COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE
|
|
- Clementina Napoli
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 COPPIE DI VAIABILI ALEATOIE E DI NADO 1 Funzioni di ripartizione congiunte e marginali Definizione 11 Siano X, Y va definite su uno stesso spazio di probabilità (Ω, F, P La coppia (X, Y viene detta va bidimensionale Si osservi che per ogni coppia di numeri reali (x, y si ha {ω Ω : X(ω x, Y (ω y} {ω Ω : X(ω x} {ω Ω : Y (ω y}, tale evento, essendo intersezione di elementi in F, appartiene ancora ad F Definizione 12 Si dice funzione di ripartizione congiunta delle va (X, Y la funzione F X,Y : 2 [0, 1] così definita F X,Y (x, y P (X x, Y y P ({ω Ω : X(ω x, Y (ω y} Si noti che mentre F X,Y (x, y F Y (y x F X,Y (x, y 0 x F X,Y (x, y F X (x y F X,Y (x, y 0 y F X,Y (x, y 1 x,y Le funzioni di ripartizione F X (x e F Y (y vengono dette marginali La funzione di ripartizione congiunta è non decrescente Trattandosi di una funzione in due variabili, questo equivale a dire che se x 1 < x 2 e y 1 < y 2 allora la variazione della funzione F X,Y (x, y sul rettangolo [x 1, x 2 ] [y 1, y 2 ] è non negativa Infatti una variazione semplice della F X,Y è l incremento della F X,Y lungo una delle sue due variabili, ossia F X,Y (x 2, y F X,Y (x 1, y per x 1 < x 2 oppure F X,Y (x, y 2 F X,Y (x, y 1 per y 1 < y 2 La variazione doppia si ottiene variando la F X,Y prima lungo una variabile e poi lungo l altra, ossia x2,y2 x 1,y 1 F X,Y (x, y [F X,Y (x 2, y 2 F X,Y (x 2, y 1 ] [F X,Y (x 1, y 2 F X,Y (x 1, y 1 ] Si tratta allora di provare che x2,y2 x 1,y 1 F X,Y (x, y P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 0 E infatti per l additività della probabilità P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 P (x 1 < X x 2, Y y 2 P (x 1 < X x 2, Y y 1 essendo poi P (x 1 < X x 2, Y y 2 P (X x 2, Y y 2 P (X x 1, Y y 2 F X,Y (x 2, y 2 F X,Y (x 1, y 2 Ad integrazione della Lezione 10 - Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica II 1
2 2 E DI NADO e P (x 1 < X x 2, Y y 1 P (X x 2, Y y 1 P (X x 1, Y y 1 segue l asserto In particolare risulta F X,Y (x 2, y 1 F X,Y (x 1, y 1 x 1 < x 2 F X,Y (x 1, y F X,Y (x 2, y y 1 < y 2 F X,Y (x, y 1 F X,Y (x, y 2 Anche nel caso bidimensionale, è possibile utilizzare l integrale di iemann-stieltjes per unificare la notazione tra coppie di va discrete e coppie di va assolutamente continue Pertanto per ogni B B( 2 scriveremo P [(X, Y B] df X,Y (x, y 11 Caso discreto Data una va doppia discreta (X, Y si definisce p r,s P (X x r, Y y s r 1, 2,, s 1, 2, massa di probabilità congiunta Ovviamente risulta p r,s 0 e r,s p r,s 1 I valori B p r s p r,s s P (X x r, Y y s P (X x r p s r p r,s r P (X x r, Y y s P (Y y s sono detti probabilità marginali della coppia (X, Y Si ha inoltre P [(X, Y B] p r,s (x r,y s B 12 Caso assolutamente continue La coppia di va (X, Y si dice assolutamente continua se esiste una funzione f(x, y detta funzione densità congiunta tale che F X,Y (x, y x y f(u, vdudv Ovviamente risulta 2 x y F X,Y (x, y f(x, y ed in particolare f(x, y 0 per ogni (x, y 2 ed inoltre Si ha inoltre + + P [(X, Y B] f(x, ydxdy 1 B f(x, ydxdy Un cenno a parte meritano le densità marginali Poiché F X (x y F X,Y (x, y dall essere e F X (x x x F X,Y (x, y y f X (udu ( f(u, vdv du
