Note del corso di Geometria

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1 Giuseppe ccascina Valeio Monti Note del coso di Geometia ppendice nno ccademico

2 ii

3 apitolo 1 Richiami di geometia del piano 1.1 Intoduzione Richiamiamo alcuni agomenti di geometia euclidea del piano che sono stati studiati nei cosi pe-univesitai. Non diamo le dimostazioni delle popietà enunciate. 1.2 Punti e ette Gli enti pimitivi della geometia del piano sono: i punti, che di solito vengono indicati con lettee maiuscole; le ette, che di solito vengono indicate con lettee minuscole. Un punto del piano appatiene o meno a una etta. Nella figua seguente il punto appatiene alla etta mente il punto non appatiene alla etta. In tal caso diciamo anche che la etta passa pe il punto e non passa pe il punto. Usiamo anche i simboli, /. 1

4 2 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO Dati due punti distinti e del piano, esiste una e una sola etta passante pe essi. Petanto, dati due punti distinti e, possiamo consideae la etta passante pe essi (se non avessimo avuto la popietà dell unicità avemmo dovuto palae di una etta passante pe e ). Spesso pe indicae la etta passante pe e useemo il simbolo. Dal fatto che pe due punti distinti passa una e una sola etta segue che, se due ette hanno più di un punto in comune, alloa coincidono. 1.3 Semiette, segmenti e semipiani Sia data una etta e un suo punto. Il punto divide i punti di distinti da in due semiette 1 e 2 aventi oigine in. Qualche volta diemo anche che le due semiette sono delimitate dal punto. 1 2 Notiamo che, pe definizione, l oigine delle due semiette non appatiene a nessuna delle due semiette. Inolte ogni punto della etta distinto da appatiene a una e una sola delle semiette delimitate da. Pe deteminae una semietta è sufficiente alloa dae la sua oigine e un suo punto distinto da. 1

5 1.3. SEMIRETTE, SEGMENTI E SEMIPINI 3 Dati due punti distinti e, il segmento di estemi e è l insieme dei punti appatenenti sia alla semietta di oigine passante pe, sia alla semietta di oigine passante pe. P 2 P P 1 Nella figua pecedente il punto P appatiene al segmento mente i punti P 1 e P 2 non appatengono ad esso. Notiamo che dalla definizione di segmento segue che gli estemi e non appatengono al segmento. lcune volte, pe icodae ciò, useemo il nome di segmento apeto. hiamiamo invece segmento chiuso di estemi e l insieme fomato dal segmento e dai suoi estemi e. Un insieme S di punti del piano si dice convesso se, dati comunque due punti e di S, tutti i punti del segmento appatengono a S. Nella seguente figua l insieme S dei punti del piano delimitati dalla cuva è un insieme convesso. S I punti, i segmenti, le semiette sono insiemi convessi. Sia data una etta, un suo punto e siano 1 e 2 le due semiette di di oigine. Siano P e Q due punti di distinti da. Nel caso in cui P e Q appatengono alla stessa semietta alloa il segmento di estemi P e Q è tutto contenuto nella semietta stessa (in paticolae il segmento non contiene ); nel caso in cui P e Q non appatengono alla stessa semietta alloa il segmento di estemi P e Q contiene. Un insieme non convesso si dice anche concavo. Nella seguente figua l insieme S dei punti delimitati dalla cuva non è un insieme convesso.

6 4 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO S Infatti un insieme S è non convesso se non è veo che dati comunque due punti e di S, tutti i punti del segmento appatengono a S. Un insieme S è quindi non convesso se esistono due suoi punti P e Q tali che il segmento P Q contenga qualche punto non appatenente a S. Pe esempio l insieme S della figua pecedente non è convesso peché il segmento P Q contiene punti non appatenenti ad S. P S Notiamo che nell insieme S vi sono coppie di punti tali che il segmento è tutto contenuto in S. Una etta divide i punti del piano non appatenenti a in due sottoinsiemi convessi, detti semipiani π 1 e π 2 delimitati da. Pe definizione, i punti della etta non appatengono ad alcuno dei semipiani π 1 e π 2 da essa delimitati. Q π 1 π 2 Siano dati due semipiani π 1 e π 2 delimitati da una etta e due punti P e Q non appatenenti ad. Nel caso in cui P e Q appatengono allo stesso semipiano alloa il segmento di estemi P e Q è tutto contenuto nel semipiano stesso (in paticolae il segmento non ha punti in comune con ); nel caso in cui P e Q non

7 1.4. POLIGONI 5 appatengono allo stesso semipiano alloa il segmento di estemi P e Q contiene un punto di. P 4 π 1 P 1 P 3 P 5 P 2 P 6 π Poligoni Dati te punti P 1, P 2 e P 3 chiamiamo tiangolo P 1 P 2 P 3 l insieme fomato dai te punti P 1, P 2, P 3 (che si dicono vetici del tiangolo) e dai te segmenti P 1 P 2, P 2 P 3 e P 3 P 1 (che si dicono lati del tiangolo). P 3 P 1 Nella figua pecedente i te vetici del tiangolo sono non allineati. Quando i te vetici sono allineati il tiangolo si dice degenee. L insieme delimitato dai lati di un tiangolo non degenee è un insieme convesso. I suoi punti si dicono inteni al tiangolo. Dati quatto punti P 1, P 2, P 3 e P 4 chiamiamo quadilateo P 1 P 2 P 3 P 4 l insieme fomato dai quatto punti P 1, P 2, P 3 e P 4 (che si dicono vetici del quadilateo) e dai quatto segmenti P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4 e P 4 P 1 (che si dicono lati del quadilateo. P 4 P 2 P 3 P 3 P 1 P 1 P 4 P 2 P 2

