Parallelogrammi e trapezi 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Parallelogrammi e trapezi 1"

Transcript

1 Paraeogrammi e trapezi riconoscere un paraeogramma e individuarne e proprietaá riconoscere paraeogrammi particoari e individuarne e proprietaá riconoscere trapezi e individuarne e proprietaá individuare simmetrie nei quadriateri conoscere e appicare e proprietaá dea corrispondenza paraea di Taete 1 QUADRILATERI E PARALLELOGRAMMI Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 11 I quadriateri Ricordiamo che un quadriatero eá un poigono che ha quattro ati (figura 1) ;in esso n i vertici A e C, B e D si dicono opposti, cosõácome i ati AB e CD, AD e BC n i vertici che appartengono ad uno stesso ato si dicono consecutivi, per esempio A e B oppure A e D sono consecutivi n i ati che hanno un vertice in comune sono consecutivi, per esempio AD e DC n gi angoi i cui vertici sono opposti si dicono opposti, per esempio sono opposti gi angoi DAB d e DCB d n gi angoi che hanno un ato in comune si dicono adiacenti a que ato; per esempio gi angoi ADC d e BCD d sono adiacenti a ato DC, gi angoi BAD d e ADC d sono adiacenti a ato AD. Figura 1 Figura 2 AB k DC ^ AD k BC I paraeogrammi Un paraeogramma eá un quadriatero che ha i ati opposti paraei (figura 2). I paraeogramma eá una figura convessa; e sue proprietaá, ognuna dimostrata di seguito a'enunciato, sono e seguenti. n Ciascuna diagonae o divide in due triangoi congruenti. Infatti (figura 3a), tracciando a diagonae AC, otteniamo i due triangoi ABC e ADC che hanno: i ato AC in comune gi angoi DAC d e ACB d congruenti percheâ aterni interni dee rette paraee AD e CB considerando a retta AC come trasversae LE PROPRIETAÁ Figura 3a Paraeogrammi e trapezi 1

2 gi angoi DCA d e CAB d congruenti percheâ aterni interni dee rette paraee AB e CD considerando ancora a retta AC come trasversae. Per i secondo criterio di congruenza, i due triangoi sono quindi congruenti. In modo anaogo si dimostra che, tracciando 'atra diagonae BD, i triangoi ADB e CBD sono congruenti. n I ati opposti sono congruenti. Questa proprietaá discende immediatamente daa congruenza dei triangoi ABC e ADC (figura 3b): AB DC e AD BC n Gi angoi adiacenti a ciascun ato sono suppementari. Questa proprietaá discende immediatamente daa definizione (figura 3c): ADC d e DCB d sono coniugati interni dee rette paraee AD e BC considerando DC come trasversae e sono quindi suppementari. Anaogamente si dimostra questa prioritaá per e atre coppie di angoi adiacenti. n Gi angoi opposti sono congruenti. Osservando ancora a figura 3c possiamo affermare che gi angoi opposti ADC d e ABC d sono congruenti essendo suppementari deo stesso angoo DAB d (oppure DCB). d Anaogamente sono congruenti gi angoi DAB d e DCB. d n Le diagonai si incontrano ne oro punto medio. Indichiamo con O i punto d'intersezione dee diagonai e consideriamo i triangoi ADO e BCO. Di essi possiamo dire che: AD BC per a seconda proprietaá DAO d OCB d percheâ aterni interni dee rette paraee AD e BC con trasversae AC ADO d OBC d percheâ aterni interni dee rette paraee AD e BC con trasversae DB (figura 3d). Essi sono quindi congruenti per i secondo criterio e in particoare si ha che: AO OC e DO OB Figura 3 b. c. d. Un quadriatero, in base aa definizione data, eá un paraeogramma se ha i ati opposti paraei; i seguente teorema ci daá poi uteriori criteri per riconoscere i paraeogrammi. Teorema. Un quadriatero convesso eá un paraeogramma se ha: n i ati opposti congruenti, oppure n gi angoi opposti congruenti, oppure n e diagonai che si incontrano ne punto medio, oppure n una coppia di ati opposti congruenti e paraei. Dimostrazione. n Con riferimento aa figura 4a, tracciamo a diagonae BD e consideriamo i triangoi ABD e CBD; essi hanno AB CD e AD BC per ipotesi ed i ato BD in comune e sono quindi congruenti per i terzo criterio. In particoare: sono congruenti gi angoi ADB d e DBC d e possiamo concudere che sono paraee e rette AD e BC; COME RICONOSCERE SE UN QUADRILATERO EÁ UN PARALLELOGRAMMA Figura 4a 2 Paraeogrammi e trapezi

