si chiama numero irrazionale un qualsiasi numero decimale illimitato non periodico. L insieme dei numeri irrazionali si indica con I.

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4 CAPITOLO IL PIANO CARTESIANO. I numeri reali Considera le seguenti proposizioni aperte: a) Il quadrato di un numero razionale è uguale a 5. b) Un numero razionale esprime la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti hanno misura unitaria. È facile osservare (ed è possibile dimostrarlo) che, nell insieme dei numeri razionali, non esistono numeri che rendono vera la proposizione a) o la proposizione b). Problemi di questo tipo hanno portato alla costruzione di un nuovo insieme numerico. Nel capitolo abbiamo chiamato numero razionale qualsiasi numero decimale limitato finito (positivo o negativo) e qualsiasi numero decimale illimitato periodico (positivo o negativo). Esistono numeri decimali illimitati non periodici? La risposta è affermativa. Già nella scuola media hai incontrato numeri di questo tipo: il numero π (solitamente approssimato a.4) che esprime il rapporto fra la misura di una circonferenza ed il suo diametro; il numero che esprime il rapporto fra la lunghezza della diagonale di un quadrato ed il suo lato. I numeri come π,,, 5, π,... e quelli che rendono vere proposizioni del tipo a) e b) sono chiamati numeri irrazionali. Possiamo dare, allora, la seguente definizione: si chiama numero irrazionale un qualsiasi numero decimale illimitato non periodico. L insieme dei numeri irrazionali si indica con I. È ovvio che i numeri irrazionali, così come quelli razionali, possono essere preceduti dal segno + o dal segno ; si hanno, dunque, numeri irrazionali positivi e numeri irrazionali negativi. Si chiama insieme dei numeri reali e si indica con R l insieme ottenuto dall unione dell insieme dei numeri razionali con l insieme dei numeri irrazionali. In simboli: R Q I È evidente che: Q I ; Q R; I R. 4

5 Con l introduzione dei numeri reali viene risolto anche il problema di poter associare ad ogni segmento un numero che esprima la sua lunghezza rispetto ad una unità di misura fissata: se il rapporto fra due segmenti è espresso da un numero razionale, i due segmenti si dicono commensurabili; se il rapporto fra due segmenti è espresso da un numero irrazionale, i due segmenti si dicono incommensurabili. Poiché non è possibile indicare tutte le cifre decimali di un numero irrazionale, possiamo solo scriverne un valore approssimato per difetto o per eccesso. Se scriviamo un numero irrazionale (approssimato per difetto) indicando solo la prima cifra decimale si dice che esso è approssimato a meno di un decimo, se lo scriviamo indicando le prime due cifre decimali si dice che esso è approssimato a meno di un centesimo e così via. Con l introduzione dell insieme dei numeri reali, la rappresentazione degli insiemi numerici con i diagrammi di Eulero Venn è la seguente: Q R N Z Nell insieme dei numeri reali sono definite le operazioni di somma algebrica, moltiplicazione, divisione e vale la legge di annullamento del prodotto. In seguito approfondiremo il concetto di numero reale e studieremo le operazioni definite in R. PROVA TU Quali, fra i seguenti numeri sono numeri irrazionali? 5 π ;, ; 4 ; 5,7 ; 7 ; 5 π. 5

6 . Rappresentazione dei numeri reali Nel capitolo abbiamo detto che i numeri naturali si rappresentano su una semiretta orientata e che abbiamo preferito rappresentarli su una retta orientata perché, successivamente, avremmo arricchito tale retta. Infatti la retta dei numeri è stata, successivamente, arricchita con la rappresentazione degli interi (relativi) e dei numeri razionali. Tuttavia, se ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta, non accade il viceversa, cioè ad ogni punto della retta non corrisponde un numero razionale. È come se, la retta dei numeri razionali avesse dei buchi. La retta dei numeri, dunque, può essere ancora arricchita. A ciascuno di questi buchi corrisponde un numero irrazionale. Esiste, allora, una corrispondenza biunivoca fra l insieme dei numeri reali ed i punti di una retta: ad ogni numero reale è associato un solo punto della retta e, viceversa, ad ogni punto della retta è associato un solo numero reale. Per questo motivo, si dice che l insieme dei numeri reali è un insieme continuo. Come procedere per rappresentare un numero reale su una retta? Sappiamo già rappresentare sulla retta un numero razionale; vediamo, con un esempio, come possiamo rappresentare un numero irrazionale. Esempio Rappresentiamo i numeri irrazionali e. Siano r una retta orientata (per convenzione, da sinistra verso destra) ed AB un segmento la cui misura, rispetto all unità di misura prefissata, sia tale che ( ) ( ) φ A O φ B B', B' r B' segua O ; applichiamo al segmento AB una isometria ϕ Al punto B' così ottenuto corrisponde il numero irrazionale. Al punto C ', simmetrico di B' rispetto al punto O (al quale è associato il numero 0), corrisponde il numero irrazionale. r ϕ ϕ 6

7 Tuttavia, non è sempre necessario rappresentare i numeri reali con la massima precisione; possiamo rappresentarli anche in maniera approssimata, purchè sia rispettato l ordinamento. Non c è, quindi, bisogno di riportare sempre il segmento avente quella data misura, ma è sufficiente, spesso, stabilire fra quali interi esso è compreso o, comunque, quale, tra due numeri irrazionali, precede l altro. La retta sulla quale rappresentiamo i numeri reali è detta anche retta reale o asse reale. Esempio Rappresentiamo i numeri reali a) 7, b) a) 7 è l opposto di 7 ; determiniamo, allora, due interi tali che uno sia il maggiore fra i quadrati che precedono 7 e l altro sia il minore fra i quadrati che seguono 7. I due numeri cercati sono 4 e 7; si ha: 4 < 7 < 9 < 7 <. Per simmetria, si avrà < 7 < Rappresentiamo 7 associandolo ad un punto compreso fra e : 7 b) Per rappresentare, determiniamo due interi con le stesse caratteristiche dell esempio a); i due numeri cercati sono 9 e 6; si ha: 9 < < 6 < < 4. Rappresentiamo associandolo ad un punto compreso fra e 4: PROVA TU ) Completa le seguenti relazioni inserendo i simboli <, > in modo che esse risultino vere: 5...;... ; ;...5; π... 8; ) Rappresenta i seguenti numeri reali:,, ) Rappresenta i seguenti numeri reali:,, 6 5, 5 ; 7 (suggerimento: determina due interi che siano cubi perfetti tali che..) 7

