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1 Dt un curv continu. Curve ed integrli di line : t [, b] i punti () = (x(), y()) e (b) = (x(b), y(b)) si chimno primo e secondo estremo dell curv, rispettivmente. L curv si dice chius se () = (b). L curv si dice semplice se Def. (Curv regolre). Un curv : t < t 2 b e (t ) = (t 2 ) = t = e t 2 = b. t I R intervllo si dice regolre se è di clsse C (I) ed il vettore tngente soddisf l seguente condizione () (t) = (x (t), y (t)) t I. L condizione () equivle l ftto che l velocità sclre v(t) = (t) = x (t) 2 + y (t) 2 è sempre divers d zero e grntisce l esistenz dell rett tngente ll trcci in ciscun punto (t ) = (x(t ), y(t )). L equzione crtesin dell rett tngente è esplicitmente dt d y (t )(x x(t )) x (t )(y y(t )) =. Un clsse importnte di curve è descritt dl seguente esempio. Esempio (Grfico di un funzione). Si ϕ : [, b] R un funzione di clsse C ([, b]), llor l curv x(t) = t : t [, b] y(t) = ϕ(t) è un curv regolre l cui trcci è il grfico di ϕ, (x, y) R 2 x [, b], y = ϕ(x) }, e (t) = (, ϕ (t)) v(t) = + ϕ (t) 2. L equzione dell rett tngete in (t ) = (t, ϕ(t )) = (x, ϕ(x )) risult ϕ (x )(x x ) (y ϕ(x )) =, in ccordo con il significto geometrico di derivt. Dt un curv regolre si definiscono () il versore tngente T (t) = (t) (t) = ( x (t) x (t) 2 + y (t), y (t) 2 x (t) 2 + y (t) ), 2 (2) se T (t) è derivbile e T (t), il versore normle (3) se T (t) è derivbile, l curvtur N(t) = T (t) T (t), χ(t) = T (t) (t) = T (t). v(t)

2 2 Il significto geometrico è chirito dlle seguenti relzioni. Se θ(t) indic l ngolo tr l semirett delle scisse positive e l semirett individut dl vettore tngente (t) (positivo se misurto in senso ntiorrio), llor T (t) = (cos θ(t), sin θ(t)) (t) = v(t)t (t) T (t) T (t) = T (t) N(t) = N(t) = θ (t) θ ( sin θ(t), cos θ(t)) (t) T (t) = θ (t) N(t) = χ(t)v(t)n(t) (t) = v (t)t (t) + v(t)t (t) = v (t)t (t) + χ(t)v(t) 2 N(t) (il versore ( sin θ(t), cos θ(t)) è ottenuto ruotndo T (t) di π/2 in senso ntiorrio). Def. 2 (Lunghezz di un curv). Dt un curv regolre : t [, b] si chim lunghezz dell curv il vlore positivo l = b Si chim sciss curviline l funzione s : [, b] R s(t) = t (t) b b dt = x (t) 2 + y (t) 2 dt = v(t) dt. (τ) t t dτ = x (τ) 2 + y (τ) 2 dτ = v(τ) dτ. Poiché è di clsse C, v(t) è un funzione continu, quindi è integrbile in [, b]. seguenti proprietà () s(t) è un funzione di clsse C, s([, b]) = [, l ] e s (t) = v(t) > ; (2) s = s(t) è un funzione invertibile e, dett t = t(s) l su invers, l curv x = x(t(s)) (s) = (t(s)) = y = y((t(s)) s [, l ] Vlgono le si chim rppresentzione stndrd dell curv. (3) le curve ed hnno l stess trcci, gli stessi versori tngente e normle, e l stess curvtur. In prticolre (s) = T (t(s)) ṽ(t) = (s) = χ(t(s))n(t(s)). I seguenti esempi mostrno il significto geometrico delle quntità definite. Esempio 2 (Moto rettilineo). Sino (x, y ) R 2, θ [ π, π] e l curv x(t) = x + r(t) cos θ (t) = t [, ] y(t) = y + r(t) sin θ dove r : [, ] R r C r() = ([, ]) r r() = l (t) > t [, ]. Poiché (t) = r (t)(cos θ, sin θ), è un curv regolre l cui trcci è il segmento di estremi P = (x, y ) e P = (x + l cos θ, y + l sin θ), che gice sull rett pssnte per (x, y ) ed h direzione il versore (cos θ, sin θ). Inoltre si h che v(t) = r (t) T (t) = (cos θ, sin θ) T (t) = χ(t) =.