3 sono congruenti gi angoi ABD d e CDB d e possiamo concudere che sono paraee e rette AB e CD. In base aa definizione, i quadriatero ABCD eá dunque un paraeogramma. n Sappiamo che a somma degi angoi interni di un quadriatero convesso eá congruente a due angoi piatti (2), quindi (figura 4b): ba bb C b D b 2 Ma, per ipotesi, A b C b e bb D, b quindi A b bb C b D b. Gi angoi A b e bb sono quindi suppementari e percioá e rette AD e BC sono paraee; anaogamente sono suppementari gi angoi C b e bb e e rette AB e CD sono anch'esse paraee. ABCD eá dunque un paraeogramma. n Supponiamo che sia AO OC e BO OD (figura 4c); essendo anche AOD d BOC d percheâ opposti a vertice, i due triangoi AOD e BOC sono congruenti per i primo criterio, quindi, in particoare AD BC. In modo de tutto anaogo, anche i triangoi AOB e DOC sono congruenti e percioá AB CD. Avendo i ati opposti congruenti, in base aa prima dimostrazione, i quadriatero ABCD eá un paraeogramma n Supponiamo che sia AD k BC e AD BC e consideriamo i triangoi ABC e ADC che hanno (figura 4d): AD BC per ipotesi i ato AC in comune gi angoi DAC d e BCA d congruenti percheâ aterni interni dee rette AD e BC paraee per ipotesi. Essi sono dunque congruenti per i primo criterio e, in particoare, AB CD; avendo i ati opposti congruenti ABCD eá un paraeogramma. Figura 4 b. c. d. 1. Disegniamo un paraeogramma ABCD, prendiamo un punto S su ato AB e un punto T su ato CD in modo che sia AS CT. Vogiamo dimostrare che i quadriatero SBTD eá un paraeogramma. Figura 5 Hp. ABCD eá un paraeogramma AS CT Th. SBTD eá un paraeogramma (figura 5) Dimostrazione. Sappiamo che: AB DC percheâ ati opposti de paraeogramma ABCD AS CT per ipotesi SB DT per differenza di segmenti congruenti Inotre SB k DT percheâ segmenti che appartengono ai ati AB e DC de paraeogramma ABCD. Aora i quadriatero SBTD ha una coppia di ati opposti congruenti e paraei ed eá percioá un paraeogramma. Paraeogrammi e trapezi 3

4 2 PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI Fra tutti i paraeogrammi ve ne sono acuni che presentano dee caratteristiche in piuá rispetto ai paraeogrammi comuni: i rettangoo, i rombo e i quadrato. Vediamo come possiamo definiri e quai sono e oro pecuiaritaá. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 15 Figura 6 I rettangoo Si chiama rettangoo un paraeogramma che ha tutti gi angoi congruenti (figura 6). In base a questa definizione possiamo dire che, poicheâ gi angoi adiacenti di un paraeogramma sono suppementari e due angoi suppementari e congruenti sono retti, gi angoi di un rettangoo sono tutti retti. Come tutti i paraeogrammi, i rettangoo ha i ati opposti congruenti e paraei e gode di tutte e atre proprietaá dei paraeogrammi; in piuá ha a seguente proprietaá: n un rettangoo ha e diagonai congruenti. Basta infatti osservare che i triangoi ADC e BDC sono congruenti percheâ rettangoi con i cateti congruenti (figura 7)e che quindi AC DB. Per riconoscere se un quadriatero eá un rettangoo bisogna innanzi tutto verificare che si tratti di un paraeogramma in uno dei modi visti ne paragrafo precedente; stabiito cioá, si puoá procedere in uno dei seguenti modi: n verificare che ci sia ameno un angoo retto In questo modo infatti anche gi atri angoi sono retti ed eá quindi rispettata a definizione di rettangoo. n verificare che e diagonai siano congruenti. In questo modo (puoi riferirti ancora aa figura 7)i triangoi ADC e BDC sono congruenti per i terzo criterio (i tre ati sono ordinatamente congruenti); anche gi angoi ADC d e BCD d sono quindi congruenti e poicheâ sono suppementari sono anche retti. DEFINIZIONE DI RETTANGOLO Figura 7 Figura 8 I rombo Si chiama rombo un paraeogramma con tutti i ati congruenti (figura 8). DEFINIZIONE DI ROMBO Un rombo possiede tutte e proprietaá di un paraeogramma; inotre: n un rombo ha e diagonai che sono fra oro perpendicoari e bisettrici degi angoi opposti. Basta infatti osservare che i triangoi ABC e ADC sono isoscei (figura 9)cosõÁ come i triangoi ADB e CDB e che, essendo DB e AC e mediane di tai triangoi, esse sono anche atezze e bisettrici. Figura 9 Per riconoscere se un quadriatero eá un rombo bisogna innanzi tutto verificare che sia un paraeogramma; successivamente si puoá procedere in uno dei seguenti modi: 4 Paraeogrammi e trapezi

5 n verificare che abbia due ati consecutivi congruenti. In questo modo, infatti, tutti i ati diventano congruenti fra oro e viene appicata a definizione. n verificare che e diagonai siano fra oro perpendicoari. In questo modo i triangoi rettangoi AOB, BOC, DOC, DOA sono tutti congruenti percheâ hanno i cateti ordinatamente congruenti (figura 10a) e si ha che AB BC DC AD. n verificare che una diagonae sia bisettrice degi angoi cui si riferisce. Infatti, supposto che ABD d CBD, d e quindi anche ADB d BDC, d i quattro angoi ABD, d CBD, d ADB, d BDC d sono congruenti percheâ metaá di angoi congruenti (figura 10b); i triangoi ADB e BDC sono percioá isoscei e congruenti per i secondo criterio e quindi AB BC DC AD. Figura 10 a. b. I quadrato Si dice quadrato un paraeogramma che ha tutti i ati congruenti e tutti gi angoi congruenti (figura 11a). DEFINIZIONE DI QUADRATO Daa definizione si deduce che un quadrato eá contemporaneamente un rettangoo e un rombo; di conseguenza, otre a tutte e proprietaá dei paraeogrammi, ha anche tutte e proprietaá dei rettangoi e dei rombi e cioeá (figura 11b): n e diagonai sono congruenti, sono perpendicoari, sono bisettrici degi angoi. Figura 11 a. b. Per riconoscere se un quadriatero eá un quadrato, dopo aver verificato che si tratta di un paraeogramma, abbiamo aora e seguenti possibiitaá: n verificare che ci siano due ati consecutivi congruenti e che ci sia un angoo retto Paraeogrammi e trapezi 5

