Si chiamano poligoni regolari quei poligoni che sono equilateri ed equiangoli.

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1 6.4 I poligoni regolari Si chiamano poligoni regolari quei poligoni che sono equilateri ed equiangoli. Poligoni regolari: triangolo equilatero; quadrato; pentagono regolare; esagono regolare; ettagono regolare; ottagono regolare;... Vediamo alcune costruzioni.

2 Attività. Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso.

3 Costruzione con riga e compasso del quadrato?

4 Attività. Costruzione dell esagono regolare con riga e compasso.

5 6.5 Le altezze Un concetto non così scontato... Video altezze triangolo rettangolo

6 L altezza è definita solo per: i triangoli; i quadrilateri che abbiano almeno una coppia di lati paralleli (trapezi). Non hanno altezze: i quadrilateri che non hanno coppie di lati paralleli; i pentagoni; gli esagoni; gli ettagoni; gli ottagoni;...

7 Le altezze del triangolo. L altezza di un triangolo è la distanza tra un vertice e la retta che contiene il lato opposto. Questa definizione fa, quindi, riferimento alla distanza tra un punto e una retta. Vediamo le conseguenze di questa definizione.

8 Ogni triangolo ha tre altezze. Nel triangolo rettangolo due altezze coincidono con i cateti.

9 Non necessariamente l altezza è contenuta nel triangolo. Denominiamo base quel lato che è opposto al vertice dal quale abbiamo tracciato l altezza.

10 Attività. Rappresentare le altezze con riga e squadra.

11 Per trasmettere il concetto di altezza, si può presentare un attività con le strisce di piano. Denominiamo altezza della striscia la distanza tra le due rette parallele che la delimitano. Un poligono è contenuto in una striscia di piano se tutti i suoi vertici appartengono ai bordi della striscia.

12 Un triangolo è contenuto in tre strisce di piano. Per ottenere i lati di ogni striscia bisogna: prolungare un lato in entrambi i versi; considerare la retta parallela a tale lato e passante per il vertice opposto.

13 Le tre altezze del triangolo coincidono con le altezze di ciascuna striscia, tracciate a partire dal vertice del triangolo. A livello manuale, è facile ottenere l altezza di una striscia di carta velina, perché basta piegarla in modo da far coincidere i bordi.

14 Attività. Rappresentiamo un triangolo; costruiamo le strisce di carta velina che rappresentano le strisce di piano che contengono il triangolo; appoggiamo le strisce sul triangolo e indichiamo sulla striscia, con un pennarello, i vertici del triangolo (uno su ogni striscia, quello opposto al lato interamente contenuto nel bordo della striscia); preleviamo le strisce e ripieghiamole, facendo coincidere i bordi, nel punto dove abbiamo segnato il vertice; con il pennarello, mettiamo in evidenza le pieghe (sono le altezze) e riposizioniamo le strisce sul triangolo.

15 Le altezze del trapezio. L altezza di un trapezio è la distanza tra due lati paralleli. Questa definizione fa riferimento alla distanza tra due rette parallele. Scegliamo sempre di condurre l altezza a partire da un vertice, nonostante non sia necessario. Dalla definizione deduciamo che:

16 i trapezi, che non siano anche parallelogrammi, hanno esattamente una altezza (perché hanno esattamente una coppia di lati paralleli). Chiamiamo base maggiore e base minore i due lati paralleli; i parallelogrammi ne hanno due (così come i parallelogrammi particolari: rettangoli, rombi e quadrati) perché hanno due coppie di lati paralleli. A seconda dell altezza considerata, uno qualsiasi dei lati perpendicolari all altezza si chiama base; le due altezze di rombi e quadrati sono congruenti.

17 Possiamo utilizzare le strisce di piano anche per far comprendere il concetto di altezza di un trapezio. Chiediamo agli alunni di rappresentare un trapezio, un romboide, un rombo, un rettangolo e un quadrato e ripetiamo l attività proposta per i triangoli (sovrapposizione delle strisce di carta velina e determinazione delle altezze). I quadrilateri che non sono trapezi non sono contenuti in alcuna striscia di piano, infatti abbiamo già osservato che non hanno altezze.

18 6.6 Le aree La misura della superficie del piano che costituisce il poligono si chiama area del poligono. Due poligoni sovrapponibili sono detti congruenti (o uguali). Due poligoni che hanno la stessa area si dicono equivalenti. Se due poligoni sono congruenti, allora saranno anche equivalenti. Viceversa, se due poligoni sono equivalenti, non è detto che siano congruenti.

19 È più importante, nella scuola primaria, che sia chiaro il concetto di area, piuttosto che siano note le formule per calcolarla, quindi è opportuno instere su esperienze di congruenza ed equivalenza piuttosto che su quelle di calcolo.

20 Attività. Parti di piano (di un quadrato) congruenti. Materiale: geopiano ed elastici o carta punteggiata e matita. Ogni alunno deve trovare più modi di dividere il geopiano in parti congruenti, tramite gli elastici, utilizzati per rappresentare segmenti/spezzate.

21 Poligoni equiscomponibili. Due poligoni equivalenti sono anche equiscomponibili, cioè sono costituiti da poligoni a due a due congruenti.

22 Quali difficoltà si possono riscontrare in questo esercizio? Attività. Colora di azzurro i poligoni equiscomponibili (e che quindi hanno la stessa area, cioè sono equivalenti) rispetto a quello dato.

23 Attività. Trova l area del poligono rappresentato, sapendo che l area del triangolo ABG misura 36 cm 2.

24 Attività. Trova l area del poligono rappresentato, sapendo che l area del triangolo ABG misura 36 cm 2.

25 Attività. Gioco: poligoni equiscomponibili. Materiale: fogli di carta, forbici. Il giocatore A, di nascosto da tutti, prende un foglio quadrato e pratica un taglio con le forbici a piacere e lungo una spezzata. Separate le due parti, le affianca in modo diverso, per ottenere nuovamente un unico pezzo. A partire da un altro foglio di carta, costruisce la nuova figura e la consegna all avversario, il quale deve trovare il modo di tagliarla per ottenere nuovamente il quadrato iniziale. Che cosa si può far osservare?

26 Stimolare una riflessione, che faccia cogliere: il fatto che le figure ottenute sono sempre poligoni; le differenze riguardanti il numero dei lati, convessità o concavità, il perimetro (misurare); l uguaglianza delle aree;... Possiamo sfidarli a costruire, con questo metodo, il poligono che abbia perimetro massimo.

27 Testi scolastici. Tangram ed equiscomponibilità.

28

29 Costruzione Tangram.

30 Attività. Formare un quadrato usando solo due pezzi Sovrapporre due triangoli a un terzo triangolo, in modo da coprirlo completamente Ricoprire un quadrato con dei triangoli. Quanti? Ricoprire un triangolo con un quadrilatero e due triangoli. Ricostruire il quadrato iniziale. Costruire un rettangolo, un parallelogramma, un trapezio isoscele con almeno due pezzi per ogni poligono.... C è un unica possibilità per ogni richiesta? Attività. Fissata una unità di misura comoda (quale?) possiamo esprimere l area di tutti i poligoni costruiti.

La misura della lunghezza della poligonale si chiama perimetro del poligono. Due poligoni che hanno lo stesso perimetro si chiamano isoperimetrici.

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