ARGOMENTI MATEMATICA PER L INGEGNERIA APPENDICI

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1 ARGOMENTI DI MATEMATICA PER L INGEGNERIA APPENDICI

2 Appendice A Integrli indefiniti TABELLA DI DERIVAZIONE E INTEGRAZIONE IMMEDIATA funzione f + g + c f g + c fg + c f/g + c sin + c cos + c tg + c cotg + c rcsin + c rcos + c rctg + c + c e + c log + c derivt f + g f g f g + fg f g fg g cos sin +tg cotg + log e primitiv funzione Appendice A -

3 funzione f g + c derivt f g [g logf + g f ] f + c [log + ] fg + c sin f + c cos f + c tgf + c rcsin f + c f g g cos f f sin f f [+tg f]f f f rcosf + c f f rctgf + c f α + c f + c log f + c f + c f + f αf α f f log f f f f f f α+ α + + c α α α e f + c e f f primitiv funzione OSSERVAZIONE: Al posto di integrle indefinito si può usre il termine primitiv generle dell funzione destr. È molto importnte, nel cso in cui l funzione di destr bbi per dominio un insieme D costituito d un unione di intervlli sconnessi, D = I I... I k..., interpretre l costnte dditiv in modo corretto: in ciscun intervllo I k può essere ggiunt un costnte c k, ottenendo un funzione primitiv definit in modo composito, con costnte dditiv vribile l vrire di I k. Appendice A -

4 Avvertenz I numeri B, B, di Bernoulli, usti negli integrli 7.8, 0.7, 0.8,.7,.8, 3.6, 3.7, 7.7, 30.7, 30.9, 3.7, 3.9, 33.6, 33.8 sono definiti in Not pg. 43. I numeri E, E, di Eulero, usti negli integrli 8.8,.6,.7, 8.7, 3.6, 3.8 sono definiti in Not pg. 43..Integrli comprendenti + b b d = log + b + b d = b log + b + b + b b + b d = b log + b b3 3b + b d = + b b + b 4 + b d = b log + b + b d = b + b log 3 + b d = b b + b d = + b + b b 3 log + b + + b d = b + b + log + b + b d = + b b b log + b 3 3 b b 3 b3 log + b 4 + b 3b + b d = + b b + 3b log + b 4 + b d = b + b + b log + b + b d = b + b b + b 3 log + b + b 3 + b 3 d = 3 + b b 4 + b 4 b 4 + b 3 b 4 log + b + b 3 d = + b + b 3 d = + b + b + b Appendice A - 3

5 b 3 d = b 3 + b b 3 + b + log + b b 3 d = 3 3b 4 + b + b b 3b log + b 4 + b 3 d = b 3 + b + b 3 d = b + b 3 + b 3 d = 4 b 5 + b + b n d = se n =, si ved l + b n d = + bn+ n + + bn+ b + bn+ n + n + se n =, si vedno rispettivmente l 4 e l 9 + b n d = b 3 + b b 3 log + b b 3 + b b b 4 log + b b b 5 + b b 5 6 b 5 log + bn+3 b + bn+ n n b + b n+ n + 3 se n =,,3, si vedno rispettivmente le 3,0 e 7 m + b n d = m+ + b n m + n + + nb m + n + m + b n + m + n + mb m + n + m+ + b n + n + b + m + n + n + b m + b n d m + b n d + b m + b n + d. Integrli comprendenti + b b d = + b + b d = b 3 + b d = 3 4b + 8b + b b d = + b log + b b b + b + b + b rctg b b Appendice A - 4

6 + b 5 + b d = b b + b b d = b d = b 5 + b 3 + b d [si ved l 4] + b d = 5 b + 8b b 3 + b d = + b + b d [si ved l 4] + b + b + b d = + d [si ved l 4] + b m d = m + b + b m + mb m d + b m + + b m 3 m b m m b m + b d = m + b d m m + b d = m mb b3/ m + b d m b + b m d = m m + m m + b d + b + b3/ m 5 + b m d = m b m m b m d + b m/ d = + b m/ d = + b m/ d = + b m/ 9 + b m/ 0 d = d = + bm+/ m + + bm+4/ m bm+6/ 3 m bm/ m + bm+/ b b + bm+/ m + 4b + bm+4/ 3 m b m/ + b d + m + b m/ d b + b m/ d = m b + b m/ + b + b + b m+/ 3 m + + b m/ d 3. Integrli comprendenti + b e p + q + b p + q d = bp q log p + q + b Appendice A - 5

7 { + b p + q d = b bp q log + b q } log p + q p { + b p + q d = bp q + b + p bp q log } p + q + b { + b p + q d = q bp q bp q log } + b p + q b + b + b p + q d = b bp q + b + + bp q { q p } b bp q log p + q + log + b + b m p + q n d = n bp q + b m p + q n m + n n bp q + b m p + q n d + b p + q d = p + b m 8 p + q n d = bp q + p log p + q { + b m+ n bp q + n m n p + q + b m p + q n { + b m + b m + bp q m n m p n p + q p + q n { + b m + b m m n p n p + q p + q n } d } d } d 4. Integrli comprendenti + b e p + q p > 0 3 p + q + b d = p + q + b d = + b p + q d = p + 3q bp + b 3 log p + b bp q bp q p p + b + bp q p + b rctg q bp p q bp + b p + b p + bp q p log p + b bp q p p + b + bp q q bp p p rctg p + b q bp Appendice A - 6

8 4 p + q n + b d = p + qn+ + b n + 3 p + bp q p + q n n + 3 p + b d 5 p + q n + b d = + + b n q bp p + q n + n 3 n q bp p + q n + b d p + q n 6 d = p + qn + b n q bp + + b n + n + + b 7 p + q n d = + b n p p + q n + n p p + q n d + b p + q n + b d 5. Integrli comprendenti + b e p + q + b p + q d = + b p + q d = log p + b + p + q + p + b p + q p q bp p + b rctg q bp p p + q + b p + q p bp + q p + b p + q d p + bp + q 3 + b p + q d = + b p + q 4p bp q d 8p + b p + q p + q + b p + q 4 + b d = q bp + d + b p + q 5 p + q + b p + q d = + b q bp p + q 6. Integrli comprendenti d = rctg + d = log + + d = rctg 3 d = + log + Appendice A - 7