8 6 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO Nelle due figue pecedenti lati diffeenti del quadilateo non hanno alcun punto in comune e nessun vetice appatiene a uno degli alti lati o a un loo polungamento. Non sempe ciò avviene. P 3 P 4 P 3 P 4 P 2 P 3 P 2 P 1 P 4 P 2 P1 P 1 Le definizioni di tiangolo e di quadilateo si possono genealizzae. Dati n punti P 1, P 2,..., P n, chiamiamo poligono P 1 P 2... P n 1 P n l insieme fomato dagli n punti P 1, P 2,..., P n, (che si dicono vetici del poligono) e dagli n segmenti P 1 P 2, P 2 P 3,..., P n 1 P n e P n P 1 (che si dicono lati del poligono. P 6 P 3 P 5 P 1 P 4 P Distanze Dati due punti distinti U 1 e U 2 del piano, possiamo consideae la distanza ta i punti con unità di misua U 1 U 2. La distanza ta due punti e è un numeo eale che indichiamo con il simbolo d(, ). Si ha ovviamente d(u 1, U 2 ) = 1. Si può dimostae che la distanza veifica le seguenti popietà: d(, ) = d(, ) pe ogni e (cioè la distanza ta due punti non dipende dall odine con cui sono scelti i due punti); d(, ) 0 pe ogni e (cioè la distanza ta due punti è un numeo positivo o nullo); d(, ) = 0 se e solo se = (cioè due punti hanno distanza nulla se e solo se essi coincidono);

9 1.5. DISTNZE 7 d(, ) d(, ) + d(, ) pe ogni, e (cioè la lunghezza di un lato di un tiangolo, eventualmente degenee, è minoe o uguale alla somma delle lunghezze degli alti due lati. Pe questa agione questa disuguaglianza si dice tiangolae); d(, ) = d(, )+d(, ) se e solo se il punto appatiene al segmento chiuso. d(, ) < d(, ) + d(, ) d(, ) = d(, ) + d(, ) Dati due punti e, esiste ed è unico un punto M tale che d(m, ) = d(m, ) = 1 d(, ). 2 Il punto M viene detto punto medio di e. Dall ultima delle popietà della distanza segue che il punto medio M appatiene al segmento. Dalla definizione segue inolte che, se =, alloa M = =. M Dati due punti O ed il simmetico di ispetto a O è l unico punto del piano tale che O sia il punto medio di e. Notiamo che il simmetico di O ispetto a O stesso è O. O

10 8 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO 1.6 Rette paallele Dal momento che pe due punti distinti passa una e una sola etta, si ha che due ette possono intesecasi in: nessun punto (le ette si dicono paallele non coincidenti); un punto (le ette si dicono incidenti); tutti i loo punti (le ette si dicono paallele coincidenti). Petanto due ette e s si dicono paallele (in simboli s) se è veificata una delle seguenti condizioni: le due ette coincidono (in simboli s), cioè tutti i punti della etta appatengono alla etta s e, vicevesa, tutti i punti della etta s appatengono alla etta ; le due ette non hanno alcun punto in comune. In base al quinto postulato di Euclide, data una etta e un punto P, esiste una e una sola etta s passante pe P e paallela a. s P Nella figua pecedente abbiamo disegnato un punto P non appatenente alla etta. Se il punto P appatiene alla etta, alloa la etta s passante pe P e paallela alla etta è la etta stessa. La elazione di paallelismo ta ette è una elazione di equivalenza: (popietà iflessiva) pe ogni etta si ha ; (popietà simmetica) se s alloa s ; (popietà tansitiva) se s e se s t alloa t. Notiamo che, se avessimo definito paallele due ette se e solo se esse non hanno alcun punto in comune, avemmo avuto che la elazione di paallelismo veifica la popietà simmetica ma non veifica né la popietà iflessiva né la popietà tansitiva. Date due ette paallele ed s, ogni etta t incidente è incidente anche s.

11 1.6. RETTE PRLLELE 9 t s Un caso paticolae di quadilateo è il paallelogamma. Un quadilateo P 1 P 2 P 3 P 4 si dice paallelogamma se i suoi quatto vetici sono a te a te non allineati (in paticolae sono distinti) e se P1P 2 P3P 4 e P2P 3 P4P 1. P 4 P 3 P 1 P 2 I lati opposti di una paallelogamma hanno la stessa lunghezza. Nel paallelogamma P 1 P 2 P 3 P 4 si ha quindi: d(p 1, P 2 ) = d(p 3, P 4 ) d(p 2, P 3 ) = d(p 4, P 1 ). Dati te punti O, e non allineati, esiste uno e un solo punto tale che O sia un paallelogamma. Il quato vetice del paallelogamma può essee così deteminato: deteminiamo la etta passante pe e paallela alla etta passante pe O e ; deteminiamo la etta s passante pe e paallela alla etta s passante pe O e ; deteminiamo infine il punto come intesezione delle ette e s.

12 10 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO s O s 1.7 ngoli Siano, e te punti distinti non allineati. hiamiamo angolo  l intesezione del semipiano delimitato dalla etta passante pe e contenente con il semipiano delimitato dalla etta passante pe e contenente. Il punto viene detto vetice dell angolo. Pe definizione  e Ĉ sono lo stesso angolo, mente  e sono angoli diffeenti. I punti appatenenti alla etta passante pe e e i punti appatenenti alla etta passante pe e non appatengono all angolo Â. Nella definizione di angolo che abbiamo appena dato abbiamo ichiesto che i te punti non siano allineati. In alcuni casi è peò necessaio dae la definizione di angolo anche quando i te punti, e siano allineati. In tal caso, se i punti e appatengono alla stessa semietta delimitata da, diciamo che l angolo  è, pe definizione, l angolo nullo. Se invece i punti e appatengono a divese semiette delimitate da, di angoli ne abbiamo due: i due semipiani delimitati dalla etta passante pe i te punti. Quando saà necessaio, specificheemo quale dei due scegliamo consideando un punto del semipiano scelto. In ogni caso diciamo che abbiamo l angolo piatto. Gli angoli da noi definiti sono tutti convessi. In alcuni casi è peò necessaio consideae anche angoli concavi. In alti casi, pe esempio quando si fa tigo-