8 . Ascisse su una retta Nel paragrafo precedente abbiamo visto che esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e l insieme dei numeri reali. Consideriamo, allora, una retta r sulla quale scegliamo: un orientamento o verso di percorrenza (per consuetudine, da sinistra verso destra); un punto O come origine delle due semirette nelle quali la retta resta divisa dal punto stesso; un punto A (che segue O); il segmento OA è l unità di misura. Si dice, allora, che sulla retta è stato fissato un sistema di ascisse (fig.): (fig. ) Scegliamo, sulla retta r, un punto C in modo che O preceda C. Al punto C è possibile associare il numero reale che esprime la misura del segmento OC rispetto al segmento OA e, poiché C segue O, esso sarà preceduto dal segno + : questo numero reale (positivo) è chiamato ascissa di C. Come per i numeri razionali, anche per i numeri reali il segno + si può omettere. In fig., la misura del segmento OC rispetto al segmento OA è ascissa e si scrive C(). OC : il punto C, dunque, ha OA fig. Scegliamo, sulla retta r, un punto E in modo che O segua E. Al punto E è possibile associare il numero reale che esprime la misura del segmento EO rispetto al segmento OA e, poiché E precede O, esso sarà preceduto dal segno : tale numero (negativo) è l ascissa di E. In fig., la misura del segmento EO rispetto al segmento OA è ha ascissa e si scrive E( ). EO ; il punto E, dunque, OA fig. La misura del segmento OA è, ovviamente, ; quindi l ascissa di A è e si scrive A(). Il segmento OO ha misura nulla; quindi l ascissa di O è 0 e si scrive O(0). 8

9 Viceversa, sia l ascissa di un punto H della retta r ; allora H è un punto di r tale che: H precede O, perché è un numero negativo; H è un estremo del segmento OH la cui misura, rispetto all unità di misura fissata, è. In generale, per indicare che su una retta è fissato un sistema di ascisse, si indicano i due punti ai quali sono associati, rispettivamente, i numeri 0 e, omettendo di indicare le relative lettere (fig. 4): fig. 4.4 Distanza fra due punti su una retta Siano r una retta, sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse, ed F un punto di r di ascissa F (fig. 5). La distanza del punto F dal punto O, o misura del segmento OF, viene indicata con OF ed è, ovviamente, un numero non negativo; si ha: OF se 0 F F F F F < se 0. F fig.5 Ci proponiamo, adesso, di determinare la misura di un segmento di una retta r (sulla quale è fissato un sistema di ascisse) nel caso più generale in cui nessuno degli estremi coincida con il punto O. Siano, a tal proposito, G(4) e H(7) due punti della retta r sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse (fig. 6): fig. 6 Osservando la fig. 6, possiamo dire che: GH OH OG (passando alle misure) GH OH OG GH H G 7 4. In generale, se S e T sono due punti di una retta r di ascissa, rispettivamente, S e T, del punto T dal punto S, ovvero la lunghezza del segmento ST, è espressa da: la distanza ST oppure ST T S dove è necessario il valore assoluto perchè la misura di un segmento è sempre non negativa. S T 9

10 ATTENZIONE AB AB Infatti: AB indica un segmento di estremi A e B e, quindi, è una figura del piano; AB è la misura del segmento AB rispetto ad una prefissata unità di misura e, quindi è un numero reale ( 0). Un segmento è sempre diverso da un numero! PROVA TU Sia t una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse. a) Rappresenta sulla retta t i seguenti punti: B(4); F( ); G ; H 5. ; T ( ) b) Determina la distanza fra le coppie di punti: B e F; F e H; G e B. c) Determina la lunghezza dei segmenti: FG; HG; BH..5 Punto medio di un segmento su una retta Sia s una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse e siano C e D due punti di s di ascissa, rispettivamente, 4 e 9: C(4), D(9). Sia M il punto medio di CD; determiniamo l ascissa di M (fig. 7): s fig. 7 Indichiamo con M l ascissa di M. Osserviamo che (per definizione di punto medio di un segmento) CM MD CM MD. Poiché M è interno al segmento CD, si ha M > C M C > 0 D > M D M > 0 CM M C M 4 MD D M 9 M Formalizzando la relazione CM MD, si ottiene la seguente equazione (incognita ): M M 4 9 M 0

11 Risolviamo l equazione ottenuta: M 4 9 M M M M Abbiamo, così, determinato l ascissa del punto M (punto medio di CD): Generalizziamo, adesso, il procedimento seguito nell esempio precedente. Siano A( A ) e B ( B ) M. due punti di una retta r sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; sia M il punto medio del segmento AB (fig. 8). Determiniamo l ascissa M del punto M. A B r fig. 8 Osserviamo che AM MB AM MB. Poiché M è interno al segmento AB, si ha M > A M A > 0 B > M B M > 0 AM M MB B A M Formalizzando la relazione AM MB, si ottiene la seguente equazione: M A B M Risolviamo l equazione ottenuta, nell incognita : M In sintesi, dati i punti A( A ) e B( B ) A + B M A B M M A + B M, l ascissa M del punto medio M di AB è M A + B PROVA TU Dati i punti F(), K( 4), S( 6), P, determina l ascissa del punto medio di ciascuno dei seguenti segmenti: a) KS; PF b) KP; SP

12 .6 Coordinate cartesiane di un punto nel piano Consideriamo due rette, nel piano, fra loro perpendicolari e fissiamo, su ciascuna retta, un sistema di ascisse in modo che il punto origine O sia il punto intersezione delle due rette. È consuetudine disegnare una retta orizzontale, orientata da sinistra verso destra, e una verticale, orientata dal basso verso l alto. La retta orizzontale si indica con la lettera ed è chiamata asse delle ascisse o asse ; la retta verticale si indica con la lettera y ed è chiamata asse delle ordinate o asse y (fig. 9): Asse delle ordinate Asse delle ascisse fig. 9 Se l unità di misura fissata sull asse e sull asse y è rappresentata da due segmenti congruenti, il sistema si dice monometrico e si conviene di indicare l unità di misura solo sull asse (fig. 0): fig. 0 L asse e l asse y così determinati formano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (dal nome del matematico francese Renè Descartes, italianizzato Cartesio). Si è soliti indicare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con la scrittura Oy.

