June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2"

Transcript

1 June 1, 2011 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 1. Introduzione ll topologi e ll struttur di R 2 e R 3. [3, Prgrfi 1 e 2, Cpitolo 2] L esperienz dell Anlisi A ci insegn che, per poter definire limiti, derivte etc, è fondmentle l nozione di intorno: quest inftti consente di rendere il ftto che certi punti sono vicini d un punto fissto. Osservimo poi che l definizione di intorno in R si fond sull nozione di distnz: ricordimo che l distnz tr due punti dell rett rele x, y R è l lunghezz dell intervllo (x, y) (o (y, x) second dei csi), cioé, dist(x, y) = x y. Preso un punto x 0 R, un suo intorno perto viene definito come il luogo dei punti che distno d x 0 per meno di δ > 0 fissto, ovvero, U δ (x 0 ) = {x R : dist(x, x 0 ) < δ} = {x R : x x 0 < δ} = (x 0 δ, x 0 + δ). Or noi dobbimo lvorre con funzioni definite in insiemi pini o ddirittur dello spzio tridimensionle, pertnto, dopo vere cpito quli sino gli elementi di R 2 e R 3, dovremo estendere l nozione di distnz. Con R 2 = R R indichimo le coppie ordinte di punti R 2 = R R = {(x, y) : x, y R}. In effetti R 2 si puó interpretre in due modi: come l insieme dei punti P con coordinte (x, y) reli; come l insieme dei vettori v = (x, y) pplicti in O = (0, 0) d O P, cioé OP. In questo cso, x è dett nche prim componente del vettore e y second componente del vettore. Aprimo un breve prentesi sui vettori v R 2 (il discorso vle nche per i vettori di R 3 ): questi sono crtterizzti, oltre che dl punto di ppliczione, d modulo, direzione e verso, cioé, riferendosi v = (x, y), modulo= v = OP : lunghezz del segmento che congiunge O P. In prticolre, i vettori di modulo unitrio si chimno versori; direzione: l rett su cui gice il segmento OP ; verso: il vettore v punt d O verso P, come indicto dll frecci. In prticolre, il Teorem di Pitgor ci consente di clcolre il modulo del vettore v = OP, perché questo coincide con l ipotenus del tringolo rettngolo di vertici O, P e R = (x, 0), quindi v = OP = x 2 + y 2. I vettori si possono sommre tr di loro, sommndo ordintmente componente per componente u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) R 2, e moltiplicre per uno sclre (un numero rele), moltiplicndo ogni componente per lo sclre λ u = (λu 1, λu 2 ) u = (u 1, u 2 ) R 2, λ R. 1

2 2 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 Si noti che il vettore somm di due vettori di R 2 si trov con l not regol del prllelogrmm, mentre il prodotto di un vettore per uno sclre λ è un vettore con l stess direzione del vettore di prtenz, modulo moltiplicto per λ e verso concorde se λ > 0 e discorde se λ < 0. Grzie ll second operzione, possimo ssocire d ogni vettore non nullo un versore che coincide in tutto col vettore di prtenz, trnne per il modulo che viene reso unitrio. Inftti, nel cso prticolre di R 2 (l estensione gli ltri csi è immedit) v R 2 \ {0} v u := v ( v = x x2 + y, y ). 2 x2 + y 2 Inoltre, rest definit nche l differenz tr vettori u v = u + ( 1)v = (u 1 v 1, u 2 v 2 ). Come vedrete in Geometri, (R 2, +, ), ovvero R 2 con queste due operzioni, h l struttur di spzio vettorile (si ved in Appendice l Definizione 29) di dimensione due: questo signific che esiste un bse costituit d due vettori. Ricordimo che Definizione 1. Dto uno spzio vettorile (V, +, ), l insieme B = {v 1,..., v n } V è un bse per lo spzio vettorile se i vettori v 1,..., v n sono genertori dello spzio, cioé ogni vettore dello spzio si puó scrivere come combinzione linere dei vettori dell bse v V λ 1,, λ n R : v = λ 1 v λ n v n ; i vettori v 1,..., v n sono linermente indipendenti, cioé l unic combinzione linere dei vettori dell bse che dá il vettore nullo è quell con sclri tutti nulli se λ 1 v λ n v n = 0 λ 1 = = λ n = 0. (Se i vettori v 1,..., v p non sono linermente indipendenti si dicono linermente dipendenti.) Questo signific che un bse per uno spzio vettorile è un insieme minimle rispetto l numero di genertori (cioé con un minor numero di vettori non riusciremmo descrivere tutti i vettori dello spzio vettorile) e mssimle rispetto l numero di vettori linermente indipendenti. Il numero degli elementi di un bse è l dimensione dello spzio vettorile: in prticolre, in uno spzio di dimensione n non possono esistere n+1 vettori linermente indipendenti. Le dimensioni di R 2 e R 3 sono rispettivmente due e tre, come srá chiro tr poco. Si noti che in R 2 due vettori sono linermente indipendenti se non sono proporzionli, ovvero se non sono llineti, mentre in R 3 tre vettori sono linermente indipendenti se non sono complnri (cioé hnno prodotto misto non nullo, si ved l definizione successiv). Senz sperlo bbimo giá usto questi concetti in R 2, tutte le volte in cui bbimo utilizzto le coordinte crtesine. Un bse di R 2 (dett bse cnonic), inftti, è B = {i, j}, dove i = (1, 0) dá l direzione dell sse x e j = (0, 1) quell dell sse y. Scrivere v = (x, y) equivle scrivere v = xi + yj. Anlogmente nello spzio tridimensionle (insieme di tutte le terne ordinte con componenti reli, con duplice interpretzione come R 2 ) R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R}

3 bbimo le due operzioni COMPLEMENTI DI ANALISI 2 3 u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 λ u = (λu 1, λu 2, λu 3 ) u = (u 1, u 2, u 3 ) R 3, λ R, che rendono (R 3, +, ) uno spzio vettorile di dimensione 3, con bse cnonic B = {i, j, k}, dove i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Risult quindi equivlente scrivere v = (x, y, z) oppure v = xi + yj + zk. Tornimo or llo spzio R 2, cercndo di precisre l nozione di distnz: presi due punti P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ), l distnz euclide tr P e Q corrisponde l modulo del vettore P Q = (x 1 x 2, y 1 y 2 ), quindi dist(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Per visulizzrlo, bst pplicre nuovmente il Teorem di Pitgor l tringolo rettngolo di vertici P, Q e R corrispondente P e Q secondo il riferimento crtesino. Applicndo due volte il Teorem di Pitgor, in R 3 si vrá l distnz euclide dist(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2, P = (x 1, y 1, z 1 ), Q = (x 2, y 2, z 2 ). L nozione di distnz rende possibile definire gli intorni nei due csi Definizione 2. Fissti un punto P 0 = (x 0, y 0 ) R 2 e δ > 0, l intorno circolre perto di P 0 corrispondente δ è il luogo dei punti di R 2 che distno d P 0 per meno di δ, ovvero è il disco perto di centro P 0 e rggio δ B δ (P 0 ) = {P R 2 : dist(p, P 0 ) < δ} = {(x, y) R 2 : (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ}. Fissti un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) R 3 e δ > 0, l intorno sferico perto di P 0 corrispondente δ è il luogo dei punti di R 3 che distno d P 0 per meno di δ, ovvero è l pll pert di centro P 0 e rggio δ B δ (P 0 ) = {P R 3 : dist(p, P 0 ) < δ} = {(x, y, z) R 3 : (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < δ}. In questo modo bbimo gli intorni dei punti l finito: sppimo peró che R = R ± h nche gli intorni di ±, ovvero le semirette (, ) per + e (, ) per, con R. Nell estensione R 2 { }, gli intorni di sono gli insiemi esterni i dischi di centro l origine e rggio positivo fissto U M ( ) = {(x, y) R 2 : d((x, y), (0, 0)) > M}, M > 0. Definizione 3. Dto un insieme = A V, dove V = R 2 oppure V = R 3, diremo che un punto P 0 V è di ccumulzione per A se δ > 0 si h B δ (P 0 ) A \ {P 0 } =. In questo cso scrivimo P 0 A ; di derenz se δ > 0 si h B δ (P 0 ) A. In questo cso scrivimo P 0 A chiusur o derenz di A; di frontier se δ > 0 si h B δ (P 0 ) A e B δ (P 0 ) A c, dove A c = V \A è il complementre di A in V. In questo cso scrivimo P 0 A, frontier o bordo di A; isolto se P 0 A e δ > 0 tle che B δ (P 0 ) A \ {P 0 } = ;