3 L sciss curviline è dt d s(t) = t r (τ)dτ = r(t) e l lunghezze dell curv è s() = r() = l. L rppresentzione stndrd dell curv risult x(s) = x + s cos θ (s) = (t(s)) = s [, l], y(s) = y + s sin θ che è l equzione prmetric del segmento di estremi P e P. Esempio 3 (Moto circolre). Si r > e l curv x(t) = r cos θ(t) (t) = t [, ] y(t) = r sin θ(t) dove θ : [, ] R θ C θ() = θ ([, ]) θ θ() = θ (t) > t [, ]. Poiché (t) = rθ (t)( sin θ(t), cos θ(t)), è un curv regolre l cui trcci è l rco di circonferenz (di rggio r e centro l origine ) di estremi P = (r cos θ, r sin θ ) e P = (r cos θ, r sin θ ). Inoltre si h che v(t) = rθ (t) T (t) = ( sin θ(t), cos θ(t)) N(t) = (cos θ(t), sin θ(t)) χ(t) = r. L sciss curviline è dt d s(t) = t rθ (τ)dτ = r(θ(t) θ ) e l lunghezze dell curv è s() = r(θ θ ). L rppresentzione stndrd dell curv risult (s) = (t(s)) = x(s) = r cos(θ + s r ) y(s) = r sin(θ + s r ) s [, r(θ θ )], che è l equzione prmetric dell rco di circonferenz di estremi P e P. Si : [, b] R un curv regolre, si denot con l curv (t) = ( t) con t [ b, ]. Se η : [b, c] R è un ltr curv regolre tle che (b) = η(b), si denot con + η l curv (t) t [, b] ( + η)(t) =. η(t) t ]b, c] Un curv : [, b] R 2 si dice regolre trtti se è somm di un numero finito di curve regolri, cioè i : [ = n dove i, i+ ] R 2 curve regolri tli che i ( i+ ) = i+ ( i+ ). = < 2 <... < n < n+ = b Def. 3 (Integrle di line). Si un curv regolre : t [, b]. Dt un funzione continu f : A R R tle che ([, b]) A, si chim integrle di line di f lungo b f(x, y)ds = f((t)) (t) b dt = f(x(t), y(t)) x (t) 2 + y (t) 2 dt. Dto un cmpo continuo F (x, y) = u(x, y)dx + v(x, y)dy, (x, y) A, tle che ([, b]) A, si chim integrle di line di F lungo b b F (P ) dp = F ((t)) (t) dt = u(x, y)x (t) + v(x, y)y (t) dt 3

