Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

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1 Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto da quello di altre grandezze misurate direttamente. Poichè la misura di qualunque grandezza è affetta da errore, quale sarà l errore che graverà su una misura indiretta in funzione degli errori delle altre grandezze, misurate direttamente, da cui essa dipende? Consideriamo per il momento gli errori di sensibilità (errori massimi). Per semplicità di trattazione distinguiamo i casi di una grandezza derivata funzione di una sola grandezza misurata direttamente (per esempio il volume di una sfera conoscendo il raggio della stessa) e quello di una grandezza derivata funzione di più grandezze. Questo secondo caso (per esempio la velocità in funzione dello spazio e del tempo) è la più generale e comprende ovviamente il primo. Supponiamo di voler misurare una grandezza G legata da una certa relazione funzionale alla grandezza X. Se indichiamo con g e con x le rispettive misure di G e X si può scrivere: g = f(x) (9.1.1) con f(x) opportuna funzione che lega X a G. Supponiamo che il risultato della misura di X sia: x = x o ± x (9.1.2) Al variare di x nell intervallo (x 0 x, x 0 + x), la funzione f(x) assume un valore minimo ed un valore massimo che possiamo indicare, rispettivamente, con g min e g max. In generale tali valori non corrisponderanno ai valori assunti dalla funzione agli estremi dell intervallo. Per la grandezza G risulteranno possibili, in conseguenza della misura, tutti i valori compresi nell intervallo tra g min e g max. L indeterminazione da cui sarà affetta G, sarà quindi, secondo quanto discusso: G = g max g min 2 (9.1.3) Questo risultato è valido in generale. È però possibile assai sovente usare formule approssimate che permettono di ottenere più comodamente, sotto certe condizioni, il risultato richiesto. Se infatti x è sufficientemente piccolo, nell intervallo (x o x, x o + x) la funzione sarà approssimata assai bene (in modo del tutto generale) dalla retta tangente. Tale retta ha equazione: g = f(x o ) + m(x x o ) = f(x o ) + m x (9.1.4) ove m è il coefficiente angolare della retta, cioè: m = ( ) df (9.1.5) dx x=x o 9.1

2 con x o un punto (usualmente il punto medio) dell intervallo considerato. I valori massimo e minimo assunti da g nell intervallo in questione sono quindi, se vale l approssimazione fatta: g min = f(x o ) m x g max = f(x o ) + m x (9.1.6) e si può quindi concludere che l errore massimo su g sarà: g = df dx x (9.1.7) x=xo Quindi in definitiva trattiamo l errore di g come il differenziale di f(x), con l accortezza di prenderne il valore assoluto in quanto per definizione l errore è intrinsecamente positivo. Perchè l ipotesi fatta per approssimare la funzione sia valida è in generale sufficiente che a) x sia piccolo da giustificare l approssimazione lineare per f(x) b) la derivata df/dx non sia nulla o vicina a zero in x = x o In caso di dubbio, comunque, occorrerà studiare il comportamento della funzione f(x) nell intorno di x o e determinare g min e g max. In generale poichè la funzione f(x) può essere sviluppata in serie di Taylor nell intorno di x o si può scrivere che: f(x) = f(x o ) + f (x o ) (x x o ) f (x o ) (x x o ) (9.1.8) L approssimazione fatta precedentemente corrisponde a supporre che il termine f (x o ) (x x o ) sia dominante rispetto a tutti quelli successivi. Se adesso consideriamo una grandezza g funzione di K grandezze misurate g = f(x 1, x 2 x K ), per una variazione infinitesima degli x j avremo una variazione di g data dal differenziale di f(x 1 x ): df = K ( f ) dxj (9.1.9) Se anche ora sussistono le condizioni viste per le funzioni di una variabile, ossia errori abbastanza piccoli da poter trattare la funzione come lineare e derivate non nulle, l errore massimo si potrà stimare come il differenziale della funzione, assumendo come variazioni delle variabili i rispettivi errori e imponendo che tutti i termini si sommino coerentemente, ossia prendendo i valori assoluti delle derivate parziali: f = K f xj (9.1.10) ove le derivate parziali sono calcolate nei vari x j = x jo. Questa regola riconduce ai risultati già visti nel caso di somma-sottrazione, prodotto e divisione di quantità fisiche. 9.2