6 n verificare che e diagonai siano congruenti e perpendicoari n verificare che e diagonai siano congruenti e che una di esse sia bisettrice degi angoi ai quai si riferisce. 3 IL TRAPEZIO Un atro quadriatero che eá interessante studiare (o vediamo anche nea forma dei tetti di acune case)eá i trapezio che definiamo in questo modo. Un trapezio eá un quadriatero che ha due ati paraei. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 19 DEFINIZIONE DI TRAPEZIO I ati paraei di un trapezio si dicono basi, gi atri due ati si dicono obiqui; si dice inotre atezza de trapezio a distanza fra e due basi (figura 12). I trapezi si possono cassificare in reazione ae caratteristiche dei ati obiqui; in particoare (figura 13): se i ati obiqui sono disuguai i trapezio si dice scaeno se sono congruenti si dice isoscee se uno dei ati obiqui eá perpendicoare ae basi i trapezio si dice rettangoo. Figura 12 Figura 13 trapezio scaeno trapezio isoscee trapezio rettangoo Anche un paraeogramma, avendo due ati opposti paraei, puoá essere considerato un particoare trapezio; ne seguito tuttavia, parando di trapezi, escuderemo questo caso particoare. I trapezio non ha particoari proprietaá se non quee che derivano da'avere due ati paraei: n gi angoi adiacenti a ciascuno dei ati obiqui sono suppementari. Infatti (osserva ancora a figura 13)essi sono in ogni caso coniugati interni: BAD d ADC d ˆ e ABC d BCD d ˆ Se invece i trapezio eá isoscee, e soo in questo caso, si evidenziano acune proprietaá: n gi angoi adiacenti a ciascuna base sono congruenti (figura 14); Infatti, se tracciamo e atezze uscenti dai vertici A e B (i due segmenti sono congruenti percheâ rappresentano a distanza fra e rette paraee dee basi), i triangoi ADK e BCH (figura 14)sono congruenti percheâ hanno 'ipotenusa ed un cateto congruenti; di conseguenza anche gi angoi di vertici D e C sono congruenti. Inotre A b bb percheâ suppementari di angoi congruenti. LE PROPRIETAÁ DEL TRAPEZIO ISOSCELE Figura 14 6 Paraeogrammi e trapezi

7 n e diagonai sono congruenti (figura 15); Infatti (figura 15), i triangoi ADC e DCB sono congruenti per i primo criterio (DC eá in comune ai due triangoi, AD BC per ipotesi e ADC d BCD d per a proprietaá precedente)e in particoare AC DB. Queste proprietaá possono essere invertite diventando un criterio per riconoscere se un trapezio eá isoscee. Un trapezio eá isoscee se: n gi angoi adiacenti ad una base sono congruenti. Infatti (figura 16a), se dai vertici A e B tracciamo e perpendicoari aa base maggiore DC, i triangoi rettangoi ADH e BCK hanno gi angoi di vertici D e C congruenti per ipotesi e i segmenti AH e BK congruenti percheâ ati opposti de rettangoo ABKH; i due triangoi sono quindi congruenti e percioá AD BC. n e diagonai sono congruenti. Infatti (figura 16b), se di nuovo dai vertici A e B tracciamo e perpendicoari aa base DC, i triangoi AHC e BKD sono congruenti (hanno 'ipotenusa e un cateto ordinatamente congruenti)e in particoare sono congruenti gi angoi ACH d e BDK; d i triangoi ACD e BCD sono aora congruenti per i primo criterio (AC BD per ipotesi, DC in comune e ACH d BDK)e d quindi AD BC. Figura 15 Figura 16 a. b. 4 LA CORRISPONDENZA DI TALETE Sappiamo che un fascio di rette paraee eá 'insieme di tutte e soe e rette che hanno a stessa direzione e che, se una retta interseca una di queste paraee, aora interseca tutte e atre, cioeá eá una trasversae ditutteerettede fascio. Consideriamo dunque un fascio di rette paraee e tagiamoo con due trasversai r e r 0 come in figura 17; si vengono in questo modo a determinare acuni punti sua prima trasversae ed atrettanti sua seconda che sono e intersezioni dee rette de fascio con e trasversai. Fra i punti dea trasversae r e quei dea trasversae r 0 si viene cosõá a stabiire una corrispondenza biunivoca che associa i punto A 0 ad A, i punto B 0 a B, i punto C 0 a C e cosõávia. Tae corrispondenza si chiama corrispondenza paraea di Taete. Se esiste corrispondenza biunivoca fra i punti dee due trasversai, esiste corrispondenza biunivoca anche fra i segmenti che hanno per estremi questi punti; per esempio, facendo ancora riferimento aa figura 17, si ha che i segmento A 0 B 0 eá i corrispondente di AB, i segmento B 0 D 0 eá i corrispondente di BD, i segmento C 0 D 0 eá i corrispondente di CD e cosõá via. In generae non vi eá acuna reazione fra un segmento ed i suo corrispondente: savo casi particoari, AB non eá congruente ad A 0 B 0, i due segmenti non sono paraei e non sono perpendicoari e questo per ogni coppia di segmenti che si corrispondono. Se peroá capita che due segmenti sua prima trasversae sono congruenti, aora possiamo dire che anche i oro corrispondenti o sono; vae infatti i seguente teorema. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 21 Figura 17 Paraeogrammi e trapezi 7