13 1.7. NGOLI 11 nometia, è necessaio definie una oientazione dell angolo, si paleà alloa di angoli oientati. In linea di massima noi non faemo uso né degli angoli concavi né degli angoli oientati. Due ette e s che si intesecano in un punto deteminano quatto angoli. s Gli angoli 1 e 3 e gli angoli 2 e 4 si dicono opposti al vetice. Gli angoli opposti al vetice sono uguali: petanto gli angoli 1 e 3 sono uguali. nche gli angoli 2 e 4 sono uguali. Gli angoli 1 e 2 si dicono adiacenti. nche gli angoli 2 e 3, gli angoli 3 e 4 e gli angoli 4 e 1 si dicono adiacenti. Due ette e s tagliate da una tasvesale t deteminano otto angoli. t s Gli angoli 1 e 7 si dicono alteni inteni. nche gli angoli 4 e 6 si dicono alteni inteni. Se le ette e s sono paallele alloa gli angoli alteni inteni sono uguali. Vicevesa, se gli angoli alteni inteni sono uguali, le ette sono paallele. t s Nella figua qui sopa, gli angoli 1 e 7 sono uguali (e quindi sono uguali anche gli angoli 4 e 6. Le ette e s sono petanto paallele.

14 12 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO 1.8 Pependicolaità Un angolo si dice etto se è uguale a uno dei due angoli ad esso adiacenti. Poiché i due angoli adiacenti a un angolo sono opposti al vetice, se un angolo è uguale a uno dei suoi due angoli adiacenti, alloa esso è anche uguale all alto angolo adiacente. Un angolo etto viene simboleggiato da un quadatino. Due ette incidenti in un punto si dicono pependicolai o otogonali se i quatto angoli da esse fomati sono ta loo uguali (e quindi sono etti). Due ette pependicolai a una stessa etta sono ta loo paallele. Se una etta è pependicolae a una etta s e se la etta s è a sua volta pependicolae a una etta t, alloa le ette e t sono paallele.

15 1.8. PERPENDIOLRITÀ 13 s t Dato un punto e una etta, esiste una e una sola etta n passante pe e pependicolae a. H = H Nelle figue pecedenti sono appesentati sia il caso in cui il punto non appatenga alla etta sia il caso in cui il punto appatenga alla etta. Il punto H di intesezione ta n e viene detto poiezione del punto sulla etta. Notiamo che nel caso in cui il punto appatenga alla etta la sua poiezione su è il punto stesso. Dati due punti e distinti, sia M il loo punto medio e sia la etta passante pe e. La etta s passante pe M e pependicolae alla etta si dice asse del segmento. s M I punti dell asse di un segmento sono tutti e soli i punti equidistanti da e da. In alte paole, se un punto P è tale che d(p, ) = d(p, ), alloa il punto P appatiene all asse del segmento e vicevesa.

16 14 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO P s M Q Dato un punto e una etta, chiamiamo distanza del punto dalla etta la distanza ta il punto e la sua poiezione H sulla etta. Indichiamo la distanza ta e con il simbolo d(, ). Notiamo che, se il punto appatiene alla etta, si ha d(, ) = 0. Date due ette e s paallele, chiamiamo distanza ta le due ette la distanza ta un qualsiasi punto P di e la poiezione di P su s. Indichiamo la distanza ta le due ette con il simbolo d(, ). s Q P La definizione appena data non dipende dalla scelta del punto P sulla etta. Scelti infatti due punti distinti P 1 e P 2 sulla etta, siano Q 1 e Q 2 le loo poiezioni sulla etta. bbiamo alloa il ettangolo P 1 P 2 Q 2 Q 1. In un paallelogamma i lati opposti sono uguali, quindi d(p 1, Q 1 ) = d(p 2, Q 2 ).

17 1.8. PERPENDIOLRITÀ 15 s Q 2 Q 1 P 2 P 1 Si ha d(, ) = d(, ). Infatti, se la poiezione di un punto P sulla etta è il punto H, si ha che la poiezione del punto H sulla etta è il punto P. Notiamo che, se le due ette sono coincidenti, dalla definizione segue che la loo distanza è uguale a 0. Se infine le due ette sono incidenti poniamo, pe definizione, d(, s) = 0. Dato un punto P e una etta chiamiamo simmetico di P ispetto alla etta il punto Q tale che il punto P e il punto Q hanno come punto medio la poiezione del punto P sulla etta. P H Q Notiamo che, se il punto P appatiene alla etta, il suo simmetico ispetto a è il punto P stesso. Dato un angolo, chiamiamo bisettice dell angolo, la semietta con oigine in passante pe D, tale che gli angoli D e D siano uguali. D

18 16 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO Spesso pe bisettice si intende tutta la etta passante pe e D. Dal contesto saà chiao quale delle due accezioni (semietta o etta) di bisettice stiamo usando. Notiamo che la bisettice (intesa come etta) dell angolo è anche bisettice dell angolo opposto al vetice dell angolo. D Siano date due ette e s che si intesecano in un punto. Si definiscono bisettici delle ette e s le ette b e b passanti pe tali che gli angoli da esse fomati con le ette e s siano uguali. b b s Le bisettici di due ette sono ta loo pependicolai. L insieme dei punti delle due bisettici delle ette e s coincide con l insieme dei punti equidistanti dalle ette e s. In alte paole, un punto P appatiene a una delle due bisettici di e s se e solo se d(p, ) = d(p, s).