3 9.2 Propagazione degli errori statistici Supponiamo ora che l indeterminazione da cui è affetto x sia dovuta agli errori casuali. Siano x 1, x 2,..., x delle misure dirette ed indipendenti di X, con valor medio x. Avremo, in corrispondenza dei singoli x i, valori di G: g i = f(x i ), da cui si ricava ḡ = i=1 f(x i) (9.2.1) Se supponiamo che la funzione f(x) sia derivabile nell intorno del punto x, potremo scrivere, nell ipotesi che i vari x i x siano tutti abbastanza piccoli, la relazione approssimata: g i = f(x i ) f( x ) + ( ) df (x i x ) (9.2.2) dx ove la derivata è calcolata in x = x. Allora potremo dire ḡ = f( x ) + ( df [ dx )x= x i=1 (x i x ) ] (9.2.3) Per definizione di valor medio i=1 (x i x ) = 0 per cui ḡ = f( x ) (9.2.4) È molto importante notare che il risultato ottenuto, per quanto possa sembrare naturale, in generale non è affatto vero. Se non sono soddisfatte le condizioni che abbiamo richiesto il valor medio di una funzione può essere anche molto diverso dal valore della funzione calcolato in corrispondenza del valor medio dell argomento. Analogamente, e sempre sotto le stesse condizioni, possiamo ricavare la varianza, o meglio la varianza adattata: Quindi: da cui: i=1 [f(x i) f( x)] 2 1 = i=1 [f( x) + ( ) df dx x= x (x i x) f( x)] 2 1 (9.2.5) df ) 2 i=1( dx x= x (x i x) 2 = ( df ) 2 1 dx x= x s2 (x) (9.2.6) In pratica il risultato è equivalente a quello trovato per gli errori massimi. s (g) = df dx x= x s (x) (9.2.7) Esaminiamo come esempi alcuni casi particolari che ricorrono molto frequentemente. a) Moltiplicazione di x per una costante: g = α x: b) Logaritmo naturale di x: g = ln(x): α 2 s 2 (x) s(g) = α s(x) (9.2.8) s2 (x) x 2, s(g) = s(x) x (9.2.9) 9.3

4 c) Elevamento di x ad una potenza α: g = x α. In questo caso si può calcolare direttamente o sfruttare il risultato precedente: s(g) g = α s(x) x (9.2.10) Questi risultati, ovviamente ottenuti applicando direttamente la formula generale, si applicano anche al caso di errori massimi sostituendo, nel risultato finale, x al posto di s(x). Supponiamo ora che g sia funzione di più grandezze x 1,..., x affette da errori statistici; indichiamoli con s(x 1 ),..., s(x ). La situazione è ora radicalmente differente da quella considerata per gli errori massimi. el caso di questi ultimi, proprio perchè si voleva trovare il massimo valore possibile dell indeterminazione, era sufficiente sommare coerentemente (cioè con lo stesso segno, prendendo il modulo) tutti i contributi. In questo caso, viceversa, ad ogni misura gli errori casuali associati ad ogni singola variabile si combinano in modo imprevedibile talvolta compensandosi in tutto od in parte. Ripetendo la misura volte si otterrà quindi una distribuzione per i valori di G, che risulterà da tutti i possibili modi coi quali si possono combinare gli errori casuali sulle x i. Alcune di queste combinazioni saranno più frequenti di altre e l istogramma dei valori di g avrà una larghezza determinata, per l appunto, dalle modalità delle dette combinazioni, oltre che dal valore dei singoli errori. Vediamo come ricavare valor medio e varianza (per esempio adattata, ma il calcolo sarebbe comunque simile anche per σ 2 ) della grandezza g in questo caso. Supponiamo allora di aver fatto misure delle K variabili da cui g dipende. Chiameremo x ji la misura i esima della j esima variabile. Osserviamo che, sempre nelle solite condizioni più volte richiamate, potremo porre: f(x 1i, x 2i,,x Ki ) = f( x 1, x 2,, x K ) + i=1 ḡ = f(x 1i, x 2i,,x Ki ) = K ( f ) (xji x j ) (9.2.11) i=1 [f( x 1, x 2,, x K ) + K ( f ) (xji x j )] (9.2.12) Come abbiamo più volte osservato, la somma degli scarti dal valor medio, i=1 (x ij x j ), è uguale a zero, per cui rimane: ḡ = f( x 1, x 2,, x K ) (9.2.13) Per la varianza i calcoli sono un po più complicati, ma il modo di ragionare è lo stesso. Tenuto conto del risultato sul valore medio lo scarto di un generico g i dal valor medio ḡ sarà dato da: g i ḡ = K ( f ) (xji x j ) (9.2.14) Allora: i=1 [ K ( f ) (xji x j )] 2 1 (9.2.15) [ K f ) 2 i=1 ( (xji x j ) K 1 K ( f )( f ) L=1 M=L+1 x L x (xli M x L ) (x Mi x M ) ] 1 (9.2.16) Quando si somma un numero finito di termini, è lecito scambiare l ordine e raggruppare a piacere gli addendi, per cui possiamo anche dire: 9.4