4 4 L definizione si estende in modo nturle curve regolri trtti. Per gli integrli di line vlgono le proprietà usuli dell integrle (linerità, monotoni, dditività rispetto ll somm di curve). Inoltre vlgono le seguenti relzioni f(x, y)ds = f(x, y)ds e F (P ) dp = F (P ) dp e, se : [, l ] R 2 è l rppresentzione stndrd di e T (s) è il versore tngente, l f(x, y)ds = = f( (s))ds F (P ) dp = l F ( (s)) T (s) ds. Def. 4 (Dominio regolre). Un insieme D R 2 si dice dominio regolre se () D è perto e limitto; (2) per ogni (x, y ) D esiste un funzione f : U R con U R 2 perto e f di clsse C (U) tle che D U = (x, y) R 2 f(x, y) = } (x, y ) U f(x, y ) = ( f)(x, y ) D U = (x, y) R 2 f(x, y) < }. L condizione (2) può essere indebolit mmettendo che l frontier D bbi un numero finito di spigoli. Per il teorem dell funzione implicit, esistono : [, b ] R 2,..., n : [ n, b n ] R 2 curve semplici regolri tli che due due hnno trcci disgiunt d eccezione l più degli estremi, cioè ed l frontier di D è l unione delle trcce, cioè i (] i, b i [) j (] j, b j [) = i j. D = ([, b ])... n ([ n, b n ]). Se l orientmento di ciscun i è scelto in modo che percorrendo l frontier l insieme D si trov sinistr, per ogni cmpo F : A R 2 continuo con D A, si definisce F (P ) dp = + D F (P ) dp F (P ) dp. n Esempio 4 (Dominio normle). L insieme D = (x, y) R 2 x ], b[, ϕ(x) < y < ψ(x) } dove ϕ, ψ : [, b] R di clsse C ([, b]) è un dominio regolre trnne nei quttro vertici (, ϕ()), (b, ϕ(b)), (, ψ()), (b, ψ(b)). L frontier orientt è formt d quttro curve x(t) = t x(t) = b (t) = t [, b] y(t) = ϕ(t) 2 (t) = t [ϕ(), ψ(b)] y(t) = t x(t) = t x(t) = 3 (t) = t [ b, ] y(t) = ψ( t) 4 (t) = t [ ψ(), ϕ()]. y(t) = t Il seguente teorem estende l cso di integrli doppi l formul fondmentle del clcolo integrle. Più precismente l orientmento dell curv è tle che, se T (t) = (cos θ(t), sin θ(t)) è il versore tngente nel punto (t) ed n(t) = ( sin θ(t), cos θ(t)) è il versore ortogonle d T (t) ottenuto ruotndo T (t) in senso ntiorrio, llor (t) + ɛ n(t) D per ɛ positivo sufficientemente piccolo.

5 Teo (Formul di Green). Si F : A R 2 un cmpo di clsse C (A) e D dominio regolre con D A, llor F (P ) dp = + D F (x, y) = u(x, y)dx + v(x, y)dy D ( ) v u (x, y) (x, y) dxdy. x y Il seguente esempio mostr l vlidità dell formul di Green per un dominio prticolrmente semplice. Esempio 5. Il qudrto D =], [ ], [ è un dominio regolre ( prte i quttro vertici) e l frontier orientt + D è dt di quttro lti x(t) = t x(t) = (t) = t [, ] y(t) = 2 (t) = t [, ] y(t) = t x(t) = t x(t) = 3 (t) = t [, ] y(t) = 4 (t) = t [, ]. y(t) = t Se F (x, y) = u(x, y)dx + v(x, y)dy, (x, y) A, è un cmpo di clsse C (A) con D A, llor l formul di integrzione su domini normli ed il teorem fondmentle del clcolo integrle forniscono v v (x, y)dxdy = dy (x, y)dx = (v(, y) v(, y)) dy D x x = F (P ) dp + F (P ) dp 2 4 u u (x, y)dxdy = dx (x, y)dy = (u(x, ) u(x, )) dx D y y = F (P ) dp + F (P ) dp, 3 d cui segue l formul di Green. Esempio 6 (Are dell ellisse). Dti, b >, si D = (x, y) R 2 ( x )2 + ( y b )2 < }, D è un dominio regolre e + D = dove x(t) = cos t (t) = t [, 2π]. y(t) = b sin t Il cmpo F (x, y) = xdy è di clsse C (R 2 ) e l formul di Green implic 2π m(d) dxdy = F (P ) P = cos t b cos t dt = πb. D + D Def. 5. Dto un cmpo F : A R 2 di clsse C (A) F (x, y) = u(x, y)dx + v(x, y)dy, () il cmpo F si dice conservtivo se esiste g : A R di clsse C 2 (A) tle che g (x, y) = u(x, y) ( g)(x, y) = F (x, y) cioè x g (x, y) A = v(x, y) y e l funzione g si chim potenzile del cmpo. (2) il cmpo F si dice irrotzionle se v u (x, y) = (x, y) (x, y) A. x y 5