4 4 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 interno se P 0 A e δ > 0 tle che B δ (P 0 ) A. In questo cso scrivimo P 0 A o interno di A. Definizione 4. Un insieme = A V, dove V = R 2 oppure V = R 3, si dice perto se A = A o ; chiuso se A = A, ovvero il suo complementre è un insieme perto. Definizione 5. Un insieme C R n si dice connesso se non esistono = A, B R n tli che A B =, A B =, A B = C. In prole povere, un insieme è connesso se è costituito d un solo pezzo. Definizione 6. Un insieme A R 2 si dice limitto qundo esiste R > 0 tle che il disco centrto nell origine di rggio R conteng A, cioé R > 0 : A B R (0). L definizione si estende R 3 sostituendo il disco con l pll. Prodotti sclre, vettorile e misto. In R 2 e R 3 (in effetti in ogni spzio vettorile), si puó definire un prodotto sclre (d non confondere con il prodotto per uno sclre), che si indic si con u v che con (u, v): u v = u 1 v 1 + u 2 v 2, u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) R 2, u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3, u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3. Si noti che il risultto del prodotto sclre è un numero rele. Due vettori sono ortogonli qundo il loro prodotto sclre è nullo. Ció è piú evidente in R 2 dove, detto ϑ [0, π] l ngolo tr u e v, si puó dimostrre (frlo per esercizio) che u v = u v cos ϑ. Il prodotto sclre verific l disuguglinz di Cuchy-Schwrz (1) u v u v, u, v R 2 (oppure R 3 ). In R 3 si puó definire un ulteriore prodotto detto vettorile (indicto si con che ) che h come risultto un vettore. Piú precismente, il prodotto vettorile di u e v (l ordine h importnz!) è u v che: è un vettore ortogonle l pino individuto di due vettori u e v; h modulo u v = u v sin ϑ, dove ϑ [0, π] è l ngolo tr u e v sul pino d essi individuto. Tle modulo coincide con l re del prllelogrmm individuto di due vettori; u, v, u v formno un tern destrors. Formlmente si ottiene dl determinnte dell mtrice 1 u v = det i j k u 1 u 2 u 3 = (u 2 v 3 u 3 v 2 )i + (u 3 v 1 u 1 v 3 )j + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k. v 1 v 2 v 3 Se due vettori sono prlleli hnno prodotto vettorile nullo. Combinndo il prodotto sclre con quello vettorile si ottiene il prodotto misto, utile per esempio per scrivere l equzione del pino individuto d due vettori: inftti presi due 1 per i determinnti di mtrici 2 2 e 3 3 si ved [3, Prgrfo 3.2, Cpitolo 2] oppure l Appendice

5 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 5 vettori pplicti in O, un vettore P O è nello stesso pino se è ortogonle l loro prodotto vettorile. Il prodotto misto è lo sclre ottenuto u v w = u (v w) e coincide con il determinnte dell mtrice u (v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 In prticolre, il pino contenente v e w pplicti in P 0 srá costituito di punti P tli che (P P 0 ) v w = 0, P = (x, y, z) Teoremi sui limiti. 2. Funzioni di piú vribili Teorem 1 (Unicitá del limite). Si f : A R un funzione definit su = A R 2 e si (x 0, y 0 ) A. Se lim f(x, y) = l 1 e lim f(x, y) = l 2 l 1 = l 2. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Teorem 2 (Teorem dell permnenz del segno). Si f : A R un funzione definit su A R 2 e si (x 0, y 0 ) A. Se esiste lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = l > 0 llor esiste δ > 0 tle che f(x, y) > 0 (x, y) B δ (x 0, y 0 ) A \ {(x 0, y 0 )}. Teorem 3 (Teorem del confronto). Sino f, g, h : A R tre funzioni definite in = A R 2 e (x 0, y 0 ) A. Se lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = lim (x,y) (x0,y 0 ) h(x, y); δ > 0 tle che f(x, y) g(x, y) h(x, y), (x, y) B δ (x 0, y 0 ) A \ {(x 0, y 0 )} llor lim (x,y) (x0,y 0 ) g(x, y) = lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = lim (x,y) (x0,y 0 ) h(x, y). Il Teorem vle nche se il limite non è finito Teoremi sulle funzioni continue. Teorem 4 (Teorem di Weierstrss). Si f : A R un funzione continu su A R 2 insieme chiuso e limitto. Allor f ssume mssimo e minimo ssoluti in A. Teorem 5 (Teorem dei vlori intermedi). Sino X R n un insieme connesso e f : X R un funzione continu non costnte. Allor, per ogni c (inf X f, sup X f) esiste x X tle che f(x) = c. 3. Clcolo differenzile in piú vribili Esempio 1. Un funzione f puó essere derivbile in un punto (x 0, y 0 ) e pertnto permetterci di scrivere l equzione del pino (2) z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) cndidto d essere il pino tngente in (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), e tuttvi non essere né continu nel punto (x 0, y 0 ) né tngente l pino nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), nel senso che

6 6 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 il pino loclmente non pprossim il grfico dell funzione meno di infinitesimi di ordine superiore (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. Oltre ll esempio [3, Esempio 2.4, Cp.11] o [2, Esempio 4.6, Cp. 3], si puó considerre nche { 1 se x = 0 oppure y = 0 f(x, y) = 0 ltrove. In sostnz, si trtt dell funzione che vle 1 sugli ssi e 0 ltrove. Mlgrdo si trtti di un funzione non continu in (0, 0), mmette le derivte przili, entrmbe nulle, nel punto (inftti i rpporti incrementli lungo gli ssi sono entrmbi nulli), quindi si puó scrivere l equzione (2), che in questo cso si riduce z = 1. Nondimeno, questo pino non è tngente Grf in (0, 0, 1) perché in ogni punto che non si sugli ssi coordinti, per qunto vicino ll origine, l distnz tr il corrispondente punto del grfico (x 0, y 0, 0) e il pino z = 1 è 1 e quindi non si nnull l tendere del punto (0, 0). Esempio 2. Si puó considerre nche l funzione f(x, y) = 3 x 2 y di [3, Esempio 2.6, Cp. 11] o [2, Esempio 4.10] che in (0, 0) è continu, mmette, oltre ll derivte przili (nulle), tutte l derivte direzionli m il pino z = 0 ottenuto d (2) non è tngente l Grf nel punto perché, in ogni punto che non si sugli ssi coordinti, per qunto vicino ll origine, l distnz tr il corrispondente punto del grfico (h, k, 3 h 2 k) e il pino z = 0 non è un infinitesimo di ordine superiore h 2 + k 2, inftti se scelgo k = h trovo f(h, k) 0 = 3 h 2 k k=h = k=h h2 + k 2 h 1. 2 h 2 Si puó quindi concludere che, per funzioni di due (e piú) vribili, l derivbilitá (o persino l esistenz di tutte le derivte direzionli) non svolge il ruolo che h per funzioni di un sol vribile rele, cui ssicur l continuitá e l esistenz dell rett tngente. Occorre quindi trovre un nozione piú potente dell derivbilitá (nche in tutte le direzioni) che ci grntisc l nlogo di queste due condizioni e nche di piú. Adttmento 2D dell [2, Definizione 3.12]. Definizione 7. Si f : A R un funzione definit su = A R 2 e si (x 0, y 0 ) A. Diremo che f è differenzibile in (x 0, y 0 ) se esiste un vettore = ( 1, 2 ) R 2 tle che f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) (h, k) lim (h,k) (0,0) (h, k) = lim (h,k) (0,0) f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) 1 h 2 k h2 + k 2 = 0. Utilizzndo il simbolo o, quest condizione equivle (3) f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = 1 h + 2 k + o( h 2 + k 2 ), per (h, k) (0, 0), dove o( h 2 + k 2 ) rppresent un infinitesimo di ordine superiore h 2 + k 2 per (h, k) (0, 0), cioé, o( h lim 2 + k 2 ) = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 In mnier del tutto equivlente, si puó scrivere f(x, y) f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) (4) lim = 0. (x,y) (x 0,y 0 ) (x x 0, y y 0 )

7 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 7 Teorem 6 (versione 2D dell Proposizione 3.2, Teorem 3.9 in [2]). Sino = A R 2 e f : A R un funzione differenzibile in (x 0, y 0 ) A. Allor I. f è continu in (x 0, y 0 ); (5) II. f è derivbile in (x 0, y 0 ), nzi 1 = f x (x 0, y 0 ) e 2 = f y (x 0, y 0 ), cioé = f(x 0, y 0 ); III. esiste il pino tngente Grf nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ed è il pino di equzione (2); IV. esistono tutte le derivte direzionli in (x 0, y 0 ) e precismente f v (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) v = f x (x 0, y 0 )v 1 + f y (x 0, y 0 )v 2, per ogni v = (v 1, v 2 ) R 2, v = 1. L equzione (5) è not come formul del grdiente. Proof. In tutt quest dimostrzione ci vvrremo del ftto che, poiché (x 0, y 0 ) è un punto interno d A, llor (6) δ > 0 : (h, k) R 2 : (h, k) = h 2 + k 2 δ (x 0 + h, y 0 + k) A. Ció non è restrittivo perché stimo lvorndo con un limite per (h, k) (0, 0). I.Per provre l continuitá di f, considerimo un incremento (h, k) R 2 come sopr e, d (3), deducimo lim f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = lim ( 1 h + 2 k) + o( h 2 + k 2 ) = 0, (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) che ci fornisce l continuitá di f in (x 0, y 0 ). II. Se considerimo solo l incremento nell direzione dell sse x, ovvero sommimo (h, 0) con h < δ, vremo (x 0 + h, y 0 ) A. Per ipotesi, f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 1 h lim = 0. h 0 h Questo equivle scrivere f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 1 h = o(1), per h 0, h ovvero f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = 1 h + o( h ), d cui deducimo che f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lim = 1. h 0 h Questo limite finito ci fornisce esttmente f x (x 0, y 0 ): pertnto, per il Teorem 1, sppimo che esiste f x (x 0, y 0 ) = 1. Allo stesso modo si dimostr che f y (x 0, y 0 ) = 2. III. Considerzioni geometriche (si ved [3, Prgrfo 2.2, Cp.11] o [2, Prgrfo 4.2, Cp.3]) ci convincono che, se il pino tngente esiste, deve vere come equzione (2). Affinché quest equzione ci di dvvero il pino tngente Grf nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) occorre che f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (h, k) + o( h 2 + k 2 ), per (h, k) (0, 0),

