 6 ] 8

7 7. In una semicirconferenza di diametro AB r si prolunga il diametro dalla parte di B e si considera un punto P tale che, tracciata da P la tangente t alla semicirconferenza e detto T il punto di tangenza, si abbia sen ( APT ). Tracciata la tangente t alla semicirconferenza in A e detto Q il punto di intersezione tra t e t, determina perimetro e area del triangolo APQ. [ p 8r ; 8 r A ] 8. Dato un trapezio rettangolo ABCD avente l altezza AD a, sen ( BAC) (AB base maggiore, AC diagonale minore), cos( ABC ), determina perimetro e area di ABCD. [p= 7 8 a a ; A a ] 6 9. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC a si consideri il punto medio O di BC e si tracci la perpendicolare a BC per O, indicando con M l intersezione di questa con il cateto AB. Sapendo che tg ( ABC), determinare il perimetro del quadrilatero ACOM. [ p a ] 0 0. In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale minore AC è perpendicolare al lato obliquo BC. Sapendo che AD a e che tg ( ABC), determina perimetro e area del trapezio. [ p a ; 7 a A ]. L altezza relativa all ipotenusa di un triangolo rettangolo misura a e l angolo che essa forma con uno dei due cateti ha coseno uguale a. Calcola perimetro e area del triangolo. [ p a ; a A ] 9

8 . In un triangolo isoscele ABC di base AB, il raggio della circonferenza inscritta misura r e cos( ABC ). Determina i lati del triangolo. [ AB r ; BC r ]. In un triangolo isoscele ABC di base AB, BC AC a e perimetro e area del triangolo e l altezza AK relativa a BC. 8 [ p a ; cos( ABC ). Determina 9 ] 9 A a ; AK a. In un trapezio scaleno ABCD la base minore DC è uguale ad uno dei due lati obliqui e si ha DC AD l. Sapendo che DAB e che tg ( ABC ), determina i lati del trapezio e le funzioni goniometriche di C e D. [ AB l ; BC l C.; D ]. Un trapezio isoscele di base maggiore AB è circoscritto ad una circonferenza di raggio r e, indicato con uno degli angoli alla base, si ha sen. Determina i lati del trapezio. 8 [ AB r ; DC r ; CB AD r ] 0

9 Area di un triangolo Supponiamo di conoscere due lati di un triangolo e l angolo compreso: possiamo calcolare l area? Tracciamo l altezza AH : AH bsen e quindi area ( ABC) a b sen. Osserviamo che se anche fosse ottuso avremo: AH b sen b sen e quindi ancora area ( ABC) a b sen. Se, come caso particolare, avessi il triangolo sarebbe rettangolo in C e infatti: area( ABC) ab sen sen

10 Lunghezza di una corda di una circonferenza Consideriamo una corda AB in una circonferenza di raggio r: se conosciamo un angolo alla circonferenza che insiste sulla corda possiamo trovare AB? Sappiamo che tutti gli angoli che insistono su AB sono uguali: disegniamo allora quello che ha un lato passante per il centro della circonferenza. Il triangolo ABC è rettangolo in B e quindi, essendo AB R sen AC R : Osserviamo che questa relazione vale anche considerando un angolo come in figura: infatti ( e sono angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza) e quindi sen sen AB R sen Quindi in generale abbiamo AB R seno (angolo alla circonferenza che insiste sulla corda AB) Esercizio: ricava il lato del triangolo equilatero, del quadrato e dell esagono regolare inscritti in una circonferenza di raggio r.

11 Circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo Dato un triangolo ABC come possiamo calcolare il raggio R della circonferenza circoscritta e il raggio r della circonferenza inscritta? Cominciamo con la circonferenza inscritta. L area del triangolo e quindi: S a r b r S ra b c S e quindi S r p r p ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli aventi base a, b, c e altezza r c r a b c ma psemiperimetro Quindi conoscendo l area S e il semiperimetro possiamo calcolare il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo. Esempio: in un triangolo equilatero ABC di lato l abbiamo: l l r l l

12 Consideriamo ora la circonferenza circoscritta al triangolo Ricordando che la corda BC diametro sen a R sen a R () sen Naturalmente è anche R b c sen sen Possiamo anche scrivere, moltiplicando nella () per b c numeratore e denominatore, e ricordando che bc sen area ABC S a a b c a b c R sen sen b c S Quindi conoscendo i lati del triangolo e l area posso determinare R. Esempio: in un triangolo equilatero ABC di lato l abbiamo: l l l l l R l l

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