Immaginario Un numero immaginario si ottiene moltiplicando un numero reale per i, dove si intende con i la radice quadrata di meno uno.

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1 Immagiario U umero immagiario si ottiee moltiplicado u umero reale per i, dove si itede co i la radice quadrata di meo uo. Immagie Data ua fuzioe y=f(x) di domiio A e codomiio B si chiama immagie di x A l elemeto di f(x) B uico per defiizioe che la legge associa ad x. Si chiama isieme immagie il sottoisieme di B costituito dalla totalità delle immagii di tutti gli elemeti di A. Implicazioe Coettivo che ella logica delle proposizioi idicato co l euciato del tipo se A, allora B o i simboli co A B. L implicazioe, per defiizioe, è falsa solo el caso i cui è vera A ed è falsa B. Icommesurabili Due gradezze omogeee che o ammettoo alcu sottomultiplo i comue. Il rapporto di due gradezze icommesurabile è u umero irrazioale. Idetermiato U sistema, o u problema, si dice idetermiato se ammette ifiite soluzioi. Isieme Collezioe, aggregato di elemeti soggetti alla sola codizioe che sia sempre possibile stabilire seza ambiguità se u elemeto qualsiasi appartiee o o a tale aggregato. Isieme di esisteza Sioimo di campo di esisteza. Isieme di variabilità Sioimo di codomiio. Itersezioe Dati due isiemi A e B, si chiama loro itersezioe, e si idica co il simbolo A B, l isieme i cui elemeti appartegoo sia all isieme A, sia all isieme B. Due isiemi la cui itersezioe corrispode all isieme vuoto soo detti disgiuti. Itervallo Sottoisieme o vuoto dell isieme dei umeri reali. U itervallo può essere chiuso, se cotiee i suoi estremi ad esempio axb, o aperto, se o cotiee i suoi estremi, ad esempio a<x<b. U itervallo di dice limitato se esistoo due umeri, h e k, tali che ogi elemeto dell itervallo è miore di h e maggiore di k. Itervalli Si adottao le segueti otazioi:

2 Itoro Nell isieme dei umeri reali, si chiama itoro di ar u itervallo limitato aperto co cetro i a (a-,a+). Si chiama itoro di più ifiito u itervallo (m, + ); si chiama itoro di meo ifiito u itervallo (-, m); si chiama itoro destro di a u itervallo che ammette a come estremo siistro [a,a+).; si chiama itoro siistro di a u itervallo che ammette a come estremo destro(a-,a].

3 Iverso Iverso di u elemeto a i u isieme I rispetto all operazioe * è quell elemeto a tale che a*a?=a *a=u dove u è l elemeto eutro. Iverso di a, co a diverso da zero, rispetto alla moltiplicazioe è 1/a. Iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei puti del piao per i quali è costate la differeza della distaza da due puti fissi detti fuochi. I u riferimeto cartesiao ortogoale i cui i fuochi abbiao coordiate (-c, 0) e (c, 0), l iperbole ha equazioe: 2 2 x y (dove sia b c a ) 2 2 a b I due puti A e A dell iperbole per i quali OA = OA = a soo detti vertici dell iperbole. Il semeto AA è detto asse trasverso dell iperbole; esso ha lughezza 2a. Il segmeto di estremi (0,-b) e (0,b) è detto asse o traverso e ha lughezza 2b. Le due rette bx + ay = = e bx ay = 0 soo detti asitoti dell iperbole. Irrazioale Numero irrazioale: umero decimale illimitato che o può essere trasformato i frazioe. Soo, ad esempio, irrazioali i umeri 2, e. Nelle operazioi di misura il umero irrazioale proviee dal rapporto di due gradezze icommesurabili. Fuzioe irrazioale: ua fuzioe si dice irrazioale se ella sua espressioe aalitica la variabile compare, almeo ua volta, sotto il sego di radice. Maggiorate Dato u isieme umerico A, si chiama maggiorate di A u umero b tale che b a, per ogi a apparteete ad A. Matissa Dato u umero reale x, si chiama sua matissa il umero x-x, dove x detto parte itera di x, è il massimo itero miore o uguale a x. La matissa di u umero è sempre positiva e compresa tra zero ed uo. La fuzioe y =mat(x) è quidi data da: y =mat(x) = x-x Massimo Dato u isieme I totalmete ordiato si chiama massimo di I, se esiste, l elemeto M di I tale che M x, per ogi x apparteete a I. U sottoisieme di Z limitato superiormete ( o iferiormete) è dotato di massimo ( o di miimo). I Q ed i R u sottoisieme limitato può o avere massimo. Matrice Si defiisce matrice u isieme di m elemeti ordiati secodo due idici, cioè per righe e per coloe. Si dice matrice quadrata la matrice e il umero si defiisce ordie della matrice. Ad ogi matrice quadrata si può associare u umero detto determiate della matrice. Miimo Dato u isieme I totalmete ordiato si chiama miimo di I, se esiste, l elemeto M di I tale che M x, per ogi x apparteete a I. U sottoisieme di Z limitato superiormete ( o iferiormete) è dotato di massimo ( o di miimo).