8 8 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 cos che discende direttmente d (3), dove, tenendo conto di II., bbimo sostituito = f(x 0, y 0 ). IV. Per mostrre l esistenz di tutte le derivte direzionli, dte dll formul del grdiente, bst utilizzre (3) scegliendo come incremento (h, k) = (tv 1, tv 2 ) con t < δ; llor f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) (tv 1, tv 2 ) + o( t 2 v1 2 + t 2 v2), 2 t 0, d cui, osservndo che t 2 v t 2 v 2 2 = t v v 2 2 = t, Poiché o( t ) t f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) t 0 qundo t 0, vremo f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) lim t 0 t = f(x 0, y 0 ) (v 1, v 2 ) + 1 o( t ), t 0. t = f(x 0, y 0 ) (v 1, v 2 ). N.B. Nelle dimostrzioni su [2] mncno diversi moduli! Il Teorem 6, oltre chirire l portt e il significto dell differenzibilitá, fornisce diverse condizioni necessrie per l stess. Inftti, risult evidente che le funzioni degli Esempi 1 e 2 non possono essere differenzibili in (0, 0) perché, in entrmbi i csi, l equzione (2) non fornisce il pino tngente e perché l funzione dell Esempio 2 non soddisf l formul del grdiente, mentre quell dell Esempio 1 ddirittur non è continu e non mmette derivte direzionli diverse d quell przili in (0, 0). Sotto le ipotesi del Teorem 6, simo in grdo di determinre le equzioni dell rett normle l grfico di f in P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Abbimo ottenuto l equzione del ( pino tngente come equzione del pino contenente i due vettori u = 0, 1, f ) y (x 0, y 0 ) ( e v = 1, 0, f ) x (x 0, y 0 ), quindi clcolndone il prodotto vettorile bbimo un vettore ortogonle l pino individuto d u e v, quindi i j k w = u v = det 0 1 f y (x 0, y 0 ) 1 0 f = f x (x 0, y 0 )i + f y (x 0, y 0 )j + ( 1)k. x (x 0, y 0 ) A questo punto dobbimo solo scrivere le equzioni dell rett pssnte per P 0 con l stess direzione di w, ovvero P = P 0 + tw, t R, che per componenti è x = x 0 + t f x (x 0, y 0 ) y = y 0 + t f y (x 0, y 0 ) t R. z = f(x 0, y 0 ) t

9 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 9 Eliminndo il prmetro, ptto che entrmbe le derivte przili non si nnullino, si trovno le equzioni crtesine x x 0 f x (x 0, y 0 ) = y y 0 f y (x 0, y 0 ) = z 0 z, dove z 0 = f(x 0, y 0 ), mentre se, per esempio, fosse f x (x 0, y 0 ) = 0, srebbe x = x 0 e y y 0 f y (x 0, y 0 ) = z 0 z. In generle, (si ved [3, Appendice]), dto un pino di equzione x + by + cz + d = 0 le equzioni dell rett normle sono x = x 0 + t y = y 0 + tb t R. z = z 0 + tc, Dll formul del grdiente si deduce che (cf. [2, Corollrio 3.10]) Corollrio 1. Si f : A R un funzione differenzibile in (x 0, y 0 ) A, dove A R 2. Allor, purché f(x 0, y 0 ) (0, 0), f(x 0, y 0 ) corrisponde ll direzione di mssim crescit (ovvero mssim derivt direzionle e direzione e verso di mssim pendenz del Grf nel punto) mentre f(x 0, y 0 ) relizz il minimo delle derivte direzionli. Proof. Dll definizione di prodotto sclre tr due vettori discende che questo è mssimo qundo i vettori hnno l stess direzione (ovvero sono prlleli) e verso concorde e minimo con verso discorde. Nel cso specifico, dll formul del grdiente (5) e dll disuguglinz di Cuchy-Schwrz (1), si ottiene f v (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) v = f(x 0, y 0 ), f quindi, se trovo due direzioni v 1 e v 2 per cui v 1 (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) e f v 2 (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ), queste corrispondono rispettivmente l mssimo e l minimo delle derivte direzionli nel punto. Dl momento che il grdiente non si nnull nel punto, potremo scegliere v 1 = f(x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) e v 2 = f(x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ). Per dimostrre che un funzione è differenzibile in un punto, possimo verificre se l funzione è derivbile (se non lo è, non vle l condizione necessri II del Teorem 6!) e quindi mostrre che lim (h,k) (0,0) f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) f (x x 0, y 0 )h f (x y 0, y 0 )k = 0. h2 + k 2 Quest scelt è obbligt, per esempio, se l funzione è definit con due leggi. Piú di frequente, cercheremo di vvlerci dell seguente condizione sufficiente: Teorem 7 (Teorem del Differenzile). Se f : A R 2 R è derivbile in A e f x, f y sono continue in (x 0, y 0 ) A llor f è differenzibile in (x 0, y 0 ).

10 10 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 Proof. In tutt quest dimostrzione ci vvrremo del ftto che, poiché (x 0, y 0 ) è un punto interno d A, llor δ > 0 : (h, k) R 2 : (h, k) = h 2 + k 2 δ (x 0 + h, y 0 + k) A. Ció non è restrittivo perché studieremo un limite per (h, k) (0, 0). L tesi che dobbimo provre è che f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 )h f y (x 0, y 0 )k = o( h 2 + k 2 ) per h 2 + k 2 0. Sommimo e sottrimo f(x 0 + h, y 0 ) e scrivimo l quntitá d studire come segue ( f(x 0 +h, y 0 +k) f(x 0 +h, y 0 ) f ) ( y (x 0, y 0 )k + f(x 0 +h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f ) x (x 0, y 0 )h. Poiché possimo pplicre il Teorem di Lgrnge ll funzione di un sol vribile f(x 0 + h, ), esisterá un punto y 1, dipendente si d h che d k, tle che y 1 y 0 < k e f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) = f y (x 0 + h, y 1 )k. Sppimo nche che f y è continu in (x 0, y 0 ), quindi, vremo f y (x 0 + h, y 1 ) = f y (x 0, y 0 ) + o(1) per quindi f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f ( f (7) y (x 0, y 0 )k = k h2 + k 2 0, ) y (x 0, y 0 ) y (x 0 + h, y 1 ) f = ko(1) per h2 + k 2 0. D ltro cnto, l esistenz dell derivt przile rispetto x ssicur quindi f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )h + o(h) (8) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 )h = o(h), per h 0. L dimostrzione si conclude osservndo che l somm di (7) e (8) si riduce ko(1) + o(h) = o( h 2 + k 2 ). Corollrio 2. Se f C 1 (A) e A = A R 2 llor f è differenzibile in A. Teorem 8 (Teorem di derivzione delle funzioni composte 1). cf. [2, Teorem 3.12, Cp. 4] oppure [4] Sino f : A R 2 R e x, y : I R R, dove I è un intervllo. Supponimo che (1) t 0 I e (x 0, y 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 )) A ; (2) x, y sino derivbili in t 0 ; (3) f si differenzibile in (x 0, y 0 ).