13 Un piano nel quale è fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale prende il nome di piano cartesiano. L asse e l asse y dividono il piano cartesiano in quattro parti; ciascuna di esse si chiama quadrante. In figura sono indicati i nomi dei quattro quadranti. II quadrante I quadrante fig. III quadrante IV quadrante Sia, ora, T un punto del piano cartesiano. Indichiamo con T la proiezione di T sull asse e cont la proiezione di T sull asse y; T ha ascissa (fig. a) e T ha ascissa (fig. b). T T T T fig. b fig. a Al punto T del piano, allora, resta associata la coppia ordinata (, ) ; i numeri e sono le coordinate cartesiane di T e si scrive T(, ). Il primo elemento della coppia () si chiama ascissa di T, il secondo elemento () si chiama ordinata di T.

14 Possiamo ripetere il procedimento esposto in precedenza per qualsiasi punto del piano. In generale, dunque, ad ogni punto P del piano è possibile associare una coppia ordinata di numeri reali, indicata con (, y), dove rappresenta l ascissa e y l ordinata di P e si scrive P(, y). PROVA TU Individua le coordinate cartesiane dei punti rappresentati nella seguente figura: Adesso, siano e 5 le ascisse di due punti A e B appartenenti, rispettivamente, all asse e all asse y (fig. a). Indichiamo con a la perpendicolare all asse passante per A, con b la perpendicolare all asse y passante per B e sia C a b (fig. b). fig. a fig. b Alla coppia ordinata (, 5), dunque, è associato il punto C. 4

15 Ovviamente, per quanto osservato in precedenza, il primo elemento della coppia () è l ascissa di C ed il secondo elemento (5) è l ordinata di C. È possibile applicare il procedimento appena descritto a qualunque coppia ordinata di numeri reali. In generale, quindi, ad ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde un punto del piano (cartesiano). Possiamo, allora, così sintetizzare: ad ogni punto del piano (cartesiano) corrisponde una coppia ordinata di numeri reali; ad ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde un punto del piano (cartesiano). Osservazione Coppie ordinate di numeri reali sono elementi del prodotto cartesiano R R R ; quindi, la relazione che ad ogni elemento di R associa un punto P del piano α è una funzione biunivoca. f : (, y) R P α è una funzione biunivoca Nella fig. 4 sono rappresentati i punti E(,), F( 4, ), G(, ), ( ) H,. fig. 4 Osserviamo che: H è situato nel I quadrante: l ascissa di H è positiva, l ordinata di H è positiva; E è situato nel II quadrante: l ascissa di E è negativa, l ordinata di E è positiva; G è situato nel III quadrante: l ascissa di G è negativa, l ordinata di G è negativa; F è situato nel IV quadrante: l ascissa di F è positiva, l ordinata di F è negativa. 5

16 Una semplice riflessione ci permette di generalizzare (fig. 5): < 0 y > 0 > 0 y > 0 fig. 5 < 0 y < 0 > 0 y < 0 i punti del I quadrante hanno ascissa positiva e ordinata positiva; i punti del II quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva; i punti del III quadrante hanno ascissa negativa e ordinata negativa; i punti del IV quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa; i punti dell asse delle ascisse hanno ordinata 0; i punti dell asse delle ordinate hanno ascissa 0; il punto O (origine degli assi) ha coordinate (0,0). PROVA TU Rappresenta in un piano cartesiano i punti a) A(, ); B(4, ); b) D(, 0); E(0, 4); 4 C 5, 5 ; F 7,..7 Distanza fra due punti nel piano cartesiano Considerati due punti F e G in un piano cartesiano, si possono verificare i seguenti casi: a) F e G hanno la stessa ordinata; b) F e G hanno la stessa ascissa; c) F e G hanno ascissa diversa e ordinata diversa. 6

17 Determiniamo la distanza fra i due punti nei diversi casi. a) F e G hanno la stessa ordinata. Siano F(, ) e G( 4, ) due punti del piano cartesiano; indichiamo con F la proiezione di F sull asse delle ascisse e con G la proiezione di G sull asse delle ascisse (fig. 6): F G fig. 6 Osserviamo che: FF // GG perché perpendicolari alla stessa retta (asse delle ascisse); FF OH GG OH FF GG (perchè?); ( ) F e F hanno la stessa ascissa ( ); G e G hanno la stessa ascissa (4). Il quadrilatero FG GF è un parallelogramma per avere due lati opposti paralleli e congruenti; in particolare, è un rettangolo perché due angoli consecutivi sono angoli retti. I lati opposti FG e FG sono, pertanto, paralleli e congruenti; quindi: FG è parallelo all asse delle ascisse; i segmenti FG e FG hanno la stessa misura. Il segmento FG è situato sull asse delle ascisse che è una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; siamo, quindi, in grado di determinarne la lunghezza: FG. G F Ma e e FG F F G G G F FG ; si ottiene, allora: ( ) FG

18 Proviamo, insieme, a generalizzare. Riferendoti alla figura 7, nella quale sono rappresentati i punti A (, y ) e B (, ) le seguenti proposizioni: A A y, completa B A y A A B A B fig. 7 A e A hanno la stessa... (...); B e B hanno la stessa... (...); Il quadrilatero è un rettangolo e, quindi, i segmenti.. e. sono e ; pertanto: AB è all asse delle ascisse; i segmenti AB e AB hanno la misura. Il segmento A B è un segmento dell asse delle.; quindi la sua lunghezza è A B... ; poichè AB... si ottiene AB.... Dalle considerazioni precedenti possiamo dedurre che: Se due punti A(, y ) e B(, ) A A y del piano cartesiano hanno la stessa ordinata, il segmento B B AB è parallelo all asse delle ascisse e la distanza di A da B (o lunghezza del segmento AB) è data dal valore assoluto della differenza delle ascisse dei due punti. In simboli: y y ΑΒ asse ascisse AB A B B A 8