19 1.9. TRINGOLI 17 Q P b b s 1.9 Tiangoli bbiamo visto che te punti, e non allineati deteminano un tiangolo non degenee. D oa in poi consideiamo solo tiangoli non degenei. on il temine lati del tiangolo di solito si intendono i te segmenti, e. lcune volte peò viene usata la dicitua lati del tiangolo pe indicae la lunghezza dei te lati del tiangolo, cioè i numei eali positivi d(, ), d(, ) e d(, ). Dal contesto si capisce quale delle due definizioni viene usata. Un tiangolo si dice scaleno se ha tutti e te i lati diffeenti. Un tiangolo si dice isoscele se ha almeno due lati uguali.

20 18 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO Un tiangolo isoscele ha due angoli uguali. Gli angoli uguali sono quelli opposti ai due lati uguali. Vicevesa, se un tiangolo ha due angoli uguali, alloa ha due lati uguali, è cioè isoscele. I lati uguali sono quelli opposti agli angoli uguali. Un tiangolo si dice equilateo se ha tutti e te i lati uguali. Un tiangolo equilateo ha tutti e te gli angoli uguali. Vicevesa un tiangolo con tutti e te gli angoli uguali è equilateo. La somma degli angoli di un tiangolo è uguale a un angolo piatto. Petanto se conosciamo l ampiezza di due angoli di un tiangolo alloa conosciamo anche l ampiezza del tezo angolo. Poiché la somma degli angoli di un tiangolo è uguale a π, gli angoli di un tiangolo equilateo hanno tutti ampiezza uguale a π 3. Un tiangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.

21 1.9. TRINGOLI 19 Un tiangolo si dice ettangolo se ha un angolo etto. Un tiangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso. Due tiangoli si dicono uguali se i loo lati e i loo angoli sono a due a due uguali. Pe veificae quindi se due tiangoli sono uguali dobbiamo fae sei contolli.

22 20 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO D F E Nella figua pecedente i tiangoli e EF G sono uguali. In effetti, pe veificae che due tiangoli siano uguali, non è necessaio contollae l uguaglianza di tutti i lati e di tutti gli angoli. Vi sono infatti i seguenti citei di uguaglianza dei tiangoli: Pimo citeio: Due tiangoli, aventi uguali due lati e l angolo fa essi compeso, sono uguali. Pe esempio, nella figua pecedente, se sappiamo che d(, ) = d(d, E) e d(, ) = d(d, F ) e sappiamo che l angolo in e l angolo in D sono uguali, possiamo concludee che i tiangoli e DEF sono uguali. Secondo citeio: Due tiangoli, aventi uguali un lato e gli angoli ad esso adiacenti, sono uguali. Pe esempio, nella figua pecedente, se sappiamo che d(, ) = d(e, F ), che l angolo in è uguale all angolo in E e che l angolo in è uguale all angolo in F possiamo concludee che i tiangoli e DEF sono uguali. Tezo citeio: Due tiangoli, aventi uguali i te lati, sono uguali. Pe esempio, nella figua pecedente, se sappiamo che si ha: d(, ) = d(d, E), d(, ) = d(e, F ) e, infine, d(, ) = d(f, D) possiamo concludee che i tiangoli e DEF sono uguali. Notiamo che due tiangoli aventi ispettivamente uguali te angoli, non sono necessaiamente uguali. Si pensi, pe esempio, a due tiangoli equilatei aventi lati di lunghezza diffeente. I due tiangoli, pu avendo ovviamente gli angoli uguali (hanno tutti ampiezza uguale a π 3 non sono uguali. Notiamo infine che, poiché la somma degli angoli di un tiangolo è uguale a un angolo piatto, se due tiangoli hanno due angoli ispettivamente uguali, alloa essi hanno uguale anche il tezo angolo iconfeenze Dato un punto e un numeo eale 0, chiamiamo ciconfeenza di cento e aggio l insieme dei punti P aventi distanza da uguale a.

23 1.10. IRONFERENZE 21 Notiamo che la ciconfeenza di cento e aggio uguale a 0 è data dal solo punto. Sia una ciconfeenza di cento e aggio > 0 e sia P un punto di. Si ha chiaamente che qualsiasi etta passante pe P ha distanza dal cento minoe o uguale a. Si veifica facilmente che esiste ed è unica una etta passante pe P che ha distanza da uguale a. Tale etta è la etta passante pe P e pependicolae alla etta passante pe e pe P. Essa viene chiamata etta tangente alla ciconfeenza in P. P Sia una ciconfeenza di cento e aggio e sia P un punto tale che d(p, ) > (il punto P è quindi un punto esteno alla ciconfeenza). lloa esistono due ette passanti pe P tangenti alla ciconfeenza.

24 22 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO P 1.11 Punti notevoli dei tiangoli Gli assi dei te lati di un tiangolo si chiamano assi del tiangolo. Poiché l asse di un segmento è dato da tutti e soli i punti equidistanti dai suoi estemi, abbiamo che i te assi di un tiangolo si intesecano in un punto H equidistante dai vetici del tiangolo. Esso è quindi il cento della ciconfeenza passante pe, e. Questa ciconfeenza si dice cicoscitta al tiangolo. Il punto H viene detto cicocento del tiangolo. H Notiamo che nel caso in cui il tiangolo sia ettangolo il cicocento è il punto medio dell ipotenusa mente nel caso in cui il tiangolo sia ottusangolo il cicocento è un punto esteno al tiangolo.