11 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 11 Allor l funzione compost F : I R definit come F (t) = f(x(t), y(t)) è derivbile in t 0 con derivt F (t 0 ) = f(x 0, y 0 ) (x (t 0 ), y (t 0 )) = f x (x 0, y 0 )x (t 0 ) + f y (x 0, y 0 )y (t 0 ). Proof. Ció che dobbimo dimostrre è che il seguente limite esiste ed è F (t 0 + τ) F (t 0 ) lim τ 0 τ = f(x 0, y 0 ) (x (t 0 ), y (t 0 )). Per le ipotesi (1) e (2), che in prticolre ssicur l continuitá di x e y in t 0, esiste δ > 0 tle che se τ R con τ < δ, llor t 0 + τ I e (x(t 0 + τ), y(t 0 + τ)) B δ (x 0, y 0 ) A. Esplicitimo l espressione di cui voglimo studire il limite F (t 0 + τ) F (t 0 ) τ = f(x(t 0 + τ), y(t 0 + τ)) f(x 0, y 0 ). τ Quest, grzie ll ipotesi (3), con x = x(t 0 + τ) e y = y(t 0 + τ) in (4), si scrive come f(x(t 0 + τ), y(t 0 + τ)) f(x 0, y 0 ) τ = f x (x 0, y 0 ) x(t 0 + τ) x(t 0 ) + f τ y (x 0, y 0 ) y(t 0 + τ) y(t 0 ) τ quindi, poiché per l ipotesi (2), + o( [x(t 0 + τ) x(t 0 )] 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 ), τ x(t 0 + τ) x(t 0 ) lim τ 0 τ l prov si conclude se si riesce mostrre che = x (t 0 ) e lim τ 0 y(t 0 + τ) y(t 0 ) τ = y (t 0 ), o( [x(t 0 + τ) x(t 0 )] lim 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 ) = 0, τ 0 τ ovvero, siccome mostrre che un funzione si infinitesim equivle mostrre che il suo modulo lo si, moltiplicndo e dividendo per l rgomento di o, se o( [x(t 0 + τ) x(t 0 )] lim 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 ) [x(t0 + τ) x(t 0 )] 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 τ 0 [x(t0 + τ) x(t 0 )] 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 τ Poiché il primo fttore è un infinitesimo per τ 0, studimo il secondo. Per l ipotesi (2) [x(t 0 + τ) x(t 0 )] τ = x (t 0 ) + o(1) e quindi, essendo [x(t0 + τ) x(t 0 )] 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 vremo lim τ 0 τ [y(t 0 + τ) y(t 0 )] τ = = y (t 0 ) + o(1) τ 0 x (t 0 ) 2 τ 2 + y (t 0 ) 2 τ 2 + o(τ 2 ), τ x (t 0 ) 2 τ 2 + y (t 0 ) 2 τ 2 + o(τ 2 ) = x τ (t 0 ) 2 + y (t 0 ) 2. = 0

12 12 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 Quindi o( [x(t 0 + τ) x(t 0 )] lim 2 + [y(t 0 + τ) y(t 0 )] 2 ) τ 0 τ = 0 x (t 0 ) 2 + y (t 0 ) 2 = 0. Teorem 9 (Teorem di derivzione delle funzioni composte 2). cf. [2, Teorem 3.12, Cp. 4] oppure [4] Sino f : A R 2 I e g : I R R, dove I è un intervllo. Supponimo che (1) (x 0, y 0 ) A e t 0 = f(x 0, y 0 ) I ; (2) g si derivbile in t 0 ; (3) f si differenzibile in (x 0, y 0 ). Allor l funzione compost h : A R definit come h(x, y) = g(f(x, y)) è differenzibile in (x 0, y 0 ) con grdiente h(x 0, y 0 ) = g (t 0 ) f(x 0, y 0 ) = g (f(x 0, y 0 )) f(x 0, y 0 ). Qundo l nnullrsi del grdiente implic che l funzione si costnte? Definizione 8. Un insieme = C R n si dice un dominio se è l chiusur di un insieme perto e connesso. Fissti due punti x, y R n, il segmento che congiunge x y è [x, y] = {(1 λ)x + λy : λ [0, 1]}. Con buso di notzione, indicheremo con (x, y) il segmento privto degli estremi. Definizione 9. Un poligonle P[x, y] congiungente x y è l unione di un numero finito di segmenti [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n, y]. Definizione 10. Un insieme C R n si dice connesso per poligonli se, comunque si prendno due punti x, y C, esiste un poligonle che li congiunge P[x, y] C. Connesso per poligonli Connesso. Il vicevers è flso in generle (esempio, ogni circonferenz di R 2 è conness m non conness per poligonli). Per vere l ltr impliczione si deve chiedere qulcos di piú ll insieme: Teorem 10. Se C R n è un insieme perto, llor C è connesso se e solo se è connesso per poligonli. Teorem 11 (Teorem del vlor medio). Si f : X R, dove X R 2. Se, presi x 1 = (x 1, y 1 ) X e x 2 = (x 2, y 2 ) X, si h: 1) il segmento [x 1, x 2 ] X 2) f è continu sul segmento chiuso [x 1, x 2 ] 3) f è differenzibile sul segmento perto (x 1, x 2 ) llor esiste ξ = (ξ 1, ξ 2 ) (x 1, x 2 ) tle che f(x 2 ) f(x 1 ) = f(ξ) (x 2 x 1 ) = f x (ξ 1, ξ 2 )(x 2 x 1 ) + f x (ξ 1, ξ 2 )(y 2 y 1 ).

13 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 13 L dimostrzione di questo risultto è immedit, perché bst pplicre il Teorem del vlor medio per funzioni di un sol vribile ll funzione F : [0, 1] R definit come F (t) = f(tx 2 + (1 t)x 1 ). Si noti che F (t) = f(x(t), y(t)), dove le due funzioni x, y : [0, 1] R definite come { x(t) = tx 2 + (1 t)x 1 = x 1 + t(x 2 x 1 ) t [0, 1] y(t) = ty 2 + (1 t)y 1 = x 1 + t(x 2 x 1 ) sono derivbili, con (x (t), y (t)) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) = x 2 x 1, e si puó quindi pplicre il Teorem di derivzione delle funzioni composte. Con i due precedenti teoremi si puó dimostrre che Corollrio 3. Se f C 1 (X) e = X R 2 è connesso per poligonli, il teorem del vlor medio vle per ogni coppi di punti x 1, x 2 X. Teorem 12. Si C R 2 è un insieme perto e connesso. f (0, 0) in C, llor f è costnte. Se f : C R h Proof. Poiché, in qunto costnte, f è continu in C, segue che f C 1 (C). Inftti, l unico punto che potrebbe suscitre dubbi è se l nnullrsi del grdiente in tutto l perto ssicuri che l funzione si nche continu in C: fcilmente si vede che è vero. Inftti, per ogni punto (x, y) C fissto esiste δ > 0 tle che B δ (x 0, y 0 ) C. Or, se (h, k) R 2 sono tli che (h, k) < δ, vremo per l nnullrsi del grdiente in C che { f(x + h, y + k) f(x + h, y) = o(k) k 0 f(x + h, y) f(x, y) = o(h) h 0 implic che f(x + h, y + k) f(x, y) = f(x + h, y + k) f(x + h, y) + f(x + h, y) f(x, y) = o(h) + o(k) = o(h, k) (h, k) 0. Stbilito che f C 1 (C), l differenzibilitá segue dl Corollrio 2 (cf. [2, Teorem 3.8]). D ltro cnto, osservimo che il Teorem 10 ssicur che l insieme è connesso per poligonli, quindi, fissti rbitrrimente x, y C, sppimo che esiste un poligonle P[x, y] C. Per definizione, un poligonle è unione di un numero finito di segmenti [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n, y], su ciscuno dei quli pplichimo il Teorem 11 del vlor medio. Quindi esiste ξ 1 (x, x 1 ) tle che f(x 1 ) f(x) = f(ξ 1 ) (x 1 x) = 0 f(x) = f(x 1 ). Anlogmente, esiste ξ 2 (x 1, x 2 ) tle che f(x 2 ) f(x 1 ) = f(ξ 2 ) (x 2 x 1 ) = 0 f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x). Dopo un numero finito di pssi, troveremo ξ n+1 (x n, y) tle che f(y) f(x n ) = f(ξ n+1 ) (y x n ) = 0 f(y) = f(x n ) = = f(x). Per l rbitrrietá dei punti, il risultto vle su tutto l insieme.

14 14 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 derivte successive Teorem 13 (Teorem di Schwrz). Si f : A = A R 2 R tle che esistno 2 f y x (x, y), 2 f (x, y) C(A). Allor x y 2 f (9) y x (x, y) = 2 f (x, y), (x, y) A. x y Di ftto, utilizzeremo qusi sempre il seguente Corollrio 4. Si f : A = A R 2 R un funzione f C 2 (A). Allor le derivte seconde miste sono uguli in A, cioé vle (9). Per un esempio di funzione che non soddisf le condizioni del Teorem si ved [2, Esempio 5.2, Cp.3] e [4, Esempio 2, Cp. 2] xy x2 y 2 (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0). Formul di Tylor l II ordine con resto di Peno Definizione 11. Si f : A R 2 R, dove A, e si x 0 = (x 0, y 0 ) A un punto in cui f mmette tutte le derivte przili fino l secondo ordine. Allor si dice polinomio di Tylor l II ordine in x 0 = (x 0, y 0 ) il polinomio di secondo grdo in x x 0 = (x x 0, y y 0 ) definito come T 2 x 0 (x) = f(x 0 ) + f(x 0 ) (x x 0 ) (x x 0) T Hf(x 0 )(x x 0 ), dove Hf(x 0 ) è l mtrice Hessin nel punto, ovvero l mtrice ( 2 f (x x Hf(x 0 ) = 2 0, y 0 ) 2 f (x ) y x 0, y 0 ) 2 f (x x y 0, y 0 ) 2 f. (x y 2 0, y 0 ) Si noti che tle mtrice è simmetric se le derivte seconde miste sono uguli. Come bbimo giá visto per l equzione del pino cndidto d essere il pino tngente l grfico di un funzione in un punto, un cos è scriverne l equzione e un ltr vere un ver pprossimzione locle dell funzione con quell funzione ffine. Anlogmente, se per scrivere il polinomio di Tylor l II ordine bst l esistenz delle derivte przili fino l II ordine, perché tle polinomio ci di un pprossimzione locle in x 0 dell funzione serve di piú. Teorem 14. [2, Teorem 3.16] oppure [3, Prgrfo 3.2, Cp. 11] Sino f : A R 2 R, dove A, un funzione f C 2 (A) e x 0 = (x 0, y 0 ) A. Allor esiste un unico polinomio di secondo grdo in x x 0 che pprossimi f loclmente in x 0 = (x 0, y 0 ) meno di infinitesimi di ordine superiore x x 0 2 ; si trtt del polinomio di Tylor di grdo 2 in x 0, ovvero, T 2 x 0 (x) che soddisf l formul di Tylor l II ordine con resto di Peno f(x) = T 2 x 0 (x) + o( x x 0 2 ), per x x 0, in cui o( x x 0 2 ) rppresent un infinitesimo di ordine superiore d x x 0 2 per x x 0.