4 I Q ed i R u sottoisieme limitato può o avere miimo. Miorate Dato u isieme umerico A, si chiama miorate di A u umero b tale che b a, per ogi a apparteete ad A. Modulo Si defiisce modulo di u umero complesso z = a + ib il umero reale positivo r 2 2 a b. Il modulo di u umero complesso geometricamete esprime la sua distaza dall origie. Nel campo reale si usa modulo come sioimo di valore assoluto. Dato il umero reale x si dice valore assoluto di x, e si idica col simbolo x, il umero stesso se questo è positivo o ullo, il suo opposto se esso è egativo. Le proprietà fodametali del valore assoluto soo le segueti: x 0 xr x = 0 se e solo se x = 0 a - b a + b a + b a,br a - b a - b a,br x 1 > x 2 x 1 > x 2 se x 1,x 2 > 0 x 1 > x 2 x 1 < x 2 se x 1,x 2 < 0 Molteplicità w si dice radice co molteplicità m del poliomio P(x) se esiste u poliomio Q(x) tale che: w o è radice di Q(x) P(x) = (x w) m. Q(x) Negazioe La egazioe è u coettivo logico. La egazioe di ua proposizioe P, che i geere si idica co P, è vera quado P è falsa ed è falsa quado P è vera. Neutro I u isieme I i cui è defiita u operazioe * si chiama elemeto eutro, se esiste, l elemeto u tale che: u*a=a*u=a per ogi elemeto a apparteete ad I. a A U * a a* U Normale Retta o segmeto ormale: retta o segmeto perpedicolare. Normale ad ua curva: retta perpedicolare ad ua tagete el puto di tageza alla curva. Forma ormale : forma caoica. Notevole Prodotto otevole: el calcolo letterale si chiamao prodotti otevoli quei prodotti fra poliomi che, per la frequeza co cui s icotrao ella pratica, si eseguoo ricordado a memoria il risultato. Si cosiderao prodotti otevoli i segueti: quadrato del biomio : (a+b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 prodotto di ua somma per ua differeza di quatità uguali: (a+b) (a-b)= a 2 -b 2 cubo del biomio: (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 quadrato del triomio: (a+b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab +2bc +2ac