8 Teorema (dea corrispondenza di Taete). Dato un fascio di rette paraee, tagiato da due trasversai, se sua prima trasversae si individuano due segmenti congruenti, aora anche i oro corrispondenti sua seconda trasversae sono congruenti. Figura 18 Hp. a k b k c k d k ::::: AB CD Th. A 0 B 0 C 0 D 0 (figura 18) Dimostrazione. Tracciamo i due segmenti AE e CF paraei aa trasversae r 0 ; i quadriateri AA 0 B 0 E e CC 0 D 0 F, avendo i ati opposti paraei, sono dei paraeogrammi, quindi AE A 0 B 0 e CF C 0 D 0. Consideriamo adesso i triangoi ABE e CDF ; essi hanno: AB CD ABE d CDF d d BAE d DCF per ipotesi percheâ angoi corrispondenti dee rette paraee b e d tagiate daa trasversae r percheâ angoi corrispondenti dee rette paraee AE e CF tagiate daa trasversae r I due triangoi sono congruenti per i secondo criterio ed in particoare AE CF. Aora AE A 0 B 0, CF C 0 D 0, AE CF, quindi, per a proprietaá transitiva dea congruenza, A 0 B 0 C 0 D 0. Questo teorema eá importante per e sue conseguenze appicate ai triangoi; si verifica infatti che: n se per i punto medio di un ato di un triangoo si traccia a paraea ad un atro ato, questa tagia i terzo ato ne suo punto medio. Infatti, tracciata da M a paraea a ato BC e considerato i fascio di rette di direzione BC (figura 19),seAM MB, anche AS SC. n Viceversa, se si congiungono i punti medi di due ati di un triangoo, i segmento ottenuto eá paraeo a terzo ato ed eá inotre congruente aa sua metaá. Infatti, indicati con M e N i punti medi di AC e AB e tracciata da M a paraea a ato BC, essa interseca i ato AB ne suo punto medio S (figura 20); quindi, visto che i punto medio di un segmento eá unico, N coincide con S e percioá, se si uniscono i punti medi di due ati, i segmento che si ottiene eá paraeo a terzo ato. Inotre, se da S tracciamo a paraea ad AC, i punto T di intersezione con i ato BC eá punto medio di tae ato, quindi CT TB. Ma i quadriatero MSTC eá un paraeogramma e percioá MS CT. Ne consegue che, essendo Figura 19 LE CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI TALETE Figura 20 Figura 21 CT 1 2 CB, MS 1 2 CB. In modo de tutto anaogo, si dimostra inotre che: n i segmento che congiunge i punti medi dei ati obiqui di un trapezio eá paraeo ae basi e congruente aa oro semisomma (figura 21). 8 Paraeogrammi e trapezi

9 La corrispondenza di Taete non afferma che sue due trasversai i segmenti che si corrispondono sono congruenti, come si puoá vedere immediatamente daa figura 22. I soi casi in cui accade che AB A 0 B 0 e, di conseguenza e stesse congruenze si verificano per tutte e atre coppie di segmenti corrispondenti, si verificano quando: e due trasversai formano angoi congruenti con e paraee de fascio (figura 23a), percheâ si vengono a formare tanti trapezi isoscei; e due trasversai sono paraee (figura 23b), percheâ si vengono a formare tanti paraeogrammi. Figura 22 Figura 23 a. b. 5 PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E ISOMETRIE Un paraeogramma ABCD ha e diagonai che si tagiano ne punto medio O; possiamo quindi dire che i punti A e C sono simmetrici rispetto ad O, cosõácome i punti B e D (figura 24): n un paraeogramma ha quindi un centro di simmetria che eá i punto d'intersezione dee diagonai. Non ha peroá assi di simmetria a meno che si tratti di un paraeogramma particoare. I paraeogrammi particoari, cioeá i rettangoo, i rombo e i quadrato, otre ad avere un centro di simmetria, hanno anche assi di simmetria. n Un rettangoo ha due assi di simmetria: e rette che passano per i punti medi dei ati opposti (figura 25a). Infatti, indicata con s a retta asse di simmetria de ato AB, si ha che B ˆ S A, BC ˆ S AD percheâ BC k AD e BC AD, quindi C ˆ S D e percioá s eá anche asse di simmetria de ato DC. Anaogamente a retta r, asse di simmetria de ato AD, eá anche asse di BC. n Un rombo ha due assi di simmetria: e rette dee diagonai (figura 25b). Infatti, nea simmetria di asse r i punti B e D sono punti uniti e C ˆ r A percheâ AC? r e AO OC. Anaogamente, anche a retta s eá asse di simmetria. n Un quadrato, essendo contemporaneamente un rettangoo ed un rombo, ha quattro assi di simmetria: e rette che passano per i punti medi dei ati opposti e e rette dee diagonai (figura 25c di pagina seguente). Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 23 Figura 24 Figura 25 a. b. Paraeogrammi e trapezi 9

10 Di un paraeogramma, e quindi anche di un paraeogramma particoare, possiamo poi dire che: n una coppia di ati paraei si corrisponde nea trasazione che ha come vettore 'atro ato: con riferimento aa figura 26, i ato DC corrisponde a ato AB nea trasazione di vettore AD ƒ!, i ato BC corrisponde a ato AD nea ƒ! trasazione di vettore AB. Figura 25c. Figura 26 I trapezio non presenta particoari isometrie a meno che sia isoscee; in questo caso infatti: n a retta che passa per i punti medi dee basi eá asse di simmetria (figura 27). Poiche AH HB e DK KC, basta dimostrare che HK eá perpendicoare ae basi de trapezio. Osserviamo aora che i quadriateri AHKD e BHKC sono congruenti percheâ hanno tutti i ati ordinatamente congruenti e HAD d HBC d e ADK d BCK d. Anche gi angoi AHK d e BHK d sono quindi congruenti e percioá retti, cosõácome gi angoi DKH d e CKH; d HK eá quindi asse di simmetria per i trapezio. Figura 27 Un paraeogramma generico ha un centro di simmetria, ma, come giaá detto, non ha assi di simmetria, quindi non sono assi di simmetria: e diagonai (figura 28a): i punti B e D non sono simmetrici rispetto aa diagonae AC e rette che passano per i punti medi di due ati opposti (figura 28b): i punti A e B non sono simmetrici rispetto aa retta r, cosõá come C e D. Figura 28a Inotre e diagonai non sono bisettrici degi angoi (figura 28c): gi angoi BAC d e CAD d non sono congruenti. Figura 28 b. c. 10 Paraeogrammi e trapezi

I primi elementi e i triangoli

I primi elementi e i triangoli MATEMATICAperTUTTI I triangoi 1 ESERCIZIO SVOLTO I primo criterio di congruenza. I confronto fra figure geometriche è un operazione che ricorre spesso in geometria, speciamente i confronto fra triangoi.