15 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 15 Proof. Dl momento che x 0 = (x 0, y 0 ) è un punto interno d A, possimo trovre δ > 0 tle che B δ (x 0 ) A. Ció signific che per ogni direzione h = (h, k) R 2 con (h, k) = 1, per ogni t [ δ, δ], si h (x 0 + th, y 0 + tk) B δ (x 0 ). È evidente che ogni x B δ (x 0 ) potrá essere rpprentto come x = x 0 + th = (x 0 + th, y 0 + tk), con h = (h, k) = x x 0 x x 0 e t ricvto di conseguenz, cioé t = x x 0. Fisst un direzione h, utomticmente bbimo il segmento centrto in x 0, dto d [x 0 δh, x 0 + δh] A. Considerimo llor l funzione g : [ δ, δ] R definit come { x(t) = x 0 + th g(t) = f(x 0 + th) = f(x(t), y(t)) dove t [ δ, δ]. y(t) = y 0 + tk, Si trtt llor di scrivere l formul di Tylor con il resto di Peno l II ordine in t 0 = 0 (punto corrispondente (x 0, y 0 )) per l funzione di un vribile g(t), ovvero, g(t) = g(0) + g (0)t g (0)t 2 + o(t 2 ). D (x(0), y(0)) = (x 0, y 0 ) bbimo subito g(0) = f(x 0, y 0 ). Quindi, dl Teorem di derivzione dell funzione compost, notndo che (x (0), y (0)) = (h, k), segue g (0) = f(x 0, y 0 ) (x (0), y (0)) = f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k, d cui, siccome th = x x 0, ricvimo g (0)t = f x (x 0, y 0 )th + f y (x 0, y 0 )tk = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Applicndo due volte il Teorem di derivzione delle funzioni composte insieme l Teorem di Schwrz, siccome (x (0), y (0)) = (0, 0), bbimo g (0) = 2 f x 2 (x 0, y 0 )[x (0)] f x y (x 0, y 0 )x (0)y (0) + 2 f y 2 (x 0, y 0 )[y (0)] 2 = 2 f x 2 (x 0, y 0 )h f x y (x 0, y 0 )hk + 2 f y 2 (x 0, y 0 )k 2 = h T Hf(x 0 )h, cosicché g (0)t 2 = (th) T Hf(x 0 )(th) = (x x 0 ) T Hf(x 0 )(x x 0 ). Per concludere l dimostrzione, rest d rccogliere i vri contrinuti e d notre che o(t 2 ) = o( x x 0 2 ). Esplicitndo le componenti, grzie l Teorem di Schwrz, si h T(x 2 0,y 0 )(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) + 1 [ 2 f 2 x 2 (x 0, y 0 )(x x 0 ) f x y (x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + 2 f ] y 2 (x 0, y 0 )(y y 0 ) 2. Osservimo che l formul di Tylor con resto di Peno in x 0 = (x 0, y 0 ) si puó scrivere nche evidenzindo l incremento, ovvero scegliendo x = x 0 + h (ovvimente qui h non h lo stesso significto dell dimostrzione dell Formul di Tylor) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f(x 0 ) h ht Hf(x 0 )h + o( h 2 ), per h 0

16 16 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 dove o( h 2 ) rppresent un infinitesimo di ordine superiore d h 2 per h 0. In questo modo l formul puó essere estes d ogni dimensione. Esempio 3. Dt l funzione f(x, y) = e xy + (x 2 1)y 2, scrivere il polinomio di Tylor l II ordine in (x 0, y 0 ) = (0, 0), in (x 1, y 1 ) = (0, 1) e in (x 2, y 2 ) = (2, 1). Chirmente l funzione è f C 2 (R 2 ), quindi possimo certmente scrivere i tre polinomi di Tylor richiesti. Clcolimo le derivte prime e seconde f x (x, y) = yexy + 2xy 2 f y (x, y) = xexy + 2(x 2 1)y 2 f x 2 (x, y) = y2 e xy +2y 2, quindi 2 f x y (x, y) = (1+xy)exy +4xy, 2 f y 2 (x, y) = x2 e xy +2(x 2 1) T 2 (0,0)(x, y) = 1 + xy y 2, mentre T 2 (0,1)(x, y) = 1 + x 2(y 1) [3x2 + 2x(y 1) 2(y 1) 2 ] e T 2 (2,1)(x, y) = e (e 2 + 4)(x 2) + 2(e 2 + 3)(y 1) [(e2 + 2)(x 2) 2 + 2(3e 2 + 8)(x 2)(y 1) + (4e 2 + 6)(y 1) 2 ]. Esempio 4. Dt l funzione f(x, y) = rccos(x y) + 1 x 2 y 2, dopo verne determinto il dominio, scrivere, se possibile, il polinomio di Tylor l II ordine in ( 1 2, 1. 2) Il dominio dell funzione si trov intersecndo gli insiemi ottenuti imponendo ll rgomento di rccos di essere nell intervllo [ 1, 1] e l rdicndo di essere nonnegtivo: con queste condizioni si trov D(f) = {(x, y) : x 2 + y 2 1, y 1 x y + 1}. Poiché l funzione risult C 2 (D(f) ), dove D(f) = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1, y 1 < x < y + 1},

17 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 17 ( 1 possimo scrivere il polinomio di Tylor l secondo ordine in 2, 1 D(f) 2). Grzie l Teorem di Schwrz, le derivte seconde miste sono uguli, quindi dobbimo clcolre ( 1 f 2, 1 2 = 2) 2 f 1 (x, y) = x x 1 (x y) 2 1 x2 y f 1 x( 2 2, 1 ) = f y (x, y) = 1 y 1 (x y) 2 1 x2 y f ( 1 2 y 2, 1 ) = f x 2 (x, y) = x 2 f x (x, y) = x y 2 f x 2 (x, y) = y + y (1 (x y) 2 ) 1 3/2 1 x2 y x 2 2 (1 x 2 y 2 ) 2 f 3/2 y (1 (x y) 2 ) xy 3/2 1 x2 y 2 f ( 1 2 x y 2, 1 2 ( 1 x 2 2, 1 ) 2 = 2 2 ) 2 = 4 ) 2 = 2. y (1 (x y) 2 ) 3/2 1 1 x2 y 2 y 2 (1 x 2 y 2 ) 3/2 2 f y 2 ( 1 2, 1 2 A questo punto possimo scrivere 2 T 2 ( 1 2, 1 )(x, y) = 2 2 (1 + ( 2) x 1 ) 2 2 [( x 1 ) 2 ( + x (1 ( 2) y 1 ) 2 )( y 1 ) ( + y 1 ) 2 ]. 2 2 Ottimizzzione di funzioni di due vribili Teorem 15 (Teorem di Fermt). Sino f : A R 2 R, dove A, e (x 0, y 0 ) A punto di mssimo/minimo locle dove f si derivbile. Allor f(x 0, y 0 ) = 0. Per l dimostrzione si vedno [3, Teorem 4.2, Cp.11] oppure [2, Teorem 3.17, Cp. 3]. Teorem 16 (Test dell mtrice Hessin). [2, Proposizione 3.3] Si f : A R 2 R un funzione f C 2 (A) e si (x 0, y 0 ) A un punto critico di f. (1) Se det Hf(x 0, y 0 ) > 0 e 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0, llor (x 0, y 0 ) è punto di mssimo locle stretto; (2) Se det Hf(x 0, y 0 ) > 0 e 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0, llor (x 0, y 0 ) è punto di minimo locle stretto; (3) Se det Hf(x 0, y 0 ) < 0 llor (x 0, y 0 ) è di sell; (4) Se det Hf(x 0, y 0 ) = 0, il test non è conclusivo. Proof. Poiché il punto è critico, l formul di Tylor l II ordine con resto di Peno si riduce f(x, y) = f(x 0, y 0 ) Q (x 0,y 0 )(x x 0, y y 0 ) + o((x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ),