9 d = log + + d = 3 rctg 3 + d = 4 log + + d = rctg + d = + + d = + + rctg 3 + d = + + log + + d = log + + d = rctg 3 + d = log + n d = n + n + n 3 n + n d = n + n + n d = n + n + m + n d = m + n d = m + n d m + n d + + n d + n m + n d d m + n d 7. Integrli comprendenti, con > 3 d = log + d = log d = + log + oppure rcotgh Appendice A - 8

10 d = + log d = log d = + 3 log + 3 d = 4 log d = 4 3 log + d = d = + 4 log + 3 d = + log d = + 4 log d = log + 3 d = log n d = n n n 3 n n d = n n n d = n n m n d = m n d = m n d + n d n m n d m n d d m n d 8. Integrli comprendenti, con < d = + log d = log oppure rctgh Appendice A - 9

11 d = + + log 3 d = log d = log d = log 3 d = + 4 log d = log d = d = + 4 log 3 d = + log d = + 4 log d = log 3 d = log n d = n n + n 3 n n d = n n n d = n n + m n d = m n d = m n d m n d + n d n m n d d m n d 9. Integrli comprendenti + + d = log + + oppure rcsinh Appendice A - 0

12 + d = d = + log d = + 3/ d = log d = d = log d = + + log / 9 + d = d = + 3/ / 3 + d = + 3/ 5 3 d = + log + + d = + + log d = + log / d = + + 3/ d = + + 3/ d = + + log / d = / d = + 3 log 4 8 log Appendice A -

13 0 + 3/ d = / d = log / + 3/ d = log / d = + 5/ / + 5/ d = + 3/ log / / + 7/ d = 4 + 5/ / d = log / + 3/ 7 d = + 3/ + 3/ 8 3 d = log log Integrli comprendenti d = log + d = d = + log + 3 d = 3/ + 3 d = rcsec d = Appendice A -

14 7 + 3 d = 8 d = 3/ 9 d = rcsec log + d = 3/ / 3 d = + 3/ 5 3 d = rcsec d = + log + 3 d = + rcsec 3/ d = 3/ d = 3/ d = + log + 3 3/ d = 3/ d = 3 rcsec 3/ d = log + 3 3/ d = rcsec 3/ 3/ d = / d = 5/ log + 4 3/ d = 5/ log + + 3/ Appendice A - 3

15 5 3 3/ 7/ d = + 5/ 7 5 3/ d = rcsec 3/ log + 3/ rcsec 3/ 6 3/ 7 d = 3/ 8 3 d =. Integrli comprendenti, con > 0 d = rcsin d = d = + rcsin 3 d = 3/ 3 d = log + d = 3 d = 3 log + 8 d = + rcsin 3/ 9 d = 3 0 d = 3/ 4 5/ 3 d = 3/ 5 3 d = log rcsin Appendice A - 4

16 d = rcsin 3 d = + log + 3/ d = 3/ d = 3/ d = rcsin 3 3/ d = + 3/ d = 3 log 3/ d = / d = log 3/ 3/ d = rcsin / d = 5/ 3/ d = 5/ 3 3/ d = 7/ 3/ 6 d = / 3 + 3/ 7 3/ d = 3/ 3 3/ 3/ 8 3 d = / log + 3 rcsin log rcsin Appendice A - 5

17 . Integrli comprendenti + b + c + b + c d = 4c b rctg + b 4c b b 4c log + b b 4c + b + b 4c Se b = 4c, llor + b + c = + b/ e si possono usre i risultti del. Se b = 0 usre i risultti dei 6 e 7. Infine, se = 0 oppure c = 0, usre i risultti del. + b + c d = log + b + c b + b + c d + b + c d = b log + b + c b c + + b + c d m + b + c d = m m c + b + c d = c log + b + c d = b c log m + b + c d b b c + b + c + b + c n + b + c d = n c n b c c m + b + c d + b + c d c + b c c n + b + c d + b + c d = + b 4c b + b + c + 4c b + b + c d = b + c 4c b + b + c b + b + c d = + b + c d n + b + c d 4c b b c + bc 4c b + b + c + c 4c b m + b + c n d = m n + b + c n d = b + n m + b + c n + m c m n m + b + c n d n m b n m m + b + c n d n3 + b + c n d c n + b + c n d + b + c d + b + c d + b + c d n3 + b + c n d Appendice A - 6

18 b + c d = c + b + c b c + c + b + c d + b + c d = c + b + c 3 c b c + b + c d + b + c d + + b + c d m + b + c n d = m c m + b + c n m + n 3 m c m + b + c n d m + n b m c m + b + c n d 3. Integrli comprendenti + b + c Nei risultti seguenti, se b = 4c, llor + b + c = + b/ e si possono usre i risultti del. Se b = 0 usre i risultti dei 9, 0 e. Infine, se = 0 oppure c = 0, usre i risultti del. log + b + c + + b + b + c d = + b + c d = + b + c + b rcsin b 4c o + b + c d b + b + c + 3b 4c 8 + b rcsinh 4c b 3b 3 d = + b + c 4 + b + c d log c + b + c + b + c 4 + b + c d = c b + c rcsin c oppure b + c rcsinh b 4c c 4c b 5 + b + c d = + b + c b c c + b + c d 6 + b + c d = + b + b + c 4c b b + c d 7 + b + c 3/ + b + c d = 3 b 4c b 6 b + b 8 + b + c d + b + c Appendice A - 7

19 b + c d = + b + c d = + b + c d = 6 5b 4 + b + c + b + b + c + b + c 3/ 5b 4c b + c 3/ d = + b 4c b + b + c + b + c 3/ d = b + c b 4c + b + c b + b + c 3/ d = 4c + bc 4c b + b + c + + b + c 3/ d = c + b + c + c b c 6 + b + c d + c + b + c d + b + b + c 3/ d + b + c d + b + c d + b + c d + b + c d + b + c d 5 + b + c 3/ d = + b + c c + b + c + b c c 3b c + b + c d + b + c 3/ d 6 + b + c n+/ 7 + b + b + c n+/ d = + 4 n + + n + 4c b + b + c n/ d 8 n + + b + c n+/ + b + c n+3/ d = b + b + c n+/ n + 3 d 8 + b + c n+/ d = + b n 4c b + b + c n/ + 8 n + n 4c b + b + c n/ d 9 + b + c n+/ d = n c + b + c n/ + + c + b + c n/ d b c + b + c n+/ d Appendice A - 8

