3. Logica. Obiettivi di apprendimento: Relazioni, dati e previsioni 6T, 7T, 8T, 10Q. La logica nel linguaggio comune...

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1 Capitolo 3. Logica 3. Logica Obiettivi di apprendimento: Relazioni, dati e previsioni 6T, 7T, 8T, 10Q. La logica nel linguaggio comune... sei una persona priva di logica è logico comportarsi cosí fai l analisi logica della seguente frase la logica del gioco è quella di realizzare più goal della squadra avversaria.

2 Capitolo 3. Logica Il termine LOGICA in ambito scientifico non è univoca la definizione (nemmeno fra i matematici) ambito di studio non solo relativo alla matematica storicamente il suo significato è variato

3 Capitolo 3. Logica Il termine LOGICA in ambito scientifico non è univoca la definizione (nemmeno fra i matematici) ambito di studio non solo relativo alla matematica storicamente il suo significato è variato

4 Capitolo 3. Logica Il termine LOGICA in ambito scientifico non è univoca la definizione (nemmeno fra i matematici) ambito di studio non solo relativo alla matematica storicamente il suo significato è variato

5 Capitolo 3. Logica Il termine LOGICA in ambito scientifico non è univoca la definizione (nemmeno fra i matematici) ambito di studio non solo relativo alla matematica storicamente il suo significato è variato

6 Capitolo 3. Logica La LOGICA matematica La logica si occupa dei ragionamenti dopo che questi sono stati espressi in qualche forma di linguaggio (quindi non dell attività del pensare, dei meccanismi interni della nostra mente, ma piuttosto del pensato dopo che questo è stato comunicato) e uno dei suoi scopi è quello di caratterizzare i ragionamenti corretti. D.Palladino

7 Capitolo 3. Logica Nel linguaggio naturale è facile cadere in situazioni di fraintendimento: la borsa è caduta quei due si sono sposati vado al mare o in montagna non ho fratelli In matematica queste ambiguità non possono esserci!

8 3.1 Logica delle proposizioni I termini primitivi: - proposizione logica che indicheremo con p,q,r... - vero che indicheremo anche con v - falso che indicheremo anche con f. Vero e falso verranno anche chiamati valori di veritá delle proposizioni.

9 3.1 Logica delle proposizioni I termini primitivi: - proposizione logica che indicheremo con p,q,r... - vero che indicheremo anche con v - falso che indicheremo anche con f. Vero e falso verranno anche chiamati valori di veritá delle proposizioni.

10 3.1 Logica delle proposizioni I termini primitivi: - proposizione logica che indicheremo con p,q,r... - vero che indicheremo anche con v - falso che indicheremo anche con f. Vero e falso verranno anche chiamati valori di veritá delle proposizioni.

11 3.1 Logica delle proposizioni I termini primitivi: - proposizione logica che indicheremo con p,q,r... - vero che indicheremo anche con v - falso che indicheremo anche con f. Vero e falso verranno anche chiamati valori di veritá delle proposizioni.

12 Assiomi: 1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO. Ogni proposizione logica è vera o è falsa. 2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE. Ogni proposizione logica non è sia vera che falsa. Di ogni proposizione logica sapremo quindi dire esattamente il suo valore di veritá.

13 Assiomi: 1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO. Ogni proposizione logica è vera o è falsa. 2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE. Ogni proposizione logica non è sia vera che falsa. Di ogni proposizione logica sapremo quindi dire esattamente il suo valore di veritá.

14 Assiomi: 1. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO. Ogni proposizione logica è vera o è falsa. 2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE. Ogni proposizione logica non è sia vera che falsa. Di ogni proposizione logica sapremo quindi dire esattamente il suo valore di veritá.

