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1 In Action with Math Competizione e Strategia: Teoria dei Giochi Giulia Bernardi, Roberto Lucchetti 22 ottobre / 21

2 Descrizione del gioco Pagamenti Quali sono le informazioni rilevanti per studiare un gioco non cooperativo? 2 / 21

3 Descrizione del gioco Pagamenti Quali sono le informazioni rilevanti per studiare un gioco non cooperativo? situazione iniziale evoluzioni del gioco = tutte le possibili mosse in ogni possibile situazione situazione finale = preferenze dei giocatori. 3 / 21

4 Descrizione del gioco Pagamenti Grafo Un grafo è un insieme di elementi detti nodi o vertici che possono essere collegati fra loro da linee chiamate archi o lati. Albero Un albero è un grafo non orientato nel quale due vertici qualsiasi sono collegati da uno e un solo cammino. 4 / 21

5 Descrizione del gioco Pagamenti Gioco in forma estesa Rappresentare il gioco con un albero, dove esiste un nodo inziale v 0 da cui sono raggiungibili tutti gli altri nodi; ogni nodo rappresenta una possibile situazione del gioco; i rami rappresentano le possibili scelte dei giocatori o della sorte; sui rami governati dalla sorte esiste una distribuzione di probabilità; ai nodi finali sono associate le utilità dei giocatori. Una partita è rappresentata da una catena che parte da v 0 e arriva ad un nodo finale. Una strategia di gioco per il giocatore i indica quale ramo i deve scegliere se si trova ad un certo nodo. 5 / 21

6 Descrizione del gioco Pagamenti I giocatori decidono a turno se giocare o ritirarsi. Se entrambi giocano si lancia una moneta, se esce testa il secondo paga 100 euro al primo, se esce croce il contrario. I si no II si N 1/2 1/2 no (0, 0) (0, 0) ( 100, 100) (100, 100) 6 / 21

7 Descrizione del gioco Pagamenti I giocatori decidono a turno se giocare o ritirarsi. Se entrambi giocano si lancia una moneta, se esce testa il secondo paga 100 euro al primo, se esce croce il contrario. I due alberi sono equivalenti...? I si no I si N II no (0, 0) (0, 0) si II si no no (0, 0) 1/2 1/2 (0, 0) (0, 0) ( 1, 1) (1, 1) 7 / 21

8 Descrizione del gioco Pagamenti Giochi a informazione perfetta Ogni giocatore sa in ogni momento in che nodo si trova: conosce le mosse precedenti (sia sue che degli altri giocatori) e le possibili mosse future. 8 / 21

9 Descrizione del gioco Pagamenti Pari o dispari I p d II II p d p d (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) 9 / 21

10 1 Il papà offre al figlio maggiore Andrea due oggetti identici a patto che ne offra due, uno o nessuno alla sorella Bianca e lei accetti la sua proposta. Se Bianca rifiuta i due oggetti rimaranno al padre. Come verranno divisi i due oggetti? 10 / 21

11 1 Il papà offre al figlio maggiore Andrea due oggetti identici a patto che ne offra due, uno o nessuno alla sorella Bianca e lei accetti la sua proposta. Se Bianca rifiuta i due oggetti rimaranno al padre. Come verranno divisi i due oggetti? A B B B (2,0) (0,0) (1,1) (0,0) (0,2) (0,0) 11 / 21

12 2 Il papà offre al figlio maggiore Andrea, un oggetto prezioso a patto che venga diviso in qualche modo con la sorella Bianca e lei accetti la sua proposta. Come verrà diviso l oggetto? 12 / 21

13 2 Il papà offre al figlio maggiore Andrea, un oggetto prezioso a patto che venga diviso in qualche modo con la sorella Bianca e lei accetti la sua proposta. Come verrà diviso l oggetto? A B B (1,0) (0,0) (0,1) (0,0) 13 / 21

14 3 Il papà offre al fratello maggiore Andrea 100 euro, a patto che ne offra una parte alla sorella minore Bianca e lei accetti la sua offerta. Come verranno divisi i soldi tra i due fratelli? 14 / 21

15 3 Il papà offre al fratello maggiore Andrea 100 euro, a patto che ne offra una parte alla sorella minore Bianca e lei accetti la sua offerta. Come verranno divisi i soldi tra i due fratelli? A B B (1,99) (0,0)(2,98) (0,0) (99,1) (0,0) 15 / 21

16 Tre politici Tre politici stanno votando una legge per aumentare o meno il loro salario. Voteranno pubblicamente, uno dopo l altro. Il salario aumenterà se almeno due su tre voteranno favorevolmente. Rispetto ai possibili esiti del gioco hanno tutti queste preferenze (dalla peggiore alla migliore): 1 votare Si e la legge non passa, 2 votare No e la legge non passa, 3 votare Si e la legge passa, 4 votare No ma la legge passa. 16 / 21

17 17 / 21

18 Descrizione del gioco Due giocatori con una pistola a sei colpi ciascuno. In ogni pistola c e un solo proiettile. I giocatori mettono un euro sul piatto per aver il diritto di giocare. Il giocatore 1 aggiunge un euro se decide di giocare, se invece si ritira ne aggiunge 2. Nel caso il giocatore 1 sopravviva al primo stadio, il giocatore due ha le stesse opzioni. Se entrambi sono vivi, si dividono il piatto, se uno è morto l altro si tiene tutto il piatto. 18 / 21

19 19 / 21

20 Sul tavolo ci sono due pile di monete: la prima con una moneta, la seconda con tre monete. Il primo giocatore può scegliere di prendere per sè la pila con più monete e lasciare all altro la pila con meno monete o di passare. Ogni volta si passa il numero di monete di ogni gruppo raddoppia. Il secondo giocatore ha le stesse possibilità del primo e così via finché qualcuno non decide di prendere le monete. 20 / 21

21 Sul tavolo ci sono due pile di monete: la prima con una moneta, la seconda con tre monete. Il primo giocatore può scegliere di prendere per sè la pila con più monete e lasciare all altro la pila con meno monete o di passare. Ogni volta si passa il numero di monete di ogni gruppo raddoppia. Il secondo giocatore ha le stesse possibilità del primo e così via finché qualcuno non decide di prendere le monete. I II I II I (32,96) (3,1) (2,6) (12,4) (8,24) (48,16) 21 / 21

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