20 4. Integrli comprendenti Si noti che nel cso di formule comprendenti 3 3 è sufficiente porre l posto di d = 6 log rctg d = 6 log rctg d = 3 log d = 3 log d = log + + rctg d = log d = log d = d = log d = m m 3 d = + 3 m 3 m n d = 3 n n 3 d rctg 3 rctg 3 3 d [si ved l ] + 3 n d 5. Integrli comprendenti 4 ± d = 4 3 log d = rctg d = 4 log d = 4 log rctg rctg Appendice A - 9

21 d = 4 4 log d = log d = 4 rctg d = 4 3 log + 3 rctg 4 4 d = 4 log d = 4 log + + rctg d = 4 log d = 4 4 log 4 4 d = d = log rctg 4 6 log + rctg 6. Integrli comprendenti n ± n, con > n + n d = n n log n n n + n n + n d = n log n + n m mn n + n r d = d n + n n r m n + n r d = n n + d = n n n d = n m n + n r n log n n n log n n n n + n n n + n + n n n d = n log n n m n n r d = n mn n n r d + m n n r d = n mn n n r mn n + n r d d n mn n + n r mn n n d n r d m n n r d d Appendice A - 0

22 0 3 4 n d = n n rcos n n n p m + m d = m mp dove 0 < p m m mp m sin k= m cos k= k pπ m k pπ m + cos [k π/m] rctg sin [k π/m] log k π + cos + m p m m m d = m mp cos kpπ m log cos kπm + dove 0 < p m + k= m m mp sin kpπ m k= rctg cos kπ/m + sin kπ/m { log + p m mp log + } p m+ + m+ d = p m + mp+ dove 0 < p m + p m + mp+ + p log + m + mp+ p m+ m+ d = m + mp+ dove 0 < p m m + mp+ log m + mp+ m k= m k= m k= m k= sin kpπ m + rctg cos kpπ m + log sin kpπ m + rctg cos kpπ m + log + cos [kπ/ m + ] sin [kπ/ m + ] kπ + cos m cos [kπ/ m + ] sin [kπ/ m + ] kπ cos m Integrli comprendenti sin 3 cos sin d = sin d = sin cos sin d = sin + 3 cos Appendice A -

23 4 3 sin d = sin 5 sin d = 3 3 3! ! d = sin 6 sin cos cos + d sin d = log cosec cotg = log sin d = sin d = sin d = sin 4 sin 4 sin 3 cos d = + cos3 3 sin 4 d = 3 8 sin 4 + cos 8 sin 4 3 sin d = cotg cos sin 3 d = sin + log tg sin p sin q d = sin [ p q ] sin [ p + q ] p q p + q sin d = π tg 4 + sin d = π tg π log sin 4 + sin d = π tg 4 + sin d = tg π 4 + π log sin 4 + [ si ved l 5 del pr. successivo ] tn n B n n+ + n +! sin d = π tg π 6 tg sin d = π tg 4 π 6 tg3 4 p + q sin d = p tg rctg + q p q p q q p log p tg + q q p p tg + q + q p [ se p = ±q, si ved l 3 ] Appendice A -

24 Se p = ±q si vedno l 6 e l 8 3 p + q sin d = q cos p q p + q sin + p p q p + q sin d Se p = ±q si vedno l 0 e l sin p + q sin d = p p + q rctg p + q tg p p q sin d = p p q rctg q tg p p q p log q p tg + p q p tg p m sin d = m cos + mm sin m m m sin d sin n d = n n + cos [ ] n n d si ved l 6 del prgrfo successivo sin n d = sinn cos + n sin n d n n sin n d = cos n sin n + n n p sin n d sin n d = cos n sin n n n sin n + n n sin n d 8. Integrli comprendenti cos 3 4 cos d = sin cos sin cos d = + cos d = cos cos d = 6 4 cos + cos 5 cos sin sin d = log! ! 6 6 6! + cos sin d = d [si ved l 5 del 7] cos d = log sec + tn = log π tg 4 + cos d = { E n n+ n + n! + Appendice A - 3 }

25 cos d = cos d = 4 cos 3 d = cos 4 d = 3 8 cos + sin 4 sin d = tg + sin 4 sin3 3 + sin cos 8 sin 4 3 cos 3 d = sin cos + log π tg 4 + cos cos p d = sin [ p ] + sin [ + p ] p + p cos d = cotg cos d = cotg + log sin + cos d = tg + cos d = tg + log cos cos d = cotg 6 + cos d = tg + 6 tg3 p + q cos d = cotg3 [ se = ±p, si ved l 9 ] p q rctg p q / p + q tg q p log rctg + q + p / q p tg q + p / q p se p = ±q, si vedno le 5 e 7 3 p + q cos d = q sin q p p + q cos p q p se p = ±q, si vedno le 9 e 0 4 p + q cos d = p p tn rctg p + q p + q p p tn rctg p 5 p q cos d = q p q p q p log p tn q p p tn + q p Appendice A - 4 p + q cos d

26 6 m cos d = m sin cos n d = m m cos m cos d sin [ ] d si ved l 7 del pr. precedente + mm cos n n n cos n d = sin cosn n + n n cos n d = sin n cos n + n n n cos n d cos n d cos n d = sin n cos n n n cos n + n n cos n d 9. Integrli comprendenti sin e cos sin cos d = sin sin p cos q d = cos [ p q ] p q sin n cos d = sinn+ n + cos n sin d = cosn+ n + sin cos d = 8 sin 4 3 cos [ p + q ] p + q sin cos d = log tg sin cos d = log π tg 4 + sin sin cos d = log tg + cos sin cos sin 0 cos cos sin 3 4 d = sin d = cos cos ± sin d = [Se n =, si ved l del 0.] [Se n =, si ved l del 0] cotg d = + log tg + π 4 + log tg ± sin + log tg + π 4 ± cos + log tg log tg ± π 8 sin ± cos d = ± sin ± cos d = Appendice A - 5

27 sin sin ± cos d = log sin ± cos cos sin ± cos d = ± + log sin ± cos sin p + q cos d = log p + q cos q cos p + q sin d = log p + q sin q sin p + q cos n d = q n p + q cos n cos p + q sin n d = q n p + q sin n p sin + q cos d = p + q log p sin + q cos + r d = + rctg q/p tg r p q rctg p + r q tg / r p q p + q r log p p + p r + r q tg / p + p + p r + r q tg / se r = q, si ved l successiv 3. Se r = p + q, si ved l 4 3 p sin + q + cos d = p log q + p tn p sin + q cos ± p + q d = p + q tg p sin + q cos d = pq rctg p sin q cos d = pq log p tg q p tn q p tn + q π + rctg q/p 4 7 sin m cos n d = sinm cos n+ m + n sin m+ cos n m + n + m sin m cos n d m + n + n sin m cos n d m + n sin m 8 cos n d = sin m n cos n m sin m n cos n d sin m+ n cos n m n + n sin m m n cos n + m m n sin m cos n d sin m cos n d Appendice A - 6