25 1.11. PUNTI NOTEVOLI DEI TRINGOLI 23 H H Dato un tiangolo, consideiamo le bisettici dei te angoli del tiangolo. Poiché i punti di una bisettice di un angolo sono equidistanti dai lati dell angolo, abbiamo che le bisettici intene di un tiangolo si intesecano in un punto I equidistante dalle te ette che contengono i lati del tiangolo. Petanto il punto I è il cento di una ciconfeenza tangente alle te ette contenenti i te lati del tiangolo. La ciconfeenza viene detta inscitta nel tiangolo; il punto I viene chiamato incento del tiangolo. I Dato un tiangolo, chiamiamo mediana passante pe il vetice del tiangolo la etta passante e pe il punto medio di e.

26 24 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO M M D M Si può dimostae che le te mediane di un tiangolo si intesecano in un punto che chiamiamo baicento. Dato un tiangolo, chiamiamo altezza del tiangolo passante pe la etta passante pe e pependicolae alla etta passante pe e. In modo analogo si definiscono le alte due altezze del tiangolo. E Si può dimostae che le te altezze si intesecano in un punto detto otocento del tiangolo. Notiamo che nel caso in cui il tiangolo sia ettangolo l otocento è il vetice del tiangolo coispondente all angolo etto mente nel caso in cui il tiangolo sia ottusangolo l otocento è un punto esteno al tiangolo.

27 1.11. PUNTI NOTEVOLI DEI TRINGOLI 25 = E E Il temine altezza di un tiangolo viene usato pe indicae due cose diffeenti. Si può indicae, come abbiamo fatto sopa, la etta passante pe un vetice del tiangolo e pependicolae alla etta contenente il lato opposto. on il temine altezza di un tiangolo elativa a un suo vetice si intende spesso la distanza ta il vetice e la sua poiezione sulla etta contenente il lato opposto. Dal contesto si capisce quale delle due definizioni viene usata. L aea S di un tiangolo è uguale a S = 1 2 b h dove con b indichiamo la lunghezza di un lato del tiangolo (che di solito viene chiamato base del tiangolo) e con h l altezza elativa al vetice opposto al lato scelto. H Dato un tiangolo, la sua aea è quindi uguale a S = 1 d(, ) d(, ) 2 dove con abbiamo indicato la etta passante pe e. Notiamo inolte che la scelta del vetice da cui fa passae l altezza e la elativa base sono abitaie. In alte paole ogni lato del tiangolo può essee scelto come base.

28 26 PITOLO 1. RIHIMI DI GEOMETRI DEL PINO Dato un tiangolo avente lati di lunghezza a, b e c, indicato con p il semipeimeto del tiangolo, cioè p = 1 2 (a + b + c), si ha che l aea del tiangolo è data dalla fomula di Eone: S = p(p a)(p b)(p c).

29 apitolo 2 Richiami di geometia dello spazio 2.1 Intoduzione Ricodiamo alcuni agomenti di geometia dello spazio che dovebbeo essee stati studiati nei cosi pe-univesitai. Non diamo le dimostazioni delle poposizioni enunciate. Pe compendee quel che segue si consiglia di aiutasi con disegni che appesentino schematicamente ciò che desciviamo a paole. 2.2 Punti, ette e piani La geometia dello spazio nasce come modello dello spazio che ci ciconda. Tuttavia la geometia dello spazio, analogamente alla geometia del piano, può essee intodotta anche in modo assiomatico. Vengono cioè intodotti alcuni enti pimitivi legati da elazioni pimitive pe i quali si suppone che sussistano cete popietà dette assiomi o postulati. Gli enti pimitivi, le elazioni pimitive e gli assiomi sono schematizzazioni dello spazio che ci ciconda. Sfuttando gli assiomi, vengono poi dimostate alte popietà, dette poposizioni o teoemi. Gli enti pimitivi della geometia dello spazio sono: i punti, che di solito vengono indicati con lettee maiuscole:,, P,... ; le ette, che di solito vengono indicate con lettee minuscole:, s,... ; i piani, che di solito vengono indicati con lettee geche minuscole: α, β, π, La elazione di appatenenza Gli enti pimitivi sono legati da alcune elazioni pimitive di: 27

30 28 PITOLO 2. RIHIMI DI GEOMETRI DELLO SPZIO appatenenza di un punto a una etta o, con alte paole, passaggio di una etta pe un punto; appatenenza di un punto a un piano o, con alte paole, passaggio di un piano pe un punto. Vi sono poi alte elazioni pimitive che pe il momento non intoduciamo. Le elazioni di appatenenza veificano i seguenti assiomi di appatenenza: 1. dati due punti distinti, esiste una e una sola etta passante pe essi; 2. ogni etta contiene almeno due punti; 3. esistono almeno te punti non allineati; 4. dati te punti non allineati, esiste uno e un solo piano passante pe essi; 5. ogni piano ha almeno un punto che gli appatiene; 6. se due punti di una etta appatengono a un piano alloa ogni punto della etta appatiene al piano (si dice alloa che la etta è contenuta (o giace) nel piano o che il piano passa pe la etta); 7. se due piani hanno in comune un punto alloa hanno in comune almeno un alto punto (e, quindi, pe l assioma pecedente hanno in comune la etta passante pe i due punti); 8. vi sono almeno quatto punti che non appatengono a uno stesso piano. Dagli assiomi pecedenti deivano i seguenti teoemi: Teoema 2.1 Dato un punto e una etta non passante pe, esiste uno e uno solo piano passante pe e pe. Teoema 2.2 Date due ette incidenti in un punto, esiste uno e un solo piano passante pe entambe. 2.4 Semiette, segmenti, semipiani, semispazi patie dalle elazioni pimitive si possono dae le definizioni di semietta, segmento, insieme convesso e di semipiano come nella geometia del piano. Le popietà elative ad essi sono analoghe a quelle della geometia del piano. Si può inolte dimostae che un piano π divide i punti dello spazio in due sottoinsiemi, detti semispazi S 1 e S 2 delimitati dal piano π. Pe definizione i punti del piano π non appatengono ad alcuno dei due semispazi da esso delimitati. I due semispazi sono caatteizzati dalla seguente popietà: se due punti e appatengono a uno stesso semispazio, alloa tutti i punti del segmento appatengono al semispazio (in alte paole ogni semispazio è convesso);