15 Esercizio Quali fra le seguenti sono proposizioni logiche? Sono piccolo 0 è il risultato dell operazione 6 4 Parigi è la capitale della Francia Vieni a giocare a nascondino? Oggi sono presenti al corso di Matematica Elementare 100 studenti Il mio paese è freddo

16 Scheda scuola primaria...

17 Definizione Un connettivo è una trasformazione che permette di ottenere nuove proposizioni logiche a partire da una o piú proposizioni logiche. I connettivi possono essere: monoargomentali se vengono applicati ad una sola proposizione biargomentali se vengono applicati a due proposizioni

18 Definizione Un connettivo è una trasformazione che permette di ottenere nuove proposizioni logiche a partire da una o piú proposizioni logiche. I connettivi possono essere: monoargomentali se vengono applicati ad una sola proposizione biargomentali se vengono applicati a due proposizioni

19 Definizione Due proposizioni logiche p e q sono equiveridiche se hanno lo stesso contenuto di veritá. Scriveremo p q.

20 3.1.1 Connettivi monoargomentali Connettivi monoargomentali Definizione LA NEGAZIONE La negazione è il connettivo che associa ad ogni proposizione logica p una nuova proposizione falsa quando p è vera vera quando p è falsa La negazione della proposizione logica p si indica con p oppure con p. Tavola di veritá p v f p f v

21 3.1.1 Connettivi monoargomentali Connettivi monoargomentali Definizione LA NEGAZIONE La negazione è il connettivo che associa ad ogni proposizione logica p una nuova proposizione falsa quando p è vera vera quando p è falsa La negazione della proposizione logica p si indica con p oppure con p. Tavola di veritá p v f p f v

22 3.1.1 Connettivi monoargomentali Scheda scuola primaria...

23 3.1.1 Connettivi monoargomentali Esercizio Proviamo a negare le seguenti proposizioni logiche: p: 3 è un numero pari q: 6 < 7 r: oggi è il 2 ottobre s: non ho 25 anni Attenzione! Come sará la negazione di t: 2, 5 è un numero pari? Si ricordi che negando una proposizione il valore di veritá deve cambiare!

24 3.1.1 Connettivi monoargomentali Esercizio Proviamo a negare le seguenti proposizioni logiche: p: 3 è un numero pari q: 6 < 7 r: oggi è il 2 ottobre s: non ho 25 anni Attenzione! Come sará la negazione di t: 2, 5 è un numero pari? Si ricordi che negando una proposizione il valore di veritá deve cambiare!

25 3.1.1 Connettivi monoargomentali Esistono altri connettivi monoargomentali? 3 è la negazione p 2 è la doppia negazione p. p v v v f f f v f v f 1 si chiama TAUTOLOGIA e trasforma ogni proposizione in una proposizione sempre VERA. 4 si chiama CONTRADDIZIONE e trasforma ogni proposizione in una proposizione sempre FALSA.

26 Definizione LA CONGIUNZIONE La congiunzione é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione vera quando p e q sono entrambe vere falsa in tutti gli altri casi La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. Tavola di veritá p q p q v v v v f f f v f f f f

27 Definizione LA CONGIUNZIONE La congiunzione é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione vera quando p e q sono entrambe vere falsa in tutti gli altri casi La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. Tavola di veritá p q p q v v v v f f f v f f f f

28 La congiunzione Tavola di veritá p q p q v v v v f f f v f f f f Tabella a doppia entrata p q v f v v f f f f

29 Scheda scuola primaria... Non c è alcuna connessione semantica fra le due proposizioni elementari che danno luogo alla proposizione composta. Il valore di veritá della proposizione composta è unicamente deciso a partire dal valore di veritá delle proposizioni elementari. Buona strategia didattica: uso dei colori!

30 Scheda scuola primaria... Non c è alcuna connessione semantica fra le due proposizioni elementari che danno luogo alla proposizione composta. Il valore di veritá della proposizione composta è unicamente deciso a partire dal valore di veritá delle proposizioni elementari. Buona strategia didattica: uso dei colori!