28 cos m 9 sin n d = 30 sin m cos n d = cos m n sin n m cos m n sin n d cos m+ n sin n m n + cos m n sin n d cos m m n sin n + m cos m m n sin n d n sin m cos n + m + n n m sin m cos n + m + n m sin m cos n d sin m cos n d 0. Integrli comprendenti tg 3 4 tg d = log cos = log sec tg d = tg tg 3 d = tg + log cos tg n sec d = tgn+ n + sec tg d = log tg tg d = log sin tg d = n n B n n+ n +! tg tg d = d = tg log cos + + n n B n n n n! p + q tg d = p p + q + q p + q log q sin + p cos tg n d = tgn n tg n d + +. Integrli comprendenti cotg cotg d = log sin Appendice A - 7

29 3 4 cotg d = cotg cotg 3 d = cotg log sin cotg n cosec d = cotgn+ n + cosec cotg d = log cotg cotg d = log cos cotg d = { n B n n+ n +! cotg d = n B n n n n! cotg d = cotg p + q cotg d = p p + q cotg n d = cotgn n + log sin q p + q log p sin + q cos cotg n d }. Integrli comprendenti sec sec d = log sec + tg = log tg + π 4 sec d = sec 3 d = tg sec tg sec n tg d = secn n sec d = sin sec d = { sec d = log log sec + tn sec d = tg + log cos q + p sec d = q p q E n n+ } n + n! + p + q cos d E n n n n! + Appendice A - 8

30 0 sec n d = secn tg n + n n sec n d 3. Integrli comprendenti cosec cosec d = log cosec cotg = log tg cosec d = cosec 3 d = cotg cosec cotg cosec n cot d = cosecn n cosec d = cos + log tg cosec d = n B n n+ n +! cosec d = n B n n + n n! cosec cotg d = + log sin q + p cosec d = q p d [si ved l del 7] q p + q sin cosec n d = cosecn cotg n + n n cosec n d 4. Integrli comprendenti le funzioni circolri inverse 3 rcsin d = rcsin + rcsin d = rcsin rcsin 3 d = 3 rcsin rcsin / 4 rcsin / 5 d = + / / / rcsin / d = log + 6 rcsin d = rcsin + rcsin Appendice A - 9

31 7 8 9 rcos d = rcos rcos d = rcos 4 4 rcos 3 d = 3 rcos + 9 rcos / 0 rcos / d = π log rcsin / d = rcos / + log + d [si ved l 4] rcos / d = rcos / rcos rctg d = rctg log + rctg d = rctg rctg / + rctg d = 3 3 rctg log + d = /3 3 + /5 5 / rctg / d = rctg log rcotg d = rctg + log + rcotg d = rcotg rcotg / rcotg + d = 3 3 rcotg log + d = π rctg / log d [si ved l 6] + log + rcotg / rcotg / d = rcsec d = rcsec d = rcsec log + rcsec + log + rcsec rcsec +, 0 < rcsec < π π, < rcsec < π, 0 < rcsec < π, π < rcsec < π Appendice A - 30

32 5 rcsec d = rcsec / rcsec rcsec log +, 0 < rcsec < π log +, d = π log + + / / / rcsec / +, 0 < rcsec < π rcsec / π, < rcsec < π rcosec rcosec d = + log +, 0 < rcosec < π rcosec log +, π < rcosec < 0 rcsec / 7 d = b rcosec d = rcosec rcosec rcosec / 3 rcosec / 3 d = rcosec + rcosec d = 3 3 rcosec + d = 3 rcosec 6, 0 < rcosec < π, π < rcosec < / / /7 π < rcsec < π log +, 0 < rcosec < π 3 6 log +, π < rcosec < 0 d = rcosec / +, 0 < rcosec < π rcosec /, π < rcosec < 0 m rcsin m+ d = m + rcsin m+ m + d m rcos m+ d = m + rcos + m+ m + d m rctg m+ d = m + rctg m+ m + + d m rcotg m+ d = m + rcotg + m+ m + + d m+ rcsec / m rcsec m d = m + m + d, 0 < rcsec < π m+ rcsec / + m m + m + d, π < rcsec < π Appendice A - 3

33 38 m rcosec d = m+ rcosec / m + m+ rcosec / m + + m + m + m d, 0 < rcosec < π m d, π < rcosec < 0 5. Integrli comprendenti e 3 4 e d = e e d = e e d = e + n e n e d = n n e d = = e n nn n n n + + n n! n [ n intero positivo ] e 5 e d = log +! +! ! + n d = e n n + n p + qe d = p p log p + qe e d n p + qe d = p + p p + qe p log p + qe p pe d = + qe pq rctg q e pq log e q/p e + q/p e sin b d = e sin b b cos b + b e cos b d = e cos b + b sin b + b e sin b d = e sin b b cos b + b e cos b d = e cos b + b sin b + b e log d = e log e d Appendice A - 3 { e b sin b b cos b } + b { e b cos b b sin b } + b

34 5 6 e sin n b d = e sin n b + n b e cos n b d = e cos n b + n b sin b nb cos b + cos b + nb sin b + n n b + n b n n b + n b e sin n b d e cos n b d 6. Integrli comprendenti log log d = log 3 log d = m log d = m+ m + log 4 log 5 6 d = log d = log log log m + log d = log log + [se m = si ved l 4] log n d = logn+ n + log d = log log [se n = si ved l 8] log d = log log log + log +! + log3 3 3! + m log d = log log m + log + m + log +! log n d = log n n m log n d = m+ log n m + log n d n m + + m + 3 log 3 3 3! + m log n d [se m = si ved l 7] log + d = log + + rctg log d = log + + log m log ± d = m+ log ± m+ m + m + ± d 7. Integrli comprendenti sinh sinh d = cosh Appendice A - 33