31 2.5. PRLLELISMO TR DUE RETTE 29 se due punti e appatengono a semispazi diffeenti, alloa il segmento inteseca il piano π in un punto. 2.5 Paallelismo ta due ette Definizione 2.3 Due ette e s dello spazio si dicono: ette sghembe se non esiste alcun piano che le contiene; ette complanai se esiste un piano che le contiene entambe. Due ette complanai e s si dicono: incidenti se hanno un solo punto in comune; paallele distinte se non hanno alcun punto in comune (in simboli s e s); paallele coincidenti se hanno tutti i punti in comune (in simboli s e = s). Ossevazione 2.4 Petanto due ette sono paallele se e solo se: o coincidono oppue esiste un piano che le contiene entambe e non hanno alcun punto in comune. Teoema 2.5 La elazione di paallelismo ta ette è una elazione di equivalenza. Sappiamo che nella geometia del piano si ha il Postulato 2.6 (quinto postulato di Euclide) Data una etta e un punto P, esiste una e una sola etta passante pe P e paallela a. Da questo postulato deiva il seguente Teoema 2.7 Dato nello spazio un punto P e una etta, esiste una e una sola etta passante pe il punto P e paallela a. La dimostazione di questo teoema è inteessante ma semplice. onsigliamo il lettoe di fala. bbiamo poi il Teoema 2.8 Date due ette paallele non coincidenti, esiste uno e un solo piano passante pe entambe.

32 30 PITOLO 2. RIHIMI DI GEOMETRI DELLO SPZIO 2.6 Paallelismo ta due piani Definizione 2.9 Dati due piani π e σ, si dicono: piani incidenti se essi hanno in comune tutti e soli i punti di una etta; paalleli non coincidenti se essi non hanno alcun punto in comune (in simboli π σ, π σ); piani paalleli coincidenti se essi hanno tutti i loo punti in comune (in simboli π σ, π = σ). Ossevazione 2.10 Il settimo assioma di appatenenza (vedi sezione 2.3) assicua che due piani sono o coincidenti o incidenti (in una etta) o paalleli distinti. Teoema 2.11 La elazione di paallelismo ta piani è una elazione di equivalenza. Teoema 2.12 Dato un punto P e un piano π, esiste uno e un sol piano σ passante pe P e paallelo a π. 2.7 Paallelismo ta una etta e un piano Definizione 2.13 Un piano π e una etta si dicono: incidenti se essi hanno in comune un solo punto; paalleli se non hanno in comune alcun punto: in tal caso si dice che la etta è paallela al piano π e non è contenuta nel piano π (in simboli π e π); essi hanno in comune tutti i punti di : in tal caso si dice che la etta è paallela al piano π ed è contenuta nel piano π (in simboli π e π) Teoema 2.14 Siano π e σ due piani. Se π è paallelo a due ette e s incidenti contenute entambe nel piano σ, alloa π σ. Teoema 2.15 Dati un punto P e due ette e s non paallele, esiste uno e un solo piano π passante pe P e paallelo a e s. Il piano π è il piano passante pe le ette incidenti e s dove è la etta passante pe P e paallela a mente s è la etta passante pe P e paallela a s.

33 2.8. PRLLELOGRMMI, NGOLI 31 ome caso paticolae del teoema pecedente abbiamo: Teoema 2.16 Date due ette non paallele e s esiste uno e un sol piano π passante pe e paallelo a s. Il piano π viene deteminato nel seguente modo: si considea un qualsiasi punto P della etta, si pende la etta s paallela alla etta s e passante pe P ; le ette e s sono incidenti e quindi deteminano il piano passante pe esse. Il piano tovato è appunto il piano cecato π. Teoema 2.17 Date due ette e s sghembe, esistono due piani π e σ paalleli tali che π passa pe e σ passa pe s. Il piano π è il piano passante pe e paallelo a s. Il piano σ è il piano passante pe s e paallelo a. 2.8 Paallelogammi, angoli Molti concetti della geometia del piano si estendono senza poblemi alla geometia dello spazio. Ne ipotiamo alcuni. Notiamo che te punti distinti non allineati deteminano un piano e quindi la definizione di paallelogamma non degenee nello spazio si iconduce a quella della geometia del piano. nalogamente imane immutata la definizione di paallelogamma degenee. Un angolo è deteminato da un punto detto vetice e da alti due punti distinti ta loo e distinti dal vetice. Se i te punti non sono allineati pe essi passa un solo piano. Se i te punti sono allineati pe essi passano infiniti piani. In ogni caso la definizione di angolo nella geometia dello spazio si ipota alla definizione di angolo nella geometia del piano. In paticolae la definizione di angolo etto è uguale a quella della geometia del piano. 2.9 Otogonalità Definizione 2.18 Siano date due ette e s. Sia P un punto nello spazio e siano e s le ette passanti pe P e paallele alle ette e s ispettivamente. Le ette e s, poiché si intesecano in P, sono contenute in un piano. Se gli angoli fomati dalle ette e s sono etti diciamo che le ette e s sono pependicolai o otogonali (in simboli s). Ossevazione 2.19 Notiamo che due ette e s possono essee otogonali anche se sono sghembe. Ossevazione 2.20 Pe dae la definizione di otogonalità ta ette nello spazio ci siamo icondotti alla nozione di otogonalità ta ette nel piano. Eppue vi sono significative diffeenze. Eccone due: data una etta e un punto P, esistono infinite ette passanti pe P e otogonali a ;