5 K ( f ) 2 i=1 (x ji x j ) 2 1 K K L=1 M=L+1 ( f )( f ) x L x M i=1 (x Li x L ) (x Mi x M ) 1 (9.2.17) Ricordando la definizione di varianza (adattata) e definendo elemento di matrice di covarianza la quantità COV (x L, x M ) = [ i=1 (x Li x L )(x Mi x M )]/( 1), otteniamo: K ( f ) 2s 2 (x j ) + 2 K 1 K L=1 M=L+1 ( f )( f ) COV (xl, x M ) (9.2.18) x L x M Osserviamo in primo luogo che COV (x j, x j ) = s 2 (x j ), ossia la covarianza è una quantità del tutto analoga alla varianza, a parte la sostituzione del quadrato dello scarto (dal proprio valor medio) della j esima variabile con il prodotto degli scarti di due generiche variabili. Il prodotto di due scarti, a differenza del quadrato, può essere negativo; succede quindi che se le variabili non sono correlate, ossia non tendono ad avere sistematicamente scarti dello stesso segno o di segno opposto, gli elementi di matrice di covarianza sono piccoli e tendono a zero quando il numero di misure tende ad infinito. Questo non succede sempre, esistono casi di variabili correlate in cui la covarianza non è affatto trascurabile, ma questo non è il caso delle semplici applicazioni che si fanno in questo corso. Di norma quindi, salvo avviso contrario, assumeremo COV (x L, x M ) = 0, ed esprimeremo la varianza di g semplicemente come: K ( f ) 2s 2 (x j ) (9.2.19) Otteniamo quindi una relazione che ricorda quella che si applica agli errori massimi, salvo il fatto che sommiamo in quadratura i prodotti delle derivate parziali per gli errori delle singole variabili. Si potrebbe dimostrare, utilizzando le proprietà della matrice di covarianza, che la propagazione degli errori massimi corrisponde alla più pessimistica situazione di correlazione delle variabili che si possa incontrare. Ciò è coerente con il fatto che gli errori massimi per definizione si riferiscono alle situazioni più pessimistiche. Vediamo ora alcuni casi particolari importanti: a) Somma o differenza di due (o più) grandezze: g = x ± y σ 2 M(g) = σ 2 (x) + σ 2 M(y) (9.2.20) b) Somma o differenza di costanti e grandezze moltiplicate per costanti: g = a x ± b y ±... σm 2 (g) = a2 σ 2 (x) + b2 σm 2 (y) +... (9.2.21) c) Moltiplicazione (o divisione) di due (o più) grandezze: g = x y oppure g = x/y σ 2 M (g) ḡ 2 M = σ2 (x) x 2 + σ2 M (y) ȳ 2 M (9.2.22) Dagli esempi precedenti si può ricavare che, se le grandezze che si considerano hanno errori statistici, nel caso di somme e sottrazioni l errore del risultato finale si ottiene facendo la radice quadrata della somma in quadratura degli errori assoluti dei singoli addendi mentre nella moltiplicazione o divisione si debbono sommare, sempre in quadratura, gli errori relativi. 9.5

