Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

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Adamo Bruno
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1 Quesiti ord 011 Pagina 1 di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia Quesito 1 Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? sia r il raggio della sfera, indichiamo con x l altezza del cilindro e con R il raggio della base del cilindro. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OBH avremo R = r x Il volume del cilindro sarà V = π ( r x )x Calcoliamo il volume massimo usando la derivata prima V ' = π 4x + ( r x ) = π ( r x ) si ha r x r 0 x = ± Avremo Il volume massimo si ha per Avremo quindi x = r

2 Quesiti ord 011 Pagina di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia r R = r = r La capacità sarà 88π V = π R h = 5,7 litri Quesito Si trovi il punto della curva y = x più vicino al punto di coordinate (4;0) Sia P( t; t ) un punto della curva, la distanza AP sarà d AP t t t t ( ) = ( 4) + = La derivata prima sarà t 7 d ' = 0 t 7t t La distanza è minima per 7 t = Le coordinate di P sono P 7 7 ; Quesito Sia R la regione delimitata dalla curva y = x, dall asse x e dalla retta x = e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all asse y. Si calcoli il volume di W. Si ha x = y = 8

3 Quesiti ord 011 Pagina di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia Il volume richiesto si ottiene dalla differenza fra il volume del cilindro avente raggio di base e altezza 8 e il volume del solido che si ottiene dalla rotazione attorno all asse y della curva x = y Avremo V = Vcil π y dy = π π y dy π π π 0 = = Quesito 4 Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a a. si trovi n. Risolviamo l equazione n n = 4 con n 4 avremo n ( n 1)( n )( n n ( n 1)( n ) = 4!! n = 1 e quindi n = 7 4 Quesito 5

4 Quesiti ord 011 Pagina 4 di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia Si trovi l area della regione delimitata dalla curva radianti. y = cos x e dall asse x da x = 1 a x = L area sarà π π [ ] π 1 [ ] π 1 S = cos xdx cos xdx = sin x sin x = sin1 sin Quesito 6 Si calcoli tg x tg a lim x a x a Avremo H tg x tg a 0 lim = = lim( 1+ tg x) = 1+ tg x a x a 0 x a Quesito 7 a Si provi che l equazione x x + 1 = 0 ha una sola radice compresa fra 1 e 0 Usando il metodo grafico avremo

5 Quesiti ord 011 Pagina 5 di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia y 011 = x e y = Applicando il teorema degli zeri avremo f ( 1) = 000 < 0 f (0) = 1 > 0 Per cui si ha una sola radice compresa tra -1 e 0 Quesito 8 In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è così spesso citato? Il problema della quadratura del cerchio è uno dei problemi classici dell antichità assieme alla duplicazione del cubo e della trisezione dell angolo Nessuno di questi è risolubile con le tecniche della geometria (utilizzando costruzioni che richiedono soltanto la riga e il compasso). La soluzione di questo problema è stata affrontata da Archimede con il metodo di esaustione che consiste nel confrontare l area del poligono circoscritto di n lati e quella del poligono inscritto e stabilire che tendono allo stesso valore. Archimede però non fu in grado di generalizzare questo risultato, anzi fu costretto a calcolarlo solo in m,aniera approssimata utilizzando poligoni con un grande numero di lati (ma non infiniti). Si noti che per risolvere questo problema equivale a calcolare π con numerose cifre decimali. Quesito 9 Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell ipotenusa.

6 Quesiti ord 011 Pagina 6 di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia In un piano, il centro O, punto medio dell ipotenusa è equidistante dai vertici del triangolo rettangolo. Un punto P dello spazio appartenente alla retta perpendicolare al piano del triangolo ABC e passante per O punto medio dell ipotenusa, continua ad essere equidistante dai vertici ABC del triangolo Quesito 9 Dall esame degli zeri, della crescenza e decrescenza e della concavità, l unica risposta accettabile è data dalla D

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