31 Proprietá della congiunzione 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

32 Proprietá della congiunzione 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

33 Proprietá della congiunzione 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

34 Proprietá della congiunzione 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

35 Scheda scuola primaria...

36 Osservazioni? 3.1 Logica delle proposizioni Scheda scuola primaria...

37 Scheda scuola primaria... Osservazioni?

38 Una O per dire tante cose diverse Per entrare in questo Pub é necessario avere 16 anni o essere accompagnati da un genitore Dormi subito o domani starai a casa dalla gita Faccio il bagno o la doccia

39 Una O per dire tante cose diverse Per entrare in questo Pub é necessario avere 16 anni o essere accompagnati da un genitore Dormi subito o domani starai a casa dalla gita Faccio il bagno o la doccia

40 Una O per dire tante cose diverse Per entrare in questo Pub é necessario avere 16 anni o essere accompagnati da un genitore Dormi subito o domani starai a casa dalla gita Faccio il bagno o la doccia

41 Una O per dire tante cose diverse Per entrare in questo Pub é necessario avere 16 anni o essere accompagnati da un genitore Dormi subito o domani starai a casa dalla gita Faccio il bagno o la doccia

42 LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA Definizione La disgiunzione inclusiva é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione falsa quando p e q sono entrambe false vera in tutti gli altri casi La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. p q p q v v v v f v f v v f f f

43 LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA Definizione La disgiunzione inclusiva é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione falsa quando p e q sono entrambe false vera in tutti gli altri casi La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. p q p q v v v v f v f v v f f f

44 La disgiunzione inclusiva p q p q v v v v f v f v v f f f p q v f v v v f v f

45 Proprietá della disgiunzione inclusiva 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

46 Proprietá della disgiunzione inclusiva 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

47 Proprietá della disgiunzione inclusiva 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

48 Proprietá della disgiunzione inclusiva 1. p p p (proprietá dell idempotenza) 2. (p q) r p (q r) (proprietá associativa) 3. p q q p (proprietá commutativa)

49 Esercizio Si consideri la proposizione logica composta: Mangio pane e mangio salame che possiamo tradurre con p q con i somboli della logica essendo p e q le due proposizioni elementari. Qual è la sua negazione?

50 Esercizio Si consideri la proposizione logica composta: Mangio pane e mangio salame che possiamo tradurre con p q con i somboli della logica essendo p e q le due proposizioni elementari. Qual è la sua negazione?

51 Leggi di De Morgan : Riguardano piú connettivi! p q p q p q p q Con le tavole di veritá si dimostrano queste due leggi.

52 Leggi di De Morgan : Riguardano piú connettivi! p q p q p q p q Con le tavole di veritá si dimostrano queste due leggi.

53 Leggi di De Morgan : Riguardano piú connettivi! p q p q p q p q Con le tavole di veritá si dimostrano queste due leggi.

54 LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA Definizione La disgiunzione esclusiva é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione falsa quando p e q hanno lo stesso valore di veritá vera in tutti gli altri casi La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. p q p q v v f v f v f v v f f f

55 LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA Definizione La disgiunzione esclusiva é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione falsa quando p e q hanno lo stesso valore di veritá vera in tutti gli altri casi La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. p q p q v v f v f v f v v f f f

56 La disgiunzione inclusiva p q p q v v f v f v f v v f f f p q v f v f v f v f

57 Scheda scuola primaria... Cosa coloriamo?

58 Scheda scuola primaria... Cosa coloriamo?

59 Attivitá Una sposa aveva 3 scrigni: uno d oro, uno d argento e uno di piombo e in uno di questi c era il suo anello. Su ogni scrigno c era una frase che poteva essere vera o falsa. Le tre frasi erano legate fra loro da una condizione. Volendo scegliere il suo sposo per la sua intelligenza egli doveva indovinare quale scrigno conteneva l anello. Prima situazione il tesoro è nello scrigno A il tesoro è nello scrigno A o nello scrigno C il tesoro è nello scrigno B o nello scrigno C sapendo che esattamente una è vera.

60 Seconda situazione Scrigno d oro: l anello è in questo scrigno. Scrigno d argento:l anello non è in questo scrigno. Scrigno di piombo: l anello non è nello scrigno d oro sapendo che di queste affermazioni 1 al massimo è vera.