5 prodotto uguale a somma (o differeza) di cubi : (a+b) (a 2 -ab+b 2 ) = a 3 +b 3 (a-b) (a 2 +ab+b 2 ) = a 3 -b 3. Numerabile U isieme si dice umerabile se si può porre i corrispodeza biuivoca co l isieme N dei umeri aturali o co u suo sottoisieme ifiito. Numero Numero aturale: dati due isiemi fiiti, A e B, si dice che essi soo equipoteti, se soo etrambi vuoti oppure se esiste ua corrispodeza biuivoca tra A e B. Nell isieme T di tutti gli isiemi co u umero fiito di elemeti si cosidera, quidi, la relazioe R secodo cui due isiemi di T soo i relazioe se e solo se soo equipoteti. La relazioe R è ua relazioe di equivaleza; essa gode, ifatti, delle proprietà riflessiva, trasitiva e simmetrica. Si defiisce umero aturale ogi classe di equivaleza idividuata dalla relazioe R. L isieme dei umeri aturali, cui appartiee ache lo zero, si idica co la lettera N. Numero itero relativo: idicato co N l isieme dei umeri aturali, sia N x N il prodotto cartesiao di N per N. Date due coppie (a,b) (c,d) i N x N, si dice che esse soo i relazioe se e solo se a+d = c+b. La relazioe R cosi defiita è ua relazioe di equivaleza che, quidi, determia ua partizioe degli elemeti di N i classi di equivaleza (isieme quoziete). Chiamiamo u umero itero relativo ogua delle classi di equivaleza idividuate dalla relazioe R. L isieme dei umeri iteri relativi si idica co la lettera Z. Defiizioe di umero razioale: ell isieme Z x Z 0 due coppie ordiate (a,b) (c,d) si dicoo i relazioe se e solo se ad =bc. La relazioe che i questo modo si defiisce è ua relazioe di equivaleza e determia u isieme quoziete: si chiama umero razioale oguo degli elemeti di tale isieme quoziete. L isieme dei umeri razioali si idica co la lettera Q. I Q o vale la proprietà dell estremo superiore: può accadere, cioè, che vi siao sottoisiemi limitati di Q che o ammettoo estremo superiore. Defiizioe di umero reale: si chiama umero reale ua partizioe dell isieme Q i due classi (A.B) i cui ogi elemeto della prima è miore di ogi elemeto della secoda, e che siao idefiitamete ravviciate, cioè preso u umero >0 arbitrariamete piccolo, è sempre possibile trovare u elemeto aa e u elemeto bb tali che b-a <. L isieme di tutte le partizioi di Q come sopra defiite costituisce l isieme dei umeri reali R. Nell isieme R vale la proprietà dell estremo superiore: ogi sottoisieme limitato ha estremo superiore. Defiizioe di umero complesso: si defiisce umero complesso ua coppia ordiata di umeri reali, solitamete si idica co z=a+ib. L isieme di tutti i umeri complessi si idica co la lettera C. L isieme C, a differeza di tutti gli altri isiemi umerici prima defiiti, o è u isieme ordiato. O Cogiuzioe utilizzata i seso iclusivo (vel) sia elle defiizioi di uioe di isiemi, sia elle defiizioi di alterativa, oppure i seso esclusivo col sigificato di aut; i questo caso dà luogo e i logica al coettivo XOR. Omografica Fuzioe omografica: fuzioe di espressioe aalitica ax b y cx d è u iperbole co asitoti paralleli agli assi il cui cetro ha coordiate (-d/c ; a/c).