6 6 Se F : A R 2 è un cmpo conservtivo, vlgono i seguenti ftti: () il cmpo F è irrotzionle (segue dl teorem di Schwrz sulle derivte seconde miste), m il vicevers non è vero (vedi Esempio 7 ); (2) se A è connesso per rchi, il potenzile g è unico meno di un costnte dditiv (inftti se h è un ltro potenzile (h g)(x, y) =, per cui h(x, y) = g(x, y) + c); (3) dt un curv regolre : [, b] R 2 di estremi P = () e P = (b) tle che ([, b]) A, llor F (P ) dp = g(p ) g(p ); inftti, se (t) = (x(t), y(t)), per l regol di derivzione in cten b [ F (P ) dp = u(x(t), y(t))x (t) + v(x(t), y(t))y (t) ] dt b [ g = x (x(t), y(t))x (t) + g ] y (x(t), y(t))y (t) dt = = g(x(b), y(b)) g(x(), y()) = g(p ) g(p ); (4) per ogni curv chius vle F (P ) dp =, b g(x(t), y(t)) dt (5) per ogni coppi di curve : [, b ] R 2 e 2 : [ 2, b 2 ] R 2 che hnno l stesso primo estremo e lo stesso secondo estremo, cioè ( ) = 2 ( 2 ) e (b ) = 2 (b 2 ), vle F (P ) dp = F (P ) dp ; 2 (6) se A è connesso per rchi, dto (x, y ) A l unico potenzile di F tle che g(x, y ) = è dto d b [ g(x, y) = F (P ) dp = u(x(t), y(t))x (t) + v(x(t), y(t))y (t) ] dt, dove (t) = (x(t), y(t)), t [, b], è un qulunque curv regolre di primo estremo (x, y ) e secondo estremo P = (x, y) tle che ([, b]) A. Oss.. Se un cmpo F : R 2 di clsse C (A) soddisf l condizione (4) o, equivlentemente, l condizione (5), llor il cmpo F è conservtivo. Il seguente esempio mostr come un cmpo irrotzionle non si necessrimente conservtivo. y Esempio 7. Si F (x, y) = dx + x dy = u(x, y)dx + v(x, y)dy con (x, y) A = R 2 \ (, )}. x 2 +y 2 x 2 +y 2 Poiché v x (x, y) = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 u y (x, y) = y2 x 2, (x 2 + y 2 ) 2 il cmpo è irrotzionle, tuttvi se è l circonferenz di rggio e centro l origine percors in verso ntiorrio x(t) = cos t (t) = t [, 2π] y(t) = sin t llor l integrle di line di F risult 2π F (P ) dp = sin 2 t + cos 2 t dt = 2π, per cui F non è conservtivo.

7 Il seguente teorem, conseguenz dell formul di Green, dà un condizione sufficiente sul dominio ffinchè un cmpo irrotzionle si conservtivo. A questo fine si dà l seguente definizione. Def. 6. Un insieme A perto e connesso per rchi si dice semplicemente connesso se per ogni curv : [, b] R 2 regolre, semplice e chius per cui ([, b]) A, esiste un dominio regolre D tle che D A e + D =. Teo 2. Si A un insieme semplicemente connesso ed F : A R 2 un cmpo di clsse C (A). Se F è irrotzionle, llor è conservtivo. Se A non è semplicemente connesso, un cmpo irrotzionle F può essere conservtivo o meno, come mostrno il seguente esempio e l esempio 7. Esempio 8. Si F (x, y) = log( x 2 + y 2 ), il ftto che x x 2 +y 2 dx + y x 2 +y 2 dy con (x, y) A = R 2 \ (, )}. Posto g(x, y) = g x (x, y) = x x 2 + y 2 g x (x, y) A (x, y) = x x 2 + y 2 implic che g è un potenzile per F e, essendo A connesso per rchi, ogni potenzile di F è dell form g(x, y) = +c con c R. 7

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