CAP.4. Esempi di strutture

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1 A.4 quiibrio di strutture stto finor considerto equiibrio di corpi rigidi singoi soggetti forze e momenti esterni. i trtt or di esminre i cso di strutture, cioè di insiemi di più corpi rigidi coegti fr oro. In questo cso può essere richiesto di determinre non sotnto e forze esterne genti su struttur m nche e forze (interne) che si scmbino i vri componenti. importnte questo proposito ricordre terz egge di Newton (principio di zione-rezione) che dice che d ogni zione corrisponde un rezione ugue e contrri o neo specifico che e forze di zione e rezione fr corpi in conttto hnno o stesso moduo, stess ine di zione e verso opposto. sempi di strutture Le strutture presentno pertnto vincoi esterni che trsmettono i crichi de struttur teio e vincoi interni che consentono trsmissione di crichi tr eementi stessi de struttur. L esme de probem d punto di vist sttico comport individuzione compet dee rezioni vincori esterne ed interne e termin ne determinzione dee forze che giscono sui singoi corpi rigidi costituenti struttur. Le rezioni vincori interne, d esempio scmbite tr due corpi A e vincoti reciprocmente, se viste come zioni esercitte su struttur gobe sono riconducibii coppie di brccio nuo per i principio di zione e rezione. In genere pertnto i numero di incognite (rezioni vincori) è dto d numero di vincoi (interni ed esterni) e d oro motepicità. er ognuno dei corpi rigidi costituenti struttur è possibie (ne cso pino) scrivere tre condizioni di equiibrio indipendenti. Atre equzioni possono essere scritte considerndo equiibrio de inter struttur o di prti di ess (nche comprendenti più corpi rigidi). Appre evidente che nee equzioni di equiibrio gobe de struttur e rezioni vincori interne non compiono. In genere e equzioni di equiibrio che possimo scrivere non sono tutte indipendenti e cune di esse sono inermente dipendenti de tre. L determinzione dee rezioni vincori, e quindi souzione de probem sttico, è ricondott quindi souzione di un sistem di equzioni ineri in cui e componenti dee rezioni sono e incognite. interessnte questo punto discutere i sistem ottenuto (come già ftto de resto per equiibrio de corpo singoo) richimndo e nozioni di gebr inere note di corsi di mtemtic. noto inftti che possono drsi principmente tre csi: ) i sistem è impossibie (numero di equzioni indipendenti superiore numero di incognite), signific fisicmente che vi sono meno vincoi di qunti necessri per equiibrio: i probem è bie. b) i sistem è determinto ed mmette un unic souzione (numero di incognite pri numero di equzioni indipendenti), d punto di vist sttico i corpo è vincoto in modo necessrio e sufficiente per equiibrio: i probem è isosttico. c) i sistem è indeterminto (numero di equzioni indipendenti inferiore numero dee incognite), signific fisicmente che vi sono più vincoi di qunti necessri per equiibrio: i probem è ipersttico. () (b) sempio di probem ()bie, (b) iso e (c) ipersttico 3 (c)

2 I probemi bii non hnno un grnde significto in sttic in qunto sono retivi situzioni in cui struttur, o prti di ess, possono muoversi sotto crico (sono meccnismi). uesti rgomenti sono sviuppti ne corso do Meccnic. I probemi isosttici sono quei per cui nisi dee forze può essere condott su bse di soe considerzioni di equiibrio e rppresentno un insieme piuttosto vsto di situzioni rei. Nei probemi ipersttici e soe condizioni di equiibrio indicno per e rezioni vincori infinite souzioni. e indichimo con m i numero di equzioni indipendenti e con n i numero di rezioni vincori incognite (n>m), si vrnno (m-n) souzioni o se vogimo m rezioni vincori potrnno essere vutte soo ssegnndo rbitrrimente i vori e rimnenti (n-m) rezioni. In questo cso e (n-m) incognite sono spesso chimte rezioni ipersttiche e i probem si dice (n-m) vote ipersttico. econdo che e rezioni ipersttiche sino tutte interne o tutte esterne i probem viene detto internmente o esternmente ipersttico. truttur ipersttic esternmente truttur ipersttic internmente ome vremo modo di vedere, non è possibie determinre competmente e rezioni vincori nei probemi ipersttici se si mntiene ipotesi di rigidezz degi eementi che compongono struttur. In tri termini si può dire che nei probemi ipersttici e rezioni vincori dipendono d modo con cui gi eementi che compongono struttur si deformno sotto zione dei crichi. eguono esempi di souzione di probemi isosttici pini. s. erificre isostticità de struttur rppresentt in figur. p p Ai fini de ccoo de equiibrio de corpo rigido, un crico distribuito può essere sostituito con un forz pri risutnte e ppict ne bricentro de distribuzione, cioè con pri momento risutnte. i trccino innnzi tutto i digrmmi de corpo ibero per ciscun eemento, ppicndo i principio di zione-rezione per e forze che si scmbino i due eementi i not che si hnno 6 incognite e che si possono scrivere in tutto 6 equzioni di equiibrio (3 per ogni corpo). 3