18 18 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 dove Q (x0,y 0 )(x x 0, y y 0 ) st per l form qudrtic Q (x0,y 0 )(x x 0, y y 0 ) = 2 f x 2 (x 0, y 0 )(x x 0 ) f x y (x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 )+ 2 f y 2 (x 0, y 0 )(y y 0 ) 2. Pertnto il segno di Q (x0,y 0 ) determinerá l ntur del punto critico, perché l infinitesimo o((x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ) non è in grdo di modificre tle segno. Indicti gli incrementi come (h, k) = (x x 0, y y 0 ), l formul si scrive in mnier equivlente come dove, posti f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) Q (x 0,y 0 )(h, k) + o(h 2 + k 2 ), = 2 f x 2 (x 0, y 0 ), b = 2 f x y (x 0, y 0 ), c = 2 f y 2 (x 0, y 0 ), possimo scrivere Q (x0,y 0 )(h, k) = h 2 + 2bhk + ck 2 e det Hf(x 0, y 0 ) = c b 2. Se k = 0, l funzione Q (x0,y 0 )(h, k) = h 2 h il segno di. Se k 0, dividendo per k 2 e ponendo t = h k, rest ( h ) 2 ( h ) ] Q (x0,y 0 )(h, k) = h 2 + 2bhk + ck 2 = k [ 2 + 2b + c = k 2 (t 2 + 2bt + c). k k L equzione di secondo grdo t 2 + 2bt + c = 0 h 4 = b2 c = det Hf(x 0, y 0 ), pertnto: se det Hf(x 0, y 0 ) > 0, llor c > b 2 : questo indic che e c sono concordi. Inoltre ssicur che /4 < 0, quindi l espressione t 2 + 2bt + c vrá sempre lo stesso segno, che coincide (si prend t = 0) con quello di c e quindi di, (nche se k = 0), quindi sono provti (1) e (2); se det Hf(x 0, y 0 ) < 0, il segno di Q (x0,y 0 ) vri. Se = 0 e k = 0, vremo Q (x0,y 0 )(x 0 + h, 0) = 0; se k 0, llor Q (x0,y 0 )(h, k) = ( k 2 2b h ). k + c In questo secondo cso, se h k > c 2b vremo Q (x 0,y 0 )(h, k) > 0, ltrimenti Q (x0,y 0 )(h, k) 0. Se 0, Q (x0,y 0 )(h, k) cmbi segno in t 1 = b det Hf(x 0, y 0 ) t 2 = b + det Hf(x 0, y 0 ). Se per esempio > 0 (l conseguenz è che t 1 < t 2 ) e h/k < t 1 oppure h/k > t 2, vremo Q (x0,y 0 )(h, k) > 0, mentre se t 1 < h/k < t 2 srá Q (x0,y 0 )(h, k) > 0. Se fosse < 0 (in questo cso t 2 < t 1 ), bsterebbe invertire i segni. In entrmbi i csi il punto è di sell, provndo (3). Per mostrre che (4) non è conclusivo, bst pensre l punto (0, 0), critico e con determinnte Hessino nullo per le tre funzioni f(x, y) = x 3 y 3 e f(x, y) = ±(x 4 + y 4 ): nel primo cso è un sell, mentre nel secondo con il segno positivo punto di minimo ssoluto e con il segno negtivo punto di mssimo ssoluto.

19 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 19 Curve pine Dto un punto mterile che si muove nel pino con un riferimento crtesino, conoscerne il moto signific determinrne l legge orri, cioé vere due funzioni del tempo x, y : [t 0, T ] R, dove t 0 rppresent l istnte inizile e T l istnte finle, e (x(t), y(t)) descrivno l posizione del punto l tempo t rispetto l sistem di riferimento. Inoltre, vorremmo nche conoscere l velocitá del punto, che come vedremo, è legt lle derivte delle funzioni posizione. In ltre prole, il punto mterile nel suo moto descrive un curv pin prmetrizzt dl tempo. Definizione 12. Definimo curv pin in form prmetric un funzione r : I R 2 su un intervllo I R (chirmente si mmette che I si nche un semirett o tutto R) che ssoci d ogni prmetro t I un punto del pino r(t) = (x(t), y(t)) o, in form vettorile, r(t) = x(t)i + y(t)j, e tle che r C(I), ovvero sino continue le due funzioni x, y : I R. Si dice sostegno γ dell curv l immgine di r, cioé γ = r(i). Il sostegno dell curv è nturlmente orientto dll orientzione di I, che è quell dell insieme dei numeri reli. Esempi di curve pine: Curve crtesine. In effetti, gli studenti hnno giá incontrto esempi di curve, perché l espressione y = f(x), con x I, { dove f : I R è un funzione x = t continu, corrisponde d un curv prmetric pin t I con sostegno y = f(t) γ = Grf. Questo tipo di curv (chirmente puó essere nche x = h(y), y I) si dice crtesin e benefici di molte buone proprietá dovute ll prticolre definizione. Un esempio di curv crtesin è y = 1 x, con x [ 1, 1], vente per sostegno due segmenti orientti che si congiungono in (0, 1). Un ltro esempio di curv crtesin è y = ln(1 x 2 ), con x [0, 1/2]. Esempi di curve pine: Curve polri. Le curve polri si hnno qundo viene ssegnt ρ : I [0, ), dove ρ C(I) rppresent l distnz dll origine del sistem di riferimento del punto dell curv (x(t), y(t)) = (ρ(t) cos t, ρ(t) sin t). In ltre prole, bbimo l rppresentzione in coordinte polri dell curv come { x(t) = ρ(t) cos t (10) t I. y(t) = ρ(t) sin t Se, per esempio, ρ(t) = e t con t R, vremo un spirle (dett logritmic) che si vvolge intorno ll origine. Inftti l distnz dei punti d O è un funzione monoton decrescente tendente 0. Chirmente ρ(t) = e t con t R h l orientzione oppost. Anche le curve polri godono di migliori proprietá rispetto lle curve prmetriche usuli. Se I = [, b], i punti A = r() = (x(), y()) e B = r(b) = (x(b), y(b)) si dicono rispettivmente primo e secondo estremo dell curv: un curv è chius se r() = r(b). { L esempio piú bnle di curv chius è r : [0, 2π] γ R 2 prmetrizzt come x(t) = cos t γ t [0, 2π], vente per sostegno γ l circonferenz unitri con punto y(t) = sin t, inizile e finle A = (1, 0).

20 20 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 Un ltro esempio è r : [0, π] γ R 2 prmetrizzt come { x(t) = cos 4t ỹ(t) = sin 4t, t [0, π], vente per sostegno γ l stess circonferenz unitri (con punto inizile e finle A = (1, 0)), che percorre due volte con velocitá qudrupl rispetto r: chirmente non si trtt dell stess curv. Si evince che due curve diverse possono vere { lo stesso sostegno. [ π Un terzo esempio è ˆr : 2, π ] 2 + 2π ˆγ R 2 ˆx(t) = sin t prmetrizzt come t ŷ(t) = cos t, [ π 2, π ] 2 +2π. Il sostegno ˆγ è ncor l circonferenz unitri m percors (prtendo sempre d A = (1, 0)) in senso orrio. In questo cso quindi cmbi l orientzione, sebbene il sostegno resti lo stesso. Un curv si dice semplice se due rbitrri vlori del prmetro t 1 t 2 con t 1 I, t 2 I individuno diversi punti sull curv, cioé r(t 1 ) r(t 2 ). Ció consente ll curv di chiudersi, cioé, se I = [, b] e t 1 = < t 2 = b, è mmesso r() { = r(b). x = x(t), Dt un curv pin r : I γ in form prmetric γ t [, b], è y = y(t) possibile { invertirne l orientzione ottenendo l curv r : [ b, ] γ definit come x = x( t),, t [ b, ]. Le due curve condividono lo stesso sostegno m lo percorrono in verso opposto. ỹ = y( t) In lcuni csi elementri, si riesce invertire piú semplicemente l orientzione: considerimo per esempio l curv crtesin y = 1 x, x [0, 1]. Il suo sostegno è ovvimente il segmento orientto d A = (0, 1) B = (1, 0), di cui si puó invertire semplicemente l orientzione scrivendol come x = 1 y con y [0, 1]. Definizione 13. Un curv r : I γ R 2 si dice C 1 se r C 1 (I): in questo cso, il vettore r (t) = (x (t), y (t)) si chim vettore derivto. Un curv r : [, b] γ R 2 è C 1 trtti se esiste un prtizione di [, b], P = { = t 0 < t 1 < < t p = b} tle che r [ti,t i+1 ] = r i C 1 [t i, t i+1 ] (i = 0,..., p 1) e γ = p 1 i=0 γ i. In sostnz, l curv deve essere unione di un numero finito di curve C 1. Esistenz dell rett tngente. Definizione 14. Dt un curv r : I γ R 2 di clsse C 1 e t 0 I, l rett { x = x(t 0 ) + x (t 0 )(τ t 0 ) (11) τ R y = y(t 0 ) + y (t 0 )(τ t 0 ) è tngente l sostegno γ in r(t 0 ), se tle rett è l miglior pprossimzione linere dell curv per t t 0. Grficmente risult evidente che l esempio di curv crtesin y = 1 x, con x [ 1, 1], non mmette rett tngente nel punto (0, 1), perché vi sono due diverse tngenti d destr e d sinistr. { Se considerimo invece ([1, Esempio 12.3]) l curv r : R γ di prmetrizzzione x(t) = t 2 t R, evidentemente r C 1 (R) e r (t) = (2t, 3t 2 ), quindi se t y(t) = t 3 0 = 0 bbimo