19 b) F e G hanno la stessa ascissa Siano F (, ) e G(,) due punti del piano cartesiano. Indichiamo con F la proiezione di F sull asse delle ordinate e con G la proiezione di G sull asse delle ordinate (fig. 8): G fig. 8 F Osserviamo che: FF // GG perché perpendicolari alla stessa retta (asse delle ordinate); FF OK GG OK FF GG (perchè?); ( ) F e F hanno la stessa ordinata ( ); G e G hanno la stessa ordinata (). Il quadrilatero FFG G è un parallelogramma per avere due lati opposti paralleli e congruenti; in particolare, è un rettangolo perché due angoli consecutivi sono angoli retti. I lati opposti FG e FG sono paralleli e congruenti; quindi: FG è parallelo all asse delle ordinate; i segmenti FG e FG hanno la stessa misura. Il segmento FG è situato sull asse delle ordinate che è una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; siamo, quindi, in grado di determinarne la lunghezza: FG y y. G F Ma y y e y y e FG F F G G G FG ; si ottiene, allora: F ( ) FG y y + 9

20 Proviamo a generalizzare. Osserva la figura 9, nella quale sono rappresentati i punti A (, y ) e B (, ) A A y. A B y A A A fig. 9 y B B Completa le seguenti proposizioni: Il quadrilatero. è un rettangolo e, quindi, i segmenti AB e A B sono e..; pertanto: AB è.. all asse delle ordinate; i segmenti AB e AB hanno la. misura. Il segmento A B è un segmento dell asse delle..; quindi la sua lunghezza è AB... ; poichè AB... si ottiene AB.... Dalle considerazioni precedenti possiamo dedurre che: Se due punti A (, y ) e B(, ) A A y del piano cartesiano hanno la stessa ascissa, il segmento AB B B è parallelo all asse delle ordinate e la distanza di A da B (o lunghezza del segmento AB) è data dal valore assoluto della differenza delle ordinate dei due punti. In simboli: ΑΒ asse ordinate AB y y B A B A c) F e G hanno ascissa diversa e ordinata diversa Siano F(, ) e G ( 8,6 ) due punti di un piano cartesiano. Indichiamo con s la parallela all asse delle ascisse passante per F e con t la parallela all asse delle ordinate passante per G; sia K s t (fig. 0): 0

21 fig. 0 Determiniamo le coordinate di K. GK è un segmento parallelo all asse delle ordinate; l ascissa di K, allora, è uguale all ascissa di G; quindi 8. K G FK è un segmento parallelo all asse delle ascisse; l ordinata di K, allora, è uguale all ordinata di F; quindi y y. Il punto K ha coordinate (8, ). K F Le rette s e t sono perpendicolari tra di loro perché parallele a rette perpendicolari tra di loro (quali?); il triangolo FGK, dunque, è un triangolo rettangolo dove GF è l ipotenusa, FK e GK sono i due cateti. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo FGK, si ottiene: Osserviamo che: GF FK + GK GF FK + GK (**) FK // asse delle ascisse (per quanto detto al punto a) di questo paragrafo) FK K F FK GK // asse delle ordinate (per quanto detto al punto b) di questo paragrafo) GK yk yg GK Sostituiamo le misure, così ottenute, nella relazione (**); si ottiene: GF FK + GK

22 Come fatto in precedenza, adesso proviamo a generalizzare. Siano A (, y ) e B (, ) A A y due punti del piano; indichiamo con s la parallela, passante per A, B B all asse delle ascisse e con t la parallela, passante per B, all asse delle ordinate; sia H s t (fig. ): y B y A fig. Osservando la figura, completa le seguenti proposizioni: le coordinate di H sono (...,...) ; le rette s e t sono... Il triangolo ABH è un triangolo.. dove AB è l ipotenusa,.. e.. sono i due cateti. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABH, si ottiene: AB AB (**) Osserviamo che: AH // asse delle (per quanto detto al punto a) di questo paragrafo) AH... BH // asse delle. (per quanto detto al punto b) di questo paragrafo) BH... Sostituiamo le misure, così ottenute, nella relazione (**); si ottiene: ( ) ( ) AB Dalle osservazioni precedenti possiamo dedurre che: se A (, y ) e B(, ) A A misura del segmento AB) è data da: y sono due punti di un piano cartesiano, la distanza di A da B (o la B B ( ) ( y y ) oppure AB ( A B ) + ( ya yb ) AB + B A B A

23 Nello schema seguente sono sintetizzati i risultati ottenuti: se A (, y ) e B(, ) A A y sono due punti di un piano cartesiano, si ha: B B A B ΑΒ AB asse ordinate B A y A y B AB asse ascisse AB yb ya ( y y ) AB ( ) + ( y y ) A B A B B A B A ATTENZIONE E ovvio che: se un segmento è parallelo all asse delle ascisse, tutti i suoi punti hanno la stessa ordinata; se un segmento è parallelo all asse delle ordinate, tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa. PROVA TU Determina la lunghezza di ciascuno dei segmenti aventi per estremi le seguenti coppie di punti: a) F(, ) G(, ) b) M(, 4) H(, 7) c) T(4, ) S(, 5).8 Punto medio di un segmento nel piano cartesiano Sia FG un segmento del piano cartesiano; si possono verificare i seguenti casi: a) FG parallelo all asse delle ascisse; b) FG parallelo all asse delle ordinate; c) FG non è parallelo ad alcuno degli assi coordinati. Determiniamo le coordinate del punto medio M del segmento FG nei diversi casi. a) FG parallelo all asse delle ascisse Nella figura sono rappresentati i punti F(, 4) e G(8, 4); siano M(, ) F, G, M le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull asse delle ascisse. y il punto medio di FG e M M

24 F M G fig. Osserviamo che: FG parallelo all asse delle ascisse ym yf yg 4 MM parallelo all asse delle ordinate M M FG GF rettangolo MM asse di FG MM asse di FG M punto medio di FG M, dunque, è il punto medio di un segmento situato sull asse delle ascisse e, per quanto visto nel paragrafo.5, si ha: M F + G F + G M 5 In definitiva, le coordinate di M sono (5, 4). Proviamo a generalizzare: ci proponiamo di trovare una relazione che permetta di determinare le coordinate del punto medio di un segmento, parallelo all asse delle ascisse, note le coordinate degli estremi del segmento stesso. Nella figura sono rappresentati i punti A (, y ) e B (, y ) ; siano M (, ) di AB e A, B, M le proiezioni, rispettivamente, di A, B, M sull asse delle ascisse. A A B A y il punto medio M M fig. A M B A B 4