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli AB // DC AD // BC Teorema : se ABCD è un parallelogramma allora ciascuna diagonale lo

Dettagli

Anno 1. Quadrilateri

Anno 1. Quadrilateri Anno 1 Quadrilateri 1 Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere i problemi legati all utilizzo dei quadrilateri. Forniremo la definizione di quadrilatero e ne analizzeremo le proprietà e le

Dettagli

CONOSCENZE 1. il concetto di parallelismo e. e perpendicolari. 2. la proiezione di un segmento

CONOSCENZE 1. il concetto di parallelismo e. e perpendicolari. 2. la proiezione di un segmento GEOMETRIA PREREQUISITI conoscere e caratteristiche de sistema decimae conoscere e proprietaá dee quattro operazioni e operare con esse operare con e misure angoari conoscere gi enti dea geometria e e oro

Dettagli

MAPPA 1 FIGURE. Figure geometriche: idee, misure, strumenti. Figure geometriche Una figura geometrica è un insieme di punti.

MAPPA 1 FIGURE. Figure geometriche: idee, misure, strumenti. Figure geometriche Una figura geometrica è un insieme di punti. MPP 1 Figure Figure geometriche Una figura geometrica è un insieme di punti. Figure piane e figure soide Una figura i cui punti appartengono tutti ao stesso piano si chiama piana. Una figura i cui punti

Dettagli

C6. Quadrilateri - Esercizi

C6. Quadrilateri - Esercizi C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono

Dettagli

ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI

ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti. Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare

Dettagli

Cap 1. I PRIMI ELEMENTI

Cap 1. I PRIMI ELEMENTI Cap 1. I PRIMI ELEMENTI Rivedi a teoria I termini primitivi In quasiasi discipina non si puoá definire tutto e non si puoá dimostrare tutto; eá necessario introdurre acuni oggetti (termini primitivi) e

Dettagli

Il Tetraedro regolare

Il Tetraedro regolare I Tetraedro regoare E i soido che ha per facce 4 triangoi equiateri, (F = 4) Ha 6 spigoi (S = 6) e 4 vertici (V = 4) I suo sviuppo è i seguente: Chiuso diventa: Le proiezioni possibii sono: I suoi assi

Dettagli

Proprietà dei triangoli e criteri di congruenza

Proprietà dei triangoli e criteri di congruenza www.matematicamente.it Proprietà dei triangoli 1 Proprietà dei triangoli e criteri di congruenza Nome: classe: data: 1. Relativamente al triangolo ABC in figura, quali affermazioni sono vere? A. AH è altezza

Dettagli

ALGEBRA. Dopo avere ripassato:

ALGEBRA. Dopo avere ripassato: ALGEBRA Dopo avere ripassato: la divisione tra polinomi, le tecniche di scomposizione, la procedura di somma di frazioni algebriche, la risoluzione di equazioni intere e fratte, svolgi i seguenti esercizi:

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Triangoli - I triangoli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Triangoli - I triangoli I triangoli Definizione: un triangolo è l insieme dei punti del piano costituiti da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni. A, B, C vertici del triangolo α, β, γ angoli interni AB,

Dettagli

FLATlandia. "Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott) Flatlandia ottobre Commento alle soluzioni ricevute

FLATlandia. Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo (Edwin A. Abbott) Flatlandia ottobre Commento alle soluzioni ricevute FLATlandia "Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott) Flatlandia 12-26 ottobre 2015 - Commento alle soluzioni ricevute Il testo del problema Commento Sono giunte sette risposte, da

Dettagli

I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI

I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI 1. Il parallelogramma ESERCIZI 1 A Disegna un parallelogramma ABCD, la diagonale BD e i segmenti AK e CH, perpendicolari a BD. Dimostra che il quadrilatero AHCK è un parallelogramma.

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente

Dettagli

Rette, piani e figure nello spazio

Rette, piani e figure nello spazio Rette, piani e figure neo spazio Obiettivi individuare a posizione reciproca di rette e piani neo spazio appicare isometrie, omotetie e simiitudini neo spazio conoscere e caratteristiche dei poiedri e

Dettagli

I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo

I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME............................... ME............................. Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono

Dettagli

VERIFICA DI GEOMETRIA

VERIFICA DI GEOMETRIA NOME...T... VERIFI I GEOMETRI 1) Indica con una crocetta se vero o faso: I trapezi anno tutti i ati opposti paraei. I paraeogrammi anno i ati opposti uguai e paraei. Un triangoo equiatero è un poigono

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria equivalenza fra parallelogrammi 1 2 3 4 Dimostra che, fra tutti i rettangoli equivalenti, il quadrato è quello che ha perimetro minimo. Dimostra che ogni quadrato è equivalente alla metà del quadrato costruito

Dettagli

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio. TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.

