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1 Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U O parallelo alla retta. Fissiamo come unità di misura per le lunghezze il modulo di u, in modo che u risulta essere un versore di r ossia tale u =. Per P r sappiamo che esiste IR tale che P O = u, e il numero viene detto ascissa di P. Coordinate cartesiane nel piano. Un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche O e costituito da una coppia di rette ortogonali che chiameremo asse delle ascisse o asse ) e asse delle ordinate o asse ) rispettivamente tali che - le due rette si incontrano in O e sono entrambe munite di un sistema di coordinate con origine O e versori i e j rispettivamente, - i versori i e j delle due rette hanno la stessa lunghezza, - se si ruota in senso antiorario il versore i dell asse di un angolo di π/, allora i si sovrappone a j. Dato un punto P del piano avremo P O = i + j,, IR. La coppia di numeri, ) viene detta coppia delle coordinate cartesiane di P : si dice ascissa, e si dice ordinata di P. Coordinate polari nel piano Un sistema di coordinate polari in un piano é costituito da un punto O del piano detto polo) e da una semiretta orientata s uscente da O asse polare) e giacente nel piano. Un punto P del piano é individuato dai due numeri: - ρ= distanza OP - θ= angolo descritto dalla semiretta s per sovrapporsi al vettore OP ruotando in senso antiorario 0 θ < π). La coppia ρ, θ) viene detta coppia delle coordinate polari del punto P. Se nel piano ho un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche e considero il sistema di coordinate polari definito da O e dall asse abbiamo le seguenti formule che legano le due coppie, ), ρ, θ) di coordinate di un punto P : { = ρcosθ) = ρsenθ) { ρ = + θ t.c. cosθ) = /ρ, senθ) = /ρ. Sia fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche O. Vogliamo scrivere le formule che legano le coordinate di un punto P nel sistema O alle coordinate del punto in un altro sistema ottenuto traslando o ruotando gli assi coordinati. Combinate opportunamente queste formule danno quelle di una generica roto-traslazione nel piano.. Traslazioni In questo caso gli assi coordinati del nuovo sistema di riferimento O sono paralleli ai precedenti. Se O nel sistema O,, ha coordinate O 0, 0 ), allora le coordinate, ), ) di un punto P

2 nei due sistemi di riferimento sono legate dalle formule { = 0 = 0 oppure { = + 0 = Rotazioni In questo caso il centro O del nuovo sistema di riferimento coincide col centro O, mentre gli assi nuovi sono ottenuti dai precedenti mediante una rotazione in senso antiorario di un angolo θ, 0 θ < π. Se {i, j}; {i, j } sono due basi o.n. equiorientate e m, p T sono le coordinate di i rispetto a {i, j} n, q T sono le coordinate ) di j rispetto a {i, j} m n la matrice P = è ortogonale speciale ossia P p q = P T e detp = +). Inoltre se θ è l angolo di rotazione, allora m, p = cosθ, senθ; n, q = senθ, cosθ e m n P = p q ) cosθ senθ = senθ cosθ ) = P e = P T

3 .4 Roto-traslazioni Prima traslazione, poi rotazione Se, oltre a cambiare la base, varia anche il punto O e O ha coordinate { = 0 ; = 0 } rispetto al sistema O, le relazioni si ottengono combinando = con = P e si ottiene = P Prima rotazione, poi traslazione Se, oltre a cambiare la base, varia anche il punto O e O ha coordinate { = 0 ; = 0} rispetto al sistema ruotato O, le relazioni si ottengono combinando = P con + = e si ottiene + = P Formule di cambiamento di coordinate note le equazioni dei nuovi assi. Se a + b + c = 0 e a + b + c = 0 sono rispettivamente le equazioni dell asse e dell asse nel sistema O, allora il cambio di coordinate è dato dalle formule: = ± a + b + c a + b a + b + c = ± a + b dato che è la distanza dall asse e è la distanza dall asse. I segni vanno scelti in funzione dell orientamento di e, in modo che la matrice dei coefficienti di e abbia determinante +. Fissato un orientamento per gli assi, concorde con quello degli assi, e fissato un punto P al di fuori degli assi,, è sufficiente sistemare i segni ± in modo che le coordinate, ) del punto P abbiano i segni corretti.) 3