25 Riferendoti alla figura, completa le seguenti proposizioni: AB all asse delle ascisse y M... MM. all asse delle ordinate... M A B BA... MM asse di... MM... di AB M punto medio di. M è il punto medio di un segmento situato sull asse delle.; si ha, allora: M M... Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che: se AB è parallelo all asse delle ascisse, le coordinate del punto medio M di AB sono A + B ; y y M M A b) FG parallelo all asse delle ordinate Nella figura 4 sono rappresentati i punti F(4, ) e G(4, 5); siano M (, ) e F, G, M le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull asse delle ordinate. y il punto medio di FG M M F M (fig. 4) G Osserviamo che: FG parallelo all asse delle ordinate M F G 4 MM parallelo all asse delle ascisse y y M M G GFF rettangolo MM asse di FG MM asse di FG M punto medio di FG 5

26 M, dunque, è il punto medio di un segmento situato sull asse delle ordinate e, per quanto visto nel paragrafo.5, si ha: In definitiva, le coordinate di M sono 4,. y M yf + y G y F + yg + 5 ym Come nel caso precedente, generalizziamo: ci proponiamo di trovare una relazione che permetta di determinare le coordinate del punto medio di un segmento, parallelo all asse delle ordinate, essendo note le coordinate degli estremi del segmento stesso. Nella figura 5 sono rappresentati i punti A (, y ) e B (, y ) ; siano M (, ) di AB e A, B, M le proiezioni, rispettivamente, di A, B, M sull asse delle ordinate. A A A B y il punto medio M M y B B M (fig. 5) A Riferendoti alla figura, completa le seguenti proposizioni: AB. all asse delle ordinate M... MM.. all asse delle ascisse... y M AABB... MM asse di... MM... di AB M punto medio di.. M è il punto medio di un segmento situato sull asse delle..; si ha, allora: 6 y M y... M... Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che: se AB è parallelo all asse delle ascisse, le coordinate del punto medio M di AB sono: M ya + yb A ; ym

27 c) FG non è parallelo ad alcuno degli assi coordinati. Nella figura 6 sono rappresentati i punti F(, ) e G (,8 ) ; siano M(, ) y il punto medio di FG, F, G, M le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull asse delle ascisse e F, G, M le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull asse delle ordinate. M M G M F F M G fig. 6 Osserviamo che: e M M y y M M F F e y F y F G G e y G y G 8 Inoltre, i segmenti FF, MM e GG sono tra loro paralleli, l asse delle ascisse e la retta passante per FG sono due trasversali. Possiamo, allora, applicare il teorema del fascio di rette parallele: Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale. Al segmento FM, sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento F M sull asse delle ascisse e al segmento MG, sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento M G sull asse delle ascisse; poiché FM è congruente a MG, il segmento F M è congruente al segmento M G. In simboli: FM MG F M M G. M è, dunque, il punto medio di F G e, per quanto visto nel paragrafo.5, si ha: M F + G + 5 7

28 I segmenti FF, MM, GG sono tra loro paralleli; l asse delle ordinate e la retta passante per FG sono due trasversali. Applichiamo ancora il teorema del fascio di rette parallele. Al segmento FM, sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento F M sull asse delle ordinate e al segmento MG, sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento M G sull asse delle ordinate; poiché FM è congruente a MG, il segmento F M è congruente al segmento M G. In simboli: FM MG F M M G. M, dunque, è il punto medio del segmento F G e, per quanto visto nel paragrafo.5, si ha: y M y F + yg Possiamo, allora, dire che le coordinate di M, punto medio di FG, sono 5 5, 5 Adesso generalizziamo: ci proponiamo di trovare una relazione che permetta di determinare le coordinate del punto medio di un segmento, note le coordinate degli estremi del segmento stesso. Nella figura 7 sono rappresentati i punti A(, y ) e B(, y ) ; siano M(, ) A A B B M. y il punto medio di AB, A, B, M le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull asse delle ascisse e A, B, M le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull asse delle ordinate. M y B B M y A A A M B A B fig. 7 Riferendoti alla figura, completa le seguenti proposizioni: M..., y M... A..., B..., y A... y B 8

29 Inoltre, i segmenti AA, MM e BB sono tra loro.., l asse delle ascisse e la retta passante per AB sono due... Possiamo, allora, applicare il teorema del fascio di rette parallele. Al segmento AM, sulla retta passante per AB, corrisponde il segmento.. sull asse delle ascisse e al segmento MB, sulla retta passante per AB, corrisponde il segmento. sull asse delle ascisse; poiché AM è. a MB, anche il segmento A M è... al segmento M B. In simboli: AM.. M B. M è, dunque, il punto.. di A B e, per quanto visto nel paragrafo.5, si ha: M A +... Prova tu a determinare l ordinata di M, ripetendo il procedimento seguito per determinare l ascissa di M. y M Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che: le coordinate del punto medio M di un segmento AB di estremi A (, y ) e B (, ) A + B ya + yb M ; ym A A y sono: B B PROVA TU Determina le coordinate del punto medio di ciascuno dei segmenti che hanno per estremi le seguenti coppie di punti: a) A ( 5,) ; B (,4 ) b) H, 4 ; S 5,.9 Baricentro di un triangolo Ci proponiamo di determinare una relazione fra le coordinate del baricentro di un triangolo e le coordinate dei suoi vertici. A tal proposito, siano E(,4 ), F ( 5,4 ) e K(,6 ) tre vertici di un triangolo, M il punto medio del segmento FK e G il baricentro del triangolo. Per quanto detto nel paragrafo.8, le coordinate di M sono: M , ym 0. 9

30 Indichiamo con E, G, M le proiezioni, rispettivamente, di E, G, M sull asse delle ascisse e con E, G, M le proiezioni, rispettivamente, di E, G, M sull asse delle ordinate (fig. 8): M G E fig. 8 E G M 7 È ovvio che: Ricordiamo, inoltre, che: 40 y E E ; E y E 4 ; y G G ; G y ; G y M M 7 M y M 0 il baricentro del triangolo divide ciascuna mediana in due parti tali che quella che contiene il vertice è doppia dell altra. Il segmento EG, dunque, è il doppio del segmento GM: EG GM. I segmenti EE, GG e MM sono tra loro paralleli, l asse delle ascisse e la retta passante per EM sono due trasversali. Possiamo, quindi, applicare il teorema di Talete: Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti proporzionali su una trasversale corrispondono segmenti proporzionali sulla seconda trasversale. Al segmento EG, sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento E G sull asse delle ascisse e al segmento GM, sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento G M sull asse delle ascisse; poiché EG è il doppio di GM, anche il segmento E G è il doppio del segmento G M. In simboli: EG GM E G G M e, passando alle loro misure, EG GM.