Dettagli

C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi

C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi ESERCIZI SU TEOREMA DI TALETE, TEOREMA DELLA BISETTRICE Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono. 1) Se AB=2, BC=4 e EF=3 trovare

Dettagli

Equivalenza, misura di grandezze e aree

Equivalenza, misura di grandezze e aree MATEMATICAperTUTTI Equivalenza, misura di grandezze e aree 1 ESERCIZIO GUIDATO L equivalenza dei poligoni. Sappiamo che per stabilire se due figure sono equivalenti si può vedere se sono equiscomponibili,

Dettagli

Lezione 3. Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Lezione 3. Angoli al centro e angoli alla circonferenza Lezione 3. Angoli al centro e angoli alla circonferenza 1 Angoli in una circonferenza La proprietà illustrata dalle proposizioni 0, 1 e 3 del terzo libro degli Elementi si riferisce a una delle caratteristiche

Dettagli

CAP.2:ITRIANGOLI GEOMETRIA 1 - AREA 3 I TRIANGOLI E LA LORO CLASSIFICAZIONE. richiami della teoria COMPRENSIONE DELLA TEORIA

CAP.2:ITRIANGOLI GEOMETRIA 1 - AREA 3 I TRIANGOLI E LA LORO CLASSIFICAZIONE. richiami della teoria COMPRENSIONE DELLA TEORIA GEOMETRIA 1 - AREA 3 CAP.2:ITRIANGOLI I TRIANGOLI E LA LORO CLASSIFICAZIONE richiami della teoria n In un triangolo ogni lato eá minore della somma degli altri due ed eá maggiore della loro differenza;

Dettagli

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 1. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI 1 A Disegna un triangolo ABC di altezza CH relativa ad AB. Fissa un segmento ED minore di CH. Determina il

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 2 3 applicazioni al triangolo rettangolo Calcola il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che l ipotenusa e l altezza ad essa relativa sono lunghe rispettivamente 3 cm e 16,8 cm. [8 cm;

Dettagli

In un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo

In un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo In un triangolo si dice altezza relativa a un lato il segmento di perpendicolare al lato condotta dal vertice opposto. Si dice mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato

Dettagli

LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.

LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra

Dettagli

Cap. 11 I Quadrilateri

Cap. 11 I Quadrilateri Cap. 11 I Quadrilateri Definizione di quadrilatero Si definisce quadrilatero un poligono di 4 lati Definizione di poligono Definiamo poligono una porzione di piano delimitata da una spezzata chiusa Gli

Dettagli

C5. Triangoli - Esercizi

C5. Triangoli - Esercizi C5. Triangoli - Esercizi DEFINIZIONI 1) Dato il triangolo in figura completare al posto dei puntini. I lati sono i segmenti,, Gli angoli sono,, Il lato AB e l angolo sono opposti Il lato AB e l angolo

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 3 4 5 6 7 8 9 Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30, il cateto minore misura 6 m. Calcola il perimetro e l area del triangolo. [8,39 m; 31,18 m ] Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto

Dettagli

1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati

1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati 1 L omotetia DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A tale che

Dettagli

1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi.

1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi. Dimostrazioni Risoluzione 1) Le circonferenze Γ e Γ' (e Γ'') sono tangenti P appartiene alla retta tangente comune t PA, PB (e PB*) sono tangenti PA = PB (= PB*) Non ha importanza se le due circonferenze

Dettagli

Le sezioni piane del cubo

Le sezioni piane del cubo Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre 006 1 Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO GEOMETRIA LA CIRCONERENZA E IL CERCHIO PREREQUISITI l conoscere le proprietaá delle quattro operazioni e operare con esse l conoscere gli enti fondamentali della geometria e le loro proprietaá l possedere

Dettagli

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Per ricordare H Consideriamo una retta orientata r, fissiamo su di essa un punto O e prendiamo un segmento u come unitaá di misura; consideriamo un punto

Dettagli

> ; >0 ; 2 >0 ; 2 <0 ; <0 , 2 7

> ; >0 ; 2 >0 ; 2 <0 ; <0 , 2 7 Esercizi per la prova scritta Disequazioni + Geometria 1 1. La disequazione > ha per soluzione: > ; >0 ; 2>0 ; 2 4+4 1+31 3

Dettagli

I TRIANGOLI ESERCIZI. compreso tra.. e...

I TRIANGOLI ESERCIZI. compreso tra.. e... I TRIANGOLI ESERCIZI 1. Considerazioni generali sui triangoli Osserva la figura e poi completa le frasi a lato. 1 A Il punto. è il vertice opposto al lato AC, mentre il punto C è il vertice. al lato AB.

Dettagli

Unità Didattica N 25 Quadrilateri particolari

Unità Didattica N 25 Quadrilateri particolari Unità idattica N 25 Quadrilateri particolari 41 Unità idattica N 25 Quadrilateri particolari 01) efinizione di quadrilatero 02) efinizione di parallelogrammo 03) Teoremi diretti sul parallelogrammo 04)

Dettagli

è un parallelogrammo Dimostrazione Per dimostrare che AA 1 BB 1 è un parallelogrammo occorre dimostrare che ha i lati opposti paralleli, cioè che:

è un parallelogrammo Dimostrazione Per dimostrare che AA 1 BB 1 è un parallelogrammo occorre dimostrare che ha i lati opposti paralleli, cioè che: PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI Problema 2.296.5 Siano date due rette parallele a e b, tagliate da una trasversale r rispettivamente nei punti A e B. Si prendano su a e b, da una stessa parte rispetto ad r,

Dettagli

la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R.

la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R. Data la funzione f (x)=a x 3 +b, trova per quali valori di a e di b il grafico di f (x) passa per i punti (; 1) e ( ; 4). Rappresenta f (x), indicandone il dominio e il codominio. Troca i punti di intersezione

Dettagli

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE. Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti

Dettagli

Unità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli

Unità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli 10 Unità Didattica N 22 I triangoli U.D. N 22 I triangoli 01) Il triangolo ed i suoi elementi 02) Uguaglianza di due triangoli 03) Primo criterio di uguaglianza dei triangoli 04) Secondo criterio di uguaglianza