6 Omotetia di cetro O e rapporto k: Trasformazioe del piao i cui si fissa u puto O, detto cetro, e siao A e A due puti allieati co esso e tali che OA /OA = k. Dato u puto P del piao, si chiama suo omotetico il puto P apparteete alla retta OP per il quale OP:OP =OA:OA e che cade rispetto ad O dalla stessa parte di P, secodo che ciò accada o o per A ei cofroti di A. Le equazioi che dao tale trasformazioe soo: x' kx y' ky Opposto Si dice opposto di u umero a reale il umero a, cioè l elemeto iverso di a rispetto alla somma. Parabola Si chiama parabola il luogo geometrico dei puti del piao equidistati da u puto fisso, detto fuoco, e da ua retta fissa, detta direttrice. La parabola è ua coica, cioè si ottiee ache come sezioe piaa di u doppio coo di rotazioe idefiito co u piao parallelo a ua geeratrice del coo. Proprietà otevoli della parabola soo le segueti: le due tageti codotte a ua parabola da u puto della sua direttrice soo l ua perpedicolare all altra, e il segmeto che cogiuge i puti di tageza passa per il fuoco; la ormale alla parabola codotta per u puto P della parabola biseca l agolo formato dal raggio focale FP e la parallela per P all asse di simmetria della curva; la parabola è ua coica co eccetricità e = 1; la sottoormale relativa all asse i ua parabola è costate ed è uguale al parametro. Ua parabola co asse di simmetria parallelo all asse delle ordiate ha equazioe: y ax 2 bxc i cui è: 2 b b 4ac Vertice: V ; ; 2a 4a 2 b 1b 4ac Fuoco: F ; ; 2a 4a b asse: x ; 2 a b a direttrice: y a La parabola co asse di simmetria parallelo all asse delle ascisse ha equazioe: x ay 2 byc metre le equazioi per il calcolo di V, F, asse e direttrice si ritrovao ivertedo le ascisse co le ordiate, e le lettere x co le y e le y co le x i quelle precedeti. Pari U umero aturale si dice pari se è divisibile per due. Fuzioe pari: Ua fuzioe y=f(x) di domiio I si dice pari se, per ogi x di I, ache -x appartiee ad I e si ha f(-x) = f(x). Le fuzioi pari hao grafico simmetrico rispetto all asse delle ordiate. Parte

7 Parte itera: si defiisce parte itera di u umero reale a e si idica co a il massimo umero itero miore o uguale ad a. I iformatica la parte itera di u umero a si idica co it(a). Parti Isieme delle parti: dato u isieme A si chiama isieme delle parti di A, e si idica co il simbolo P(A), l isieme di tutti i sottoisiemi, propri ed impropri, di A. Se A ha elemeti, l isieme delle parti di A è costituito da 2 elemeti. Partizioe Si dice che è data ua partizioe di u isieme A se A si ottiee come l uioe di isiemi A i tali che: ogi isieme A i o è vuoto; ogi elemeto di A appartiee ad uo dei sottoisiemi A i ; l itersezioe tra due qualsiasi sottoisiemi A i è vuota cioè soo disgiuti. Ua relazioe di equivaleza R defiita i u isieme A, iduce ua partizioe ella quale ogi sottoisieme A i cotiee elemeti equivaleti di A. L isieme delle classi di ua partizioe si chiama isieme quoziete dell isieme A rispetto alla relazioe R e si idica co A / R. Periodo Si defiisce periodo di ua fuzioe f (quidi periodica) il miore dei umeri T positivi e o ulli per cui f(x + T) = f(x), per ogi x apparteete al domiio di f(x). Le fuzioi seo e coseo, ad esempio, hao periodo 2; le fuzioi tagete e cotagete hao periodo. Permutazioe Permutazioi semplici: i u isieme fiito di elemeti distiti, si chiamao permutazioi tutti i possibili allieameti che si possoo formare co gli elemeti, cosiderado distiti gruppi co elemeti disposti i ordie diverso. Il umero delle permutazioi i u isieme di elemeti è dato da:! =(-1)(-2)... 1 Permutazioi co ripetizioe: i u isieme fiito di elemeti o tutti distiti, tutti i possibili gruppi che si possoo formare co gli elemeti assegati, cosiderado distiti gruppi co elemeti disposti i ordie diverso. Se h 1, h 2,..., h, idicao il umero degli elemeti fra loro coicideti, il umero delle permutazioi co ripetizioe i u isieme di elemeti è dato da:! P h! h!... h! 1 2 Polare coordiate polari: i u piao è assegato u riferimeto polare se è data ua semiretta orietata x, detta asse polare, avete come origie u puto O, detto polo, e se ioltre è fissata u uità di misura u. Cosiderato positivo il verso atiorario delle rotazioi, ogi puto P del piao è idividuato da due coordiate, dette coordiate polari, che soo ell ordie la distaza, r, di P da O detta modulo e l agolo orietato (misurato i radiati), detto aomalia che l asse polare forma co la semiretta orietata OP. Se l aomalia appartiee all itervallo [0, 2), (o all itervallo (-,]) allora vi è corrispodeza biuivoca fra i puti del piao e le coppie ordiate (r; ).