4 Coniche Sia fissato nel piano un sistema di coordinate ortogonali monometriche O. Si chiama conica una curva piana definita da un equazione di grado. Nel seguito la conica verrà denotata con Γ e la sua equazione sarà: Γ) : F, ) = a + b + c + d + e + f = 0. Le matrici associate alla conica sono: a b/ d/ A := b/ c e/ e la sottomatrice B := d/ e/ f Osserviamo che: a b/ b/ c - A e B sono matrici simmetriche, - B è il complemento algebrico A 3,3 dell elemento di posto 3, 3) di A, - A = a + b + c + d + e + f, è l equazione di Γ, - B = a + b + c, ossia B è la matrice associata alla forma quadratica di Γ. 3 Coniche in forma canonica Sono le coniche con equazione di uno dei seguenti tipi: a + b = 0 ; a b = 0 ; p = o p = o = q. 3. Circonferenza Si dice circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante R da un punto fisso detto centro. Se la circonferenza ha centro Cα, β) allora la sua equazione è: α) + β) = R quindi del tipo + + a + b + c = 0. Viceversa, data una conica di equazione ) + + a + b + c = 0, in questo caso la matrice B é l identica e det B > 0) completando i quadrati otteniamo l equazione + e dobbiamo distinguere 3 casi:.. a + a 4 ) + + b + b 4 ) + c a 4 b 4 = 0 + a ) + + b ) = a 4 + b 4 c a 4 + b c > 0 La conica è una circonferenza con centro C 4 a 4 + b 4 a, b ) a e raggio c = 0 Nel piano reale ) è l equazione del solo punto C a, b ), 4 + b 4 c. 4

5 3. N.B. nel piano complesso ) è l equazione di una coppia di rette complesse coniugate che si incontrano nel punto reale C. Le equazioni di queste rette sono: + a ) ± i + b ) = 0. a 4 + b 4 c < 0 ) nel piano reale l equazione ) rappresenta l insieme vuoto, nel piano complesso ) è l equazione di una curva che chiamiamo circonferenza priva di punti reali. Sia d := a 4 + b 4 c e consideriamo la traslazione degli assi con origine O = a, b ), = + a = + b Nel nuovo sistema di riferimento O l equazione diventa + = d. 3. Coniche di tipo ellittico. Sono le coniche di equazione. a + b = 0 a + =. In questo caso det A 0 e det B > 0. b La conica con questa equazione viene detta ellisse Se a > b consideriamo i due punti, detti fuochi:. Come per la circonferenza distinguiamo i 3 casi. F = a b, 0) F = a b, 0) si verifica abbastanza facilmente che l ellisse è il luogo dei punti del piano che soddisfano la condizione P F + P F = a. Se b > a, i due fuochi si trovano sull asse : F = 0, b a ) F = 0, b a ) e si verifica che l ellisse è il luogo dei punti del piano che soddisfano la condizione P F + P F = b L ellisse è simmetrica rispetto all origine O0, 0) e agli assi coordinati, che vengono detti rispettivamente centro di simmetria e assi di simmetria della conica. - E inscritta nel rettangolo con centro in O0, 0), e lati paralleli agli assi di lunghezza a e b ed é tangente al rettangolo nei punti +a, 0); a, 0); 0, b); 0, b). Questi punti si dicono vertici dell ellisse. a + = 0. In questo caso det A = 0 e det B > 0. b Come nel caso. della circonferenza, nel piano reale questa è l equazione del solo punto O0, 0), nel piano complesso è l equazione di una coppia di rette complesse coniugate che si incontrano ) ) nel punto reale O. Le equazioni di queste rette sono: ± i = 0. a b a + =. In questo caso det A 0 e det B > 0. b Nel piano reale questa equazione rappresenta l insieme vuoto, nel piano complesso è l equazione di una curva che chiamiamo ellisse priva di punti reali. 5

6 3.3 Coniche di tipo iperbolico. Sono le coniche di equazione a b = 0. Come nei casi precedenti distinguiamo i 3 casi.. a =. In questo caso det A 0 e det B < 0. b La conica con un equazione di questo tipo viene detta iperbole. Consideriamo i due punti, detti fuochi: ) F = a + b, 0 F = ) a + b, 0 si verifica abbastanza facilmente che l iperbole con tale equazione è il luogo dei punti del piano che verificano la condizione P F P F = a.. a =. In questo caso det A 0 e det B < 0. b Questa è sempre l equazione di un iperbole: i due fuochi si trovano sull asse : F = 0, ) b + a F = 0, ) b + a e si verifica in questo caso che l iperbole è il luogo dei punti del piano che soddisfano la condizione P F P F = b. - L iperbole è simmetrica rispetto all origine O0, 0) e rispetto agli assi coordinati, che vengono detti rispettivamente centro di simmetria e assi di simmetria della conica. - La forma quadratica dell equazione si scompone: Q, ) = a b = a + ) b a ) b e le due rette reali di equazione a + ) = 0 b e a ) = 0 sono asintoti per l iperbole. b - Inoltre Γ e tangente esternamente al rettangolo con centro in O0, 0), e lati paralleli agli assi di lunghezza a e b e gli asintoti dell iperbole passano per O0,0) e per i vertici del rettangolo. - I punti in cui la conica incontra il rettangolo sono detti vertici dell iperbole. 3. a = 0. In questo caso det A = 0 e det B < 0. b Questa equazione si scompone in a + ) b a ) = 0 b quindi la conica è l unione delle due rette reali e distinte di equazioni a + ) = 0 e b a ) = 0. b 6