3 COPPIE DI VAIABILI ALEATOIE 3 segue che f X (u f(u, vdv 2 elazioni tra due variabili aleatorie Avendo definito le va come funzioni sullo spazio campione Ω esse sono uguali quando X(ω Y (ω per ogni ω Ω Dall uguaglianza di due va segue che F X (z F Y (z per ogni z Quando vale questa relazione, ossia quando le funzioni di ripartizione sono uguali, diremo che X è somigliante a Y e scriveremo X d Y Ovviamente la somiglianza non implica l uguaglianza Esiste poi il concetto di va uguali quasi certamente In tal caso l evento {ω Ω : X(ω Y (ω} ha probabilità di occorrenza pari ad 1, ossia P (X Y 1, in tal caso scriveremo X qc Y Pertanto si ha X Y X qc Y X d Y 21 Indipendenza Definizione 21 Due va X e Y si dicono indipendenti se e solo se F X,Y (x, y F X (xf Y (y (x, y 2 Proposizione 22 Due va X e Y sono indipendenti se e solo se P [(X, Y A B] P (X AP (Y B A, B B( Proof Scegliendo A (, x] e B (, y] è immediato dimostrare che X e Y sono indipendenti L implicazione inversa segue osservando che P [(X, Y A B] df X,Y (x, y df X (x df Y (y A B Se le va sono discrete, risultano indipendenti se e solo se P (X x r, Y y s P (X x r P (Y y s, mentre se sono assolutamente continue sono indipendenti se e solo se f(x, y f X (xf Y (y (x, y 2, dove f X e f Y rappresentano le densità marginali di X e Y 22 Condizionamento Sia (X, Y una coppia di va discrete È possibile considerare la probabilità condizionata P (X x r Y y s P (X x r, Y y s P (Y y s Tenendo fisso y s le probabilità P (X x r Y y s forniscono una distribuzione di probabilità poiché si può dimostrare che P (X x r Y y s 0 P (X x r Y y s 1 Tale distribuzione di probabilità prende il nome di distribuzione di probabilità di X condizionata da Y Nel caso di va assolutamente continue la costruzione della distribuzione di probabilità condizionata è molto più delicata, poichè in tal caso P (X x 0 r A B
4 4 E DI NADO Dati due numeri reali h, k si definisca l evento A h,k {ω Ω : x h < X(ω x + k} Si scelga l intervallo (x k, x + k] in modo tale che P (A h,k > 0 Pertanto ha senso definire P (B A h,k P (B A h,k P (A h,k P (B A h,k F X (x + k F X (x h Definizione 23 Assegnata una va X con funzione di ripartizione F X (x e un evento B F si definisce probabilità condizionata di B dato il valore x assunto dalla va X il seguente ite (se esiste: P (B x h,k 0 P (B A h,k F X (x + k F X (x h Sia ora Y una seconda va definita sullo stesso spazio di probabilità di X e sia B {ω Ω : Y (ω y} In tale caso P (B A h,k F X,Y (x + k, y F X,Y (x h, y Se allora esiste il ite di F X,Y (x + k, y F X,Y (x h, y h,k 0 F X (x + k F X (x h esso prende il nome di funzione di ripartizione di Y dato X e viene indicato con F Y X (y x P (Y y X x Proposizione 24 Se esiste P (B x e se è integrabile rispetto allla funzione F X (x si ha: P (B P (B xdf X (x Proof Dati n 1 reali x 1 < x 2 < < x n 1 e posto x 0 e x n consideriamo gli eventi A k {ω Ω : x k 1 < X(ω x k } per k 1, 2,, n Questi eventi costituiscono un sistema completo di ipotesi, e per il teorema delle alternative, tali che P (B k P (B A k P (A k k P (B A k [F X (x k F X (x k 1 ] da cui il risultato passando al ite e ricordando la definizione dell integrale di iemann-stieltjes In particolare posto B {ω Ω : Y (ω y} si ha F Y (y F Y X (y xdf X (x Supponiamo ora che X e Y siano va assolutamente continue e quindi dotate di funzione densità rispettivamente f X (x e f Y (y Scelto h 0 e k ε si ha F Y X (y x F X,Y (x + ε, y F X,Y (x, y ε 0 F X (x + ε F X (x F X,Y (x + ε, y F X,Y (x, y ε ε 0 ε F X (x + ε F X (x 1 f X (x x F X,Y (x, y
5 COPPIE DI VAIABILI ALEATOIE 5 e passando alle derivate parziali Posto y F Y X(y x 1 f X (x 2 x y F X,Y (x, y f Y X (y x y F Y X(y x f(x, y f X (x tale funzione prende il nome di densità di probabilità di Y condizionata da X È ovvio che f Y X (y x 0 e f Y X(y xdy 1 I ruoli di X e di Y si possono scambiare e quindi è possibile definire anche f X Y (x y ossia la densità di probabilità di X condizionata da Y isulta poi e dunque f Y X (y x y F Y X(y x f Y (y f(x, ydx f(x, y f X (x f(x, y f Y X(y xf X (x f Y X (y xf X (xdx Sussiste anche un analogo del teorema di Bayes al caso continuo, ossia: Vale il seguente teorema f X Y (x y f Y X(y xf X (x f Y (y f Y X (y xf X (x f Y X(y xf X (xdx Teorema 25 Se X e Y sono va indipendenti, le seguenti relazioni sono equivalenti i f X,Y (x, y f X (xf Y (y; ii f Y X (y x f Y (y; iii f X Y (x y f X (x In particolare