Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

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1 Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio e del Paesaggio Agro-Forestale Corso di Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Prof. Ing. S. Pascuzzi

2 Materiale di studio ü Appunti dalle lezioni ü BIGATTI Anna Maria RBBIAN Lorenzo MATEMATICA DI BASE Casa Editrice Ambrosiana ü ZWIRNER Giuseppe ISTITUZINI DI MATEMATICHE Parte prima CEDAM Editrice

3 Elementi di geometria analitica

4 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura La retta è una linea aperta dotata di due versi, uno opposto all altro Una retta si dice orientata quando sia fissato su di essa un verso che si chiamerà positivo; l opposto sarà detto verso negativo Due punti del piano A e B formano una coppia orientata quando sono considerati in un certo ordine 4

5 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura Se (A, B) è una coppia orientata di punti, il segmento di estremi A e B dicesi segmento orientato e si indica con AB. A B r Il punto A si chiama origine ed il punto B estremo del segmento. I due segmenti AB e BA si dicono opposti. 5

6 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura Chiameremo misura del segmento orientato AB rispetto all unità di misura u, il numero reale che rappresenta il rapporto tra il segmento AB e quello unitario u, al quale numero si attribuisce il segno positivo o negativo a seconda che il verso del segmento orientato AB coincide od è opposto al verso positivo fissato su r. u A B r 6

7 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura La misura di un segmento orientato è un numero relativo, cioè un numero positivo o negativo a seconda che il verso positivo del segmento considerato coincide od è opposto al verso positivo fissato sulla retta r dove giace il segmento. Le misure dei segmenti AB e BA sono numeri opposti; cioè: AB+BA=0 u A B r 7

8 Coordinate nella retta Ascisse sulla retta Una retta orientata r viene suddivisa da un punto arbitrario (punto di origine) in due semirette, una positiva (contiene i punti successivi ad nel verso positivo) l altra negativa P r Preso sulla retta r un punto qualsiasi P e fissata una unità di misura, sia la misura del segmento orientato P. Il numero così determinato chiamasi ascissa del punto e si scrive P(). 8

9 Coordinate nella retta Ascisse sulla retta L ascissa del punto P è un numero reale, positivo, negativo o nullo. Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta orientata r e l insieme dei numeri reali. u r Un sistema di ascisse sulla retta r è determinato quando è fissato il punto di origine, il verso positivo sulla retta r e l unità di misura 9

10 Coordinate nella retta Distanza orientata di due punti di una data retta. Dati due punti P 1 e P mediante le loro ascisse 1 e, trovare la misura del segmento orientato P 1 P P 1 P r si ha: P 1 P = - 1 La misura del segmento orientato P 1 P è uguale alla differenza tra l ascissa di P e quella di P 1 10

11 Misura degli angoli Unità pratica di misura degli angoli: grado (novantesima parte dell angolo retto) minuto primo (sessantesima parte del grado) minuto secondo (sessantesima parte del minuto primo) Unità teorica di misura degli angoli Su due circonferenze concentriche di raggi R e R si considerano due archi che sottendono lo stesso angolo al centro R α : α = R : R α R α Se α = R α = R 11

12 Misura degli angoli in radianti Unità teorica di misura degli angoli: radiante (angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende un arco di lunghezza uguale al suo raggio) Le misure di un arco e dell angolo al centro ad esso sotteso, quando si prenda come unità di misura per gli archi il raggio e per gli angoli il radiante, sono espresse dallo stesso numero 360 π 180 π 90 π/ 45 π/4 π = : π = : 180 = π 1

13 Fasci orientati di rette S Fascio proprio di rette di un piano: insieme di tutte le rette di un piano passanti per un punto fisso (centro del fascio) S Una retta del fascio può ruotare intorno ad S in due sensi o versi fra loro opposti, uno positivo e l altro negativo Un fascio si dice orientato quando si assume un verso come positivo (verso antiorario) Un fascio con verso positivo e con verso positivo di ciascuna sua retta si definisce fascio orientato di rette orientate 13

14 Misura degli angoli orientati Siano a e b due rette orientate, distinte e appartenenti al fascio orientato di centro S b S a Chiameremo angolo delle due rette orientate a e b, l angolo convesso S a b individuato dalle semirette positive a e b L angolo ab è positivo, quando la semiretta positiva a deve ruotare nel verso positivo per descrivere l angolo convesso ab La misura di un angolo orientato ab è positiva o negativa a seconda che l angolo ab sia positivo o negativo Le misure degli angoli orientati ab e ba sono due numeri opposti: ab = -ba ossia ab + ba = 0 14

15 u Coordinate cartesiane nel piano Fissiamo sul piano due rette orientate non parallele. B A P origine asse delle (delle ascisse) asse delle (delle ordinate) A = a B = b Coordinate cartesiane del punto P (ascissa, ordinata) Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali II I III IV 15

16 Coordinate cartesiane nel piano Considereremo sempre assi cartesiani ortogonali II I P P(a,b) III IV P - P' - P - - P' 16

17 Distanza di due punti Consideriamo due punti P 1 e P in un sistema di assi cartesiani ortogonali A 1 = 1 ; A = ; B P (, ) B 1 = 1 ; B = B 1 P 1 ( 1, 1 ) Q P 1 Q = A 1 A = - 1 QP = B 1 B = - 1 A 1 A Teorema di Pitagora triangolo rettangolo P 1 QP : d = P 1 P = P 1 Q + QP e quindi: d = ( - 1 ) + ( - 1 ) da cui segue la formula: d = ( ) + ( )

18 Distanza di due punti Distanza di un punto P(,) dall origine: P(,) P = + Esempio. - La distanza dei due punti P 1 (3,5), P (7,4) è: PP ( ) 7 3 ( 4 5) 17 = + = 1 18

19 B B 1 Coordinate del punto di mezzo di un segmento Per il teorema di Talete si ha: A 1 A P 1 P B 1 B P 1 P = = AA PP BB PP B si ha: P (, ) P (,) P 1 ( 1, 1 ) A 1 A A 1 = 1 1 = 1 ed essendo: A 1 A = - 1 AA = - B 1 B = - 1 BB = - P 1 P PP da cui: = = = 1 + Le coordinate del punto medio di un segmento sono eguali alla media aritmetica delle coordinate omonime degli estremi 19

20 Coordinate del punto di mezzo di un segmento Esempio. Determinare le coordinate del punto medio del segmento che ha per estremi i punti: P 1 (-5,-3), P (7,-9) Si ha: = = 1 = 3 9 = 6 0

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