21 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 21 x(0) = y(0) = x (0) = y (0) = 0 quindi in O non esiste rett tngente (inftti, l equzione ci dá un solo punto). Cos si deve chiedere llor ffinché un curv mmett rett tngente in ogni punto corrispondente d un vlore interno del prmetro? Perché esist e si unic l rett tngente l curv deve essere regolre: Definizione 15. Un curv pin in form prmetric r : I γ R 2 si dice regolre se è semplice, r C 1 (I) con r (t) = (x (t), y (t)) (0, 0) per ogni t I. Anlogmente un curv è dett regolre trtti se è unione di un numero finito di curve regolri. Ammettendo che l rett tngent ll curv in r(t 0 ) esist e si unic, l su equzione deve essere (11), ossi, in form crtesin (bst eliminre il prmetro) è (12) y (t 0 )(x x(t 0 )) x (t 0 )(y y(t 0 )) = 0. Questo perché, fissto t 0 I, e t I vicino m distinto d t 0, l equzione dell rett secnte per (x(t 0 ), y(t 0 )) e (x(t 1 ), y(t 1 )) è [x x(t 0 )][y(t 1 ) y(t 0 )] [y y(t 0 )][x(t 1 ) x(t 0 )] = 0 quindi, dividendo per t 1 t 0 e pssndo l limite per t 1 t 0, dll derivbilitá di x( ) e y( ) segue (12). In sostnz, l equzione dell rett tngente si trov che limite delle equzioni delle rette secnti qundo il prmetro t (corrispondente ll second intersezione) tende l prmetro fisso t 0. Dimostrre che, se l curv è crtesin, si ritrov l equzione dell rett tngente l Grf in (t 0, f(t 0 )). Chirmente, not l equzione dell rett tngente ll curv in r(t 0 ), è utomtico trovre l equzione dell rett normle ll curv in r(t 0 ), ossi, { x = x(t 0 ) + y (t 0 )(τ t 0 ) τ R ovvero x (t y = y(t 0 ) x 0 )(x x(t 0 )) + y (t 0 )(y y(t 0 )) = 0. (t 0 )(τ t 0 ) Inftti, se un curv è regolre, preso t 0 I, sppino che r (t 0 ) (0, 0), quindi, per l continuitá dell norm, vle r(t) = r(t 0 ) + r (t 0 )(t t 0 ) + o( r(t) r(t 0 ) ) t t 0. Se bbimo un curv crtesin, { quest è regolre se l funzione f C 1 (I). Inftti, x = t dll prmetrizzzione t I si ricv che l curv è C 1 non ppen lo è l y = f(t) funzione f. Le ltre due condizioni sono utomticmente soddisftte: inftti, il vettore derivto è r (t) = (1, f (t)) (0, 0) grzie ll prim componente. Per verificre che l curv si semplice bst osservre che x = t non si ferm mi né torn indietro perché segue l ordinmento dei numeri reli. Un curv polre è regolre se ρ C 1 (I), ρ è iniettiv e ρ e l su derivt ρ non si nnullno mi contempornemente. Inftti, è equivlente verificre che un vettore si nullo o che bbi modulo nullo. In questo cso, risult piú semplice (grzie lle proprietá delle funzioni trigonometriche), { vedere qundo l norm del vettore r (t) = 0. D (10), x (t) = ρ (t) cos t ρ(t) sin t ricvimo che quindi r (t) = ρ(t) y (t) = ρ 2 + ρ (t) 2. (t) sin t + ρ(t) cos t

22 22 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 Dt un curv regolre r : I γ R 2, il vettore r (t 0 ) (0, 0) è tngente ll curv in r(t 0 ) con t 0 I e, se r = r(t) è l legge orri di un punto mobile rppresent l velocitá, mentre il suo modulo corrisponde ll velocitá sclre: ovvimente Il versore tngente pertnto è r (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) = x (t 0 ) 2 + y (t 0 ) 2. t(t 0 ) = r (t 0 ) ( r (t 0 ) = x (t 0 ) [x (t 0 )] 2 + [y (t 0 )], y (t 0 ) ). 2 [x (t 0 )] 2 + [y (t 0 )] 2 Definizione { 16. Dt un curv pin regolre in form prmetric r : [, b] γ R 2 x = x(t) dove t [, b], preso t 0 (, b), il versore normle ll curv γ in P 0 = y = y(t) (x(t 0 ), y(t 0 )) si ottiene ruotndo il versore tngente t(t 0 ) di π/2 in senso orrio, quindi ( y (t 0 ) n(t 0 ) = [x (t 0 )] 2 + [y (t 0 )], x (t 0 ) ). 2 [x (t 0 )] 2 + [y (t 0 )] 2 È noto che dto un vettore v = (v 1 v 2 ) T, si puó ruotrlo di ϑ in senso ntiorrio, moltiplicndi il vettore (scritto come mtrice colonn), per l mtrice di rotzione ( ) cos ϑ sin ϑ A ϑ =. sin ϑ cos ϑ Chirmente, un rotzione di π/2 in senso orrio equivle d un di π/2 rispetto ll orientzione positiv (in senso ntiorrio), quindi nel nostro cso l mtrice di rotzione è ( ) 0 1 A π/2 =. 1 0 Quindi A π/2 ( v1 v 2 ) = Nel nostro cso v = t(t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) r (t 0 ) Lunghezz di un curv. ( ) ( ) ( ) 0 1 v1 v2 =. 1 0 v 2 v 1, quindi n(t 0 ) = (y (t 0 ), x (t 0 )). r (t 0 ) Definizione 17. Dt un curv r : [, b] γ R 2 di clsse C 1 l curv si dice rettificbile perché è definit l su lunghezz l γ = b r (t) dt = b x (t) 2 + y (t) 2 dt. Si noti che l integrle è ben definito perché l integrnd risult continu in [, b]. Chirmente, se l curv è solo C 1 trtti, l su lunghezz srá l somm delle lunghezze dei trtti C 1.

23 Asciss curviline e prmetrizzzione stndrd. COMPLEMENTI DI ANALISI 2 23 Definizione 18. Due prmetrizzzioni regolri r 1 : [, b] γ 1 e r 2 : [c, d] γ 2 sono equivlenti se esiste φ : [c, d] [, b] suriettiv, φ C 1 ([, b]) con φ (t) > 0 in (c, d), tle che r 2 (τ) = r 1 (φ(τ)), per ogni τ [c, d]. Si noti che φ risult biunivoc, perché il segno dell derivt prim ne ssicur l iniettivitá. Inoltre l su invers ψ(σ) = φ 1 (τ(σ)) è pure derivbile con derivt continu pri ψ 1 (σ) = φ (τ(σ)). Due prmetrizzzioni equivlenti hnno lo stesso sostegno, orientzione e versori normli e tngenti. Un esempio elementre di prmetrizzzioni equivlenti sono r 1 : [0, π/2] γ R 2 e r 2 : [0, 2π] γ R 2 definite come { x(t) = cos 4t y(t) = sin 4t t [0, π/2] { x(τ) = cos τ y(τ) = sin τ τ [0, 2π]. Chirmente il sostegno delle curve è l circonferenz unitri percors un sol volt in senso ntiorrio prtire d (1, 0) con differenti velocitá. Se definimo φ : [0, 2π] [0, π/2] come φ(τ) = τ/4 bbimo r 2 (τ) = r 1 (τ/4), con φ C 1 [0, 2π] con φ = 1/4 > 0, bbimo il cmbimento di prmetro che soddisf tutte le condizioni che rendono le curve equivlenti. Ogni curv regolre h un rppresentzione piú geometric equivlente quell originri, dett prmetrizzzione stndrd, dove il prmetro è l sciss curviline s [0, l γ ]. Teorem 17 (Asciss curviline). Ogni curv regolre di prmetrizzzione r : [, b] γ R 2 puó essere rppresentt in mnier equivlente dll cosiddett rppresentzione stndrd r : [0, l γ ] γ, dove l γ è l lunghezz dell curv, tle che: (1) d ogni prmetro s [0, l γ ] viene ssocito il punto dell curv che individu esttmente l rco di lunghezz s; (2) il vettore derivto è il versore tngente; Proof. Poiché l curv è regolre, possimo definire l sciss curviline s : [, b] [0, l γ ] che d ogni prmetro t [, b] ssoci l lunghezz dell rco di γ d r(0) r(t), ovvero: (13) s(t) = t 0 r (τ) dτ, t [, b]. L funzione s è ben definit perché funzione integrle di un funzione r ( ) C[, b]; inoltre, è monoton strettmente crescente ( e quindi iniettiv) perché è l integrle su intervlli di mpiezz crescente di un funzione positiv (inftti r (τ) > 0 perché l curv è regolre). Inoltre s : [, b] R è continu, quindi, siccome s() = 0 e s(b) = l γ, per l proprietá dei vlori intermedi, s ssume tutti i vlori compresi tr 0 e l γ e, pertnto, s : [, b] [0, l γ ] è nche suriettiv. In effetti, s non è solo continu, m s C 1 [, b] perché funzione integrle dell funzione continu r ( ), e l derivt prim è s (t) = r (t) > 0. Di conseguenz, s è invertibile e, dett t : [0, l γ ] [, b] l su funzione invers, t risult derivbile con derivt t (s) = dt(s) ds = 1 s (t(s)) = 1. Se definimo r(s) = r(t(s)), r (t(s))