7 3.4 Coniche di tipo parabolico. Sono le coniche di equazione p = oppure p = oppure = q.. p =, p 0. Abbiamo che det A 0 e det B = 0. Le curve con queste equazioni si dicono parabole. p ) Dato il punto del piano F 0,, detto fuoco e la retta d : = p, detta direttrice, i punti che verificano l equazione sono tutti e soli i punti P del piano che soddisfano la condizione: P F = distanzap, d ). - La parabola passa per O0, 0) ed è ivi tangente all asse. O è il vertice. - L asse è asse di simmetria per la curva.. p =, p 0. Abbiamo che det A 0 e det B = 0. La conica è una parabola e analogamente al caso, scambiando con si trovano fuoco, direttrice e asse di simmetria. 3. q = 0. Abbiamo che det A = 0 e det B = 0. L equazione si scompone in + q) q) = 0. Quindi la conica è l unione di due rette parallele, coincidenti se q = 0, complesse e quindi insieme vuoto come conica nel piano reale) se q < 0. 4 Riconoscimento di una conica Data la conica Γ di equazione a + b + c + d + e + f = 0 e le matrici associate a b/ d/ A := b/ c e/ a b/, B := b/ c d/ e/ f Valgono i seguenti due Teoremi: Teorema Data una conica Γ esiste sempre un sistema di riferimento ottenuto per roto-traslazione dal sistema O in cui l equazione di Γ si scrive in forma canonica. Teorema Siano A e B le matrici associate all equazione di una conica Γ. Allora det A, det B e la traccia di B sono invarianti per rotazioni e traslazioni. In altre parole, se A e B sono le matrici associate all equazione di Γ nel sistema O ottenuto per roto-traslazione da O, allora det A = deta, det B = det B, trb) = trb ). Ricordiamo che la traccia di una matrice quadrata M è la somma degli elementi della diagonale principale di M: se M = ) n m i,j, i, j n, allora trm) = m i,i. { detm) = prodotto degli autovalori di M Si ha che trm) = somma degli autovalori di M - Questi fatti e le considerazioni del paragrafo precedente ci permettono di riconoscere il tipo di una conica dalla sua equazione, semplicemente calcolando det A e detb, secondo la tabella seguente: 7

8 In questa sezione, data una conica Γ non degenere determineremo un sistema di riferimento O, X, Y in cui l equazione di Γ si scrive in forma canonica vedere paragrafo 3). Ci sono diversi modi per trovare l equazione canonica di una conica. Quando non sarà sufficiente una traslazione, noi utilizzeremo la diagonalizzazione della matrice B = forma quadratica a + b + c dell equazione della conica. a b/ b/ c, associata alla Per un Teorema ben noto, ogni matrice simmetrica reale B è diagonalizzabile e ha gli autospazi due a due ortogonali. Trovando una base ortonormale per ciascun autospazio, si ottiene una base ortonormale di autovettori e quindi una matrice ortogonale P che diagonalizza B, cioè tale che P = P T e P T BP = matrice diagonale). 5. Forma canonica Data la conica Γ di equazione a + b + c + d + e + f = 0 con matrici associate a b/ d/ A := b/ c e/ a b/, B := b/ c d/ e/ f diamo una dimostrazione costruttiva del Teorema : proviamo che esiste un sistema di riferimento O XY in cui l equazione della conica Γ assume la forma canonica seguente:.. 3. λ X + λ Y + det A det B = 0, se Γ è ellisse o iperbole, λ, λ, autobalori di B, tr B) X ± det A tr B Y = 0, se Γ è parabola λ = tr B, λ = 0, autovalori di B). 5.. Determinazione del sistema O XY nel caso b=0 In questo caso la matrice B è già diagonale e per giungere alla forma canonica è sufficiente una traslazione. - Se la conica è ellisse o iperbole, si riscrive l equazione di Γ a +c +d+e+f = 0 completando i quadrati: a + d ) a + d 4a + b + e ) b + e 4b a + d a X = + d a Mediante la traslazione Y = + e b canonica: ax + by + f = 0 ) + b + e b) + f = 0, con nuova origine O = oppure + f d 4a e 4b = 0 d a, e ) Si arriva all equazione b X f /a + Y f /b =. - Se la conica è una parabola si completa l unico quadrato e si procede analogamente. Per esempio, se a 0, allora c = 0: l equazione è a + d + e + f = 0. a + d a + d 4a + e + f d 4a = 0 a + d ) + e + f ) a e d = 0 4ae 8