35 3 cosh sinh d = sinh d = + 3 sinh 4 sinh sinh cosh sinh d = ! ! + sinh cosh d = + sinh d = log tgh sinh d = sinh d = sinh d = sinh n sinh cosh sinh 4 d = coth sinh sinh p d = sinh sin p d = p + q sinh d = cosh 8 sinh + p + p d [si ved l 4 del 8] 4 sinh p p cosh sin p p sinh cos p + p cosh cos p p sinh sin p sinh cos p d = + p p + q sinh d = p + q log qe + p p + q qe + p + p + q p + q sinh d = q cosh p + q p + q sinh + p p + q q p q p rctg p tgh p sinh 0 n d = n B n n+ + n +! [ per = ±p, si ved l 8 ] p + q sinh d p p q log p + p q tgh p p q tgh p q sinh d = p p + q log p + p q tgh p p q tgh m sinh d = m cosh m m cosh d [si ved l 4 del 8] sinh n d = sinhn cosh n sinh n d n n sinh n n + cosh n n d [si ved l 6 del 8] Appendice A - 34

36 sinh n d = cosh n sinh n n n sinh n d sinh n d = cosh n sinh n n n sinh n n n sinh n d 8. Integrli comprendenti cosh 3 cosh d = cosh d = sinh cosh d = cosh 4 cosh sinh cosh cosh sinh d = log +! ! ! + cosh sinh d = + cosh d = rctg e { cosh d = cosh d = cosh d = 4 cosh d = tgh cosh cosh p d = cosh sin p d = cosh cos p d = sinh cosh + sinh 4 cosh + d = tgh d [si ved l 4 del 7] E n n+ } n n + n! + sinh p p cosh d = cotgh cosh 8 + sinh + p + p sinh sin p p cosh cos p + p sinh cos p + p cosh sin p + p cosh + d = tgh log cosh cosh d = cotgh + log sinh Appendice A - 35

37 cosh + d = tnh 6 tgh3 cosh d = cotgh 6 cotgh3 p + q cosh d = q p rctg qe + p q p p + q cosh d = q sinh p q cosh d = p + q cosh d = cosh p q log qe + p p q qe + p + p q q p p + q cosh p q p p + q cosh d p p q log p tgh + p q p tgh p q p p tgh rctg q p q p p p + q log p tgh + p + q p tgh p + q p p tgh rctg p + q p + q m cosh d = m sinh m m sinh d [si ved l 8 del 7] cosh n d = coshn sinh + n cosh n d n n cosh n d = n n + sinh n n d [si ved l 0 del 7] cosh n d = sinh n cosh n + n n cosh n d cosh n d = sinh n cosh n + n n cosh n + n n cosh n d 9. Integrli comprendenti sinh e cosh 3 4 sinh cosh d = sinh sinh p cosh q d = cosh p + q p + q sinh n cosh d = sinhn+ n + cosh n sinh d = coshn+ n + + cosh p q p q [se n =, si ved l del 3] [se n =, si ved l del 30] Appendice A - 36

38 5 6 7 sinh cosh d = sinh sinh cosh d = log tgh sinh cosh d = cosech rctg sinh sech 8 sinh cosh d = + log tgh cotgh 9 sinh cosh d = sinh sinh 0 d = rctg sinh cosh cosh cosh d = + sinh log tgh cosh + sinh d = log + sinh cosh + rctg e 3 sinh cosh + d = log tgh + cosh + 4 sinh cosh d = log tgh cosh 30. Integrli comprendenti tgh 3 4 tgh d = tgh d = log cosh tgh tgh 3 d = log cosh tgh tgh n sech d = tghn+ n + sech tgh d = log tgh tgh d = log sinh tgh d = n n B n n+ + n 05 n +! tgh d = tgh 9 tgh d = log cosh + n n n B n n n n! Appendice A

39 0 p + q tgh d = p p q tgh n d = tghn n + q p q log q sinh + p cosh tgh n d 3. Integrli comprendenti cotgh cotgh d = cotgh d = log sinh cotgh cotgh 3 d = log sinh cotgh cotgh n cosech d = cotghn+ n + csch cotgh d = log cotgh cotgh d = log cosh cotgh d = { n n B n n+ + n +! cotgh d = cotgh 9 0 cotgh + log sinh d = n n B n n n n! + p + q cotgh d = p p q cotgh n d = cotghn n q p q log p sinh + q cosh + cotgh n d } 3. Integrli comprendenti sech sech d = rctg e 3 4 sech d = sech 3 d = tgh sech tgh sech n tgh d = sechn n + rctg sinh Appendice A - 38

40 5 6 7 sech d = sech sech d = { sech d = sech tgh d = log 4 q + p sech d = q p q 4 8 sech n d = sechn tgh n log cosh E n n+ } n n + n! n E n n n n! + d [si ved l 0 del 8] p + q cosh + n sech n d n 33. Integrli comprendenti cosech cosech d = log tgh cosech d = cosech 3 d = cotgh cosech cotgh cosech n cotgh d = cosechn n cosech d = cosh log tgh cosech d = n cosech d = cosech cotgh + log sinh d = n q + p cosech d = q p q p + q sinh cosech n d = cosechn cotgh n n n n B n n+ n +! n B n n + n n! d [si ved l 4 del 7] cosech n d Integrli comprendenti inverse di funzioni iperboliche > 0 rcsinh d = rcsinh + Appendice A - 39

41 3 rcsinh d = + rcsinh rcsinh 3 d = 3 rcsinh rcsinh / 4 d = / / / , < log / log / / + 3 / / , > + / 3 / / , < rcsinh / rcsinh / 5 d = log rcosh d = rcosh /, rcosh / > 0 rcosh / +, rcosh / < 0 7 rcosh d = 8 rcosh d = 4 rcosh / 4 4, rcosh / > 0 rcosh / + 4, rcosh / < rcosh / rcosh / + 9 +, rcosh / > 0 +, rcosh / < 0 rcosh / 9 d = log / + / + 3 / / , rcosh / > 0 rcosh / 9 b rcosh / 0 d = d = log / / 3 / / rcosh / rcosh / rctgh d = rctgh + log rctgh d = + rctgh, rcosh / < 0 log log + +, rcosh / > 0, rcosh / < 0 Appendice A - 40

42 3 rctgh rctgh / 4 rctgh / d = rctgh log d = + /3 3 + /5 5 + d = rctgh / + log rcotgh d = rcotgh + log rcotgh d = + rcotgh rcotgh d = rcotgh log rcotgh / 9 d = + /3 3 + /5 5 + rcotgh / rcotgh / 0 d = + log rcsech rcsech / + rcsin /, rcsech / > 0 d = rcsech / rcsin /, rcsech / < 0 rcsech d = rcsech /, rcsech / > 0 rcsech / +, rcsech / < 0 rcsech / 3 rcsech / 3b 4 5 rcosech / 6 d = d = d = / log / log 4/ 3 /4, rcsech / > / log / log 4/ /4 +, rcsech / < rcosech d = rcosech ± rcsinh [+ se > 0, se < 0] rcosech d = rcosech ± + [+ se > 0, se < 0] / log / log 4/ + 3 / , 0 < < / log / log /4 + 3 / , < < 0 7 m rcsinh + / / , > d = m+ m + rcsinh m + m+ + d Appendice A - 4