31 Indicate con (, ) y le coordinate di G, formalizziamo la relazione precedente: G G E G 7 G M G E ( M G ) G G Risolviamo l equazione ottenuta (incognita ): G G 7 G G 7 G G 9 G I segmenti EE, GG e MM sono tra loro paralleli, l asse delle ordinate e la retta passante per EM sono due trasversali. Applichiamo ancora il teorema di Talete. Al segmento EG, sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento E G sull asse delle ordinate e al segmento GM, sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento G M sull asse delle ordinate; poiché EG è il doppio di GM, anche il segmento E G è il doppio del segmento G M. In simboli: EG GM E G G M e, passando alle loro misure, EG GM. Formalizziamo la relazione precedente: E G G M y y ( y y ) y 4 ( 0 y ) G E M G Risolviamo l equazione ottenuta (incognita y G ): y ( y ) G 4 0 G yg 4 0 yg G G 9 y G 4 y G 8 In definitiva, le coordinate del baricentro G del triangolo EFK sono: 9, 8. Adesso, generalizziamo: vogliamo determinare una relazione che consenta di determinare le coordinate del baricentro di un triangolo, note le coordinate dei vertici del triangolo. M G A fig. 9 A G M A M 4

32 Siano A(, y ), B(, y ) e C(, y ) tre punti di un piano cartesiano, M(, ) 4 A A B B medio del segmento BC e G il baricentro del triangolo ABC. C C y il punto Indichiamo con A, G, M le proiezioni, rispettivamente, di A, G, M sull asse delle ascisse e con A, G, M le proiezioni, rispettivamente, di A, G, M sull asse delle ordinate (fig. 9): Per quanto detto nel paragrafo.8, si ha: M ; ym Riferendoti alla fig. 9, completa le seguenti relazioni: A...; y A...; G...; y G...; y M M Per la proprietà del, il segmento AG è il. del segmento GM: M M AG..GM. Inoltre, i segmenti AA, GG e MM sono tra loro, l asse delle ascisse e la retta passante per AM sono due ; possiamo, allora, applicare il Teorema di.. Al segmento AG, sulla retta passante per AM, corrisponde il segmento. sull asse delle ascisse e al segmento GM, sulla retta passante per AM, corrisponde il segmento. sull asse delle ascisse; poiché AG è il di GM, anche il segmento A G è il doppio del segmento.... In simboli: AG G M e, passando alle loro misure, AG.... Indicate con (, ) y le coordinate di G, formalizziamo la relazione precedente: G G... GM G A G A... ( ) Risolviamo l equazione ottenuta (incognita ): G B C G A + G B + C G... G G Prova tu a determinare l ordinata di G, ripetendo il procedimento seguito per determinarene l ascissa. y G

33 Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che: le coordinate del baricentro G di un triangolo di vertici A(, y ), B(, y ) e C (, ) A A B B y sono: C C A + B + C G ; y G y + y + y A B C PROVA TU Determina le coordinate del baricentro di un triangolo avente per vertici i seguenti punti: a) R(, ), S ( 0, ), T( 4, ) b) F, 5, K,, N( 5, ).0 Funzioni e loro rappresentazione grafica Ricordiamo la definizione di funzione (par. 4.5): dati due insiemi A e B, una relazione R da A verso B è una funzione se e solo se ogni elemento di A ha una sola immagine in B. In simboli: R: A B funzione A, y B / R y Ricordiamo, inoltre, che le funzioni, in generale, sono indicate con le lettere minuscole dell alfabeto: f, g, h, a, Se gli insiemi A e B sono insiemi numerici, la funzione è detta numerica ed il generico elemento di A è chiamato variabile indipendente, il generico elemento y di B è chiamato variabile dipendente. L immagine (o corrispondente) di un elemento di A tramite una funzione f, viene indicato, solitamente, con la scrittura f (). Il grafico di una funzione numerica f da A verso B è l insieme G f ( ) {, f ( ) / A f ( ) B} ; la coppia (, f ( )) può essere, allora, interpretata come coppia di coordinate cartesiane di un punto nel piano e, dunque, il grafico di una funzione può essere rappresentato come insieme di punti nel piano cartesiano: il primo elemento della coppia rappresenta l ascissa, il secondo l ordinata. Ad esempio, dati gli insiemi A {,,, } e B { y Q / 0 y 4} verso B così definita: f ( ) +., sia f una funzione da A 4

34 Per determinare le coppie del grafico di f possiamo costruire una tabella formata da due colonne e da un numero di righe pari al numero degli elementi di A: nella prima colonna riportiamo gli elementi di A, nella seconda le loro immagini (fig. a); oppure possiamo costruire una tabella formata da due righe e da un numero di colonne pari al numero degli elementi di A: nella prima riga riportiamo gli elementi di A, nella seconda le loro immagini (fig. b). f () fig. a f () 8 fig. b 4 0 La rappresentazione tabulare di G f è, dunque, la seguente: 8 0,,,,,4,, G f ( ) ( ) Ad ogni elemento di G f corrisponde, allora, un punto del piano cartesiano. I punti azzurri della fig. costituiscono la rappresentazione grafica della funzione f. 8 0 fig. Rappresentiamo, adesso, la funzione g : R R / g(). Costruiamo, dunque, una tabella con due righe: nella prima riportiamo alcuni numeri reali scelti a piacere e nella seconda le loro immagini tramite la funzione g. 0 f()

35 { } Sia G (,8 ),(, ),(,0 ),( 0, ),(,0 ),(, ),(,8) ; è facile intuire che G G f. Osserva le figure a e b: fig. a fig. b Nella fig. a sono rappresentati gli elementi (, g( )) G. Poichè il dominio della funzione g è l insieme dei numeri reali, tutti i punti dell asse delle ascisse hanno una immagine e, quindi, possiamo unire i punti rappresentati in precedenza con una linea. La linea azzurra della fig. b costituisce la rappresentazione grafica della funzione g. Rappresentiamo la funzione h(): Q { } Q / y +. Costruiamo la tabella che consente di determinare alcuni elementi del grafico di h(). y h() , 7, 5, 4,5, 0,,,0,,,,, 5 4 ; è ovvio che G G h. Sia G ( ) ( ) ( ) Nella figura 4a è rappresentato l insieme G. 45