8 È possibile, i u piao qualsiasi, passare da coordiate cartesiae a coordiate polari, e viceversa, utilizzado le segueti formule: 2 2 r x y cos x/ x y ;se y/ x y x rcos y rse Poliomio Si chiama poliomio ua somma algebrica di moomi, ache evetualmete ulli. Si defiisce grado del poliomio il massimo grado dei suoi termii metre grado del poliomio rispetto ad ua lettera il massimo grado, rispetto a quella lettera, dei suoi termii. Proprietà fodametale dei poliomi: due poliomi i ua variabile, etrambi di grado, che assumoo gli stessi valori per +1 valori della variabile soo idetici. Postulato Proposizioe che si ammette vera seza dimostrazioe. I Euclide il termie postulato era riferito solo a proprietà geometriche metre ora postulato è sioimo di assioma. I ua teoria matematica i postulati hao ache il ruolo di defiire implicitamete i termii primitivi. Poteza Dato u umero reale a e u umero itero positivo si defiisce poteza di base a ed espoete, e si idica co a, il prodotto di fattori tutti uguali ad a. Si ha che a 0 = 1, se a è diverso da 0. No ha ivece sigificato l espressioe 0 0. p Ioltre è: a 1 p a Proprietà delle poteze: ua poteza co espoete dispari coserva il sego della sua base e si aulla quado si aulla la sua base; ua poteza co espoete pari ha sempre sego positivo, qualuque sia la sua base, e si aulla quado si aulla la sua base. m m aa a ( 0, m0) m m - a : a a m m ( a ) a ( 0, m0) (ab) = a a m Fuzioe poteza: y = x è ua fuzioe detta fuzioe poteza. La fuzioe poteza ha come domiio R e come codomiio l isieme dei umeri reali o egativi, se è pari, tutto R, se è dispari. Poteza co espoete razioale: se a è u umero reale positivo, u umero aturale ed m u umero itero positivo, si defiisce: a m m a Poteza co espoete irrazioale: se a è u umero reale positivo e è u umero irrazioale, si defiisce a l elemeto di separazioe di due classi cotigue, di poteze co espoete razioale, che hao come elemeti a q e a p, co q e p valori approssimati per difetto e per eccesso di. Primo U umero aturale si dice primo se ammette come divisori solo 1 e sé stesso.

9 Prodotto cartesiao Dati due isiemi A e B, si defiisce prodotto cartesiao di A e B, e si idica co A x B, l isieme costituito da tutte le coppie ordiate aveti come primo elemeto u elemeto apparteete ad A e secodo apparteete a B. Se A e B soo isiemi fiiti, rispettivamete di ed m elemeti, il prodotto cartesiao A x B ha xm elemeti. Progressioe Si chiama progressioe ua successioe i cui ogi termie si ottiee dal precedete el seguete modo: Progressioe aritmetica: ua successioe umerica i cui la differeza fra ogi termie diverso dal primo e il suo precedete è costate ( x +1 - x = d). A tale costate d si dà il ome di ragioe della progressioe. I termii successivi si possoo calcolare o dal precedete sommado d oppure come: a a ( r) d r e i particolare, se r = 1: a a1 ( 1) d La somma dei termii di ua successioe aritmetica è data da: a a 1 S 2 Progressioe geometrica: ua successioe il cui rapporto fra ogi termie diverso dal primo e il precedete è uguale ad u valore costate ( x x q). 1 A tale costate q si dà il ome di ragioe della progressioe. I termii successivi possoo essere calcolati o dal termie precedete moltiplicato per q oppure come: r a a q r i particolare, se r = 1, si ha 1 a a1q Il prodotto di termii di ua progressioe geometrica è dato da: P a a 1 Metre la somma di termii è data da: 1 q S a 1 1 q Se la progressioe geometrica (serie geometrica) è costituita da ifiiti termii e ragioe i valore assoluto miore di uo la somma è data da: a S 1 1 q metre la somma o assume valore fiito egli altri casi. Proposizioe Euciato verbale cui si può attribuire il valore di vero o falso. Quatificatore Uo dei due operatori logici: per ogi (), esiste almeo u (). Il primo è detto quatificatore uiversale, il secodo quatificatore esisteziale. Quado il quatificatore esisteziale è seguito da! esso è usato per esiste uo ed u solo elemeto. R