34 32 PITOLO 2. RIHIMI DI GEOMETRI DELLO SPZIO esistono ette otogonali e incidenti a una stessa etta che non sono paallele ta loo. Definizione 2.21 Un piano π e una etta si dicono pependicolai o otogonali (in simboli π) se la etta è otogonale a tutte le ette che giacciono su π. Teoema 2.22 Se una etta è otogonale a due ette non paallele che giacciono su un piano π, alloa è otogonale a π. Teoema 2.23 Dato un piano π e un punto P, esiste ed è unica una etta passante pe P e otogonale a π. Teoema 2.24 Data una etta e un punto P, esiste ed è unico un piano π passante pe P e otogonale a. Vogliamo oa dae la definizione di piani ta loo pependicolai. Sebbene ognuno abbia un idea intuitiva di quando due piani siano ta loo pependicolai, la definizione non è semplice. Facciamo un esempio tatto dalla dalla vita quotidiana. onsideiamo una stanza a base ettangolae (quasi tutte le stanze sono di questo tipo). onsideiamo due paeti adiacenti. Esse si intesecano quindi in uno spigolo della stanza. Pe ognuno di noi le due paeti sono ta loo pependicolai. Va bene. Ma quale è la definizione di pependicolaità? Pe pote dae una definizione consideiamo il pavimento della stanza. Esso è pependicolae allo spigolo della stanza. Le intesezioni del pavimento con le due paeti fomano un angolo etto. Tutto ciò ci pemette di dae la seguente Definizione 2.25 Siano dati due piani π e σ che si intesecano in una etta. Sia τ un piano otogonale alla etta. Siano p e s le ette in cui il piano τ inteseca ispettivamente i piani π e σ. I piani π e σ si dicono pependicolai o otogonali se le ette p e s sono ta loo otogonali. Ossevazione 2.26 Si faccia bene attenzione alla definizione appena data. In essa abbiamo peso un piano τ pependicolae alla etta. La condizione che τ sia pependicolae a è essenziale. Si può infatti dimostae che, se si intesecano due piani ta loo pependicolai con un piano qualsiasi, si ottengono due ette che sono ta loo pependicolai solo se il piano è pependicolae alla etta. Teoema 2.27 Un piano π è pependicolae ad un piano σ se e solo se il piano π contiene una etta pependicolae al piano σ. Teoema 2.28 Siano π e σ due piani e siano e s due ette pependicolai a π e σ ispettivamente. I piani π e σ sono ta loo pependicolai se e solo se le ette e s sono ta loo pependicolai.

35 2.10. DISTNZE TR INSIEMI 33 Teoema 2.29 Dato un piano π e una etta contenuta in π, esiste uno ed solo piano σ passante pe e otogonale a π. Il piano σ può essee deteminato nel seguente modo. Si considea un qualsiasi punto P della etta. Si considea la etta s passante pe P e otogonale a π. Il piano σ cecato è il piano passante pe e s. Teoema 2.30 Date due ette e s sghembe, esiste una e una sola etta n incidente e otogonale ad entambe le ette. La etta n viene deteminata nel seguente modo. Si consideano i piani paalleli π e σ con π e s σ (vedee teoema 2.17). Si considea il piano α tale che α e α π (vedee teoema 2.29). Si considea il piano α tale che s α e α σ. La etta intesezione dei piani α e α è popio la etta cecata. Definizione 2.31 Dati due punti e distinti, sia M il loo punto medio e sia la etta passante pe e. Il piano π passante pe M e pependicolae alla etta si dice piano asse del segmento. Teoema 2.32 I punti del piano asse di un segmento sono tutti e soli i punti equidistanti da e da. In alte paole, se un punto P è tale che d(p, ) = d(p, ), alloa il punto P appatiene al piano asse del segmento e vicevesa Distanze ta insiemi Definizione 2.33 Siano e due insiemi. Definiamo distanza ta gli insiemi e l estemo infeioe delle distanze d(, ), dove è un punto di e è un punto di. In alte paole, pe deteminae la distanza ta i due insiemi, calcoliamo le distanze ta tutti i punti di e tutti i punti di e quindi pendiamo l estemo infeioe di tutte queste distanze. Nel caso in cui almeno uno dei due insiemi sia fomato da infiniti punti, questa definizione di distanza ichiedeebbe il calcolo di infinite distanze. In effetti, in moltissimi casi, il calcolo della distanza è molto più agevole peché si possono deteminae un punto Ā su e un punto su di distanza minima, veificanti cioè la seguente popietà: d(ā, ) d(, ) pe ogni e.

36 34 PITOLO 2. RIHIMI DI GEOMETRI DELLO SPZIO In tal caso si ha quindi: d(, ) = d(ā, ). Pima di vedee alcuni di questi casi abbiamo bisogno di qualche definizione: Definizione 2.34 Dato un punto P e una etta, chiamiamo poiezione del punto P sulla etta il punto H di intesezione della etta con il piano π passante pe P e otogonale a. Definizione 2.35 Dato un punto P e un piano π, chiamiamo poiezione del punto P sul piano π il punto H di intesezione del piano π con la etta passante pe P e otogonale a π. Si dimostano facilmente i seguenti: Teoema 2.36 Dato un punto P e una etta sia H la poiezione di P su. Si ha: d(p, H) d(p, Q) pe ogni Q. Quindi: d(p, ) = d(p, H). Teoema 2.37 Dato un punto P e un piano π, sia H la poiezione del punto P sul piano π. Si ha: d(p, H) d(p, Q) pe ogni Q π. Quindi: d(p, π) = d(p, H). Teoema 2.38 Siano dati due piani π e σ. Si ha: se i piani sono coincidenti o incidenti in una etta si ha d(π, σ) = 0; se i piani sono paalleli non coincidenti alloa: d(π, σ) = d(, σ), dove è un punto qualsiasi di π. Ossevazione 2.39 Dal teoema appena dato semba, a pima vista, che la distanza dipenda dalla scelta del punto sul piano π. Potebbe infatti a pioi accadee che, scelti due punti e sul piano π, le loo distanze dal piano σ siano divese. In effetti si può dimostae che, dal momento che i piani π e σ sono paalleli, ciò non accade. Si consiglia di fae una figua. Il calcolo della distanza ta due piani paalleli non dipende quindi dalla scelta del punto sul piano π. Teoema 2.40 Sia π un piano e una etta. Si ha: Se la etta è incidente o se è contenuta nel piano π alloa d(, π) = 0; Se la etta e il piano π sono paalleli con non contenuta in π, alloa si ha d(, π) = d(, π) dove è un punto qualsiasi di.