36 Sappiamo che esistono punti della retta che non hanno come corrispondente un numero razionale e, di conseguenza, esistono punti del piano cartesiano che non hanno come immagine una coppia di numeri razionali. Non è, allora, corretto rappresentare la funzione h unendo i punti di G con una linea, così come abbiamo fatto con la funzione g dell esempio precedente. Tuttavia, poiché fra due numeri razionali vi sono infiniti numeri razionali, si conviene anche in questo caso, di rappresentare la funzione h unendo con una linea i punti di G (fig. 4b) fig. 4a fig. 4b OSSERVAZIONI a) La rappresentazione grafica di una funzione, avente per dominio un insieme infinito (le funzioni g e h degli esempi precedenti), ottenuta unendo con una linea alcuni punti del grafico della funzione, è, generalmente, una rappresentazione approssimata della funzione stessa dal momento che non siamo in grado di determinare le immagini di tutti gli elementi del suo dominio. b) Consideriamo le funzioni g (abbiamo sostituito g() con y) e h degli esempi precedenti: () y ; () y + Da un punto di vista formale, queste scritture sono delle equazioni in due variabili ( e y); applicando i principi di equivalenza, possono essere ridotte a forma normale ottenendo: () 46 y 0 ; () y y 0

37 La stessa funzione, dunque, può essere espressa in due modi diversi: ) da un equazione in cui al primo membro c è soltanto la variabile y e al secondo membro una espressione il cui valore dipende da ; in generale y f (); ) da un equazione ridotta a forma normale e, quindi, in generale P(, y) 0. Nel caso ) si dice che la funzione è espressa da una equazione in forma esplicita; nel caso ) si dice che la funzione è espressa da una equazione in forma implicita. Come al solito, non mancano casi particolari: esistono funzioni espresse da equazioni nelle quali è presente una sola delle due variabili; esse possono essere considerate sempre equazioni in due variabili avente nullo il coefficiente della variabile non presente. Ad esempio: ; y 0. Parleremo, indifferentemente, di rappresentazione dell equazione y f () o di rappresentazione della funzione (relazione) di equazione y f () o di grafico della funzione y f (). c) Alle funzioni g e h e, quindi alle loro equazioni, è stato possibile associare una curva del piano cartesiano. Questa proprietà è più generale: ogni equazione in due variabili (che ha insieme soluzione non vuoto) può essere rappresentata nel piano cartesiano e la sua rappresentazione grafica è una linea, curva o retta, oppure un insieme di punti. Viceversa, ogni linea del piano cartesiano è la rappresentazione grafica di una equazione. Mentre è abbastanza semplice associare ad una equazione una linea del piano (è sufficiente rappresentarla), non sempre è agevole associare ad una linea del piano una equazione. Ma, attenzione: la stessa equazione può avere rappresentazioni grafiche diverse. Facciamo un esempio. Consideriamo una relazione da R verso Z espressa dall equazione + y 4 0; il suo grafico è, { } allora, G (,0 ),(,0 ),( 0, ),( 0, ),(, ),(, ),(, ),(, ) ; i punti azzurri della figura 5a costituiscono la sua rappresentazione grafica. fig.5a 47

38 Consideriamo, adesso, la relazione da R verso R espressa dalla stessa + y 4 0; la sua rappresentazione grafica è data dalla linea azzurra della figura 5b. fig. 5b d) Data una equazione, siamo in grado di determinare alcuni punti del piano che appartengono alla rappresentazione grafica dell equazione. Viceversa, dato un punto del piano come fare per stabilire se appartiene o no alla rappresentazione grafica dell equazione? Osserviamo che i punti che appartengono alla linea che rappresenta una funzione (o relazione) sono tali che la coppia formata dalle loro coordinate è una soluzione dell equazione che esprime la funzione (relazione). Allora, per stabilire se un punto del piano appartiene alla rappresentazione grafica di una funzione (relazione), è sufficiente stabilire se le coordinate del punto del piano verificano l equazione che esprime la funzione (relazione). Ad esempio: a) stabiliamo se il punto P(,) appartiene alla rappresentazione grafica della funzione di equazione y 4. Sostituiamo le coordinate di P nell equazione che esprime la funzione; si ottiene: ( ) ( ) L uguaglianza ottenuta è chiaramente FALSA, quindi la coppia (,) non è una soluzione dell equazione e, pertanto, il punto P non appartiene alla rappresentazione della funzione data. b) stabiliamo se il punto S(, ) appartiene alla rappresentazione grafica della funzione di equazione y 4. Sostituiamo le coordinate di S nell equazione che esprime la funzione ; si ottiene: () 4 4 L uguaglianza ottenuta è VERA, quindi la coppia (, ) è una soluzione dell equazione e, pertanto, il punto S appartiene alla rappresentazione grafica della funzione data. 48

39 PROVA TU ) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione h: A B / h() essendo A {,,,, 5} e B { y Z / 5 y 4} <. ) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione g di equazione y 5 avente per dominio e codominio l insieme dei numeri reali. ) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione g di equazione y 5 avente per dominio l insieme A { N / < 9} e codominio l insieme dei numeri naturali 4) Rappresenta nel piano cartesiano la funzione k di equazione y + avente per dominio e codominio l insieme dei numeri razionali. 5) Rappresenta nel piano cartesiano la funzione k di equazione y + avente per dominio l insieme D { / < < 9} Z e codominio l insieme dei numeri interi. 6) Stabilisci, per ciascuna delle seguenti funzioni, se i punti a fianco indicati appartengono alla sua rappresentazione grafica: a) y + A ( 5 ) b) y 5 0 ; D(, ), ; H ( 0 ), + F (, 7) ; S (,7) ; M(, ) + B(, ) c) y 0 ; K (,). Equazione di una retta parallela agli assi cartesiani ; T(, ) Nel precedente paragrafo abbiamo detto che, se è abbastanza agevole associare ad una equazione la sua rappresentazione grafica, non sempre è possibile associare ad una linea (retta o curva) del piano la sua equazione. Ricordiamo, inoltre, che l equazione di una funzione esprime una relazione fra le coordinate dei punti del piano che appartengono alla rappresentazione grafica della funzione stessa. Così, se l equazione di una funzione è y, la sua rappresentazione grafica è una linea formata dai punti del piano cartesiano per i quali l ordinata è il doppio dell ascissa. In questo paragrafo vogliamo provare ad associare a particolari linee del piano una equazione. Esaminiamo la linea più semplice del piano: la retta. Due rette particolari del piano cartesiano sono i due assi cartesiani: l asse delle ascisse e l asse delle ordinate. E possibile associare a ciascuna di esse una equazione? 49