10 Simbolo co cui si idica l isieme dei umeri reali. rad Simbolo co cui si idica l uità di misura radiate. Radiate Uità di misura degli agoli. Data ua circofereza di cetro O, siao r ed s due semirette orietate usceti da O e che itersecao la circofereza i P e Q. Si dice che rs ha l ampiezza di u radiate quado la lughezza dell arco PQ rettificato è uguale alla lughezza del segmeto OP (ossia del raggio). La misura i radiati di u agolo si ottiee co: PQ OP L agolo di 1 rad, i gradi sessagesimali, misura ,81. Per passare da gradi a radiati, o viceversa, si applica la proporzioe: 180 : g : r Radicale Si chiama radicale il simbolo a dove, umero itero positivo, prede il ome di idice del radicale metre a è detto radicado. Radice Radice di u umero: dato u umero reale positivo o ullo a e u umero itero positivo si defiisce radice -esima aritmetica di a, il umero reale o egativo b tale che b a e si scrive: b a Dato u umero reale a e u umero itero positivo si chiama radice -esima algebrica di a u umero reale, positivo o egativo, la cui poteza -esima sia a. Dalle defiizioi precedeti si ha: se l idice è pari, u umero positivo ha due radici -esime algebriche, ua opposta all altra, e ua radice -esima aritmetica, corrispodete alla radice algebrica positiva; se l idice è pari, u umero egativo o ha é radici -esime algebriche, é radice -esima aritmetica; se l idice è dispari, u umero positivo ha ua sola radice algebrica ed ua radice aritmetica, tra loro coicideti; se l idice è dispari, u umero egativo o ha radice aritmetica, e ha ua radice algebrica egativa. Radice di u poliomio: dato u poliomio P(x) si chiama radice di P(x), o zero di P(x), u umero a tale che P(a)=0. Si chiama molteplicità di ua radice la poteza a cui si eleva (x - a) ella scomposizioe del poliomio stesso. Ragioe I ua progressioe aritmetica: differeza costate d fra u termie diverso dal primo e il suo precedete. I simboli: d = a a -1. I ua progressioe geometrica: rapporto costate q tra fra u termie diverso dal primo e il suo precedete. I simboli: q = a /a -1. Razioale

11 U umero si dice razioale se è esprimibile come frazioe. Soo umeri razioali i umeri iteri, i umeri decimali fiiti e i umeri decimali periodici. Reale U umero reale è o u umero itero, o u umero decimale fiito, o u umero decimale periodico, o u umero decimale illimitato o periodico. Rappresetazioe decimale dei umeri reali: u umero reale, o razioale ha u allieameto o fiito e o periodico di decimali. Ad es. 2 = Reciproco Dato u isieme I e u suo elemeto a si defiisce reciproco o iverso di a rispetto all operazioe * quel umero a -1 tale che a*a -1 = a -1 *a =u, dove u è l elemeto eutro dell isieme 1. Dato u umero reale a si defiisce reciproco o iverso di a rispetto all operazioe operazioe * (prodotto) quel umero a -1 tale che a*a -1 = a -1 *a =1. Relazioe Dato u isieme A, si dice relazioe biaria, R, ell isieme A, u sottoisieme R del prodotto cartesiao A x A. Se a e b soo due elemeti di A, si dice che a è i relazioe co b, e si scrive arb, se e solo se la coppia ordiata (a, b) appartiee al sottoisieme R. Ua relazioe biaria i u isieme A può verificare qualcua delle segueti cique proprietà: riflessiva: ara per ogi a A (ovvero I è coteuta i R); atiriflessiva: per ogi a A o si ha mai ara; trasitiva: se arb e brc, allora arc; simmetrica: se arb allora bra ; ati-simmetrica: se arb allora bra se e solo se a = b. Ua relazioe che verifica le proprietà riflessiva, trasitiva e simmetrica si dice relazioe di equivaleza. Ua relazioe che verifica le proprietà riflessiva, trasitiva e atisimmetrica si dice relazioe di ordie parziale. Ua relazioe si dice di ordie i seso stretto se verifica le proprietà atiriflessiva, trasitiva e atisimmetrica. Ua relazioe di ordie si dice totale se dati due qualsiasi elemeti, a e b, di A si ha sempre o a b o b a. Rotazioe Si dice rotazioe di cetro O e ampiezza la trasformazioe che matiee fisso il puto O, detto cetro, e associa ad ogi puto P del piao, distito da O, u puto P tale che la distaza OP sia uguale alla distaza OP e che l agolo POP sia uguale ad Equazioi della rotazioe di cetro O ed ampiezza : Ruffii Regola di Ruffii: regola utilizzata per dividere u poliomio di grado per u biomio di primo grado del tipo (x-a).