37 2.11. SFERE E IRONFERENZE 35 Ossevazione 2.41 nche in questo caso si dimosta facilmente (fae figua) che, poiché la etta e il piano sono paalleli, qualunque punto si penda sulla etta, il isultato è sempe lo stesso. Teoema 2.42 Siano e s due ette. Si ha: se e s sono incidenti o coincidono, d(, s) = 0; se e s sono paallele distinte, d(, s) = d(, H) dove è un punto qualsiasi di e H è la sua poiezione sulla etta s; se e s sono sghembe, d(, s) = d(r, S) dove R = n e S = s n con n etta incidente e otogonale alla ette e s (vedee teoema 2.30). Ossevazione 2.43 Nel caso in cui le ette e s sono sghembe, il calcolo della loo distanza appae, a pima vista, abbastanza lungo. Infatti si devono deteminae i punti di intesezione R e S delle due ette con la etta n otogonale e incidente entambe le ette. Pe deteminae la etta n abbiamo bisogno del piano π passante pe e paallelo a s e del piano σ passante pe s e paallelo a. Notiamo in effetti che il punto S è la poiezione del punto R sul piano σ. La distanza ta R e S è quindi uguale alla distanza ta i piani π e σ. Ma alloa abbiamo: d(, s) = d(p, σ) dove P è un qualsiasi punto della etta. Riassumendo. è sufficiente deteminae il piano σ passante pe s e paallelo a (non è necessaio deteminae anche π), pendee un qualsiasi punto P di e calcolae la distanza di P da σ. Definizione 2.44 Dati due punti e distinti, chiamiamo piano asse del segmento il piano passante pe il punto medio M dei punti e otogonale alla etta passante pe e. Teoema 2.45 L insieme dei punti dell asse del segmento coincide con l insieme dei punti P tali che d(p, ) = d(p, ) Sfee e ciconfeenze Definizione 2.46 Dato un punto e un numeo eale 0, chiamiamo sfea di cento e aggio l insieme dei punti aventi distanza da uguale a. Definizione 2.47 Sia S una sfea di cento e aggio > 0 e sia P un punto di S. Un qualsiasi piano passante pe P ha chiaamente distanza da minoe o uguale a. Si veifica facilmente che esiste ed è unico un piano π passante pe P avente distanza da uguale a. Questo piano è il piano passante pe P e otogonale alla etta passante pe e P. Il piano π viene chiamato piano tangente alla sfea π nel punto P.

38 36 PITOLO 2. RIHIMI DI GEOMETRI DELLO SPZIO Teoema 2.48 Sia data S una sfea di cento e aggio > 0 e un piano π avente distanza da uguale a d <. Quindi d è uguale alla distanza ta e la sua poiezione H sul piano π. L intesezione ta la sfea e il piano è data da tutti e soli i punti del piano π aventi distanza da H uguale a h dove h 2 = 2 d 2. Petanto l intesezione della sfea e del piano coincide con la ciconfeenza contenuta nel piano π di cento H e aggio h = 2 d 2. hiamiamo ciconfeenze massime (o cechi massimi) della sfea le ciconfeenze ottenute come intesezione della sfea con piani passanti pe il cento della sfea. Il aggio di una ciconfeenza massima è uguale a. Teoema 2.49 Siano dati nello spazio te punti, e non allineati. lloa: Esiste una sola ciconfeenza passante pe essi. Esistono infinite sfee passanti pe esse. I loo centi appatengono alla etta ottenuta come intesezione del piano asse del segmento e del piano asse del segmento. La etta è pependicolae al piano π passante pe, e. L intesezione della etta con il piano π è il cento della ciconfeenza passante pe, e. Ricodiamo infine alcune fomule (dove πindica il numeo pi geco): Lunghezza ciconfeenza di aggio : 2π ea cechio di aggio : π 2 ea sfea di aggio : 4π 2 Volume sfea di aggio : 4 3 π3 Da tutto ciò segue, pe esempio, che se in una sfea addoppiamo il aggio alloa: La lunghezza di una ciconfeenza massima è il doppio di quella di patenza; l aea di un cechio massimo è quatto volte quella di patenza; l aea della sfea è quatto volte quella di patenza; il volume della sfea è otto volte quello di patenza.

39 Indice 1 Richiami di geometia del piano Intoduzione Punti e ette Semiette, segmenti e semipiani Poligoni Distanze Rette paallele ngoli Pependicolaità Tiangoli iconfeenze Punti notevoli dei tiangoli Richiami di geometia dello spazio Intoduzione Punti, ette e piani La elazione di appatenenza Semiette, segmenti, semipiani, semispazi Paallelismo ta due ette Paallelismo ta due piani Paallelismo ta una etta e un piano Paallelogammi, angoli Otogonalità Distanze ta insiemi Sfee e ciconfeenze