43 m rcosh d = m rcsech d = m+ m + rcosh m + m+ m + rcosh + m + m+ d, rcosh / > 0 m+ d, rcosh / < 0 m rctgh m+ d = m + rctgh m+ m + d m rcotgh m+ d = m + rcotgh m+ m + d m+ m + rcsech + m d, rcsech / > 0 m + m rcosech m+ m + rcsech d = m+ m + rcosech ± m + m + m d, rcsech / < 0 m d, [+ se > 0, se < 0] + Appendice A - 4

44 Not. I numeri di Bernoulli B n L successione dei numeri di Bernoulli B, B,, B n, è definit induttivmente nel modo che segue: B = 6 supposto di vere definito B,, B n con n, si definisce B n come quel ben preciso numero tle che risulti n + n + B 4 4 B + + n3 + n I primi numeri di Bernoulli sono, con fcili clcoli, n + n n + n n B n + n B n + n n + n B = 6, B = 30, B 3 = 4, B 4 = 30, B 5 = 5 66, n B n = n È fcile riconoscere, con rgionmento induttivo, che tutti i numeri di Bernoulli sono numeri rzionli. Considert l funzione e che si ritiene prolungt per continuità in 0 dndole il vlore lim 0 e =, si dimostr che ess è sviluppbile in serie di Mc-Lurin, vendosi esttmente e = + B! B 3 3! n+ B n n +! n+ +, ] π, π[ Not. I numeri di Eulero E n L successione dei numeri di Eulero è definit induttivmente come segue: E, E,, E n, E = supposto di vere definito E,, E n con n, si definisce E n ponendo n n n E n = E n E 4 n + E 6 n3 + + n n n I primi numeri di Eulero sono, con fcili clcoli, E =, E = 5, E 3 = 6, E 4 = 385, E 5 = 505, E + n È fcile riconoscere, con rgionmento induttivo, che i numeri di Eulero sono tutti numeri interi positivi. Appendice A - 43

45 Considert l funzione sec = cos si dimostr che ess è sviluppbile in serie di Mc-Lurin, vendosi esttmente sec = cos = + E! + E 4! 4 + E 3 3! E n n! n + ] π, π[ Appendice A - 44

46 APPENDICE B - FORMULARIO Indice Coefficienti binomili e binomio di Newton Goniometri e Trigonometri 3. Relzioni fr le funzioni trigonometriche di uno stesso ngolo Espressioni di un funzione trigonometric trmite le rimnenti Formule di ddizione e sottrzione Formule di dupliczione e tripliczione Formule di bisezione Formule prmetriche Formule di prostferesi Formule di Werner Formule sui tringoli rettngoli Formule sui tringoli qulunque Vlori delle funzioni goniometriche di ngoli notevoli Funzioni iperboliche 0 3. Definizioni Relzioni tr le funzioni iperboliche Formule di ddizione e sottrzione Formule di dupliczione Funzioni iperboliche inverse Formule di geometri nlitic nel pino crtesino 5 Formule di geometri nlitic dello spzio 5 6 Vlori pprossimti di costnti notevoli 8 7 Tvol dei numeri primi minori di I fttorili dei primi 00 numeri nturli 9 Tbell di Coefficienti Binomili 4 0 Qudrti e cubi dei primi 00 numeri nturli 6 Appendice B -

47 Coefficienti binomili e binomio di Newton Se n =,, 3,... il fttorile di n è definito d Si pone nche, per definizione, n! = 3 n 0! = Se n =,, 3,... e 0 k n, il coefficiente binomile n = k nn n... n k + k! = n è definito d k n! k!n k! = n n k 3 Se n =,, 3,..., l potenz nesim del binomio + b è dt dll seguente formul dett formul del + b n = n n + 0 binomio di Newton n n b + n n b + n n3 b n b n n 4 Se n =,, 3,... l potenz nesim del polinomio p è dt dll seguente formul dett p n = formul multinomile n! n!n!... n p! n n... n p p dove l sommtori è estes tutti gli interi non negtivi n, n,..., n p per i quli si bbi n + n + + n p = n. Appendice B -

48 Goniometri e Trigonometri. Relzioni fr le funzioni trigonometriche di uno stesso ngolo sin α + cos α = cosec α = sin α tg α = sin α cos α sec α = cos α cotg α = cos α sin α. Espressioni di un funzione trigonometric trmite le rimnenti funzioni note funzioni incognite sin α cos α tg α cotg α sin α sin α ± cos α ± tg α + tg α ± + cotg α cos α ± sin α cos α ± + tg α ± cotg α + cotg α sin α tg α ± sin α cotg α ± sin α sin α ± ± cos α cos α cos α cos α tg α tg α cotg α cotg α Appendice B - 3

49 .3 Formule di ddizione e sottrzione sinα + β = sin α cos β + cos α sin β sinα β = sin α cos β cos α sin β cosα + β = cos α cos β sin α sin β tgα + β = tg α + tg β tg α tg β cosα β = cos α cos β + sin α sin β tgα β = tg α tg β + tg α tg β cotgα + β = cotg α cotg β cotg β + cotg α cotgα β = cotg α cotg β + cotg β cotg α.4 Formule di dupliczione e tripliczione sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α = cos α = sin α tg α = tg α tg α sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos 3 α 3 cos α tg 3α = 3 tg α tg3 α 3 tg α.5 Formule di bisezione sin α = ± cos α cos α = ± + cos α tg α cos α = ± + cos α = sin α + cos α = cos α sin α Appendice B - 4

50 .6 Formule prmetriche sin α = tg α cos α = tg α tg α = tg α + tg α + tg α tg α.7 Formule di prostferesi sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = sin p q cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q cos p q cos p + q cos p q sin p q.8 Formule di Werner sin α sin β = [ ] cosα β cosα + β cos α cos β = [ ] cosα + β + cosα β sin α cos β = [ ] sinα + β + sinα β Appendice B - 5

