Quadratura Numerica. Stefano Berrone. Dipartimento di Matematica tel

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1 Formule interpoltorie Diprtimento di Mtemtic tel Lbortorio di modellzione e progettzione mterili

2 Formule interpoltorie Voglimo pprossimre f (x)dx Difficoltà se: f (x) not solo per punti: (x i, f (x i )), i = 0,..., n per f (x) non individubile un primitiv elementrmente, es: f (x) = exp( x 2 ) Le formule di qudrtur numeric consentono di pprossimre l integrle definito usndo i vlori di f in punti ssegnti f (x)dx n w i f (x i ) x i : nodi w i : pesi Come costruire formule di qudrtur?

3 Formule interpoltorie Introduzione Formule interpoltorie Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur Fissti x i, i = 0,..., n, nodi distinti [, b], si p n (x) = n f (x i )l i (x) il polinomio interpolnte f nei nodi x i f (x)dx p n (x)dx = n f (x i ) l i (x)dx } {{ } w i Se i nodi sono equidistnti le formule inteporltorie che si ottengono sono dette di Newton-Cotes. Si prl di formule chiuse se e b sono tr i nodi, perte ltrimenti.

4 Formule interpoltorie Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur Formule del rettngolo e del punto medio n = 0 Rettngolo: f (x) p 0 (x) = f () f (x)dx (b ) f }{{}}{{} w 0 x 0 Punto medio: f (x) p 0 (x) = f ( ) +b 2 f (x)dx (b ) f }{{} w 0 + b 2 }{{} x 0

5 Formul del trpezio Introduzione Formule interpoltorie Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur n = 1 f (x) p 1 (x) = f () x b x b + f (b) b f (x)dx b f + b 2 2 NB: }{{} w 0 }{{} x 0 f (x)dx (f () + f (b)) b 2 }{{} w 1 f }{{} b x 1

6 Formule interpoltorie Formul di Cvlieri-Simpson Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur n = 2 Si c = +b 2 f (x) p 2 (x) = f () (x c)(x b) ( c)( b) (x )(x b) (x )(x c) + f (c) (c )(c b) + f (b) (b )(b c) b f (x)dx 6 f () + 4 b 6 (b )f (c) + 6 f (b)

7 Errore di qudrtur Introduzione Formule interpoltorie Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur Definizione (Errore di qudrtur) Dt un formul di qudrtur l errore è R n = Se formul interpolri, R n = f (x)dx n w i f (x i ) (f (x) p n (x))dx = Definizione Se R n = 0 l formul di qudrtur si dice estt E n (x)dx

8 Formule interpoltorie Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur Proprietà Un formul di qudrtur interpoltori costruit su n + 1 nodi è sicurmente estt per tutti i polinomi di grdo n (E n (x) 0 x [, b]) Proposizione Le formule di Newton-Cotes costruite su n + 1 nodi sono estte per polinomi di grdo fino d = n, se n + 1 è pri, e d = n+1 se n + 1 dispri. Quindi d esempio formul di Simpson integr esttmente le prbole per costruzione, m si può dimostrre che integr esttmente nche i polinomi di grdo 3, mentre Trpezi si ferm lle rette.

9 Formule interpoltorie Formule di Newton-Cotes Errore di qudrtur Definizione (Convergenz) Formul di qudrtur convergente se Teorem lim R n = 0 n Se f C[, b] e i pesi soddisfno l condizione n w i K con K costnte indipendente d n llor l formul di qudrtur è convergente. Purtroppo in generle i pesi delle formule di Newton-Cotes non soddisfno le condizioni del teorem precedente convergenz non grntit. Ciò non sorprende se pensimo l comportmento dell interpolzione polinomile su nodi equidistnti...

10 Formule interpoltorie Stesso spirito dellinterpolzione polinomile trtti: 1 Si prtizion l intervllo di integrzione in N intervllini [x j, x j+1 ], = x 0... x N = b 2 Additività dell integrle: f (x)dx = j=0 xj+1 x j f (x)dx 3 Si sceglie un formul di interpolzione bse costruit su un numero prefissto r di nodi (piccolo) 4 Si pplic l formul di Newton-Cotes r nodi ciscuno degli integrli destr

11 Formule interpoltorie Esempio (Formul dei trpezi compositi) f (x)dx = xi+1 x i f (x)dx x i+1 x i 2 (f (x i ) + f (x i+1 )) Prendimo per semplicità nodi equidistnti: i x i+1 x i = h = b N I T N = = h 2 h 2 (f (x i) + f (x i+1 )) = h 2 ( f (x 0 ) + 2 i=1 f (x i ) + f (x N ) ) (f (x i ) + f (x i+1 ))

12 Formule interpoltorie

13 Formule interpoltorie Esempio (Formul di Simpson composit) f (x)dx x i+1 x i 6 ( f (x i ) + 4f ( x ) i + x i+1 ) + f (x i+1 ) 2 Con nodi equidistnti: x i+1 x i = h = b N IN S = h 6 ( = h 6 ( f (x i ) + 4f (x i + h ) 2 ) + f (x i+1) f (x 0 ) + 2 i=1 f (x i ) + 4 x i = + ih f (x i + h 2 ) + f (x N) )

14 Formule interpoltorie Convergenz dell interpolzione composit Vlgono le seguenti stime dell errore per le formule composite dei trpezi e Simpson (nodi equidistnti per semplicità): R T N = b 12 h2 f (c), c (, b), h = b N, f C 2 [, b] RN S = b 2880 h4 f iv (c), c (, b), h = b N, f C 4 [, b] Se f h l regolrità richiest quindi: R T N = O(h2 ) per h 0 i.e. N R S N = O(h4 ) per h 0 i.e. N

15 Formule interpoltorie Formule dtttive Nodi equidistnti è un semplificzione forte. In reltà nelle ppliczioni prtiche si usno distribuzioni di nodi dtttive in cui i nodi vengono ddensti in modo utomtico dove necessrio (es. in zone con brusche vrizioni). Comndi mtlb: 1 I = qud(f,,b), I = qud(f,,b,tol) 2 qudl

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