61 Scheda scuola primaria... Quale connettivo è dato per sottinteso nelle seguenti affermazioni?

62 Scheda scuola primaria... Quale connettivo è dato per sottinteso nelle seguenti affermazioni?

63 L IMPLICAZIONE MATERIALE Definizione L implicazione materiale é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione falsa solo nel caso in cui p sia vera e q sia falsa vera in tutti gli altri casi. La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. La proposizione logica ottenuta dall implicazione materiale di p con q si indica con p q e si legge p implica q oppure se p allora q. La proposizione p è detta antecedente, mentre q é detta conseguente.

64 L IMPLICAZIONE MATERIALE Definizione L implicazione materiale é il connettivo che associa ad ogni coppia di proposizioni logiche p e q una nuova proposizione falsa solo nel caso in cui p sia vera e q sia falsa vera in tutti gli altri casi. La proposizione logica ottenuta dalla congiunzione di p con q si indica con p q. La proposizione logica ottenuta dall implicazione materiale di p con q si indica con p q e si legge p implica q oppure se p allora q. La proposizione p è detta antecedente, mentre q é detta conseguente.

65 L implicazione materiale p q p q v v v v f f f v v f f v p q v f v v f f v v

66 Osservazioni sull implicazione materiale: Non c è necessariamente un rapporto di causa-effetto tra l antecedente e il conseguente. Non c è legame semantico fra p e q. Se p q è vera, allora dalla veritá di p si puó senz altro derivare che anche q è vera. Quando l antecedente é falsa, la proposizione composta sará vera indipendentemente dal valore di veritá della conseguente.

67 Osservazioni sull implicazione materiale: Non c è necessariamente un rapporto di causa-effetto tra l antecedente e il conseguente. Non c è legame semantico fra p e q. Se p q è vera, allora dalla veritá di p si puó senz altro derivare che anche q è vera. Quando l antecedente é falsa, la proposizione composta sará vera indipendentemente dal valore di veritá della conseguente.

68 Osservazioni sull implicazione materiale: Non c è necessariamente un rapporto di causa-effetto tra l antecedente e il conseguente. Non c è legame semantico fra p e q. Se p q è vera, allora dalla veritá di p si puó senz altro derivare che anche q è vera. Quando l antecedente é falsa, la proposizione composta sará vera indipendentemente dal valore di veritá della conseguente.

69 Proprietá dell implicazione materiale: 1. La proposizione p p é una tautologia. 2. Non vale la proprietá commutativa. 3. Non vale la proprietá associativa. (p q) r p (q r) Infatti se si prendono p e r false mentre q vera, si ottengono: p q vera, e poi (p q) r falsa. q r falsa, e poi p (q r) vera.

70 Proprietá dell implicazione materiale: 1. La proposizione p p é una tautologia. 2. Non vale la proprietá commutativa. 3. Non vale la proprietá associativa. (p q) r p (q r) Infatti se si prendono p e r false mentre q vera, si ottengono: p q vera, e poi (p q) r falsa. q r falsa, e poi p (q r) vera.

71 Proprietá dell implicazione materiale: 1. La proposizione p p é una tautologia. 2. Non vale la proprietá commutativa. 3. Non vale la proprietá associativa. (p q) r p (q r) Infatti se si prendono p e r false mentre q vera, si ottengono: p q vera, e poi (p q) r falsa. q r falsa, e poi p (q r) vera.

72 Tutte le possibili combinazioni date due proposizioni logiche iniziali p e q sono le seguenti: p q v v v v v v f v v f v f f f v f f v f v v v f v v f v f v f v f f f f v v v f v v f v v f f v f f v f f f v f v v v f f f v v v f f f v In alcune colonne riconosciamo i connettivi introdotti. I valori di veritá delle colonne che non rientrano nei connettivi descritti si ottengono cominando piú volte le proposizioni p e q con i connettivi,,,

73 Compito Compito 1. Prova a dimostrare le proprietà dei connettivi logici che oggi sono state solo citate ma non dimostrate. La tecnica dimostrativa è quella di costruire le tavole di verità 2. Analizza in modo critico il materiale (schede) proposto nella cartella critica1 in Blackboard