9 Mediante la traslazione X = + d a Y = + f e d 4ae si arriva all equazione canonica ax + ey = Determinazione del sistema O XY nel caso b 0. Questa volta per trovare l equazione canonica di Γ è necessaria una rotazione. Si puo procedere nel seguente modo.. Trovo gli autovalori λ e λ di B: che saranno - reali distinti e concordi se la conica è un ellisse - reali e discordi se la conica è un iperbole - λ 0 λ = T racciab)), λ = 0 se la conica è una parabola.. Trovo una base ortonormale {w } per l autospazio V λ e {w } per V λ : sappiamo che V λ V λ, per cui se v = a, b) è base di V λ, allora v = b, a) è base di V λ. La base ortonormale di autovettori é w = v v, w = v dove v i = a v + b 3. L unione delle due basi trovate è una base ortonormale E per IR e sono le colonne di una matrice ortogonale P che diagonalizza B: E = {w, w } P = w T w T Se detp ) = + allora posso considerare i vettori w, w come i versori degli assi, di un nuovo sistema di riferimento O, ottenuto mediante rotazione del sistema O di un opportuno angolo θ. Cioè w T cosθ senθ w T = senθ cosθ Se detp ) =, allora i vettori w, w sono i versori degli assi, ottenuti dagli assi, mediante composizione di una rotazione di un angolo θ con una riflessione attorno all asse O. Preferiamo avere solo rotazioni, quindi è sufficiente scambiare i due vettori o considerare l opposto di uno dei due in modo da ottenere una matrice P con determinante =+. 4. Trovo l equazione di Γ nel nuovo sistema O, usando le formule di rotazione = P In questo nuovo sistema di coordinate la matrice B della forma quadratica di Γ é diagonale e l equazione di Γ diventa: λ + λ + d + e + f = 0 per ottenere l equazione canonica di Γ basta ora una traslazione per cui si continua come nel caso precedente. 6 Fatti utili per il disegno di una conica. - Se Γ è un ellisse o un iperbole di equazione F, ) = a + b + c + d + e + f = 0, allora Γ ha un centro di simmetria che coincide con l origine O del sistema di riferimento in cui l equazione F = 0 di Γ si scrive in forma canonica. Tale centro si può determinare risolvendo il sistema F = 0 9

10 Il simbolo F denota la derivata parziale della funzione F, ) rispetto alla variabile, cioè F = a + b + d, F = b + c + e. - Se Γ è un iperbole, allora due rette parallele agli asintoti si trovano scomponendo la forma di secondo grado dell equazione F,): a + b + c = 0 = = b ± b 4ac )/ a; b 4ac = 4 det B > 0 se Γ è iperbole. Le rette di equazioni = b + b 4ac )/ a = b b 4ac )/ a sono rette parallele agli asintoti di Γ. Gli asintoti si trovano ricordando che contengono il centro di simmetria di Γ. Gli assi di simmetria di Γ sono le bisettrici degli asintoti e si possono quindi determinare o disegnare. L equazione di un iperbole Γ può sempre essere riscritta come: a + b + c)a + b + c ) = k, dove a + b + c) = 0, a + b + c ) = 0 sono le equazioni dei due asintoti di Γ. Questo fatto è immediato, se si ricorda che questo è possibile nel caso dell equazione in forma canonica. - Se Γ è una parabola allora la sua forma quadratica a + b + c ha b 4ac = 0 e le rette di equazione = b ± b 4ac )/ a coincidono. Si ottiene così la retta r di equazione = b/a) che è parallela all asse della parabola. Intersecando Γ con una retta ortogonale a r trovo due punti P, Q: per il punto medio M = P + Q del segmento P Q passa l asse della parabola. Intersecando l asse con la parabola si trova il vertice di Γ. 0

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