51 .9 Formule sui tringoli rettngoli, b, c sono le misure rispettivmente dell ipotenus e dei due cteti; α, β, γ sono gli ngoli opposti rispettivmente ll ipotenus e i due cteti. b = sin β c = sin γ b = c tg β c = b tg γ c = cos β b = cos γ c = b cotg β b = c cotg γ.0 Formule sui tringoli qulunque, b, c sono le misure dei tre lti del tringolo; α, β, γ sono gli ngoli opposti rispettivmente i lti di misure, b, c; r è l misur del rggio del circolo inscritto nel tringolo; R è l misur del rggio del circolo circoscritto l tringolo; s è il semiperimetro del tringolo; S è l re del tringolo..0. Teorem dei seni di Eulero sin α = b sin β = c sin γ = R.0. Teorem di Nepero α β b tg + b = tg α + β β γ b c tg b + c = tg β + γ γ α c tg c + = tg γ + α.0.3 Teorem delle proiezioni = b cos γ + c cos β b = c cos α + cos γ c = cos β + b cos α Appendice B - 6

52 .0.4 Teorem di Crnot = b + c bc cos α b = c + c cos β c = + b b cos γ.0.5 Are di un tringolo S = b sin γ = bc sin α = c sin β S = sin β sin γ sinβ + γ = sin α sin γ b sinα + γ = sin α sin β c sinα + β S = ss s bs c.0.6 Formule di Briggs sin α = s bs c bc sin β = s cs c sin γ = s s b b cos α = ss bc cos α = ss b c cos γ = ss c b tg α = s bs c ssp tg β = s cs ss b tg γ = s s b ss c.0.7 Rggi del circolo inscritto e circoscritto r = S s = s s bs c s r = s tg α = s b tg β = s c tg γ R = bc 4S Appendice B - 7

53 . Vlori delle funzioni goniometriche di ngoli notevoli grdi rdinti seno coseno tngente cotngente non definit 5 π 8 π 0 30 π π 6 36 π π π π π 7 5 π π Appendice B - 8

54 90 π 0 non definit 0 80 π 0 0 non definit 70 3 π 0 non definit π 0 0 non definit Osservzione. I vlori delle funzioni goniometriche di ngoli notevoli, ottusi, concvi o generlizzti, si ottengono fcilmente dll tbell precedente medinte le note formule reltive i cosiddetti ngoli ssociti d un ngolo α, cioè quegli ngoli che si ottengono sommndo o sottrendo d α multipli di un ngolo retto, pitto o giro vedi formule di ddizione e di sottrzione. È nche possibile ottenere i vlori delle funzioni trigonometriche di ltri ngoli, come = 30 8, 4 =, 6 =, 3 = 6, 9 = 8, 7 = 3 9, 48 = , ecc..., usndo di volt in volt le formule dtte: formule di ddizione, sottrzione, dupliczione, bisezione, tripliczione, trisezione, ecc... Si noti che le formule di trisezione si possono ottenere risolvendo un equzione di terzo grdo, e contengono, in generle, rdicli cubici, in ccordo con il noto ftto che non è possibile trisecre con rig e compsso un ngolo qulunque. Appendice B - 9

55 3 Funzioni iperboliche 3. Definizioni Seno iperbolico: sinh = e e Coseno iperbolico: cosh = e + e Tngente iperbolic: tgh = e e e + e Cotngente iperbolic: cotgh = e + e Secnte iperbolic: sech = Cosecnte iperbolic: cosech = e e e + e e e 3. Relzioni tr le funzioni iperboliche cosh sinh = cotgh = cosh sinh = tgh sech = cosech = cosh sinh tgh = sinh cosh 3.3 Formule di ddizione e sottrzione sinh ± y = sinh cosh y ± cosh sinh y cosh ± y = cosh cosh y ± sinh sinh y tgh ± y = cotgh ± y = tgh ± tgh y ± tgh tgh y cotgh cotgh y ± cotgh y ± tgh Appendice B - 0

56 3.4 Formule di dupliczione sinh = sinh cosh cosh = cosh + sinh = cosh = + sinh tgh = tgh + tgh 3.5 Funzioni iperboliche inverse rcsinh = log + + < < + rcosh = log + rctgh = + log rccotgh = + log < < < > Appendice B -

57 4 Formule di geometri nlitic nel pino crtesino Distnz di punti P, y, P, y : dp P = + y y Prllelismo di due rette: r : + by + c = 0, r : + b y + c = 0 r r b b = 0 Se r ed r sono dte in equzioni prmetriche = 0 + lt r :, r = 0 : + l t y = y 0 + mt y = y 0 + m t r r 3 Angolo cuto di due rette: l m l m = 0 r : + by + c = 0, r : + b y + c = 0 cosr b, r = + bb + b + b Se r ed r sono dte in equzioni prmetriche = 0 + lt r :, r : y = y 0 + mt = 0 + l t y = y 0 + m t cosr ˆ, r = ll + mm l + m l + m 4 Condizione di ortogonlità di due rette: r : + by + c = 0, r : + b y + c = 0 r r + bb = 0 Se r ed r sono dte in equzioni prmetriche = 0 + lt r :, r = 0 : + l t y = y 0 + mt y = y 0 + m t r r ll + mm = 0 Appendice B -

58 5 Distnz di un punto d un rett: P 0 0, y 0, r : + by + c = 0 dp 0, r = 0 + by 0 + c + b 6 Distnz di due rette prllele: se le equzioni di due rette r, r differiscono l più per i termini noti, r : + by + c = 0, r : + by + c = 0 si h dr, r = c c + b 7 Are di un tringolo P P P 3, con 8 Condizione di llinemento di tre punti P i i, y i, i =,, 3 : Are di P P P 3 = y y 3 y 3 P i i, y i, i =,, 3 : y y 3 y 3 = 0 9 Formule di cmbimento di coordinte di punto tr due sistemi ortonormli S = O; i, j, S = O ; i, j : se e O O, y O S, O O, y O S, i = c i + c j j = c i + c j i = c i + c j j = c i + c j si h = c + c y + O y = c + c y + y O, = c + c y + O y = c + c y + y O Appendice B - 3

59 0 Cmbimento di equzione di un luogo d un sistem ortonormle d un ltro: con i dti del n 9 si h L : F, y = 0 S = L : Fc + c y + O, c + c y + y O S Tngente un curv in un suo punto semplice: con F 0, y 0 = 0 l tngente C in P 0 è l rett P 0 0, y 0, C : F, y = 0 m F 0, y 0, F y 0, y 0 0, 0, p 0 : F 0, y F y 0, y 0 y y 0 = 0 ; in prticolre, se C è il grfico di un funzione f, derivbile in 0, l tngente C in P 0 0, f 0 è p 0 : y = f 0 + f 0 0 ; se C è dt in equzioni prmetriche C : con f e g funzioni derivbili in t 0, m con = ft y = gt, t I f t 0, g t 0 0, 0 l tngente C nel suo punto P 0 ft0, gt 0 è = ft 0 + f t o v p 0 : y = gt 0 + g t o v, v R Appendice B - 4