6 Come esempio riassuntivo vediamo il caso di due (o più) grandezze elevate a esponenti diversi da uno: (per esempio g = x α y β...). Applicando quanto detto sopra otteniamo che l errore relativo è dato da: σ M (g) ḡ M = α 2 σ2 (x) x 2 + β 2 σ2 M (y) ȳ 2 M +... (9.2.23) Consideriamo infine un semplice esempio numerico. Si voglia misurare la accelerazione (supposta uniforme) di un corpo. Si è sperimentalmente determinato il tempo t = (1.000 ± 0.004) s impiegato dal corpo a percorrere (partendo da fermo) una certa distanza l = (50.0 ± 0.3) m. La accelerazione risultante è (le cifre significative non sono ancora aggiustate!): el caso che gli errori siano massimi si ha: a = 2 l t 2 = = m s 2 (9.2.24) a a = l l + 2 t t = (9.2.25) da cui, calcolando a, si ottiene: a = (100.0 ± 1.4) m s 2 (9.2.26) mentre nel caso che gli errori siano statistici: σ(a) a da cui il risultato del valore di a risulta: = σ2 (l) l 2 + (2) 2 σ2 (t) t 2 = 0.01 (9.2.27) a = (100.0 ± 1.0) m s 2 (9.2.28) Si noti che l errore calcolato nel secondo caso risulta più piccolo che nel primo proprio perchè in questo caso gli errori sono stati sommati quadraticamente. 9.3 Combinazione di errori massimi e statistici Abbiamo discusso nei paragrafi precedenti come si combinano fra loro errori massimi oppure errori statistici. Succede talvolta che a costituire l errore da cui è affetta una misura contribuiscano simultaneamente errori sia massimi sia statistici. on è evidente, in un tal caso, come combinare fra loro i vari errori. In effetti possiamo operare in modi differenti a seconda dello scopo della nostra misura. Se vogliamo sapere con certezza in quale intervallo cade il valor vero della grandezza in questione, usiamo la trattazione degli errori massimi. Consideriamo il caso di un singolo errore massimo con un singolo errore statistico. Ci si può sempre ridurre a questa situazione combinando dapprima fra loro tutti gli errori massimi e poi tutti quelli statistici. Vi è però una difficoltà. L errore massimo, per definizione, rappresenta la massima incertezza da cui è affetta una grandezza. L errore statistico rappresenta invece la larghezza della distribuzione limite ed ha 9.6

7 un significato probabilistico. Errori molto più grandi della deviazione standard, per quanto poco frequenti, non sono certo da escludere. Ciò che va combinato con l errore massimo non sarà quindi la deviazione standard, ma una quantità tale che la probabilità di osservare un errore superiore (in modulo) ad esso sia ragionevolmente piccola. Se la distribuzione limite è descritta da una curva di Gauss, cosa che avviene molto sovente, con valor medio µ e deviazione standard σ, si trova che la probabilità di osservare uno scarto dalla media maggiore (in modulo) di 3σ è inferiore allo 0.3%, e quindi, in partica, quasi tutte le misure dovrebbero trovarsi nell intervallo µ 3σ e µ + 3σ. Sulla base di queste considerazioni siamo quindi condotti a formulare una regola secondo cui si trasforma l errore statistico in massimo (a rigore non lo è, il massimo valore è infinito!) moltiplicandolo per 3; dopo di che si procede con le regole viste per gli errori massimi. Questa trattazione tende a dare errori molto grossi, che d altronde sono quelli che ci danno un risultato sicuro. Se invece vogliamo avere una stima realistica ma probabilistica del nostro errore, ossia vogliamo sapere quanto può scartare di norma il nostro risultato dal valore vero, pur sapendo che potrebbe scartare anche sensibilmente di più, ci riconduciamo al caso degli errori statistici. Per far questo osserviamo che se una grandezza x i è misurata con un errore massimo x i il valore vero può cadere indifferentemente in qualunque punto dell intervallo (x i x i, x i + x i ), quindi questa situazione è assimilabile a quella di una distribuzione limite continua che sia identicamente nulla fuori e costante all interno dell intervallo. Abbiamo già considerato questo caso, e osservato come ad esso competa una σ(x i ) = x i / x i. Possiamo allora utilizzare questo valore come deviazione standard di x i e combinarlo in quadratura agli errori sulle altre variabili. 9.4 Errori sistematici Tutte le considerazioni dei paragrafi precedenti sono valide nell ipotesi che si possano trascurare gli errori sistematici che sorgono per svariatissimi motivi. Una causa possono essere delle imperfezioni di natura strumentale quali un errata graduazione della scala in corrispondenza di certi valori, lo zero spostato, il regolo non rettilineo, e così via. Un altra la inadeguatezza della schematizzazione supposta; in altre parole la funzione f(x 1, x 2,..., x ) che lega la grandezza y alle grandezze x 1, x 2,..., x non è corretta. Per esempio volendo determinare l accelerazione di gravità g dalla misura del periodo di oscillazione, T, di un pendolo, se le oscillazioni non sono molto piccole è scorretto usare la relazione: l T = 2π g (9.4.1) in quanto l espressione corretta da usare è invece: T = 2π ) l (1 + θ2 g 16 (9.4.2) ed eventualmente anche termini successivi, ossia contenenti potenze più elevate di θ. Gli errori sistematici sorgono altresì dall aver trascurato la dipendenza della grandezza in questione da altre grandezze; ad esempio presenza di campi magnetici, umidità e densità dell aria e altre ancora. Gli errori sistematici sono difficili da scoprire essendo anche nella più parte dei casi, costanti nel tempo. Il solo 9.7