12 Secate Ua retta r seca ua curva C i u puto P, se P è u puto comue ad r e a C e se co P o coicidoo altri puti comui ad r e a C. Secate di u agolo: dato u agolo orietato xoy, si defiisce sua secate il rapporto costate, se esiste, fra la distaza di u qualuque puto P (diverso da O) dall origie O e la distaza orietata della proiezioe H di P sulla retta Ox da O. La secate di u agolo x si idica co secx. Quidi è: sec = OP/OH. Dalla defiizioe data segue che, per tutti gli agoli diversi da /2+k, è: sec=1/cos. Semifattoriale Dato u umero aturale positivo, si chiama suo semifattoriale, e si idica co il simbolo!!, il prodotto di per tutti i umeri pari ad esso precedeti, se è pari; il prodotto di per tutti i umeri dispari precedeti, se è dispari. Semiretta U qualsiasi sottoisieme coesso e o limitato di ua retta. Seo Seo di u agolo: dato u agolo orietato xoy, si defiisce suo seo il rapporto costate fra la distaza di u qualuque puto P dalla retta Ox e la distaza di P dall origie O. Il seo di u agolo si idica co se ed è u umero privo di dimesioi, apparteete all itervallo [-1;1]. Quidi è: se = PH/OP. Teorema dei sei: i u triagolo qualsiasi è:

13 a se b se c se Sigificative Si dicoo cifre sigificative di u umero le sue cifre che o soo affette da errore, più la prima cifra icerta. Simmetria Simmetria assiale: due puti distiti A e B, si dicoo simmetrici rispetto a ua retta r se il loro puto medio appartiee ad r e se il segmeto AB è perpedicolare alla retta r. Chiamiamo simmetria assiale, di asse r, la trasformazioe del piao i sé che ad ogi puto del piao associa il suo simmetrico rispetto alla retta r. I u riferimeto cartesiao ortogoale le equazioi di ua simmetria assiale soo le segueti. Rispetto all asse delle x x' x y' y Rispetto alla retta y=h x' x y' 2h y Rispetto all asse delle y x' x y' y Rispetto alla retta x=h x' 2h x y' y Rispetto alla retta y=x Rispetto alla retta y= -x x' y x' y y' x y' x Simmetria cetrale: due puti A e B si dicoo simmetrici rispetto a u puto O se O è il puto medio del segmeto AB. Si dice simmetria cetrale, rispetto a u dato puto O detto cetro, ua trasformazioe del piao i sé che ad ogi puto A del piao associa il suo simmetrico, A 1 rispetto ad O. Le equazioi di ua simmetria cetrale soo date da: rispetto all origie O(0,0) rispetto al puto A (a,b) x' x y' y x' 2a x y' 2b y Sommatoria Simbolo, dato dalla lettera greca sigma maiuscola, usato per idicare i forma cocisa l operazioe di somma.