Dettagli

GEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P

GEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non

Dettagli

Anno 2. Criteri di similitudine dei triangoli

Anno 2. Criteri di similitudine dei triangoli Anno 2 Criteri di similitudine dei triangoli 1 Introduzione In questa lezione imparerai a riconoscere i triangoli simili considerando alcune particolari caratteristiche che essi presentano. Al termine

Dettagli

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI TEST 1 In figura sono disegnati l angolo aob e il segmento PQ, perpendicolare al lato Oa e tale che PH sia congruente a HQ. Il luogo geometrico dei

Dettagli

C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi

C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dare la definizione di luogo geometrico. 2) Indicare almeno due luoghi geometrici. 3) Dare la definizione di asse di un segmento come

Dettagli

Le isometrie Capitolo

Le isometrie Capitolo Le isometrie Capitolo Simmetria centrale e assiale erifica per la classe prima COGNOME............................... NOME............................. Classe.................................... Data...............................

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. Legenda: l = lato. a, b, c = dimensioni d1, d2 oppure d, D = diagonali 2P = perimetro r = raggio π (pi greco) = 3,14 b

GEOMETRIA PIANA. Legenda: l = lato. a, b, c = dimensioni d1, d2 oppure d, D = diagonali 2P = perimetro r = raggio π (pi greco) = 3,14 b GEOMETRIA PIANA Legenda: A = area h = atezza = ato = ase o ase minore B = ase maggiore a,, c = dimensioni d1, d oppure d, D = diagonai P = perimetro r = raggio π (pi greco) = 3,14 d a A P d h r B D d c

Dettagli

Anno 2. Poligoni inscritti e circoscritti: proprietà e teoremi sui poligoni principali

Anno 2. Poligoni inscritti e circoscritti: proprietà e teoremi sui poligoni principali Anno 2 Poligoni inscritti e circoscritti: proprietà e teoremi sui poligoni principali 1 Introduzione In questa lezione tratteremo i poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza, descrivendone

Dettagli

1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione

1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione 1 La traslazione Per poter applicare una traslazione ad una generica figura geometrica si deve: ± creare il vettore di traslazione AB mediante il comando Vettore tra due punti; ± cliccare con il mouse

Dettagli

Costruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )

Costruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi ) Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente

Dettagli

CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO

CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO Appunti di geometria ASSIOMI 15. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza 16. Tutte le rette del piano sono congruenti tra loro; così come tutti i piani,

Dettagli

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD.

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l area del quadrilatero ABCD. Esercizio 1a Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell ordine dato: Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue

Dettagli

lato obliquo trapezio isoscele Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Ogni parallelogramma ha... D α + β π

lato obliquo trapezio isoscele Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Ogni parallelogramma ha... D α + β π Ripasso Scheda per il recupero Trapezi e parallelogrammi OMNE he cos è un trapezio? RISOSTE Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli: i lati paralleli si chiamano basi del

Dettagli

1 L'omotetia. 2 Il teorema del rapporto dei perimetri e delle aree di due triangoli simili

1 L'omotetia. 2 Il teorema del rapporto dei perimetri e delle aree di due triangoli simili 1 L'omotetia Per definire un'omotetia bisogna disegnare una generica figura nel piano (nel nostro caso utilizzeremo un triangolo), un punto (il centro dell'omotetia) e un numero (il rapporto k dell'omotetia).

Dettagli

Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa.

Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa. Costruzioni Costruzioni di rette, segmenti ed angoli Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa. Costruzione. Consideriamo la retta r ed un punto

Dettagli

LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO n.1 Un eemento primitivo: o spazio. Lo spazio è caratterizzato dai seguenti assiomi: Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani. Ogni piano divide o spazio

Dettagli

C7. Circonferenza e cerchio

C7. Circonferenza e cerchio 7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio

Dettagli

CONOSCENZE 1. le proprietaá dei poligoni inscritti. 2. le proprietaá dei quadrilateri inscritti e circoscritti 3. le proprietaá dei poligoni regolari

CONOSCENZE 1. le proprietaá dei poligoni inscritti. 2. le proprietaá dei quadrilateri inscritti e circoscritti 3. le proprietaá dei poligoni regolari GEOMETRIA I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI PREREQUISITI l l l l conoscere le proprietaá delle quattro operazioni e operare con esse conoscere gli enti fondamentali della geometria e le loro proprietaá

Dettagli

Triangolo rettangolo

Triangolo rettangolo Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa

Dettagli

Per finire verranno dedicate due ore ad una verifica sommativa, della quale viene data una proposta. E importante notare che alla fine di ogni

Per finire verranno dedicate due ore ad una verifica sommativa, della quale viene data una proposta. E importante notare che alla fine di ogni 1 Premessa Questa Unità Didattica rientra nel modulo della Geometria del Piano, è articolata in quattro lezioni; tratta di similitudine tra triangoli, ed in generale di poligoni simili. E pensata per una

Dettagli

I quadrati sono 5. Esercizio pagina 198 numero 119 Calcola la misura del perimetro dell'area del trapezio in figura

I quadrati sono 5. Esercizio pagina 198 numero 119 Calcola la misura del perimetro dell'area del trapezio in figura Considera il piano cartesiano. Quanti sono i quadrati aventi un vertice in (-1;-1) e tali che uno degli assi coordinati sia asse di simmetria del quadrato stesso? I quadrati sono 5 Esercizio pagina 198

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria 1 2 6 7 9 Calcola la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 11,2 cm e 1 cm. [1,7 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura cm, un cateto è dell ipotenusa. Calcola

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso

Dettagli

Le caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni

Le caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono

Dettagli

Elementi di Geometria euclidea

Elementi di Geometria euclidea Elementi di Geometria euclidea Proprietà dei triangoli isosceli Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti, l eventuale lato non congruente si chiama base, i due lati congruenti si dicono lati