60 5 Formule di geometri nlitic dello spzio Lo spzio è riferito un sistem ortonormle S = Distnz di due punti P, y, z, P, y, z : O; i, j, k. dp P = + y y + z z Equzione del pino α pssnte per tre punti non llineti: α : P i i, y i, z, i =,, 3 : y y z z y y z z 3 y 3 y z 3 z = 0 oppure y z y z y z = 0 3 y 3 z 3 3 Prllelismo di un vettore e di un pino: v = l i + m j + n k, α : + by + cz + d = 0 v α l + bm + cn = 0 4 Ortogonlità di un vettore e di un pino: v = l i + m j + n k, α : + by + cz + d = 0 v α v n = i + b j + c k 5 Prllelismo di due pini: α : + by + cz + d = 0, α : + b y + c z + d = 0 α α, b, c,, b, c sono proporzionli 6 Prllelismo di un rett e di un pino: = 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt, α : + by + cz + d = 0 r α l + bm + cn = 0 7 Prlellismo di due rette: r : = 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt, r : = 0 + l t y = y 0 + m t z = z 0 + n t r r ; l, m, n, l, m, n sono proporzionli Appendice B - 5

61 8 Angolo cuto fr due rette: se r ed r sono come l n 7 si h cosr b, r = ll + mm + nn l + m + n l + m + n 9 Perpendicolrità di due rette: se r ed r sono come l n 7 si h 0 Angolo cuto fr due pini: r r ; ll + mm + nn = 0 cosα b, α = + bb + cc + b + c + b + c Ortogonlità fr due pini: α : + by + cz + d = 0, α : + b y + c z + d = 0 α α ; + bb + cc = 0 Angolo cuto fr un rett e un pino: sinr b, α = l + bm + cn + b + c l + m + n 3 Ortogonlità tr un rett e un pino: = 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt, + by + cz + d = 0 4 Distnz di un punto d un pino: r α;, b, c, l, m, n sono proporzionli P 0 0, y 0, α : + by + cz + d = 0 dp 0, α = 0 + by 0 + cz 0 + d + b + c 5 Distnz di due pini prlleli: α : + by + cz + d = 0, α : + b y + c z + d = 0 N.B.: le due equzioni di α e α devono differire l più per i termini noti dα, α = d d + b + c Appendice B - 6

62 6 Are di un tringolo P P P 3, con P i i, y i, z i, i =,, 3 : Are di P P P 3 = P P P P 3 = i j k y y z z 3 y 3 y z 3 z 7 Volume di un tetredro TP P P 3 P 4, con Volume di TP P P 3 P 4 = y z y z 6 3 y 3 z 3 4 y 4 z 4 8 Complnrità di 4 punti P i i, y i, z i, i =,, 3, 4 : y z P, P, P 3, P 4 complnri ; y z 3 y 3 z 3 = 0 4 y 4 z 4 9 Rett tngente p 0 un curv C in un suo punto semplice e regolre P 0 : = ft C : y = gt, t I ; P 0 ft0, gt 0, ht 0 ; f t 0, g t 0, h t 0 0, 0, 0 z = ht p 0 : = ft 0 + f t 0 v y = gt 0 + g t 0 v = ht 0 + h t 0 v, v R 0 Pino tngente τ 0 un superficie F in un suo punto semplice e regolre P 0 : F : Φ, y, z = 0, P 0 0, y 0, z 0 F cioè Φ o, y o, z 0 = ΦP 0 = 0 ; Φ P 0, Φ yp 0, Φ zp 0 0, 0, 0 in prticolre, se τ 0 : Φ P Φ yp 0 y y 0 + Φ zp 0 z z 0 = 0 ; F = G F, y : z = F, y cioè se F è l superficie grfico dell funzione di vribili F, y, differenzibile in 0, y 0, si h τ 0 : z = F 0, y 0 + F 0, y F y 0, y 0 y y 0 Appendice B - 7

63 6 Vlori pprossimti di costnti notevoli. π = e = = lim + n n + n = = = = = e π = si trtt di un numero irrzionle trscendente: si osservi che e π π = π e = ncor non si s se questo numero si rzionle o no 0. e e = log 0 = log 0 3 = log 0 e = log 0 π = log 0 = log e 0 = log = log 3 = γ = = lim n log n n + Questo numero è noto come Costnte di Eulero-Mscheroni e ncor non si s se si rzionle o no. 9. e γ = e = π = Γ = Γ è l funzione gmm, definit in Appendice C.. Γ = Γ = Appendice B - 8

64 4. rd = deg = , deg = rd 6. rd = gr 7. gr = rd 8. deg =, = 0 9 gr 9. gr = 0.9 deg = 9 0 deg 30. deg gr = 0 9 Appendice B - 9

65 7 Tvol dei numeri primi minori di Appendice B - 0

66 I numeri primi minori di sono esttmente 9 e nche 9 è un numero primo!. Appendice B -

67 8 I fttorili dei primi 00 numeri nturli I fttorili dei numeri d 30 sono dti in form estt; i fttorili dei numeri d 3 00 sono dti in notzione scientific medinte un numero decimle con 5 cifre decimli estte moltiplicto per un potenz di 0 che ne indic l ordine di grndezz. È chiro che, se rn è l esponente dell potenz di 0 ust per n! d es.: n = 63, rn = 87, n! è espresso, in bse 0, d un disply di rn + cifre d es.: 63! h 87 + = 88 cifre. n n! Appendice B -

68 n n! n n! 3 8, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Appendice B - 3

69 9 Tbell di Coefficienti Binomili n k I coefficienti binomili sono definiti d n n! nn n k + = = k k!n k! k! n =, 0! =. n k Essi ppiono, d esempio, nell formul di Newton per il clcolo dell potenz n-esim di un binomio: n n + b n = nk b k k k 0 Appendice B - 4

70 Tbell di Coefficienti Binomili segue n k Nell tbell precedente, per k > 5, si usi il ftto che n n =, k n k l qul cos può essere gevolmente consttt nelle prime quindici righe dell tbell. Appendice B - 5

71 0 Qudrti e cubi dei primi 00 numeri nturli n n n 3 n n n 3 n n n Appendice B - 6