40 Osserva la figura 6 e completa le proposizioni successive in modo che risultino vere: fig. 6 M asse ; M..., y M... ; A asse ; A..., y A... ; C.. asse ; C..., y C...; F.. asse ; F..., y F...; H asse ; H..., y H... ; E.. asse ; E..., y E.... I punti M, A, C, F, H, E hanno due caratteristiche comuni: 50 sono punti dell asse ; la loro ordinata è.. L ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti M, A, C, F, H, E vale la seguente proprietà: y Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente all asse, la sua ordinata è zero? SI NO Esistono punti appartenenti all asse che hanno ordinata diversa da zero? SI NO Concludiamo, dunque, che la caratteristica di tutti i punti dell asse è quella di avere ordinata L equazione dell asse delle ascisse è, dunque, y 0. Osserva, ancora, la fig. 6 e completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere: T asse ; T..., y T... ; D asse ; D..., y D...; G.. asse y ; G..., y G... ; B.. asse y ; B..., y B...; L asse ; L..., y L....

41 I punti T, D, G, B, L hanno due caratteristiche comuni: sono punti dell asse ; la loro ascissa è.. L ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti T, D, G, B, L vale la seguente proprietà: Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente all asse y, la sua ascissa è zero? SI NO Esistono punti appartenenti all asse y che hanno ascissa diversa da zero? SI NO Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti dell asse y è quella di avere ascissa. L equazione dell asse delle ordinate è, dunque, 0. Osserva la figura 7: fig. 7 Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere: A.. ; A..., y A... ; Z.. ; Z..., y Z... ; T.. ; T..., y T.... I punti A, Z, T hanno due caratteristiche comuni: sono punti della retta ; la loro ordinata è.. L ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti A, Z, T vale la seguente proprietà: y Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta v, la sua ordinata è? SI Esistono punti appartenenti alla retta v che hanno ordinata diversa da? SI NO NO 5

42 Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta v è quella di avere ordinata uguale a. L equazione della retta v è, dunque, y. S.. ; S..., y S... ; 5 M.. ; M..., y M... ; B.. ; B..., y B... I punti S, M, B hanno due caratteristiche comuni: sono punti della retta ; la loro ordinata è.. L ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti S, M, B vale la seguente proprietà: y Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta t, la sua ordinata è? SI NO Esistono punti appartenenti alla retta t che hanno ordinata diversa da? SI NO Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta t è quella di avere ordinata uguale a. L equazione della retta t è, dunque, y. P.. ; P..., y P...; D.. ; D..., y D...; H.. ; H..., y B...; I punti P, D, H hanno due caratteristiche comuni: sono punti della retta ; la loro ordinata è.. L ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti P, D, H vale la seguente proprietà: y Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta s, la sua ordinata è 5? SI NO Esistono punti appartenenti alla retta s che hanno ordinata diversa da 5? SI NO Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta s è quella di avere ordinata uguale a. L equazione della retta s è, dunque, y 5.

43 Le rette v, s, t sono all asse delle.. Le equazione delle rette v, s, t sono dello stesso tipo, cioè sono del tipo y numero. I punti appartenenti ad una qualsiasi altra retta, parallela all asse delle ascisse, hanno SI NO tutti la stessa ordinata? Esistono rette parallele all asse delle ascisse i cui punti abbiano ordinate diverse tra SI NO loro? Possiamo, allora, concludere che la caratteristica dei punti appartenenti ad una retta parallela all asse delle ascisse è quella di avere la... ordinata. In generale, quindi, l equazione di una retta parallela all asse delle ascisse è y k (k R). Osserva la figura 8: fig. 8 Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere: R.. ; R..., y R...; K.. ; K..., y K... ; C.. ; C..., y C... I punti R, K, C hanno due caratteristiche comuni: sono punti della retta ; la loro ascissa è.. L ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti R, K, C vale la seguente proprietà: Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta a, la sua ascissa è? SI NO Esistono punti appartenenti alla retta a che hanno ascissa diversa da? SI NO 5

44 Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta a è quella di avere ascissa uguale a. L equazione della retta a è, dunque,. L.. ; L..., y L... ; 54 N.. ; N..., y N... ; W.. ;..., y... W W I punti L, N, W hanno due caratteristiche comuni: sono punti della retta ; la loro ascissa è.. L ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti L, N, W vale la seguente proprietà: Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta b, la sua ascissa è? SI NO Esistono punti appartenenti alla retta b che hanno ascissa diversa da? SI NO Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta b è quella di avere ascissa uguale a. L equazione della retta b è, dunque,. Q.. ; Q..., y Q...; G.. ; G..., y G... ; E.. ; E..., y E... ; I punti Q, G, E hanno due caratteristiche comuni: sono punti della retta ; la loro ascissa è.. L ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti Q, G, E vale la seguente proprietà: Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta c, la sua ascissa è 9? SI NO Esistono punti appartenenti alla retta c che hanno ascissa diversa da 9? SI NO Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta c è quella di avere ascissa uguale a. L equazione della retta c è, dunque, 9.

45 Le rette a, b, c sono all asse delle... Le equazione delle rette a, b, c sono dello stesso tipo, cioè sono del tipo numero. I punti appartenenti ad una qualsiasi altra retta, parallela all asse delle ordinate, hanno SI NO tutti la stessa ascissa? Esistono rette, parallele all asse delle ordinate, i cui punti abbiano ascisse diverse tra SI NO loro? Possiamo, allora, concludere che la caratteristica dei punti appartenenti ad una retta parallela all asse delle ordinate è quella di avere la... ascissa. In generale, quindi, l equazione di una retta parallela all asse delle ordinate è h (h R). Le osservazioni appena fatte sono sintetizzate nella seguente tabella: RETTA EQUAZIONE Asse delle ascisse y 0 Asse delle ordinate 0 r // asse delle ascisse y k (k R) r // asse delle ordinate h (h R). Equazione delle bisettrici dei quadranti Osserva la fig. 9 nella quale la retta s è la bisettrice del I e III quadrante: fig. 9 55