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Abbiamo visto come, fissato un sistema di riferimento, a ciascun punto sia possibile associare una coppia ordinata di numeri reali (le sue coordinate). Se adesso consideriamo

Dettagli

C2 Congruenza - Esercizi

C2 Congruenza - Esercizi C Congruenza - Esercizi COSTRUZIONI 1) Disegnare un segmento congruente al segmento dato contando i quadretti. ) Disegnare un segmento congruente al segmento dato utilizzando riga e compasso (costruzione

Dettagli

Anno 2. Equivalenza fra triangoli, parallelogramma e trapezio

Anno 2. Equivalenza fra triangoli, parallelogramma e trapezio Anno 2 Equivalenza fra triangoli, parallelogramma e trapezio 1 Introduzione In questa lezione parleremo dell equivalenza tra alcune figure piane; in particolare parleremo di triangoli, trapezi e parallelogrammi.

Dettagli

La circonferenza e il cerchio

La circonferenza e il cerchio La circonferenza e il cerchio Def. Circonferenza Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ).

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ). Il triangolo (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere una superficie piana.

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:

Dettagli

LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO

LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO LA CIRCONFERENZA LA CIRCONFERENZA E IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO UN SEGMENTO CHE CONGIUNGE DUE PUNTI DELLA CIRCONFERENZA SI

Dettagli

Gli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante:

Gli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante: ome sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi solo la posizione. In questo caso la riproduci isometricamente,

Dettagli

Il problema di Novembre Costruire un quadrilatero in cui le bisettrici di due angoli opposti (di vertici A e C) siano parallele.

Il problema di Novembre Costruire un quadrilatero in cui le bisettrici di due angoli opposti (di vertici A e C) siano parallele. FLATlandia Il problema di Novembre 2006 Costruire un quadrilatero in cui le bisettrici di due angoli opposti (di vertici A e C) siano parallele. 1) Quali caratteristiche presenta il quadrilatero così ottenuto?

Dettagli

Cap. 10 Il Triangolo

Cap. 10 Il Triangolo Cap. 10 Il Triangolo Definizione Caratteristiche In un triangolo possiamo individuare: 1. Tre vertici (A; B;C) 2. Tre lati (a; b; c) 3. Tre angoli (α;( β; γ) Un triangolo è una figura rigida indeformabile

Dettagli

Cosa puoi dire del quadrilatero ABCD? Come sono i lati, le diagonali, gli angoli?

Cosa puoi dire del quadrilatero ABCD? Come sono i lati, le diagonali, gli angoli? Dal parallelogramma al rombo (fase 1 e 2) Fase 1 Disegna due circonferenze concentriche c e c di centro O; disegna su c un punto A e su c un punto B; traccia la retta r passante per i punti A e O, chiama

Dettagli

Parallelogrammi, trapezi e poligoni regolari

Parallelogrammi, trapezi e poligoni regolari CAPITOLO 5 Paraeogrammi, trapezi e poigoni regoari 1. I PARALLELOGRAMMI CON GEOGEBRA Esercitazione 1. Costruire un paraeogramma dati tre vertici consecutivi Per risovere questo probema usiamo a definizione

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 17-24 Ottobre 2005 INDICE 1. GEOMETRIA EUCLIDEA........................ 2 1.1 Triangoli...............................

Dettagli

Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data:

Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: www.matematicamente.it Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: 1. Quali tra le seguenti sono proprietà del parallelogramma?. ciascuna diagonale lo divide in due triangoli uguali. gli angoli

Dettagli

Lezione 1. Circonferenze, corde, diametri

Lezione 1. Circonferenze, corde, diametri Lezione 1. Circonferenze, corde, diametri 1 La circonferenza Il terzo libro degli Elementi di Euclide è interamente dedicato alla circonferenza e le sue proprietà. Le principali definizioni riguardanti

Dettagli

Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI

Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele, scaleno CLASSIFICAZIONE RISPETTO

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Introduzione GEOMETRIA EUCLIDEA. Introduzione. geo (terra) e metron (misura)

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Introduzione GEOMETRIA EUCLIDEA. Introduzione. geo (terra) e metron (misura) GEOMETRIA EUCLIDEA La parola geometria deriva dalle parole greche geo (terra) e metron (misura) ed è nata per risolvere problemi di misurazione dei terreni al tempo degli antichi Egizi nel VI secolo a.c.

Dettagli

LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.

LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti

Dettagli

FIGURE EQUIVALENTI. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma ABC'D', con

FIGURE EQUIVALENTI. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma ABC'D', con 1. FIGURE EQUIVALENTI 1.1 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI TEOREMA: Due parallelogrammi aventi le basi e le altezze congruenti sono equivalenti. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma

Dettagli

Appunti di geometria del piano

Appunti di geometria del piano Appunti di geometria del piano Gianpaolo Prina Istituto Prof. G. Sismondi Pescia Anno scolastico 2010-2011 La geometria e gli enti primitivi La geometria è la disciplina che descrive e studia le proprietà

Dettagli

Matematica Introduzione alla geometria

Matematica Introduzione alla geometria Matematica Introduzione alla geometria prof. Vincenzo De Felice 2014 Problema. Si mostri che un triangolo con due bisettrici uguali è isoscele. La matematica è sfuggente. Ziodefe 1 2 Tutto per la gloria

Dettagli

Costruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 )

Costruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 ) Costruzioni geometriche. ( Teoria pag. 81-96, esercizi 141 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda ; due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente

Dettagli

Geometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre

Geometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione

Dettagli

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2 7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h)

Dettagli

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). ppunti di geometria.s. 013-014 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo

Dettagli