si ha F Y X (y x 1 f X (x x F X,Y (x, y 1 f X (x x [F X(xF Y (y] F Y (y e scambiando il ruolo di X e Y segue F X Y (x y F X (x 3 Funzioni di due variabili aleatorie Nel caso (X, Y siano va discrete, la va U g(x, Y viene studiata esattamente come nel caso discreto, osservando che P (U u P (X x r, Y y s r,s:g(x r,y su Nel caso (X, Y siano assolutamente continue, esiste un teorema che consente di caratterizzare la legge di probabilità della coppia (U, V in funzione di (X, Y attraverso le relazioni U g 1 (X, Y e V g 2 (X, Y Premettiamo il seguente risultato Teorema 31 Sia g : 2 integrabile e sia O 2 un insieme aperto tale che g(x, y 0 per (x, y O c Sia poi φ : O φ(o 2 un diffeomorfismo di classe C 1 Allora per ogni A B( 2 si ha g(x, ydxdy g[φ 1 (u, v] det(dφ 1 (u, v dudv A φ(o A
6 6 E DI NADO dove Dφ 1 è la matrice iacobiana di φ 1 Corollario 32 Sia (X, Y una coppia di va assolutamente continue e g : 2 2 un diffeomorfismo tale che esiste un aperto U per il quale P [(X, Y U] 1 Allora la coppia di va (U, V g(x, Y è assolutamente continua ed ha funzione densità di probabilità congiunta data da f U,V (u, v f X,Y (x, y (x,yg 1 (u,v det(dg 1 (u, v mentre è nulla al di fuori (u, v g(u Proof Essendo P [(X, Y U] 1 si può assumere f X,Y (x, y 0 per (x, y U c Allora se I I 1 I 2 per il teorema precedente si ha P [(U, V I] P [(X, Y g 1 (I] f(x, ydxdy da cui la conclusione segue immediatamente I g 1 (I f X,Y (x, y (x,yg 1 (u,v det(dg 1 (u, v dudv Un caso particolare è quando g(x, y A (x, y T + b, dove A è una matrice quadrata di dimensione 2 invertibile e b è un vettore di dimensione 2 L inversa di g è g 1 (u, v A 1 [(u, v T b] e quindi det(dg 1 (u, v det A 1 (det A 1 Pertanto si ha f U,V (u, v f X,Y (A 1 [(u, v T b] det A 31 Somme Siano X ed Y due va assolutamente continue e sia Z X + Y Si vuole conoscere la funzione densità di Z La tecnica da utilizzare consiste nel completare la trasformazione (X, Y X + Y in una trasformazione invertibile alla quale applicare il risultato del corollario precedente Ad esempio consideriamo la funzione g : (x, y (x + y, y Siamo nel caso in cui Si noti che det A 1 e si ha ( x g(x, y A y A 1 dove A ( Essendo g(x, Y (Z, Y dal corollario segue che ( f Z,Y (z, y f X,Y (g 1 (z, y f X,Y (z y, y La funzione densità di Z si calcola come marginale di (Z, Y pertanto f Z (z f X,Y (z y, ydy Se X ed Y sono indipendenti, si ha f Z (z f X (z yf Y (ydy Spesso questa ultima formula si scrive f X+Y f X f Y dove denota il prodotto di convoluzione definito da g h(y g(z yh(ydy
7 COPPIE DI VAIABILI ALEATOIE 7 Ovviamente per il caso Z X Y si ha f Z (z f X,Y (z + y, ydy Esercizio Siano X e Y va esponenziali indipendenti Studiare la va X + Y Esercizio Siano X e Y va gaussiane standard indipendenti Studiare la va X 2 + Y 2 32 Prodotti Siano X ed Y due va assolutamente continue e sia Z XY Si vuole conoscere la funzione densità di Z La tecnica da utilizzare consiste nel completare la trasformazione (X, Y XY in una trasformazione invertibile alla quale applicare il risultato del corollario precedente Ad esempio consideriamo la funzione g : (x, y (xy, y La g è un diffeomorfismo e la sua inversa g 1 : (u, v (u/v, v Lo iacobiano di tale trasformazione è ( Dg 1 1/v u/v Dal corollario segue che tale che det Dg 1 (u, v 1 v f Z,Y (u, v 1 ( u v f X,Y v, v e quindi 1 ( z f Z (z v f X,Y v, v dv In modo del tutto analogo si dimostra che f X/Y (z v f X,Y (zv, v dv Esercizio Siano X e Y va gaussiane standard indipendenti Studiare la va X/Y
2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliTraccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3
Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Esercizio 68 Sia X una v.c. uniformenente distribuita nell intervallo ( π, π, cioè f X ( = π ( π, π (. Posto Y = cos(x, trovare la distribuzione di
Dettagli3. Successioni di insiemi.