3 tg tg e, i rngo de mtrice dei coefficienti è 6, cioè pri numero dee incognite ed è quindi soddisftt condizione necessri e sufficiente per isostticità e quindi esistenz e unicità de souzione. s. L trve orizzonte sorregge su estremità un pueggi (priv di ttrito) che devi direzione di un fune di 9. L trve è conness ttrverso cernier trve vertice continu. chem e quote sono riportte in figur (5 cm). eterminre e rezioni vincori esterne e e forze che si scmbino i vri eementi de struttur. A 3 kn kn er determinre e rezioni vincori esterne si trcci i digrmm de corpo ibero de inter struttur, sostituendo i vincoi e corrispondenti rezioni incognite. In prticore si noti che eemento A tro non è che un pendoo orizzonte e quindi può esercitre su struttur soo un forz orizzonte. to che e incognite sono 3 sono sufficienti e equzioni di equiibrio gobe per determinre. 5 5 er determinre e zioni che i vri eementi si scmbino occorre smembrre struttur e trccire i retivi digrmmi de corpo ibero, rispettndo i principio di zionerezione. i noti che per equiibrio de cvo, su tensione srà pri crico esterno che verrà trsmesso ttcco in su coonn. L eemento, essendo un st incerniert e estremità e non crict internmente, per equiibrio rotzione, risuterà crict soo ssimente. 33

4 A questo punto si può pssre determinzione dee forze, imponendo equiibrio dei singoi eementi. rtendo d crruco, d equiibrio orizzonte e vertice risut: Imponendo equiibrio de trve orizzonte si h: 4 3 utte e incognite sono così determinte. enni i probemi di sttic neo spzio L metodoogi sviuppt per i probemi pini può essere direttmente estes i probemi spzii, ricordndo che i numero di grdi di ibertà per un corpo rigido neo spzio è i doppio di queo ne pino. egue un esempio di un sempice struttur sttic spzie. s.3 In figur è schemtizzto un pede di un zionmento cvo. I cvo è ggncito d un perno sbzo su ev. i suppone che perno e berino sino incstrti ne ev de pede, mentre i due cuscinetti A e sino ssimibii uno d un cernier sferic, tro d un cernier pin. i chiede di determinre forz d esercitre su pede per produrre un tensione ne cvo di 4N, e rezioni i cuscinetti e forze e momenti che si scmbino pede e berino incstro. z A 6 3 perno y ev O cvo 4N berino x L forz d esercitre è fcimente determint imponendo equiibrio rotzione ttorno sse x de intero gruppo pede, soggetto e forze, e e rezioni vincori esterne in A e. enendo presente che rezioni dei cuscinetti consistono in due forze incognite con brccio nuo rispetto sse x si h: M Ox cos(3 ) 7.8N Le componenti crtesine dee rezioni dei cuscinetti (3 per A, per ) possono essere determinte trmite e restnti equzioni di equiibrio. Assumendoe dirette ne verso positivo degi ssi, si h X A X A YA Y YA Z A Z Z A 83.9N M Oy Z A Z 6 Y M Oz Y A Y Z 43.9N er determinre e rezioni incstro in O (zioni interne gruppo pede), si può terntivmente considerre equiibrio de berino o de ev. i trcci i digrmm de corpo ibero de berino, soggetto e rezioni dei cuscinetti (note) e e rezioni incstro (incognite). 34

5 Z A Z i vede fcimente che e rezioni d incstro si riducono d un componente vertice e d un coppi ttorno y. Z O Z A Z 67.8N M Oy Z A mm Z mm 4Nm 35