8 (o quasi) modo di metterli in evidenza è quello di rifare la misura con uno strumento differente. È assai importante perciò, in ogni misura o serie di misure, registrare tutte le possibili condizioni sperimentali o i parametri che si può immaginare possano in qualche modo influire sulla misura. Il modo di procedere per la trattazione degli errori sistematici è il seguente. Si prendono in considerazione tutte le approssimazioni e schematizzazioni che sono state fatte, e per ognuna di esse si stima rozzamente quanto possa far variare il valore della grandezza ricercata. ei casi in cui l effetto sia molto minore degli errori casuali o di sensibilità, esso viene trascurato. Altrimenti se possibile si cerca una correzione, e si stima quale incertezza rimane dopo aver apportato la correzione, che sarà a sua volta sempre approssimativa. Se dopo aver operato in questo modo tutte le sorgenti note di errori sistematici sono ridotte a dare errori trascurabili, vengono ignorate. Altrimenti, si combinano tra loro gli errori sistematici rimasti (in quadratura o linearmente, a seconda del tipo di errore che si vuole ottenere) determinando un errore sistematico complessivo. A volte questo errore viene a sua volta combinato con gli altri, più spesso viene quotato indipendentemente. Per esempio potremo vedere un risultato espresso come: v = (3.25 ± 0.12 ± 0.08 syst ) m/s (9.4.3) 9.5 Accuratezza della deviazione standard el caso di errori statistici è possibile determinare l accuratezza con cui è nota la deviazione standard, utilizzando le regole di propagazione degli errori che abbiamo stabilito. e facciamo una trattazione approssimata che è comunque adeguata ai nostri scopi. Osserviamo che σ è una funzione delle singole misure x i e del valor medio x. Poichè il valor medio si ricava a sua volta dagli x i e comunque è noto con miglior precisione, esso sarà trattato come non affetto da errore. Allora dato che: avremo: Quindi: σ 2 (σ) = σ x i i=1 σ = [ i=1 (x i x) 2 ]1 2 (9.5.1) = 1 2 σ 1 2 (x i x) ( σ x i ) 2 σ 2 (x i ) = i=1 = 1 σ (x i x) (9.5.2) 1 2 σ 2 (x i x) 2 σ 2 (x i ) (9.5.3) Ma i vari x i rappresentano misure ripetute, con stesso strumento e stesse condizioni, della quantità x, per cui σ 2 (x i ) = σ 2 (x) = σ 2. In definitiva: σ 2 (σ) = 1 i=1 (x i x) 2 = σ2 (x) (9.5.4) Conseguentemente la deviazione standard della deviazione standard sarà: σ[σ(x)] = σ(x). (9.5.5) 9.8

9 Con considerazioni più accurate, tenuto che σ[σ(x)] è ricavata dalle stesse informazioni di partenza di x e σ(x), si può trovare un valore adattato s(σ) = σ(x) 2 (9.5.6) che peraltro per abbastanza alto praticamente coincide con il nostro risultato. Si vede allora che la deviazione standard della deviazione standard è grosso modo equivalente all errore standard. Si potrebbe argomentare in base al suo valore sul numero di cifre significative da conservare, ma in effetti è un discorso di scarsa utilità, in quanto sapere per esempio che l errore su una certa misura è, poniamo, anzichè 0.12 non ci fornisce alcuna sostanziale informazione, in quanto l indeterminazione sulla quantità in gioco resta comunque dello stesso ordine di grandezza. 9.9

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