24 24 COMPLEMENTI DI ANALISI 2 per s [0, l γ ], ottenimo ( usndo il cmbimento di prmetro φ( ) = t( )) r (s) = r (t(s)) dt(s) ds = r (t(s)) r (t(s)), cioé il versore tngente, come tteso. Dl momento che le due prmetrizzzioni sono equivlenti, hnno lo stesso sostegno, orientzione, vettori tngenti e normli. L precedente dimostrzione prov che si puó sempre invertire l funzione s = s(t) ottenendo l funzione invers t = t(s): m non ssicur che si possibile trovre l legge che esplicit come t dipend d s. Tuttvi, negli esercizi ssegnti, questo si potrá fre sempre. Come osservto in [1, Cpitolo 12], il sostegno di ogni curv pin semplice e chius divide il pino in due regioni, ovvero due insiemi perti connessi, di cui uno limitto e l ltro no. L interno dell curv corrisponde ll insieme limitto e consente di orientre positivmente un curv pin. L orientzione positiv è quell di chi percorr il sostegno dell curv lscindo l interno ll propri sinistr; ovvimente l orientzione oppost è quell negtiv. Cmpi vettorili I seguenti risultti sono un sintesi del [2, Prgrfo 1.4] Cmpi vettorili: integrli di line di second specie Definizione 19. Un cmpo vettorile è un funzione F = (F 1,, F M ) : Ω R N R M ; F è continuo in Ω qundo lo è ciscun delle sue componenti F i : Ω R, i = 1,, M; F è derivbile in Ω qundo lo è ciscun delle sue componenti F i : Ω R, i = 1,, M; infine, F C 1 (Ω) qundo F i C 1 (Ω), i = 1,, M. Definizione 20. Sino Ω R N un insieme perto e connesso, F C(Ω) un cmpo vettorile e γ Ω (con ció si intende che il sostegno dell curv si contenuto in Ω) un curv regolre, orientt, prmetrizzt d r : [, b] γ. Allor l integrle di line di F lungo γ (detto integrle di line di second specie) è b F ds = F(r(t)) r (t)dt. γ Se F rppresent un cmpo di forze, questo integrle corrisponde l lvoro del cmpo lungo l curv. Si noti che, differenz degli integrli di line di prim specie, questi cmbino di segno l vrire dell orientzione, ovvero, F ds = F ds. γ γ Osservzione. Sono integrli di line di second specie nche quelli del tipo f(x, y)dx γ oppure g(x, y)dy, dove l curv γ si prmetrizzt d r : [, b] γ R2, ovvero r(t) =

x = x(t) y = y(t) t [a, b]

x = x(t) y = y(t) t [a, b] Dt un curv continu. Curve ed integrli di line : t [, b] i punti () = (x(), y()) e (b) = (x(b), y(b)) si chimno primo e secondo estremo dell curv, rispettivmente. L curv si dice chius se () = (b). L curv

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

Meccanica dei Solidi. Vettori

Meccanica dei Solidi. Vettori Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope.. 2005-06 Lezione 2 Vettori Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Esercizi su spazi ed operatori lineari

Esercizi su spazi ed operatori lineari Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi . Elementi di nlisi funzionle Esercizi http://www.cirm.unibo.it/~brozzi/mi/pdf/mi-cp.-ese.pdf.. Spzi vettorili.. Spzi vettorili normti.-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm (

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

Proiettività della Retta e del Piano.

Proiettività della Retta e del Piano. Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

5. Funzioni elementari trascendenti

5. Funzioni elementari trascendenti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori

Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori A Richimi sui vettori Richimimo lcune definizioni e proprietà dei vettori, senz ssolutmente pretendere di drne un trttzione mtemticmente complet. Lvoreremo sempre in uno spzio crtesino (euclideo) tre dimensioni,

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

Teorema della Divergenza (di Gauss)

Teorema della Divergenza (di Gauss) eorem dell ivergenz (di Guss) i un dominio tridimensionle regolre, l cui frontier è un superficie chius orientt con cmpo normle unitrionˆ uscente d. e F(,,z) F (,,z) i F (,,z) j F (,,z) k è un cmpo vettorile

Dettagli

Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d =

Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d = I seguenti esercizi sono stti proposti, e qusi tutti risolti, ttrverso l miling list del corso di Geometri IV durnte l nno ccdemico 2004/2005. Esercizio 1. Dimostrre che se (X, d) è uno spzio metrico nche

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori.

Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori. Prof. A. Di Mro I versori Definimo or lcni vettori prticolrmente importnti detti versori. Un versore è semplicemente n vettore di modlo nitrio. Normlmente gli ssi, e z vengono ssociti i versori i ˆ, ˆj,

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A

ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A. 3 GIUSEPPE DE MARCO. Curve Per lo studio delle funzioni vlori vettorili di un vribile rele, collettivmente e vgmente denominte curve, seguo il mio libro Anlisi Due, bbrevito

Dettagli

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x) Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY ndreucci@dmmm.unirom1.it 1. Notzione fondmentle e prime definizioni

Dettagli

La parabola con asse parallelo all ady

La parabola con asse parallelo all ady L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 2

Diario del corso di Analisi Matematica 2 Dirio del corso di Anlisi Mtemtic 2 G. Orlndi.. 211-12 Vengono qui di seguito elencti gli rgomenti trttti lezione. Il dirio servirà nche per definire il progrmm d esme. Lezione del 5/1/11 (2 ore). Proprietà

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

Superfici di Riferimento (1/4)

Superfici di Riferimento (1/4) Superfici di Riferimento (1/4) L definizione di un superficie di riferimento nsce dll necessità di vere un supporto mtemtico su cui sviluppre il rilievo eseguito sull superficie terrestre. Tle superficie

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z) Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +,4 4 + +,4 4 +,4 4 + 4,4 4.

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione

Dettagli

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

Esercizi sulle curve in forma parametrica

Esercizi sulle curve in forma parametrica Esercizi sulle curve in form prmetric Esercizio. L Elic Cilindric. Dt l curv di equzioni prmetriche: xt cos t yt sin t t 0 T ] > 0 b IR zt bt trovre: versore tngente normle binormle vettore curvtur rggio

Dettagli

F (r(t)), d dt r(t) dt

F (r(t)), d dt r(t) dt Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 2

Diario del corso di Analisi Matematica 2 Dirio del corso di Anlisi Mtemtic 2 G. Orlndi.. 2010-11 Vengono qui di seguito elencti gli rgomenti trttti lezione. Il dirio servirà nche per definire il progrmm d esme. Lezione del 4/10/10 (2 ore). Proprietà

Dettagli

II-8 Integrale di Riemann

II-8 Integrale di Riemann II-8 INTEGRALE DI RIEMANN DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Cap. 4 - Algebra vettoriale

Cap. 4 - Algebra vettoriale Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Cpitolo 4 Algebr vettorile 4.1. Grndezze sclri Si definiscono sclri quelle grndezze fisiche che sono descritte in modo completo d un numero con l reltiv unità di misur.

Dettagli

Lezione 1 Insiemi e numeri

Lezione 1 Insiemi e numeri Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi

Dettagli

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ; CAPITOLO ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI Teori in sintesi Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z. + Sono definite:

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 11 Integrazione numerica

Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 11 Integrazione numerica Lbortorio di Mtemtic Computzionle A.A. 2008-2009 1 Integrzione numeric Lb. 11 Integrzione numeric Un metodo di integrzione numerico consiste in un formul esplicit che permett di pprossimre il vlore di

Dettagli

ellisse parabola iperbole

ellisse parabola iperbole Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Superfici del secondo ordine e loro seioni pine. Tglindo con un pino un cono circolre (infinito) si ottengono qusi

Dettagli

Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano

Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano Geometri nlitic punti, rette, circonferenz, ellisse, iperbole, prbol ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 Il pino crtesino Si dice pino crtesino un sistem formto d due rette perpendicolri che si intersecno

Dettagli

Equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni Cpitolo Equzioni e disequzioni.1 Princìpi di equivlenz 1. Sommndo o sottrendo l stess quntità d entrmbi i membri di un equzione o di un disequzione ess non cmbi, ovvero: A(x) B(x) A(x) k(x) B(x) k(x).

Dettagli

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice

Dettagli