3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare
DettagliCalcolo delle Probabilità 2
Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014. I Esonero - 29 Ottobre Tot.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014 I Esonero - 29 Ottobre 2013 1 2 3 4 5 6 7 8 Tot. Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato,
DettagliM.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI
M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica
DettagliEsame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004
Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni luglio 4 Esercizio Un sacchetto A contiene caramelle ai gusti fragola, limone e lampone. Un sacchetto B contiene caramelle
DettagliStatistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio
Statistica ARGOMENTI Calcolo combinatorio Probabilità Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con ripetizioni Combinazioni semplici Assiomi di probabilità
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione
Dettagli14. Confronto tra l integrale di Lebesgue e l integrale di Riemann.
4. Confronto tra l integrale di Lebesgue e l integrale di Riemann. Lo scopo di questo capitolo è quello di mettere a confronto i vari tipi di integrale (di Riemann, generalizzato e improprio) di funzioni
Dettagli25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
Dettaglic i χ Ai (x) f(x) = f(x)dx = c i m(a i ) R
1. Integrale di Lebesgue in La differenza fondamentale tra integrale di Lebesgue e integrale di iemann consiste nella diversa scelta delle decomposizioni su cui sostanzialmente si basa ogni integrale:
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
DettagliLe derivate parziali
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire
DettagliTeorema delle Funzioni Implicite
Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)
DettagliVariabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche
Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa
DettagliFUNZIONI. }, oppure la
FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,
Dettagli2. la ricerca di funzioni che hanno una derivata assegnata.
INTEGRALI PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE Il calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale si occupa di risolvere due problemi:. il calcolo dell area di parti di piano qualsiasi, 2. la ricerca
DettagliVariabili aleatorie continue
Variabili aleatorie continue Per descrivere la distribuzione di una variabile aleatoria continua, non si può più assegnare una probabilità positiva ad ogni valore possibile. Si assume allora di poter specificare
DettagliEsercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni
DettagliSviluppi e derivate delle funzioni elementari
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim
Dettagli1 Funzioni reali di una variabile reale
1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f
DettagliNOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE
NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile
Dettaglivariabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.
Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:
DettagliLeggi congiunte di variabili aleatorie
eggi congiunte di variabili aleatorie CAPIT 6 6. FUNZINI DI DISTRIBUZINE CNGIUNTE Fino a ora abbiamo considerato unicamente le leggi di singole variabili aleatorie. Tuttavia, siamo spesso interessati a
DettagliALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.
ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se
DettagliEsercizi su leggi condizionali e aspettazione condizionale
Esercizi su leggi condizionali e aspettazione condizionale. Siano X, Y, Z v.a. a valori in uno spazio misurabile (E, E) e tali che le coppie (X, Y ) e (Z, Y ) abbiano la stessa legge (in particolare anche
DettagliPROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 006/07 Esercizio 1 Prova scritta del 16/1/006 In un ufficio postale lavorano due impiegati che svolgono lo stesso compito in maniera indipendente, sbrigando
DettagliTeoria di Lebesgue. P n E = n=1
Teoria di Lebesgue 1. La misura di Peano-Jordan La misura di Peano Jordan di un insieme é quasi sempre proposta per sottoinsiemi limitati E R 2 : si tratta di quanto suggerito dalla carta quadrettata,
DettagliErrori frequenti di Analisi Matematica
G.C. Barozzi Errori frequenti di Analisi Matematica http://eulero.ing.unibo.it/~barozzi/pcam Complementi/Errori.pdf [Revisione: gennaio 22] Numeri reali e complessi 1. La radice quadrata di 4 è ±2. Commento.
DettagliCapitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni
Capitolo 1 Gli strumenti Consideriamo un insieme X. In geometria siamo abituati a considerare insiemi i cui elementi sono punti ad esempio, la retta reale, il piano cartesiano. Più in generale i matematici
DettagliOsservazioni sulle funzioni composte
Osservazioni sulle funzioni composte ) 30 dicembre 2009 Scopo di questo articolo è di trattare alcuni problemi legati alla derivabilità delle funzioni composte nel caso di funzioni di R n in R m Non si
Dettagli4.1 Variabili casuali discrete e continue, e loro distribuzioni
4 Variabili casuali 4.1 Variabili casuali discrete e continue, e loro distribuzioni Nel Capitolo di Statistica Descrittiva abbiamo chiamato variabile una quantità numerica che vegna rilevata o misurata.
DettagliGli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali
Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,
DettagliDato un intervallo limitato A di estremi a e b con a b, si definisce misura dell intervallo il numero b a e si indica con :
E-school di Arrigo Amadori Analisi I Integrali di Riemann 01 Introduzione. L integrale è, oltre alla derivata, l altro oggetto fondamentale che sta alla base del calcolo differenziale. Con gli integrali
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.
DettagliFunzioni implicite - Esercizi svolti
Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita
DettagliLimiti di successioni
Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche
DettagliVariabili casuali multidimensionali
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Vedremo tra breve un metodo per studiare il problema di trovare il minimo e il massimo di una funzione su di un sottoinsieme dello spazio ambiente che non sia un aperto. Abbiamo
DettagliCalcolo integrale. Regole di integrazione
Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su
DettagliComplementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro
Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo
DettagliRisposta La curva r è regolare a tratti per via di quanto succede della sua rappresentazione parametrica nel punto t = 1: pur riuscendo
ANALISI VETTORIALE OMPITO PER LE VAANZE DI FINE D ANNO Esercizio Sia r(t) la curva regolare a tratti x = t, y = t, t [, ] e x = t, y = t, t [, ]. alcolare la lunghezza di r, calcolare, dove esistono, i
Dettagli04 - Numeri Complessi
Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Introduzione Funzioni reali di variabile reale Algebra delle funzioni reali Funzioni composta e inversa Funzioni monotone i definisce funzione reale di variabile reale e s indica con f: A R una funzione
DettagliMatematica Applicata L-A Definizioni e teoremi
Definizioni e teoremi Settembre - Dicembre 2008 Definizioni e teoremi di statistica tratte dalle lezioni del corso di Matematica Applicata L- A alla facoltà di Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili
DettagliLEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m
LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta
DettagliDistribuzioni statistiche
Distribuzioni statistiche L operazione di determinazione delle modalità del carattere per ciascuno degli elementi del collettivo origina una distribuzione del collettivo secondo il carattere considerato.
DettagliLeggi di capitalizzazione e di attualizzazione
Sommario Alcuni appunti di supporto al corso di Matematica Finanziaria (L-Z) Facoltà di Economia & Management- Università di Ferrara Sommario Parte I: Funzioni di capitalizzazione Parte II: Capitalizzazione
Dettagliquando il limite delle somme di Riemann esiste. In tal caso diciamo che la funzione è integrabile sul rettangolo.
Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale
DettagliEsercitazione del 06/03/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
Esercitazione del 6/3/ Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato barbato@math.unipd.it Esercizio. E la notte di San Lorenzo, Alessandra decide di andare a vedere le stelle cadenti. Osserverà
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino) Prova di giovedi febbraio 2005 (tempo a disposizione: 3 ore). consegna compiti e inizio orale Lunedì
DettagliDiario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta
Diario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta 1. (1/10 Lu.) Generalità sugli insiemi, operazioni di unione, intersezione e prodotto cartesiano. Insiemi numerici: naturali,
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliLIMITI. 1. Definizione di limite.
LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliMatematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi
DettagliProdotti scalari e matrici
Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V
DettagliCorso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata
Dettagli(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.
Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici
DettagliIntegrale indefinito
Integrale indefinito 1 Primitive di funzioni Definizione 1.1 Se f: [a, b] R è una funzione, una sua primitiva è una funzione derivabile g: [a, b] R tale che g () = f(). Ovviamente la primitiva di una funzione,
DettagliProbabilità e Statistica
Diario delle lezioni e del tutorato di Probabilità e Statistica a.a. 2015/2016 www.mat.uniroma2.it/~caramell/did 1516/ps.htm 01/03/2016 - Lezioni 1, 2 [Caramellino] Breve introduzione al corso. Fenomeni
DettagliInsiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia
Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione
DettagliEsame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016
Esame di Statistica 0 o CFU) CLEF febbraio 06 Esercizio Si considerino i seguenti dati, relativi a 00 clienti di una banca a cui è stato concesso un prestito, classificati per età e per esito dell operazione
DettagliPagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI
Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore
DettagliGENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI
Capitolo 1 GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI Definizione 1. Sia I un intervallo aperto della retta euclidea E 1 e sia α : I E n, con n 2, un applicazione differenziabile. La sua immagine C = α(i)
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliDIFFERENZIAZIONE. Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim
DIFFERENZIAZIONE 1 Regola della catena Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ). x x 0 x x 0 Questa
DettagliElementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B
Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio
DettagliEsercizi sulle trasformate di Fourier
Esercizi sulle trasformate di Fourier Corso di Fisica Matematica, a.a. 3-4 Dipartimento di Matematica, Università di Milano 8 Novembre 3 Questi esercizi richiederanno il calcolo di integrali a volte non
Dettagli17. Il teorema di Radon-Nikodym.
17. Il teorema di Radon-Nikodym. Nel Capitolo 13 (n. 13.10) abbiamo introdotto il concetto di misura con segno dotata di densità rispetto ad una data misura µ. In questo capitolo ci occupiamo della ricerca
DettagliVettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Vettori e matrici Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utentiunifeit/lorenzopareschi/ lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi Univ Ferrara
DettagliSOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA
SOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA 1 Esercizio 0.1 Dato P (A) = 0.5 e P (A B) = 0.6, determinare P (B) nei casi in cui: a] A e B sono incompatibili; b] A e B sono indipendenti;
DettagliLEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.
LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliForme differenziali lineari
Forme differenziali lineari Sia Ω R 3 un insieme aperto e siano A, B, C: Ω R funzioni continue in Ω. Si definisce forma differenziale ω in Ω l espressione ω = A x, y, z dx + B x, y, z dy + C x, y, z dz
DettagliEsercitazioni di Statistica Matematica A Lezione 2. Variabili con distribuzione gaussiana
Esercitazioni di Statistica Matematica A Lezione 2 Variabili con distribuzione gaussiana.) Una bilancia difettosa ha un errore sistematico di 0.g ed un errore casuale che si suppone avere la distribuzione
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE
ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia
DettagliVerso il concetto di funzione
Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche
DettagliEquazioni esponenziali e logaritmi
Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali..................................................... 3 casi particolari............................................................
DettagliFigura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15
Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile 2012- pag. 15 Casi Possibili B= La lancetta indica il Blu V= La lancetta indica il Verde
DettagliSoluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008
Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi 19 giugno 008 1. La proposizione è falsa. Per trovare un controesempio ad essa, si consideri un qualunque piano
DettagliMetodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I)
Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema
DettagliLaurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica
DettagliCorso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le
DettagliProbabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)
Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k) Nel calcolo del numero di modalita' con cui si presenta un evento e' utile talvolta utilizzare le definizioni
DettagliR. Capone Analisi Matematica Integrali multipli
Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale
DettagliIntroduzione generale. Cenni storici. 1 Problema di de Mèrè e soluzione. martedì 27 febbraio 2007
Corso di Calcolo delle probabilità - SIGAD -A.A. 2007/2008 Registro provvisorio delle Lezioni tenute da: Giuseppe Sanfilippo Settimana Giorno Lezione Lez N. Argomento Effettuata =SI Introduzione generale.
DettagliELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI
ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
DettagliFormulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010
Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,
Dettagli8.1 Problema della diffusione in meccanica quantistica
8.1 Problema della diffusione in meccanica quantistica Prima di procedere oltre nello studio dell interazione puntuale, in questo paragrafo vogliamo dare un breve cenno alle nozioni di base della teoria
Dettagli