14 Sottoisieme Si dice che B è sottoisieme di A e si scrive B A (oppure A B se ogi elemeto di B è u elemeto di A. I simboli: x B : x A.Si osservi che A = B se e solo se (A B e B A) ioltre A (qualuque sia A). U sottoisieme B di A diverso da A e dall'isieme vuoto si dice sottoisieme proprio e si scrive B A (oppure A B) Proprietà della relazioe iclusioe: siao A, B, C isiemi qualsiasi, si ha: A A (proprietà riflessiva) se A B e B A allora A = B (proprietà atisimmetrica) se A B e B C allora A C ( proprietà trasitiva) Tagete Ua retta si dice tagete ad ua curva i u puto P se el puto P la retta e la curva hao i comue due puti coicideti. Il cocetto di tagete è u cocetto locale: ua retta r può essere tagete ad ua curva i u puto e secate alla stessa curva i u altro puto. Si può dire ache che la tagete ad ua curva i u puto P è la posizioe limite, se esiste, della retta secate che uisce i puti P e Q della curva, al tedere di Q a P. Tagete di u agolo Dato u agolo orietato xoy, descritto dal raggio vettore Oy rispetto alla semiretta origie Ox, si chiama sua tagete il rapporto, se esiste, della distaza orietata di u qualuque puto P di Oy, diverso da O, dalla retta Ox e la distaza orietata della proiezioe di P su Ox dall origie O. La tagete di u agolo si idica col simbolo tg. Quidi tg= PH/OH se Ioltre è: tg =. cos Fuzioe tagete Poedo y= tg x si ottiee l espressioe aalitica di ua fuzioe, detta fuzioe tagete, defiita per x diverso da ke co codomiio R. Trasitiva Proprietà trasitiva: se, presi tre elemeti a, b, c di u isieme I ed ua relazioe R, si dice che la relazioe R gode della proprietà trasitiva se quado vale: arb e brc allora arc.

15 Traslazioe Chiamiamo traslazioe ua trasformazioe geometrica i cui due puti si corrispodoo se il segmeto che li uisce è cogruete ed equiverso ad u segmeto orietato dato, detto vettore di traslazioe. I u riferimeto cartesiao ortogoale le equazioi di ua traslazioe qualsiasi di vettore v=(a,b) soo: x' x a. y' y b Uioe Dati due isiemi A e B si chiama loro uioe, e si idica co il simbolo A B, l isieme i cui elemeti soo elemeti di A o elemeti di B. Uità Elemeto u che, i ua struttura algebrica A, i cui è defiita ua operazioe *, gode della proprietà che u*a=a*u=a per ogi a di A, l uità è ache detta elemeto eutro. Nel campo dei umeri reali prede il ome di elemeto uità il umero 1, cioè l elemeto eutro rispetto al prodotto. Uivoca Sioimo di a u sol valore. Ua fuzioe è ua corrispodeza uivoca, cioè tale che ad ogi elemeto del domiio corrispode uo e u solo elemeto del codomiio. Valore assoluto Dato il umero reale x si dice valore assoluto di x, e si idica col simbolo x, il umero stesso se questo è positivo o ullo, il suo opposto se esso è egativo. Le proprietà fodametali del valore assoluto soo le segueti: x 0 xr x = 0 se e solo se x = 0 a - b a + b a + b a,br a - b a - b a,br x 1 > x 2 x 1 > x 2 se x 1,x 2 > 0 x 1 > x 2 x 1 < x 2 se x 1,x 2 < 0 Variabile Quatità o coosciuta, che può assumere tutti i valori umerici apparteeti a u determiato isieme umerico. Verità Tavola di verità: tabella dove si riportao i valori di verità di ua proposizioe logica composta, al variare di tutti i possibili valori di verità che possoo assumere le proposizioi elemetari compoeti. Vuoto Isieme vuoto: isieme privo di elemeti. E u sottoisieme improprio di qualuque isieme e si idica co: